珠海市 2020 年 2 月高三理科数学复测题与答案
答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，所以 ,故选 B.
2．已知 是虚数单位，复数 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ,所以虚部为 ，选 C.
3．设 ，则 是 的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则
，可知充分条件成立；当 ， 时，则 ，此时 ，可知必
要条件不成立； 是 的充分不必要条件。选
4．一个几何体的三视图如图所示，
那么这个几何体的表面积是（ ）．
{ } 11,2,3 , | 03
xS T x x
− = = ≤ − S T =
{ }2 { }1,2 { }1,3 { }1,2 3，
( )( )1 3 01 0 { 1 33 3 0
x xx xx x
− − ≤− ≤ ⇔ ⇔ ≤
10 20 10 30 20 40 30, , , ... 0S S S S S S S− − − >
( ) ( )2
20 10 10 30 20S S S S S− = ⋅ − ( ) ( )2
20 20
2
20 201 1 7 6 0S S S S−− = ⋅ − ⇒ − =
20 0S > 20 3S = ( ) ( )( )2
30 20 20 10 40 30S S S S S S− = − −
( ) ( )( )2
407 3 3 1 7S− = − − 40 15S =
x 1x = 1xy e= −
OABC
1
e
1
1e −
11 e
− 2
1
e
e
−
−
2 2
116 9
x y+ =【解析】设弦的两个端点的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则有 ， ，
两式相减,又 x1＋x2＝y1＋y2＝2，因此 ，即 ，所求直线的
斜率是 ，弦所在的直线方程是 y－1＝ (x－1)，即 9x＋16y－25＝0，故选 C.
8．执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出的 的值满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据输入 ，代入流程图得
2 2
1 1 116 9
x y+ =
2 2
2 2 116 9
x y+ =
1 2 1 2 016 9
x x y y− −+ = 1 2
1 2
9
16
y y
x x
− = −−
9
16
− 9
16
−
0, 0, 1x y n= = = ,x y
2xy = 1
9y x− = 16
9xy = 10
9y x− =
0, 0, 1x y n= = =
1 1 1 262 1, , , 21 2 2 91 2
x y x y n= = − = = + ≤ =×+
1 1 1 1 1 263 1, 1 , , 31 2 2 3 3 91 2 2 3
x y x y n= + = − = + = − + ≤ =× ×+ +
1 1 1 1 1 264 1, 1 , , 41 2 3 4 4 91 2 3 4
x y x y n= +⋅⋅⋅+ = − = +⋅⋅⋅+ = − + ≤ =× ×+ +
1 1 1 1 1 265 1, 1 , , 51 2 4 5 5 91 2 4 5
x y x y n= +⋅⋅⋅+ = − = +⋅⋅⋅+ = − + ≤ =× ×+ +
1 1 1 1 1 266 1, 1 , , 61 2 5 6 6 91 2 5 6
x y x y n= +⋅⋅⋅+ = − = +⋅⋅⋅+ = − + ≤ =× ×+ +
1 1 1 1 1 267 1, 1 , , 71 2 6 7 7 91 2 6 7
x y x y n= +⋅⋅⋅+ = − = +⋅⋅⋅+ = − + ≤ =× ×+ +
1 1 1 1 1 268 1, 1 , , 81 2 7 8 8 91 2 7 8
x y x y n= +⋅⋅⋅+ = − = +⋅⋅⋅+ = − + ≤ =× ×+ +
1 1 1 1 1 269 1, 1 , , 91 2 8 9 9 91 2 8 9
x y x y n= +⋅⋅⋅+ = − = +⋅⋅⋅+ = − + ≥ =× ×+ +此时， 所以满足 所以选 C
9．已知 ，并且 成等差数列，则 的最小值为( )
A．16 B．12 C．9 D．8
【答案】D
【解析】 且 成等差数列，所以 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 的最小值为 8，故选 D。
10．已知点 的坐标 满足不等式 ， 为直线 上任一点，
则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
M (x,y)满足不等式组 的可行域如图：N 为直线 y=−2x+2 上任一点,则|MN|的最
小值,就是两条平行线 y=−2x+2 与 2x+y−4=0 之间的距离： 故选 B
11．已知偶函数 f(x)的导函数为，且满足，当时，，则使得 的 x 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，设函数，则，当 x＞0 时，，所以函数 g（x）在（0，+∞）上单调递增，
1 89 1 2, 1 9 9x y= − = = − = 16
9xy =
0, 0a b> > 1 1,1,a b 9a b+
0, 0a b> > 1 1,1,a b
1 1 2
a b
+ =
1 1 1 1 9 1 99 ( 9 )( ) [10 ( )] 5 2 82 2 2
b a b aa b a b a b a b a b
+ = × + + = × + + ≥ + × ⋅ =
9b a
a b
= 22, 3a b= = 9a b+
M ( , )x y
2 4 0
2 0
3 0
x y
x y
y
+ − ≥
− − ≤
− ≤
N 2 2y x= − +
| |MN
5
5
2 5
5
5
10 5
2 4 0
2 0
3 0
x y
x y
y
+ − ≥
− − ≤
− ≤
2 2
2 4 2 5
51 2
d
− += =
+又 f（x）为偶函数，所以 g（x）为偶函数，又 f（2）＝0，所以 g（2）＝0，故 g（x）在的函
数值大于零，即 f（x）在的函数值大于零．故选：B．
12．如图，正方形 ABCD 内接于圆 ，M,N 分别为
边 AB,BC 的中点，已知点 ，当正方形 ABCD 绕圆心 O 旋
转时， 的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接 OM，由题意圆的半径为 ，则正方形的边长为 2，可得 ，
，设 ，且 ，所以由
由 ，可得 ，所以 ，则
.故选：C.
