2020 届模拟 04
理科数学
测试范围：学科内综合．共 150 分，考试时间 120 分钟
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．）
1．已知全集 是不大于 5 的自然数集， ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数 在复平面内对应的点分别为 ，则复数 的共轭复数的
虚部为 （ ）
A． B． C． D．
3．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、
清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为
三 丈 一 尺 五 寸 ， 前 九 个 节 气 日 影 之 和 为 八 丈 五 尺 五 寸 ， 问 芒 种 日 影 长 为
（ ）
A．一尺五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸
4．执行如图所示程序框图输出的 值为 （ ）
A． B． C． D．
5．已知函数 的定义域为 ，满足：①对任意 ，都有 ，②对任意
U 2{ | 3 4 0}A x x x= ∈ − −N ≤ 3{ |1 log 2}B x U x= ∈ < ≤
( )UA B =
{ }1,2,3 { }0,1,2,3 { }4 { }5
1 2,z z ( 1,2),(1,1)− 1
2
z
z
3
2
3
2
− 1
2
1
2
−
S
20
21
19
21
215
231
357
506
( )f x D x D∈ ( ) ( ) 0f x f x+ − =且 ，都有 ，则函数 叫“成功函数”，下列
函数是“成功函数”的是 （ ）
A． B．
C． D．
6．某研究员为研究某两个变量的相关性，随机抽取这两个变量样本数据如下表:
0.04 1 4.84 10.24
1.1 2.1 2.3 3.3 4.2
若依据表中数据画出散点图，则样本点 都在曲线 附近波动.但
由于某种原因表中一个 值被污损，将方程 作为回归方程，则根据回归方程
和 表 中 数 据 可 求 得 被 污 损 数 据 为
（ ）
A． B．1.69 C．1.96 D．4.32
7．已知变量 满足约束条件 ，若 恒成立，则实数 的最大值
为 （ ）
A．40 B．9 C．8 D．
8．已知 是双曲线 的左、右焦点， 是双曲线 右支上一点，
是线段 的中点， 是坐标原点，若 周长为 （ 为双曲线的半焦距），
，则双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
9．某简单组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）
A． B． C． D．
1 2,x x D∈ 1 2x x≠ 1 2 1 2( )[ ( ) ( )] 0x x f x f x− − > ( )f x
( ) tanf x x= ( ) sinf x x x= +
2( ) ln 2
xf x x
−= + ( ) x xf x e e−= −
ix
iy
( , )( 1,2,3,4,5)i ix y i = 1y x= +
x 1y x= +
1y x= +
4.32−
,x y
2
2 4 0
2 4 0
x y
x y
x y
+
− +
− −
≥
≥
≤
2 2 2x y x k+ + ≥ k
7
2
1 2,F F
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yE a ba b
− = > > P E
M 1F P O 1OF M△ 3c a+ c
1 3F MO
π∠ = E
2y x= ± 1
2y x= ± 2y x= ± 2
2y x= ±
16 4π+ 48 4π+ 48 12π+ 48 16π+10．在四棱锥 中， 是边长为 6 的正三角形， 是正方形，平面
平面 ，则该四棱锥的外接球的体积为 （ ）
A． B． C． D．
11．在 中，曲线 上动点 满足 ， , ，若
曲 线 与 直 线 围 成 封 闭 区 域 的 面 积 为 ， 则
（ ）
A． B． C． D．
12 ． 若 （ ） 恰 有 1 个 零 点 ， 则 实 数 的 取 值 范 围 为
（ ）
A． B． C D．
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在题中的横线上．）
13．已知 展开式的各项系数和为 128，则展开式中含 项的系数为 .
14．在梯形 中， , , , ， , ，
则向量 = .
15．已知函数 图象相邻的一个最大值点和一个对称中
心分别为 ，则 在区间 的值域为 .
16．已知直线 与抛物线 自下到上交于 ， 是抛物线 准线与直线 的交点，
是抛物线 的焦点，若 ，则以 为直径的圆的方程为 .
