中考数学常考易错点解析：4.4 多边形与平行四边形

4.4 多边形与平行四边形 易错清单 1. 平行四边形的性质. 【例 1】　(2014·湖南益阳)如图,平行四边形 ABCD 中,E,F 是对角线 BD 上的两点,如果添 加一个条件使△ABE≌△CDF,则添加的条件不能是(　　). A. AE=CF B. BE=FD C. BF=DE D. ∠1=∠2 【解析】　A.当 AE=CF 无法得出△ABE≌△CDF,故此选项符合题意; B. 当 BE=FD, ∵　平行四边形 ABCD, ∴　AB=CD,∠ABE=∠CDF. 在△ABE 和△CDF 中, ∴　△ABE≌△CDF(SAS),故此选项错误; C. 当 BF=ED, ∴　BE=DF. ∵　平行四边形 ABCD, ∴　AB=CD,∠ABE=∠CDF. 在△ABE 和△CDF 中, ∴　△ABE≌△CDF(SAS),故此选项错误; D. 当∠1=∠2, ∵　平行四边形 ABCD, ∴　AB=CD,∠ABE=∠CDF. 在△ABE 和△CDF 中,∴　△ABE≌△CDF(ASA),故此选项错误; 【答案】　A 【误区纠错】　此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识,熟练掌握 全等三角形的判定方法是解题关键.注意平行四边形对角线互相平分. 2. 平行四边形的判定. 【例 2】　(2014·云南)如图,在平行四边形 ABCD 中,∠ C=60°,M,N 分别是 AD,BC 的中 点,BC=2CD. (1)求证:四边形 MNCD 是平行四边形; (2)求证:BD=MN. 【解析】　(1)根据平行四边形的性质,可得 AD 与 BC 的关系,根据 MD 与 NC 的关系,可得证 明结论; (2)根据根据等边三角形的判定与性质,可得∠DNC 的度数,根据三角形外角的性质,可得∠ DBC 的度数,根据正切函数,可得答案. 【答案】　(1)∵　ABCD 是平行四边形, ∴　AD=BC,AD∥BC. ∵　M,N 分别是 AD,BC 的中点, ∴　MD=NC,MD∥NC. ∴　四边形 MNCD 是平行四边形. (2)如图,连接 ND, ∵　四边形 MNCD 是平行四边形, ∴　MN=DC. ∵　N 是 BC 的中点,∴　BN=CN. ∵　BC=2CD,∠C=60°, ∴　△NCD 是等边三角形. ∴　ND=NC,∠DNC=60°. ∵　∠DNC 是△BND 的外角, ∴　∠NBD+∠NDB=∠DNC. ∵　DN=NC=NB, 【误区纠错】　本题考查了平行四边形的判定与性质,利用了一组对边平行且相等的四边形 是平行四边形,等边三角形的判定与性质,正切函数.但是要注意一组对边平行,另一组对边 相等的四边形不一定是平行四边形,例如等腰梯形. 名师点拨 　1. 掌握多边形内角和公式(n-2)·180°及外角和均为 360°这个特征. 2. 会利用平行四边形性质定理及判定定理,能说出两者的区别与联系. 名师点拨 　1. 掌握多边形内角和公式(n-2)·180°及外角和均为 360°这个特征. 2. 会利用平行四边形性质定理及判定定理,能说出两者的区别与联系. 提分策略 1. 综合运用平行四边形的性质与判定解决问题. 由于平行四边形的对边相等、对角相等,所以利用平行四边形的性质可以探索与证明边角相 等的问题,解决此类问题时,一般先判定一个四边形是平行四边形,然后利用其性质得到结论. 【例 1】　如图,在平行四边形 ABCD 中,E、F 分别在 AD、BC 边上,且 AE=CF.求证: (1)△ABE≌△CDF; (2)四边形 BFDE 是平行四边形.【解析】　(1)由四边形 ABCD 是平行四边形,根据平行四边形的对边相等,对角相等的性质, 即可证得∠A=∠C,AB=CD,又由 AE=CF,利用 SAS,即可判定△ABE≌△CDF. (2)由四边形 ABCD 是平行四边形,根据平行四边形对边平行且相等,即可得 AD∥BC,AD=BC. 又由 AE=CF,即可证得 DE=BF.根据对边平行且相等的四边形是平行四边形,即可证得四边形 BFDE 是平行四边形. 【答案】　(1)∵　四边形 ABCD 是平行四边形, ∴　∠A=∠C,AB=CD. 在△ABE 和△CDF 中, ∵　AB=CD,∠A=∠C,AE=CF, ∴　△ABE≌△CDF(SAS). (2)∵　四边形 ABCD 是平行四边形, ∴　AD∥BC,AD=BC. ∵　AE=CF, ∴　AD-AE=BC-CF, 即　DE=BF. ∴　四边形 BFDE 是平行四边形. 2. 平行四边形的判定. 利用平行四边形的性质研究三角形的全等,以及等腰三角形的判定等,也可为了证明一个四 边形是平行四边形,先证明两个三角形全等,为进一步证明四边形是平行四边形提供条件. 