二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．已知向量 ，若 ，则 _______．
【答案】
【解析】由 可得 .又 ， ，
所以 ，解得 .
14．已知函数 ，若函数 在 的零点个数为 2 个，则当
， 的最大值为________．
【答案】
【解析】因为函数 ，且 时， ；所以当
2 2: 2O x y+ =
( )2,0P
PM ON⋅
[ ]1,1− 2, 2 − [ ]2 2− , 2 2,2 2
−
2 ON OM 1= =
ON OM⊥ NOP α∠ = [ ]α 0,π∈
( ) ( ) ( )PM ON PO OM ON PO ON OM ON PO ON cos 0 2cosπ α π α⋅ = + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ − + = −
[ ]α 0,π∈ ( ) [ ]0,ππ α− ∈ ( ) [ ]cos 1,1π α− ∈ −
( ) [ ]PM ON 2cos 2,2π α⋅ = − ∈ −
( 2,1), (1,3), (3,2)a b c= − = = ( )a b cλ+ ∥ λ =
1−
( 2,1), (1,3),a b= − = ( )2 ,1 3a bλ λ λ+ = − + + (3,2)c = ( )a b cλ+ ∥
( ) ( )3 1 3 =2 2λ λ+ − + = 1λ −
3( ) sin ( )2f x a x a R= − ∈ ( )f x (0 )π，
0, 2x
π ∈
( )f x
3
2a −
3( ) sin ( )2f x a x a R= − ∈ (0, )x π∈ (s n ]i 01x ∈ ， 0a >时， ， 在区间 上单调递增，函数 在 上有且只
有一个零点； 在区间 上单调递减，函数 在 上有且只有一个零
点；所以 ，解得 ；所以 在 上的最大值是 ；
时， 在 上恒成立，函数 无零点，不合题意；综上，
在 上的最大值是 ．
15． 的展开式中仅有第 4 项的二项式系数最大，则该展开式的常数项是_________．
【答案】15
【解析】∵二项式 的展开式中仅有第 4 项的二项式系数最大， ，则
展开式中的通项公式为 ．令 ，求得 ，故展开式中的
常数项为
16．已知双曲线 的左右顶点分别是 ，右焦点 ，过 垂直于 轴
的直线 交双曲线于 两点， 为直线 上的点，当 的外接圆面积达到最小时，点
恰好落在 （或 ）处，则双曲线的离心率是__________．
【答案】
【解析】如下图所示，将 代入双曲线的方程得 ，
得 ，所以点 ，设点 的坐标为 ，
由 的外接圆面积取最小值时，则 取到最大值，
sin 0( ]a x a∈ ， ( )y f x= 0, 2
π
( )f x 0, 2
π
( )y f x= ,2
π π
( )f x ,2
π π
3 02a − > 3
2a > ( )f x 0, 2x
π ∈
3
2 2f a
π = −
0a ≤ 3( ) sin 02f x a x= − < (0, )x π∈ ( )f x
( )f x 0, 2x
π ∈
3
2a −
1 n
x
x
−
1 n
x
x
− 6n∴ =
36 2
1 6 1 rr r
rT C x
−
+ = ⋅ −（ ）
36 02 r− = 4r =
4 2
6 1 15.C （ ）⋅ − =
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > ,A B F F x
l ,M N P l APB∆ P
M N
2
x c= 2 2
2 2 1c y
a b
− =
2by a
= ±
2
, bM c a
P ( ) ( ), 0c t t >
APB∆ APB∠则 取到最大值， ， ，
，
当且仅当 ，即当 时，等号成立，
所以，当 时， 最大，此时 的外接圆面积取最小值，
由题意可得 ，则 ，此时，双曲线的离心率为 ，
三、解答题：共 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 题为必考题，
每个试题考生都必须作答.第 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分
17．（12 分）在 中，内角 所对的边分别为 ， 的面积为 ，已知
，
（1）求角 ；
（2）若 ，求 的取值范围．
【解析】
（1）∵ ， ，
∴ ，
在 中，由余弦定理得 ，
∴ ，
∴ ，
tan APB∠ tan a cAPF t
+∠ = tan c aBPF t
−∠ =
( ) tan tantan tan 1 tan tan
