第二单元 函数的概念与基本性质
考点一 函数的概念
1.(2015 年浙江卷)存在函数 f(x)满足:对于任意 x∈R 都有( ).
A.f(sin 2x)=sin x B.f(sin 2x)=x2+x
C.f(x2+1)=|x+1| D.f(x2+2x)=|x+1|
【解析】选项 A 中,x 分别取 0,
π
2,可得 f(0)对应的值为 0,1,这与函数的定义矛盾,所以选项 A 错误;
选项 B 中,x 分别取 0,π,可得 f(0)对应的值为 0,π2+π,这与函数的定义矛盾,所以选项 B 错误;
选项 C 中,x 分别取 1,-1,可得 f(2)对应的值为 2,0,这与函数的定义矛盾,所以选项 C 错误;
选项 D 中,取 f(x)= 푥 + 1,则对于任意 x∈R 都有 f(x2+2x)= 푥2 + 2x + 1=|x+1|,所以选项 D 正确.
综上可知,本题选 D.
【答案】D
2.(2014 年上海卷)设 f(x)={(푥 - 푎)2,x ≤ 0,
푥 + 1
푥 + a,x > 0,若 f(0)是 f(x)的最小值,则 a 的取值范围为( ).
A.[-1,2] B.[-1,0] C.[1,2] D.[0,2]
【解析】∵当 x≤0 时,f(x)=(x-a)2,f(0)是 f(x)的最小值,∴a≥0.
当 x>0 时,f(x)=x+1
푥+a≥2+a,当且仅当 x=1 时等号成立.
要满足 f(0)是 f(x)的最小值,需 2+a≥f(0)=a2,即 a2-a-2≤0,解得-1≤a≤2.
∴a 的取值范围为[0,2].故选 D.
【答案】D
3.(2015 年全国Ⅱ卷)设函数 f(x)={1 + log2(2 - x),x < 1,
2푥-1,x ≥ 1, 则 f(-2)+f(log212)=( ).A.3 B.6 C.9 D.12
【解析】∵-21,∴f(log212)=2log212―1=12
2 =6.
∴f(-2)+f(log212)=3+6=9.故选 C.
【答案】C
4.(2016 年江苏卷)函数 y= 3 ― 2푥 - 푥2的定义域是 .
【解析】要使函数有意义,需 3-2x-x2≥0,即 x2+2x-3≤0,得(x-1)(x+3)≤0,即-3≤x≤1,故所求函数的定义
域是[-3,1].
【答案】[-3,1]
考点二 函数的奇偶性
5.(2014 年全国Ⅰ卷)设函数 f(x),g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是
( ).
A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数
【解析】令 h1(x)=f(x)g(x),则 h1(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h1(x),∴h1(x)是奇函数,A 错误.
令 h2(x)=|f(x)|g(x),则 h2(-x)=|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x)=h2(x),∴h2(x)是偶函数,B 错误.
令 h3(x)=f(x)|g(x)|,则 h3(-x)=f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-h3(x),∴h3(x)是奇函数,C 正确.
令 h4(x)=|f(x)g(x)|,则 h4(-x)=|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|=h4(x),∴h4(x)是偶函数,D 错误.
【答案】C
6. (2015 年广东卷)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ).
A.y= 1 + 푥2 B.y=x+1
푥
C.y=2x+ 1
2푥 D.y=x+ex【解析】A 选项中的函数的定义域为 R,因为 1 + ( ― 푥)2= 1 + 푥2,所以该函数是偶函数.B 选项中的函数
的定义域为{x|x≠0},因为-x-1
푥=-(푥 + 1
푥),所以该函数是奇函数.C 选项中的函数的定义域为 R,因为 2-x+ 1
2-푥= 1
2푥
+2x,所以该函数是偶函数.D 选项中的函数的定义域为 R,因为-x+e-x= 1
e푥-x,所以该函数是非奇非偶函数.
【答案】D
7.(2017 年北京卷)已知函数 f(x)=3x-(1
3)푥
,则 f(x)( ).
A.是奇函数,且在 R 上是增函数
B.是偶函数,且在 R 上是增函数
C.是奇函数,且在 R 上是减函数
D.是偶函数,且在 R 上是减函数
【解析】∵函数 f(x)的定义域为 R,
f(-x)=3-x-(1
3)-푥
=(1
3)푥
-3x=-f(x),
∴函数 f(x)是奇函数.
∵函数 y=(1
3)푥
在 R 上是减函数,
∴函数 y=-(1
3)푥
在 R 上是增函数.
又∵y=3x 在 R 上是增函数,
∴函数 f(x)=3x-(1
3)푥
在 R 上是增函数.
故选 A.
【答案】A
8.(2015 年全国Ⅰ卷)若函数 f(x)=xln(x+ 푎 + 푥2)为偶函数,则 a= .
【解析】∵f(x)为偶函数,∴f(-x)-f(x)=0 恒成立,
∴-xln(-x+ 푎 + 푥2)-xln(x+ 푎 + 푥2)=0 恒成立,
∴xln a=0 恒成立,
∴ln a=0,即 a=1.
【答案】1考点三 函数的单调性及其综合应用
9.(2017 年全国Ⅰ卷)函数 f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若 f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1 的 x 的取
值范围是( ).
A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3]
【解析】∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).
∵f(1)=-1,∴f(-1)=-f(1)=1.
由-1≤f(x-2)≤1,得 f(1)≤f(x-2)≤f(-1).
又∵f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,∴-1≤x-2≤1,
∴1≤x≤3.故选 D.
【答案】D
10.(2016 年天津卷)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数 a 满足 f(2|a-1|)>f(-
2),则 a 的取值范围是 .