【例 2】　(2014·甘肃白银)D,E 分别是不等边三角形 ABC(即 AB≠BC≠AC)的边 AB,AC 的中 点.O 是△ABC 所在平面上的动点,连接 OB,OC,点 G,F 分别是 OB,OC 的中点,顺次连接点 D,G,F,E.如图,当点 O 在△ABC 的内部时,求证:四边形 DGFE 是平行四边形. 【解析】　根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得 DE∥BC 且 DE=BC,GF∥BC 且 GF=BC,从而得到 DE∥GF,DE=GF,再利用一组对边平行且相等的四边形是平 行四边形证明即可; 【答案】　∵　D,E 分别是 AB,AC 边的中点,∴　DE∥GF 且 DE=GF. ∴　四边形 DEFG 是平行四边形. 3. 研究一种或多种正多边形的镶嵌问题. (1)判断一种正多边形能否进行平面镶嵌,可以用 360°除以这个正多边形的内角度数,如果 能整除则这个正多边形能进行平面镶嵌. 【例 3】　在下列图形中,单独选用该图形不能进行平面镶嵌的是(　　). A. 正三角形 B. 正六边形 C. 正方形 D. 正五边形 【解析】　A. 正三角形的一个内角度数为 180°-360°÷3=60°,是 360°的因数,能镶嵌平 面,不符合题意; B. 正六边形的一个内角度数为 180°-360°÷6=120°,是 360°的因数,能镶嵌平面,不符合 题意; C. 正方形的一个内角度数为 180°-360°÷4=90°,是 360°的因数,能镶嵌平面,不符合题 意; D. 正五边形的一个内角度数为 180°-360°÷5=108°,不是 360°的因数,不能镶嵌平面,符 合题意. 【答案】　D (2)判断不同种的正多边形能否进行平面镶嵌,先求出这些正多边形的内角,建立方程,然后 判断这个方程是否有正整数解. 【例 4】　现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张,下列拼法中不能镶嵌 成一个平面图案的是(　　). A. 正方形和正六边形 B. 正三角形和正方形 C. 正三角形和正六边形 D. 正三角形、正方形和正六边形 【解析】　A 选项,正方形和正六边形内角分别为 90°,120°,由于 90 m+120n=360,得,显然 n 取任何正整数时,m 不能得正整数,故不能铺满; B 选项,正三角形和正方形内角分别为 60°,90°,由于 60°×3+90°×2=360°,故能铺满; C 选项,正三角形和正六边形内角分别为 60°,120°,由于 60°×2+120°×2=360°,故能 铺满; D 选 项 , 正 三 角 形 、 正 方 形 和 正 六 边 形 内 角 分 别 为 60°,90°,120°, 由 于 60°+90°+90°+120°=360°,故能铺满. 【答案】　A 专项训练 一、 选择题 1. (2014·北京房山区二模)若正多边形的一个外角是 36°,则该正多边形为(　　). A. 正八边形 B. 正九边形 C. 正十边形 D. 正十一边形 2. (2014·江苏常州模拟)已知四边形 ABCD 是平行四边形,下列结论中不正确的是(　　　). A. 当 AB=BC 时,它是菱形 B. 当 AC⊥BD 时,它是菱形 C. 当∠ABC=90°时,它是矩形 D. 当 AC=BD 时,它是正方形 3.(2014·四川乐山模拟)如图,P 为平行四边形 ABCD 边 AD 上一点,E,F 分别为 PB,PC 的中点, △PEF,△PDC,△PAB 的面积分别为 S,S1,S2,若 S=2,则 S1+S2 等于(　　). A. 4 B. 6 C. 8 D. 不能确定 (第 3 题) (第 4 题)4. (2014·安徽安庆外国语学校模拟)如图,已知点 O 是四边形 ABCD 内一点,OA=OB=OC,∠ ABC=∠ADC=70°,则∠DAO+∠DCO 的大小是(　　). A. 70° B. 110° C. 140° D. 150° 5. (2013·浙江海宁部分学校联考)如图,∠1,∠2,∠3,∠4 是五边形 ABCDE 的外角,且∠1= ∠2=∠3=∠4=70°,则∠AED 的度数是(　　). A. 110° B. 108° C. 105° D. 100° (第 5 题) (第 7 题) 6. (2013·内蒙古赤峰模拟)一个多边形的内角和比外角和的 3 倍少 180°,则该多边形的边 数是(　　). A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. (2013·云南宣威模拟)如图,在平行四边形 