APF BPFAPB APF BPF APF BPF
∠ − ∠∠ = ∠ − ∠ = + ∠ ⋅ ∠
2 2 2
2
2
2 2
1 1 2
c a c a a
a a at t t
c a c a b b bbt tt t t t t
+ −−
= = = ≤ =+ −+ ⋅ + + ⋅
( )2
0bt tt
= > t b=
t b= APB∠ APB∆
2bb a
= 1b
a
=
2
1 2be a
= + =
70 17 ~ 21
22 ~ 23
ABC∆ , ,A B C , ,a b c ABC∆ S
2 2 2 4 3a b c S+ − =
C
2c = 3b a−
1 sin2S ab C= 2 2 2 4 3a b c S+ − =
2 2 2 2 3 sina b c ab C+ − =
ABC∆ 2 2 2 2 cosa b c ab C+ − =
cos 3sinC C=
3tan 3C =∵ ，∴
（2）由正弦定理得
所以
因为 ，所以 ，
所以 ，即 的取值范围为 .
18．如图，边长为 3 的正方形 所在平面与等腰直角
三角形 所在平面互相垂直， ，
且 ， .
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.
【解析】
（Ⅰ）过 作 交 于 ，连接
因为 ， ，所以
又 ，所以 故 ，
所以四边形 为平行四边形，故 ，
而 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
( )0,C π∈
6C
π=
4sin sin sin
a b c
A B C
= = =
3 4 3sin 4sinb a B A− = −
54 3sin 4sin6 A A
π = − −
2 3 2
4 3
cosA sinA
sin A
π
= +
= +
50, 6A
π ∈
7,3 3 6A
π π π + ∈
( ]3 2,4b a− ∈ − 3b a− ( ]2,4−
ABCD
ABE AE AB⊥
2EM MD = 3AB AN=
/ /MN BEC
N ME C− −
M / /MF DC CE F , .MF BF
/ /MF DC 2EM MD= 2/ / .3MF DC
3AB AN= 2/ / .3NB DC / /MF NB
NBFM / /MN BF
BF ⊆ BEC MN ⊄ BEC
/ /MN BEC（Ⅱ）以 为坐标原点， 所在方向为 轴正方向，建立平面直角坐标系，
则 ， ， ，
平面 的法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
不妨设 ，则 ,
所求二面角的余弦值为 .
19．已知抛物线 C：y2=2px（p＞0）的焦点为 F，直线 y=k（x+1）与 C 相切于点 A，|AF|=2．
（Ⅰ）求抛物线 C 的方程；
（Ⅱ）设直线 l 交 C 于 M，N 两点，T 是 MN 的中点，若|MN|=8，求点 T 到 y 轴距离的最小值
及此时直线 l 的方程．
【解析】（Ⅰ）设 A（x0，y0），直线 y=k（x+1）代入 y2=2px，
可得 k2x2+（2k2-2p）x+k2=0，
由△=（2k2-2p）2-4k4=0，解得 p=2k2，解得 x0=1，
由|AF|=1+ =2，即 p=2，
可得抛物线方程为 y2=4x；
（Ⅱ）由题意可得直线 l 的斜率不为 0，设 l：x=my+n，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立抛物线方程可得 y2-4my-4n=0，
△=16m2+16n＞0，y1+y2=4m，y1y2=-4n，
|AB|= • =8，
可得 n= -m2，
=2m， = =2m2+n= +m2
= +m2+1-1≥2 -1=3，
A , .AE AB AD , ,x y z
( )3,0,0E ( )0,1,0N ( )1,0,2M ( )0,3,3C
MEC ( )1,0,1m =
MNE ( )1 1 1, ,n x y z= 0{
0
EN n
EM n
⋅ =
⋅ =
1 1
1 1
3 0{ 2 2 0
x y
x z
− + =
− + =
1 1x = ( )1,3,1n =
2 22cos , 112 11
m nm n m n
⋅= = =
22
11
2
p
21 m+ 216 16m n+
2
4
1 m+
1 2
2
y y+ 1 2
2
x x+ ( )1 2 2
2
m y y n+ +
2
4
1 m+
2
4
1 m+ ( )2
2
41 1m m
+ + 当且仅当 =m2+1，即 m2=1，即 m=±1，
T 到 y 轴的距离的最小值为 3，
此时 n=1，直线的方程为 x±y-1=0..
