分式方程
易错清单
1. 解分式方程时为什么容易出错?
【例 1】 (2014·新疆)解分式方程:+=1.
【解析】 先将分式方程转换为整式方程,再求出整式方程的解,最后检验后判定分式方程
解的情况.
【答案】 方程两边都乘以(x+3)(x-3),得 3+x(x+3)=x2-9,
去括号,得 3+x2+3x=x2-9,
解得 x=-4.
检验:把 x=-4 代入(x+3)(x-3)≠0,
∴ x=-4 是原分式方程的解.
【误区纠错】 最简公分母找错,加重计算负担,导致出错;在计算中,注意常数项要乘以最
简公分母,不要漏乘.
【例 2】 (2014·内蒙古呼和浩特)解方程:-=0.
【解析】 先去分母,化为整式方程求解即可.本题最简公分母是 x(x+2)(x-2).
【答案】 去分母,得 3x-6-x-2=0,
解得 x=4,
经检验,x=4 是原方程的根,
故 x=4 是原方程的解.
【误区纠错】 解分式方程产生增根,忘记验根.
【例 3】 (2014·贵州黔西南州)解方程:=.
【解析】 将分式方程转化为整式方程时易产生增根,所以要检验,检验时只要代入最简公
分母中即可.
【答案】 方程两边都乘以(x+2)(x-2),得 x+2=4,
解得 x=2,
经检验,x=2 不是分式方程的解,故原分式方程无解.
【误区纠错】 增根不是分式方程的根,本题学生常犯错误是,漏写最后一句话:“原分式方
程无解”.
2. 运用分式方程解决实际问题时,关键是找出等量关系.【例 4】 (2014·云南)“母亲节”前夕,某商店根据市场调查,用 3000 元购进第一批盒装
花,上市后很快售完,接着又用 5000 元购进第二批这种盒装花.已知第二批所购花的盒数是
第一批所购花盒数的 2 倍,且每盒花的进价比第一批的进价少 5 元.求第一批盒装花每盒的
进价是多少元?
【解析】 设第一批盒装花的进价是 x 元/盒,则第一批进的数量是,第二批进的数量是,再
根据等量关系:第二批进的数量=第一批进的数量×2,可得方程.
【答案】 设第一批盒装花的进价是 x 元/盒,
由题意,得 2×=,
解得 x=30.
经检验,x=30 是原方程的根.
故第一批盒装花每盒的进价是 30 元.
【误区纠错】 题目中的相等关系不明显,倍数关系易出错,学生找不到相等关系而无法得
到对应的分式方程.运用分式方程解决实际问题的关键是确定问题中的相等关系.
名师点拨
1. 会利用分式方程的定义判断分式方程.
2. 能利用最简公分母将分式方程化为整式方程,会利用换元思想解分式方程.
3. 会利用检验思想判断分式是否存在增根.
4. 会利用分式方程解决实际问题,并且注意求出的方程的解是否存在实际意义.
提分策略
1. 分式方程的解法.
解分式方程常见的误区:(1)忘记验根;(2)去分母时漏乘整式的项;(3)去分母时,没有注意符
号的变化.
【例 1】 解方程:+=1.
【解析】 根据解分式方程的一般步骤,将分式方程化为整式方程求解,最后再验根即可.
【答案】 方程两边都乘以(x+2)(x-2),得 2+x(x+2)=x2-4,
去括号,得 2+x2+2x=x2-4,
解得 x=-3.
检验:把 x=-3 代入(x+2)(x-2)≠0,
∴ x=-3 是原分式方程的解.
2. 利用分式方程解决实际问题.列分式方程解决实际问题,是近几年中考的热点问题.在列方程之前,应先弄清问题中的已知
数与未知数,以及它们之间的数量关系,用含未知数的式子表示相关量,然后再用题中的主要
相等关系列出方程.求出解后,必须进行检验,既要检验是否为所列方程的解,又要检验是否
符号题意.
【例 2】 几个小伙伴打算去音乐厅观看演出,他们准备用 360 元购买门票.下面是两
个小伙伴的对话:
根据对话的内容,请你求出小伙伴们的人数.
【解析】 设票价为 x 元,根据图中所给的信息可得小伙伴的人数为,根据小伙伴的人数不
变,列方程求解.
【答案】 设票价为 x 元,
由题意,得=+2,
解得 x=60,
经检验,x=60 是原方程的根,
则小伙伴的人数为=8.
故小伙伴们的人数为 8 人.
专项训练
一、 选择题
1. (2014·四川简阳模拟)全民健身活动中,组委会组织了长跑队和自行车队进行宣传,全程
共 10 千米,自行车队的速度是长跑队速度的 2.5 倍,自行车队出发半小时后,长跑队才出发,
结果长跑队比自行车队晚到了 2 小时,如果设长跑队跑步的速度为 x 千米/时,那么根据题意
可列方程为( ).
A. +2=+0.5 B. -=2-0.5
C. -=2-0.5 D. -=2+0.5
2. (2013·广西钦州四模)将分式方程 1-=去分母,整理后得( ).
A. 8x+1=0 B. 8x-3=0
C. x2-7x+2=0 D. x2-7x-2=0二、 填空题
3. (2014·四川峨眉山二模)已知某项工程由甲、乙两队合做 12 天可以完成,乙队单独完成
这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的 2 倍少 10 天.甲、乙两队单独完成这
项工程分别需要多少天?设甲队单独完成需 x 天,根据题意列出的方程是 .