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（12 分）已知数列 前 项和为 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
A BCDE− ABC△ BCDE ABC ⊥
BCDE
21 21π 84π 7 21π 28 21π
DEF△ P Q 3 (1 )3 4DQ DF DE
λ λ= + − 4DE = 9cos 16D =
P ,DE DF 15 7
16
sin E =
3 7
8
1
8
7
4
3
4
( ) ln (1 )lnf x ax x e a x x= + − − 1x > a
[0,+ )∞ 1{0} [ , )4
+∞ ( , )e +∞ (0,1) (1, )+∞
2( 2)nx y− + 4 3x y
ABCD //AD BC 0AB BC⋅ = | | 2AB = | | 4BC = AC BD E= AC BD⊥
AE CD⋅
( ) sin( )f x A xω φ= + ( 0, 0,| | )2A
πω φ> > <
5( ,2),( ,0)6 12
π π ( ) ( )cos2g x f x x= [0, )4
π
l 2: 4G y x= ,A B C G l
F G 2AC AF= − AB
{ }na n 1 1
3, 2, ( 1)( 2)n n n nS a S S n an+= = + + +
{ }na
{ }na n nS18．（12 分）中国在欧洲的某孔子学院为了让更多的人了解中国传统文化，在当地举办了一
场由当地人参加的中国传统文化知识大赛，为了了解参加本次大赛参赛人员的成绩情况，
从参赛的人员中随机抽取 名人员的成绩（满分 100 分）作为样本，将所得数据进行分析整
理后画出频率分布直方图如下图所示，已知抽取的人员中成绩在[50,60)内的频数为 3.
（1）求 的值和估计参赛人员的平均成绩（保留小数点后两位有效数字）；
（2）已知抽取的 名参赛人员中，成绩在[80,90)和[90,100]女士人数都为 2 人，现从成绩在
[80,90)和[90,100]的抽取的人员中各随机抽取 2 人，记这 4 人中女士的人数为 ，求 的分
布列与数学期望.
n
n
n
X X19．（12 分）在多面体 中， 为菱形， ， 为正三角形.
（1）求证： ；
（2）若平面 平面 ，求直线 与平面 所成的角的正弦值.
ABCDE ABCD 3DCB
π∠ = BCE△
DE BC⊥
ABCD ⊥ BCE AE CDE20．（12 分）已知 是椭圆 的左、右焦点，离心率为 ，
是平面内两点，满足 ，线段 的中点 在椭圆上， 周长为 12.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若与圆 相切的直线 与椭圆 交于 ，求 （其中 为坐标原点)
的取值范围.
1 2,F F
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1
2
,M N
1 22F M MF= −
1NF P 1F MN△
C
2 2 1x y+ = l C ,A B OA OB⋅ O21．（12 分）已知 .( ) sinxf x e ax x= − +（1）若函数 在点 的切线与圆 相切，求实数 的值.
（2）已知 ，当 时 ，求实数 的取值范围.
( )f x (0, (0))f 2 2 1x y+ = a
( ) ln( 1) 1g x x= + + 0x≥ ( ) ( )f x g x≥ a请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清
题号．
22．（10 分）选修 4—4 坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以原点为极点， 轴非负半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，
曲线 的极坐标方程为 ，直线 过点 ，倾斜角为 .
（1）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程，写出直线 的参数方程的标准形式；
（2）已知直线 交曲线 于 两点，求 .
x
C 2 24
7 cos2
ρ θ= − l (1,0) 3
4
π
C l
l C ,A B | |AB23．（10 分）选修 4—5 不等式选讲
（1）已知函数 ，当 时， 恒成立，求实数 的最小
值.
（2）已知正实数 满足， ，求 的最小值.
( ) | 2 1| | 2|f x x x= + + − 2 3x− ≤ ≤ ( )f x m≤ m
,a b a b ab+ = 2 2a b+2020 届模拟 04 理科数学答案与解析
1．【答案】B【解析】由题可知， , ， ，则 ，故选
B.
2．【答案】B【解析】由题知， ，所以 ，其共轭复数
为 ，故虚部为 ，故选 B.
3 ． 【 答 案 】 B 【 解 析 】 由 题 知 各 节 气 日 影 长 依 次 成 等 差 数 列 ， 设 为 ， 是 其 前 项 和 ， 则
尺，所以 尺，由题知 ，所以 ，所以公差
，所以 尺，故选 B.