20．棋盘上标有第 、 、 、 、 站，棋子开始位于第 站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋
游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第 站
或第 站时，游戏结束.设棋子位于第 站的概率为 .
（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币 次后，求棋手所走步数之和 的分布列与数学期望；
（2）证明： ；
（3）求 、 的值.
【解析】（1）由题意可知，随机变量 的可能取值有 、 、 、 .
， ，
， .
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
所以，随机变量 的数学期望为 ；
（2）根据题意，棋子要到第 站，由两种情况，由第 站跳 站得到，其概率为 ，
也可以由第 站跳 站得到，其概率为 ，所以， .
2
4
1 m+
0 1 2 100 0
99
100 n nP
3 X
( )( )1 1
1 1 982n n n nP P P P n+ −− = − − ≤ ≤
99P 100P
X 3 4 5 6
( ) 31 13 2 8P X = = =
( ) 3
1
3
1 34 2 8P X C = = ⋅ =
( ) 3
2
3
1 35 2 8P X C = = ⋅ =
( ) 31 16 2 8P X = = =
X
X 3 4 5 6
P 1
8
3
8
3
8
1
8
X 1 3 3 1 93 4 5 68 8 8 8 2EX = × + × + × + × =
( )1n + n 1 1
2 nP
( )1n − 2 1
1
2 nP − 1 1
1 1
2 2n n nP P P+ −= +等式两边同时减去 得 ；
（3）由（2）可得 ， ， .
由（2）可知，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
，
，
又 ，则 ，
由于若跳到第 站时，自动停止游戏，故有 .
21．已知函数 ， ．
（1）若 在 处取得极值，求 的值；
（2）设 ，试讨论函数 的单调性；
（3）当 时，若存在正实数 满足 ，求证： ．
【解析】（1）解：因为 ，所以 ，
因为 在 处取得极值，
所以 ，解得 ．
nP ( ) ( )1 1 1
1 1 1 1 982 2 2n n n n n nP P P P P P n+ − −− = − + = − − ≤ ≤
0 1P = 1
1
2P = 2 1 0
1 1 3
2 2 4P P P= + =
{ }1n nP P+ − 2 1
1
4P P− = 1
2
−
1 1
1
1 1 1
4 2 2
n n
n nP P
− +
+
∴ − = ⋅ − = −
( ) ( ) ( ) 2 3 99
99 1 2 1 3 2 99 98
1 1 1 1
2 2 2 2P P P P P P P P ∴ = + − + − + + − = + − + − + + −
98
100
1 114 21 2 1112 3 21 2
− − = + = − − −
99
99 98 99
1 1= 2 2P P − − = − 98 99
2 113 2P = +
99 100 98 99
1 1 112 3 2P P = = +
2( ) lnf x x x ax= + − a R∈
( )f x 1x = a
( ) ( ) ( 3)g x f x a x= + − ( )g x
2a = − 1 2,x x 1 2 1 2( ) ( ) 3 0f x f x x x+ + = 1 2
1
2x x+ >
( ) 2lnf x x x ax= + − ( ) 1 1 2f x axx
= + −′
( )f x 1x =
( )1 1 1 2 0f a= + − =′ 1a =验证：当 时， ，
易得 在 处取得极大值．
（2）解：因为 ，
所以 ．
①若 ，则当 时， ，所以函数 在 上单调递增；
当 时， ， 函数 在 上单调递减．
②若 ， ，
当 时，易得函数 在 和 上单调递增，
在 上单调递减；
当 时， 恒成立，所以函数 在 上单调递增；
当 时，易得函数 在 和 上单调递增，
在 上单调递减．
（3）证明：当 时， ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ．
1a = ( ) ( )( )1 2 11 1 2 ( 0)x xf x x xx x
− += + −′ = − >
( )f x 1x =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 23 ln 3 ln 2g x f x a x x x ax a x x ax a x= + − = + − + − = − + −
( ) ( ) ( )( )1 2 11 2 2 ( 0)ax xg x ax a xx x
+ −= − + − = − >′
0a ≥ 10, 2x ∈
( ) 0g x′ > ( )g x 10, 2
1 ,2x ∈ +∞
( ) 0g x′ < ∴ ( )g x 1 ,2
+∞
0a < ( )
( )1 2 1
( 0)
a x xag x xx
+ − ′ = − >
2a < − ( )g x 10, a
−
1 ,2
+∞
1 1, 2a
−
2a = − ( ) 0g x′ ≥ ( )g x ( )0,+∞
2 0a− < < ( )g x 10, 2
1 ,a
− +∞
1 1,2 a
−
2a = − ( ) 2ln 2f x x x x= + +
( ) ( )1 2 1 23 0f x f x x x+ + =
2 2
1 1 1 2 2 2 1 2ln 2 ln 2 3 0x x x x x x x x+ + + + + + =
( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 2 1 2ln 2 3 0x x x x x x x x+ + + + + =
( ) ( )2
1 2 1 2 1 2 1 22 lnx x x x x x x x+ + + = −令 ， ，
则 ，
当 时， ，所以函数 在 上单调递减；
当 时， ，所以函数 在 上单调递增．
所以函数 在 时，取得最小值，最小值为 ．
所以 ，
即 ，所以 或 ．
因为 为正实数，所以 ．
当 时， ，此时不存在 满足条件，
所以 ．
（二）选考题：共 分.请考生在第 题中任选一题作答. 如果多做，那么按照所做的
第一题计分.