4. (2014·北京平谷区模拟)A,B 两种机器人都被用来搬运化工原料,A 型机器人比 B 型机器
人每小时多搬运 20 千克,A 型机器人搬运 1000 千克所用时间与 B 型机器人搬运 800 千克所
用时间相等,则 A 型机器人每小时搬运 千克化工原料.
5. (2014·甘肃天水模拟)已知分式值为 0,那么 x 的值为 .
6. (2013·广东珠海一模)方程=的解是 .
7. (2013·浙江锦绣·育才教育集团一模)已知关于 x 的方程=5 的解是正数,则 m 的取值范
围为 .
三、 解答题
8. (2014·宁夏银川外国语学校模拟)解方程:-1=.
9. (2014·安徽安庆一模)甲、乙两个工程队都有能力承包一项筑路工程,乙队单独完成的时
间比甲队单独完成多 5 天,若先由甲、乙两队合作 4 天后,余下的工程再由乙队单独完成,一
共所用时间和甲队单独完成的时间恰好相等.则甲、乙两队单独完成此项任务各需要多少天?
10. (2014·江苏南京二模)某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动,刘老师从少年宫带
回来两条信息:
信息一:按原来报名参加的人数,共需要交费用 320 元,如果参加的人数能够增加到原来人数
的 2 倍,就可以享受优惠,此时只需交费用 480 元;
信息二:如果能享受优惠,那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少 4 元.
根据以上信息,原来报名参加的学生有多少人?11. (2013·浙江湖州模拟)解方程:+=2.
12. (2013·上海长宁区二模)解方程:-=.
13. (2013·广东惠州惠城区模拟)小红家星期六到惠东巽寮湾游玩,从家到目的地全程 80km,
由于周末车流量较大,实际行驶速度是原计划的,结果实际比原计划多用了 15 分钟,求原计
划的行驶速度是多少.
14. (2013·安徽芜湖一模)2012 年 3 月 25 日央视《每周质量播报》报道“毒胶囊”的事件
后,全国各大药店的销售都受到不同程度的影响,4 月初某种药品的价格大幅度下调,下调后
每盒价格是原价格的,原来用 60 元买到的药品下调后可多买 2 盒.4 月中旬,各部门加大了
对胶囊生产监管力度,因此,药品价格 4 月底开始回升,经过两个月后,药品上调为每盒 14.4
元.
(1)问该药品的原价格是多少,下调后的价格是多少?
(2)问 5,6 月份药品价格的月平均增长率是多少?
参考答案与解析
1. C [解析]自行车队的时间减去长跑队的时间=(2-0.5)小时.2. D [解析]去分母,得 x(x+1)-(5x+2)=3x,去括号,得 x2+x-5x-2=3x,整理,得 x2-7x-2=0.
3. += [解析]若甲队单独完成需 x 天,则乙队单独完成需(2x-10)天,根据两人合作的工作效
率等于,可列出方程.
4. 100 [解析]设 A 型机器人每小时搬运化工原料 x 千克,则 B 型机器人每小时搬运(x-20)
千克.
依题意,得=,
解得 x=100.
经检验,x=100 是方程的解且符合实际意义.
5. -1 [解析]根据题意,得 x2+3x+2=0,解得 x1=-1,x2=-2(使分母等于零,所以舍去).
6. x= [解析]化为整式方程,得 5(2-x)=3(x+2),解得 x=. 经检验,x=是原方程的根.
7. m>-10 且 m≠-4 [解析]原方程化为整式方程,得 2x+m=5x-10,解得 x=(10+m),因为解为正
数,所以(10+m)>0,解得 m>-10. 同时要保证分母不为零,所以 m≠-4.
8. 去分母,得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=2x(x-1),
整理,得 2x2-3x-2=0,
解得 x1=-,x2=2.
检验:把 x1=-,x2=2 代入(x-1)(x+2)≠0,
∴ 原方程的根是 x1=-,x2=2.
9. (1)设甲队单独完成此项任务需要 x 天,则乙队单独完成此项任务需要(x+5)天.
根据题意,得 4+=1,
去分母,得 4(x+5)+4x+x(x-4)=x(x+5).
解得 x=20.
经检验,x=20 是原方程的解,
则 x+5=25(天).
所以甲队单独完成此项任务需要 20 天,乙队单独完成此项任务需要 25 天.
10. 设原来报名参加的学生有 x 人,
依题意,得-=4.
解得 x=20.
经检验,x=20 是原方程的解且符合题意.
故原来报名参加的学生有 20 人.
11. 去分母,得 x-1=2(x-3),去括号,得 x-1=2x-6,
解得 x=5.
经检验,x=5 是原方程的根.
12. 去分母,得 3(x+1)-(x-1)=x(x+5),
整理,得 x2+3x-4=0,
解得 x1=1,x2=-4.
经检验,x1=1 是原方程的增根,x2=-4 是原方程的根,
∴ x=-4 是原方程的根.
13. 设原计划的行驶速度为 x 千米/小时.
根据题意,得-=.
解得 x=80.
经检验,x=80 是原方程的解.
故原计划的行驶速度为 80 千米/小时.
14. (1)设该药品的原价格是 x 元/盒,则下调后每盒价格是 x 元/盒.
根据题意,得=+2,解得 x=15.
经检验,x=15 是原方程的解.
∴ x=15,x=10.
故该药品的原价格是 15 元/盒,则下调后每盒价格是 10 元/盒.
(2)设 5,6 月份药品价格的月平均增长率是 a.
根据题意,得 10(1+a)2=14.4,
解得 a1=0.2=20%,a2=-2.2(不合题意,舍去).
故 5,6 月份药品价格的月平均增长率是 20%.