ABCD 中,∠BAD 的平分线 AE 交 BC 于点 E,且 AE=BE,则∠BCD 的度数为(　　). A. 30° B. 60°或 120° C. 60° D. 120° 8. (2013·陕西西安模拟)下面给出了四边形 ABCD 中∠A,∠B,∠C,∠D 的度数之比,其中能 判定四边形 ABCD 是平行四边形的是(　　). A. 1∶2∶3∶4 B. 2∶3∶2∶3 C. 2∶3∶4∶5 D. 1∶2∶2∶3二、 填空题 9. (2014·江苏南京二模)如图,将正五边形 ABCDE 的点 C 固定,并依顺时针方向旋转,若要使 得新五边形 A'B'C'D'E'的顶点 D'落在直线 BC 上,则至少要旋转　　　　°. (第 9 题) 10. (2013·湖北枣阳模拟)已知▱ABCD 的周长为 28,自顶点 A 作 AE⊥DC,垂足为 E,AF⊥BC,垂 足为 F.若 AE=3,AF=4,则 CE-CF=　　　　. 三、 解答题 11. (2014·上海长宁区二模)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,D,E 分别是 BC,BA 的中点,连接 DE,F 在 DE 延长线上,且 AF=AE.求证:四边形 ACEF 是平行四边形. (第 11 题) 12. (2014·广东深圳模拟)已知:如图,在平行四边形 ABCD 中,连接对角线 BD,作 AE⊥BD 于 点 E,CF⊥BD 于点 F, (1)求证:△AED≌△CFB;(2)若∠ABC=75°,∠ADB=30°,AE=3,求平行四边形 ABCD 的周长? (第 12 题) 13. (2013·浙江湖州中考模拟试卷)如图,▱ABCD 中,E,F 分别是边 AB,CD 的中点. (1)求证:四边形 EBFD 是平行四边形; (2)若 AD=AE=2,∠A=60°,求四边形 EBFD 的周长. (第 13 题) 参考答案与解析 1. C　[解析]多边形外角和均等于 360°, 2. D　[解析] 当 AC=BD 时,它是矩形..因为对角线相等的平行四边形是矩形. 3. C　[解析]∵　△PEF 的面积是 2, ∴　△PBC 的面积是 2×4=8. ∵　△PDC,△PAB 的面积和等于△PBC 的面积均是平行四边形面积的一半, ∴　S1+S2=8. 4. D 　 [ 解 析 ] ∠ BAO+ ∠ BCO= ∠ ABO+ ∠ CBO= ∠ ABC=70°, 所 以 ∠ BOA+ ∠ BOC=360°-140°=220°,所以∠AOC=140°. 5. D　[解析]本题考查多边形的内角和,外角和的概念. 6. C　[解析](n-2)×180°=3×360°-180°.7. D　[解析]△ABE 是等边三角形. 8. B　[解析]平行四边形对角相等. 9. 72° 　 [ 解 析 ] 正 五 边 形 每 个 内 角 相 等 , 均 等 于 , 至 少 旋 转 180°-108°=72°后新五边形 A'B'C'D'E'的顶点 D'落在直线 BC 上. 11. ∵　∠ACB=90°, E 是 BA 的中点, ∴　CE=AE=BE. ∵　AF=AE, ∴　AF=CE. 在△BEC 中,∵　BE=CE 且 D 是 BC 的中点, ∴　ED 是等腰三角形 BEC 底边上的中线. ∴　ED 也是等腰三角形 BEC 的顶角平分线. ∴　∠1=∠2. ∴　∠AEC=180°-∠1-∠2=180°-2∠1. ∵　AF=AE, ∴　∠F=∠3 . ∵　∠1=∠3, ∴　∠1=∠F=∠3. ∴　在△AEF 中,∠FAE=180°-∠3-∠F=180°-2∠1. ∴　∠AEC=∠F AE, ∴　CE∥AF. 又　CE=AF, ∴　四边形 ACEF 是平行四边形. (第 11 题)12. (1)∵　平行四边形 ABCD, ∴　AD=BC,AD∥BC. ∴　∠ADE=∠CBF. 又　AE⊥BD 于点 E,CF⊥BD 于点 F, ∴　∠AED=∠CFB=90°. ∴　△AED≌△CFB (AAS) . (2)在 Rt△AED 中, ∵　∠ADE=30°,AE=3, ∴　AD=2AE=2×3=6. ∵　∠ABC=75°,∠ADB=∠CBD=30°, ∴　∠ABE=45° . 13. (1)在▱ABCD 中,AB=CD,AB∥CD. ∵　E,F 分别是 AB,CD 的中点, ∴　BE=DF. ∴　四边形 EBFD 是平行四边形. (2)∵　AD=AE,∠A=60°, ∴　△ADE 是等边三角形. ∴　DE=AD=2. 又　BE=AE=2,由(1)知四边形 EBFD 是平行四边形, ∴　四边形 EBFD 的周长=2(BE+DE)=8.