2020年高考数学(理)一轮复习必刷题：函数的图象与函数应用

第四单元　函数的图象与函数应用 考点一 图象推导型 1.(2015 年浙江卷)函数 f(x)=(푥 - 1 푥)cos x(-π≤x≤π 且 x≠0)的图象可能为(　　). A B C D　　【解析】函数 f(x)= x-1 푥 cos x(-π≤x≤π 且 x≠0)为奇函数,排除选项 A,B;当 x=π 时,f(π)= π-1 π cos π=1 π-π0 且 b≠1)的图象如图所示,那么函数 y=logb(x-a)的图象可能是 (　　). 【解析】由题图可得 a>1,且最小正周期 T=2π 푏 2,则 y=logb(x-a)是增函数,排除 A,B;当 x=2 时,y=logb(2-a) 0, -ln( - 푥),푥 < 0有两个“伙伴点组”,则实数 k 的取值范围是(　　). A.(-∞,0)　 B.(0,1)　C.(0,1 2)　D.(0,+∞) 【解析】由题意可知,“伙伴点组”的点满足:都在函数图象上,且关于坐标原点对称.可作出函数 y=-ln(-x)(x0)的图象(如图),使它与直线 y=kx-1(x>0)的交 点个数为 2 即可. 当直线 y=kx-1 与 y=ln x 的图象相切时,设切点为(m,ln m),又 y=ln x 的导数为 y'=1 푥,即{푘푚 - 1 = ln푚, 푘 = 1 푚, 解得 {푚 = 1, 푘 = 1, 可得函数 y=ln x(x>0)的图象过点(0,-1)的切线的斜率为 1. 结合图象可知当 k∈(0,1)时两个函数图象有两个交点,故选 B. 【答案】B 　　利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题,方程 f(x)=g(x)的根就是函数 f(x)与 g(x)图象交点 的横坐标;不等式 f(x)0,在(π 2,4)上,y=cos x4 时,g'(x)>f'(x)>h'(x),所以这三个函数的增长速度为 g(x)>f(x)>h(x). 【答案】B 3.【解析】由已知当 x=2 时,y=100,代入 y=alog3(x+1),解得 a=100,故当 x=8 时,y=100log3(8+1)=200. 故第 8 年这种动物有 200 只. 题型一 二次函数模型　　【例 1】为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把 二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似表示为 y=1 2x2-200x+80000,且每处理 1 吨二氧化碳得到可利用 的化工产品的价值为 100 元,则该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,那么国家每月至少 需要补贴多少元才能使该单位不亏损? 【解析】设该单位每月获利为 S 元,则 S=100x-y=100x-(1 2푥2 - 200x + 80000)=-1 2x2+300x-80000=-1 2 (x-300)2-35000. 因为 400≤x≤600,所以当 x=400 时,S 有最大值-40000. 故该单位不获利,国家每月至少需要补贴 40000 元才能使该单位不亏损. 　　构建数学模型解决实际问题,要正确理解题意,分清条件和结论,理顺数量关系,将文字语言转化成数学语 言,建立适当的函数模型,求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制. 　　【变式训练 1】某工厂生产某种产品固定成本为 2000 万元,并且每生产一单位产品,成本增加 10 万元. 又知总收入 K 万元是单位产品数 Q 的函数,K(Q)=40Q- 1 20Q2,则总利润 L(Q)的最大值是　　　　万元. 【解析】L(Q)=40Q- 1 20Q2-10Q-2000=- 1 20Q2+30Q-2000=- 1 20(Q-300)2+2500. 当 Q=300 时,L(Q)的最大值为 2500 万元. 【答案】2500 题型二 分段函数模型 　　【例 2】某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C(x)(万元),当年产量 不足 80 千件时,C(x)=1 3x2+10x;当年产量不小于 80 千件时,C(x)=51x+10000 푥 -1450,每件商品售价为 0.05 万元.通 过市场分析, 该厂生产的商品能全部售完. (1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式. (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 【解析】(1)因为每件商品售价为 0.05 万元,则 x 千件商品销售额为 0.05×1000x 万元,依题意得,当 0