【解析】∵f(x)是偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递减,f(- 2)=f( 2),
∴f(2|a-1|)>f( 2),∴2|a-1|< 2=2
1
2,
∴|a-1|1,显然成立.
综上可知,x>-1
4.
【答案】( - 1
4, + ∞)
高频考点:求函数的定义域、分段函数求值、利用函数单调性解函数不等式、函数奇偶性的应用.
命题特点:1.求函数的定义域一般根据限制条件,列出不等式求解,此类问题难度不大.
2.分段函数的求值需根据自变量的范围确定对应的解析式,再代入运算,此类问题难度不大.
3.函数的奇偶性、单调性、周期性往往综合考查.解决这类综合考查问题常利用周期性和奇偶性把所求
的函数解析式转化为已知区间内的函数解析式,再利用单调性分析或求解.
§2.1 函数的概念及其表示
一 函数的概念
给定两个非空数集 A 和 B,如果按照某个对应关系 f,使对于集合 A 中的 一个数
x,在集合 B 中都存在 确定的数 f(x)与之对应,那么就把对应关系 f 叫作定义在集合 A
上的 ,记作 .此时,x 叫作自变量,集合 A 叫作函数的 ,集合
{f(x)|x∈A}叫作函数的 . 二 函数的表示法
函数的表示法: 、 、 .
三 分段函数
若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同,可用几个式子表示,则这种形式的函数叫
作 .
☞ 左学右考
判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)f(x)=푥2
푥 与 g(x)=x 是同一个函数. ( )
(2)f(x)=|x|与 g(x)={푥,푥 ≥ 0,
-푥,푥 < 0是同一个函数. ( )
(3)函数 f(x)= 푥2 + 3+1 的值域是{y|y≥1}. ( )
(4)若函数 f(x)的定义域为{x|1≤xa,解得 a3 的解集,即为{a|a1},故选 A.
【答案】(1)D (2)A (1)比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.(2)已知函数
单调性求参数范围的问题是讨论单调性的可逆过程,解法是根据单调性的概念得到“恒成立”的不等式,同时
要注意定义域.
【变式训练 3】已知函数 f(x)是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,则关于 x 的不等式
f(2x-1)0,
则 f(x1)-f(x2)=2(x1-x2)-( 1
푥1
- 1
푥2)
=(x1-x2)(2 + 1
푥1푥2).
∵1≥x1>x2>0,∴x1-x2>0,x1x2>0.
∴f(x1)>f(x2),∴f(x)在(0,1]上单调递增,无最小值,
当 x=1 时,f(x)取得最大值 1,
当 x→0,且 x>0 时,f(0)→-∞,
∴f(x)的值域为(-∞,1].
(2)若 a≥0,则 y=f(x)在(0,1]上单调递增,无最小值,当 x=1 时,f(x)取得最大值 2-a.
若 a-1.
(1)求 f(0)的值,并证明 f(x)在 R 上是增函数;
(2)若 f(1)=1,解关于 x 的不等式 f(x2+2x)+f(1-x)>4.
【解析】(1)令 x=y=0,得 f(0)=-1.
在 R 上任取 x1>x2,则 x1-x2>0,即 f(x1-x2)>-1.
又 f(x1)=f((x1-x2)+x2)=f(x1-x2)+f(x2)+1>f(x2),
所以 f(x)在 R 上是增函数.
(2)由 f(1)=1,得 f(2)=3,f(3)=5.由 f(x2+2x)+f(1-x)>4,得 f(x2+x+1)>f(3).
又函数 f(x)在 R 上是增函数,故 x2+x+1>3,
解得 x1,
故原不等式的解集为{x|x1}.
方法二 分类讨论思想在研究函数单调性中的应用
使用函数的单调性求参数范围时,常常需要讨论,把要研究的问题根据题目的特点和要求,转化成若干个
小问题来解决,即先按不同情况分类,然后逐一解决.
【突破训练 2】若函数f(x)=ax2+2x-3 在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数 a 的取值范围是 .
【解析】当 a=0 时,f(x)=2x-3,它在定义域 R 上是单调递增的,故 f(x)在(-∞,4)上单调递增;
当 a≠0 时,二次函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=-1
푎,因为 f(x)在(-∞,4)上单调递增,
所以 a 1,
0,푥 = 1,
- 푥2,x < 1,
其图象是如图所示的实线部分,由图象可得 g(x)的单调递减区间是[0,1).
【答案】[0,1)
7.(山东临沭一中 2018 届月考)对于任意实数 a,b,定义 min{a,b}={푎,푎 ≤ 푏,
푏,푎 > 푏.设函数 f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数
h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是 .
【解析】依题意,h(x)={log2x,0 < x ≤ 2,
-푥 + 3,푥 > 2.
当 02 时,h(x)=3-x 是减函数,
∴h(x)在 x=2 时取得最大值,最大值是 h(2)=1.
【答案】1
8.(2017 石家庄调研)函数 f(x)=(1
3)푥
-log2(x+2)在[-1,1]上的最大值为 .
【解析】因为y=(1
3)푥
在 R 上单调递减,y=log2(x+2)在[-1,1]上单调递增,所以 f(x)在[-1,1]上单调递减,故 f(x)
在[-1,1]上的最大值为 f(-1)=3.
【答案】3
9.(河北馆陶一中 2018 届月考)函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,且在[1,+∞)上单调递减,f(0)=0,则
f(x+1)>0 的解集为 .
【解析】由 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,f(0)=0,可得 f(2)=f(0)=0.
当 x+1≥1,即 x≥0 时,f(x+1)>0,即为 f(x+1)>f(2),
由 f(x)在[1,+∞)上单调递减,可得 x+1
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