4．【答案】D【解析】由程序框图知，输出
，故选 D.
5．【答案】B【解析】由任意 ，都有 知 是奇函数，由任意 且 ，都
有 知 是增函数，因为 在定义域上是奇函数，但在定义域上不是单
增函数，故 A 错；因为 是奇函数， ，所以在定义域上是增函数，故 B 正
确；由增性排除 C,D.故选 B.
6．【答案】C【解析】设缺失的数据为 ，则样本 数据如下表所示：
0.2 1 2.2 3.2
1.1 2.1 2.3 3.3 4.2
其回归直线方程为 ，由表中数据额可得， ，由线性回归方程
得， ，即 ，解得 .故选 C.
7．【答案】D【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，设 表示可行域内点
与点 距离的平方减去 1，由题知 ，过 作直线 的垂线，由图可知，垂足
在线段 上，因为点 到直线的 的距离 ，所以 ，故选
D.
8 ． 【 答 案 】 C 【 解 析 】 连 接 ， 因 为 是 线 段 的 中 点 ， 由 三 角 形 中 位 线 定 理 知
， 由 双 曲 线 定 义 知 ， 因 为 周 长 为
，所以 ，
{ }0,1,2,3,4,5U = { }0,1,2,3,4A = { }4,5B = { }( ) 0,1,2,3UA B =
1 21 2i, 1 iz z= − + = + 1
2
1 2i ( 1 2i)(1 i) 1 3 i1 i (1 i)(1 i) 2 2
z
z
− + − + −= = = ++ + −
1 3 i2 2
− 3
2
−
{ }na nS n
1 9
9 5
9( ) 9 85.52
a aS a
+= = = 5 9.5a = 1 4 7 43 31.5a a a a+ + = = 4 10.5a =
5 4 1d a a= − = − 12 5 7 2.5a a d= + =
1 1 1 1
1 3 2 4 3 5 21 23S = + + + +× × × ×
1 1 1 1 1 1[(1 ) ( ) ( )2 3 2 4 3 5
= − + − + − + +
1 1 1 1 1 1 357( )] 1 )21 23 2 2 22 23 506
− = + − − =（
x D∈ ( ) ( ) 0f x f x+ − = ( )f x 1 2,x x D∈ 1 2x x≠
1 2 1 2( )[ ( ) ( )] 0x x f x f x− − > ( )f x ( ) tanf x x=
( ) sinf x x x= + ( ) 1 cos 0f x x′ = + ≥
, ( 1,2,3,4,5)i ix m x i= = ( , )i im y
im
iy
ˆ 1y m= + 1 1.1 2.1 2.3 3.3 4. 2.65 2y = + + + + =（ ）
ˆ 1y m= + 1.6m = 1 0.2 1 2.2 3.2 =1.65 x+ + + +（ ） 1.96x =
2 2 2 22 ( 1) 1z x y x x y= + + = + + −
( , )P x y ( 1,0)A − minzk≤ A 2 0x y+ − =
BC A 2 0x y+ − =
2 2
| 1 0 2 | 3 2
21 1
− + − =
+
2
min
3 2 7( ) 12 2z = − =
2PF M 1F P
2 2
1| | | |, //2OM PF OM PF= 1 2| | | | 2PF PF a− = 1OF M△
1 1 1 2
1 1| | | | | | | | | | 32 2OF OM F M c PF PF c a+ + = + + = + 1 2| | | | 6PF PF a+ =解得 ，在 中，
由余弦定理得 ，
即 ，整理得， ，所以 ，所以双曲线 的
渐近线方程为 ，故选 C.
9．【答案】A【解析】由三视图知，该三视图对应的几何体为如图所示的四棱锥 和一个底面半径
为 4 高为 3 的四分之一圆锥组成的组合体，四棱锥可以看成是以两直角边分别为 的直角三角形为底面，
高 为 4 的 棱 柱 截 去 一 个 体 积 为 棱 柱 体 积 的 棱 锥 得 到 的 ， 故 该 几 何 体 的 体 积 为
，故选 A.