22．在平面直角坐标系中，曲线 (α 为参数)经过伸缩变换 得到曲线
C2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求 C2 的普通方程；
(2)设曲线 C3 的极坐标方程为 ，且曲线 C3 与曲线 C2 相交于 M，N 两点，
点 P(1，0)，求 的值．
【解析】（1）由
1 2t x x= ( ) ln ( 0)t t t tϕ = − >
( ) 1 11 ( 0)tt tt t
ϕ −= −′ = >
( )0,1t ∈ ( ) 0tϕ′ < ( ) ln ( 0)t t t tϕ = − > ( )0,1
( )1,t ∈ +∞ ( ) 0tϕ′ > ( ) ln ( 0)t t t tϕ = − > ( )1,+∞
( ) ln ( 0)t t t tϕ = − > 1t = 1
( ) ( )2
1 2 1 22 1x x x x+ + + ≥
( ) ( )2
1 2 1 22 1 0x x x x+ + + − ≥ 1 2
1
2x x+ ≥ 1 2 1x x+ ≤ −
1 2,x x 1 2
1
2x x+ ≥
1 2
1
2x x+ = 1 2 1x x = 1 2,x x
1 2
1
2x x+ >
10 22 ~ 23
1
2cos: 2sin
xC y
α
α
=
= 2
x x
yy
= ′
=′
2 sin 33
πρ θ − =
1 1
| | | |PM PN
+
2 2
1
2cos: 42sin
xC x yy
α
α
= ⇒ + = =，代入 ，得
的普通方程是 ；
（2）由 ，得 的普通方程为 ，
点 在曲线 上，且此直线的倾斜角为 ，
所以 的参数方程为 为参数），
将 的参数方程代入曲线 得 ，
，
.
23．已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若不等式 的解集非空，求 的取值范围.
【解析】（1）当 时， ，无解
当 时，
当 时， ,
综上解集为
（2）原式等价于存在 ，使
, 2
2
x x x x
y y yy
= = ∴ ==
′ ′
′
′ 2 2 4x y+ = 2
2 14
x y
′ ′+ =
2C∴ 2
2 14
x y+ =
2 sin 33
πρ θ − = 3C 3 3 0x y− − =
(1,0)P 3C 060
3C
11 2 (
3
2
x t
t
y t
= +
=
3C 2C 213 4 12 0t t+ − =
1 2 1 2
4 120, , ,13 13t t t t∆ > + = − = −
2
1 2 1 21 2
1 2 1 2 1 2
( ) 4| |1 1 1 1 2 10
| | | | | | | | | || | | | 3
t t t tt t
PM PN t t t t t t
+ −−+ = + = = =
( ) 1 5.f x x x= + − −
( ) 1f x ≥
2( )f x t x x− ≥ − t
1x ≤ − ( ) 6 1f x = − ≥
1 5x− < < ( ) 5 52 4 1, , 52 2f x x x x= − ≥ ≥ ∴ ≤ <
5x ≥ ( ) 6 1, 5f x x= > ∴ >
5 ,2
+∞
x R∈ ( ) 2f x x x t− + ≥成立，即 设 ,
由（1）知
当 时， ，其开口向下，对称轴为 >-1,所以 g(x)≤g(-1)=-8,
当-1
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