第 9 题图 第 10 题图 第 12 题图
10．【答案】D【解析】取 BC 的中点为 ， 分别是正三角形 ABC 的中心和正方形 BCDE 的中心，O 是
该四棱锥外接球的球心，连接 ，则 N 在线段 AM 上，OF⊥平面 BCDE，ON⊥平面
ABC，OM⊥BC，AM⊥BC，MF⊥BC，所以∠AMF 为二面角 A—BC—D 的平面角，因为平面 ABC⊥平面
BCD，所以 AM⊥MF，又 ，所以 ，所以四边形 OEMF 为矩形，所以
，在直角三角形 OMB 中，球半径 ，所以外接球的体积
为 ，故选 D.
11．【答案】A【解析】设 ，则 在直线 上，且 ， ，
由 知， ，所以点 在直线 上，故曲线 与直线
围 成 封 闭 区 域 就 是 ， 由 得 ， ， 所 以
，解得 ，所以 ，由余弦定理知，
，解得 ，
由正弦定理得， ，所以 ，故选 A.
B．【答案】B【解析】由 恰有 1 个零点，方程
恰有 1 个解，即方程 恰有 1 个解，即函数 的图象与直线
1 2| | 4 ,| | 2PF a PF a= = 1 2PF F△
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2| | | | | | 2 | || | cosF F PF PF PF PF F PF= + − ∠
2 2 2(2 ) (4 ) (2 ) 2 4 2 cos 3c a a a a
π= + − × × 2 23c a= 2 2 2 22b c a a= − = E
2y x= ±
P ABCD−
3,4
1
3
22 1 1 14 3 4 4 3 16 43 2 4 3
π π× × × × + × × × = +
M ,N F
, , , , ,AM FM OF ON OM OB
3 3, 3AM MF= = 1 33NM AM= =
2 3OM = 2 2 2 2(2 3) 3 21OB OM BM= + = + =
34π( 21) 28 21π3
=
3 1,4 3DB DE DA DF= = ,B A ,DE DF 3| | | | 34DB DE= = 1| | | |3DA DF=
3 (1 )3 4DQ DF DE
λ λ= + − (1 )DQ DA DBλ λ= + − Q AB P ,DE DF
DAB△ 9cos 16D = 5 7sin 16D = 1 | || | sin2DABS DA DB D=△
1 5 7 15 7| | 32 16 16DA= × × = | | 2DA = | | 6D F =
2 2 2 2 2 9| | | | | | 2 | || | cos 4 6 2 4 6 2516EF DE DF DE DF D= + − = + − × × × = | | 5EF =
| | | |
sin sin
DF EF
E D
=
5 76| | sin 3 716sin | | 5 8
DF DE EF
×
= = =
( ) ln (1 )lnf x ax x e a x x= + − − ( 1)x > ln (1 )ln 0ax x e a x x+ − − =
( 1)x > ( )ln
x a x e ex
= − + ( 1)x > ( ) ln
xg x x
= ( 1)x >在 上恰有 1 个交点，因为 ，当 时， ，当
时， ，所以 在区间 上都是减函数，在 是增函数，当 时， 取极小值 ，
直线 过点 ，斜率为 ，显然 是函数 的图象与直线
的一个交点，这两个图象不能有其他交点，作出函数 与 的图象，由图
可 知 ， 当 时 ， 直 线 应 在 函 数 （ ） 的 图 象 上 方 ， 设
，
即 恒成立，因为 , 只需 为减函数，所以 ，
即 恒成立，设 ，设 ，则 ，
，当且仅当 ，即 ，即 ，
即 时， ，所以 ，当 时，直线 与 相切，也适合，
故满足题意 的取值范围为 ，故选 B.
13．【答案】 【解析】令 得， ，解得 ，将 看成 7 个 相乘，
要得到含 项，则这 7 个因式中 2 个因式取 ，余下 5 个因式中 3 个取 ，余下 2 个因式取 2，所以
含 项的系数为 .
14．【答案】 【解析】由 知， ，以 为原点，以向量 分别为 轴的正方向
建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， 则 ， 设 ， 则 ， 所 以
， 解 得 ， 所 以 ， 设 ， 所 以 ， 所 以
， 因 为 在 上 ， 所 以 ， 所 以 ， 解 得 ， 所 以
， ，所以 .
15 ． 【 答 案 】 【 解 析 】 由 题 知 ， ， ， 所 以 ， 解 得 ， 由
， ， 解 得 ， 所 以 ， 所 以
，
( )y a x e e= − + ( 1)x > (1, )+∞
2
ln 1( ) ln
xg x x
−′ = 1 x e< < ( ) 0g x′ ＜ x e>
( ) 0g x′ ＞ ( )g x (1, )e ( , )e +∞ x e= ( )g x ( )g e e=
( )y a x e e= − + ( , )e e a ( , )e e ( ) ln
xg x x
= ( 1)x > ( )y a x e e= − +
( 1)x >
ln
xy x
= ( 1)x > ( )y a x e e= − +
x e＞ ( )y a x e e= − + ( ) ln
xg x x
= 1x >
( ) ( ) ( )ln
xx a x e e x ex
ϕ = − − − >
( ) 0xϕ < ( ) 0eϕ = ∴ ( )xϕ
2
ln 1( ) 0ln
xx ax
ϕ −′ = − ≤
2
ln 1
ln
xa x
−≥ 2
ln 1( ) ( )ln
xm x x ex
−= > ln 1t x= − 0t >
2
1 1 1( ) 1( 1) 412 2 2
tm t t t tt t
= = =+ + + × +
≤ 1t t
= 1t = ln 1 1x − =
2x e= max
1[ ( )] 4m t = 1
4a≥ 0a = ( )y a x e e= − +
ln
xy x
= ( 1)x >
a 1{0} [ , )4
+∞
840− 1x y= = 2 128n = 7n = 2 7( 2)x y− + 2 2x y− +
4 3x y 2x y−
4 3x y 2 3 3 2
7 5 ( 1) 2 840C C − × = −
16
5
− 0AB BC⋅ = AB BC⊥ B ,BC BA ,x y
(0,2), (0,0), (4,0)A B C ( ,2)D a ( ,2), ( 4,2)BD a CA= = −
4 4 0BD AC a⋅ = − + = 1a = (1,2)D ( ,2 )BE BDλ λ λ= = ( ,2 )E λ λ
( ,2 2)AE λ λ= − E AC //AE AC 2 4(2 2) 0λ λ+ − = 4
5
λ =
4 2,5 5AE = （ - ） ( 3,2)CD = − 16
5CD AE⋅ = −
3(0, ]2 2A = 5
4 12 6 4
T π π π= − = 2T
ππ ω= = 2ω =
2sin(2 ) 26
π φ× + = | | 2
πφ <
6
πφ = ( ) 2sin(2 )6f x x
π= +
2( ) ( )cos2 2sin(2 )cos2 3sin 2 cos2 cos 26g x f x x x x x x x
π= = + = + 3 1 1sin 4 cos42 2 2x x= + + 1sin(4 )6 2x
π= + +因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以
在区间 的值域为 .
16 ． 【 答 案 】 【 解 析 】 因 为 ， 所 以 焦 点 在 直 线 上 ， 且
， 过 作 抛 物 线 准 线 的 垂 线 ， 垂 足 为 ， 由 抛 物 线 定 义 知 ， ， 所 以
，所以 ，即直线 的倾斜角为 ，所以直线 方程为 ，代入
整理得， ，设 ，线段 的中点坐标为 ，则 ，
所以 ， ， ，所以以 为直径的圆的方程为
.
17．【解析】
（1）由题知 = ，即 ，
即 ，（2 分）
， ，
数列 是首项为 3，公比为 3 的等比数列，（4 分）
， ；（6 分）
（2）由（1）知， ，
，（7 分）
设 ， ①
②
①-②得， ，
， ，（11 分）
0 4x
π ∴ 1 1 1a b
+ =
∴ 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 1( )( ) 2 2( ) 2 2 4 8b a b a b a b aa b a b a b a b a b a b a b
+ = + + = + + + + + × + × =≥
2 2
2 2
a b
b a
= b a
a b
= a b= 2 2a b+
∴ 2 2a b+
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