第五单元 导数的概念与计算、定积分
与微积分定理
考点一 导数的计算
1.(2016 年四川卷)设直线 l1,l2 分别是函数 f(x)={ -ln푥,0 < 푥 < 1,
ln푥,푥 > 1 图象上点 P1,P2 处的切线,l1 与 l2 垂直相交于
点 P,且 l1,l2 分别与 y 轴相交于点 A,B,则△PAB 的面积的取值范围是( ).
A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)
【解析】
由图象易知 P1,P2 位于 f(x)图象的两段上,不妨设 P1(x1,-ln x1)(02,
∴0< 2
푥1 + 1
푥1
0)
f(x)=ex f'(x)=
f(x)=logax f'(x)=
1
푥ln푎
f(x)=ln x f'(x)=
1
푥
三 导数的运算法则
1.[f(x)±g(x)]'= ; 2.[f(x)·g(x)]'= ;
3.[푓(푥)
푔(푥)]'=푓'(푥)푔(푥) - 푓(푥)푔'(푥)
[푔(푥)]2 (g(x)≠0).
四 复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'= ,即y对x
的导数等于 的导数与 的导数的乘积.
☞ 左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)f'(x0)与(f(x0))'表示的意义相同. ( )
(2)函数 f(x)=(x+2a)(x-a)2 的导数为 3(x2-a2). ( )
(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点. ( )
(4)若 f(x)=sin α+cos x,则 f'(x)=cos α-sin x. ( )
2 若 f(x)=x·ex,则 f'(1)等于( ).
A.0 B.e
C.2e D.e2
3 曲线 y=sin x+ex 在点(0,1)处的切线方程是( ).
A.x-3y+3=0
B.x-2y+2=0
C.2x-y+1=0
D.3x-y+1=0
4 若 y=ln(2x+5),则 y'= .
5 设函数 f(x)的导数为 f'(x),且 f(x)=f'(π
2)sin x+cos x,则 f'(π
4)= . 6 已知直线 y=2x-1 与曲线 y=ln(x+a)相切,求 a 的值.
知识清单
一、1.(x0,f(x0)) 切线斜率 y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
二、n·xn-1 cos x -sin x axln a ex
三、1.f'(x)±g'(x)
2.f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
四、y'u·u'x y 对 u u 对 x
基础训练
1.【解析】(1)错误,f'(x0)表示导函数值,(f(x0))'=0,是常数的导数.
(2)正确,由求导公式计算可知 f(x)'=3(x2-a2).
(3)正确.
(4)错误,f'(x)=-sin x.
【答案】(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.【解析】f'(x)=ex+xex,则 f'(1)=2e.
【答案】C
3.【解析】y'=cos x+ex,则切线斜率 k=2,所以切线方程 2x-y+1=0.
【答案】C
4.【解析】y'= 2
2푥 + 5.
【答案】
2
2푥 + 5
5.【解析】因为 f'(x)=f'(π
2)cos x-sin x,所以 f'(π
2)=-1,所以 f'(π
4)=
2
2 f'(π
2)-
2
2 =- 2.
【答案】- 2
6.【解析】设切点 P(m,ln(m+a)),又 y'= 1
푥 + 푎,所以{ 1
푚 + 푎 = 2,
ln(푚 + 푎) = 2푚 - 1,解得 a=1
2ln 2.
题型一 导数的计算
【例 1】(1)f(x)=푥2 + x
e푥 ;
(2)f(x)=푥3 + 2x - 푥2ln푥 - 1
푥2 ;
(3)y=xsin(2푥 + π
2)cos(2푥 + π
2).
【解析】(1)f'(x)=(2푥 + 1)e푥 - (푥2 + x)e푥
(e푥)2 =1 + 푥 - 푥2
e푥 .
(2)由已知得 f(x)=x-ln x+2
푥- 1
푥2,∴f'(x)=1-1
푥- 2
푥2+ 2
푥3=푥3 - 푥2 - 2x + 2
푥3 .
(3)∵y=xsin(2푥 + π
2)cos(2푥 + π
2)=1
2xsin(4x+π)=-1
2xsin 4x,
∴y'=-1
2sin 4x-1
2x·4cos 4x=-1
2sin 4x-2xcos 4x.
熟记导数运算法则,求导之前能化简的要化简;求复合函数的导数,关键在于分析函数的复合关系,适当确
定中间变量,然后“由外及内”逐层求导.
【变式训练 1】(1)函数 y=(1- 푥)(1 + 1
푥),则 y'= .
(2)已知 f(x)=sin(3푥 - π
4),则 f'(π
3)= .
【解析】∵y=(1- 푥)(1 + 1
푥)= 1
푥- 푥=푥-1
2-푥
1
2,∴y'=-1
2푥-3
2-1
2푥-1
2=-1
2 푥-3
2+푥-1
2 .
(2)∵y'=cos(3푥 - π
4)·(3푥 - π
4)'=3cos(3푥 - π
4),
∴f'(π
3)=3cos(3 × π
3 - π
4)=-3 2
2 .
【答案】(1)-1
2 푥-3
2-푥
1
2 (2)-3 2
2
题型二 导数的几何意义
【例 2】已知函数 f(x)=x3-4x2+5x-4.
(1)求曲线 f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)求经过点 A(2,-2)的曲线 f(x)的切线方程.
【解析】∵f'(x)=3x2-8x+5,∴f'(2)=1.又 f(2)=-2,
∴曲线 f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y-(-2)=x-2,即 x-y-4=0.
(2)设切点坐标为(x0,푥30-4푥20+5x0-4),
∵f'(x0)=3푥20-8x0+5,
∴切线方程为 y-(-2)=(3푥20-8x0+5)(x-2).
又切线过点(x0,푥30-4푥20+5x0-4),
∴푥30-4푥20+5x0-2=(3푥20-8x0+5)(x0-2),
整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得 x0=2 或 x0=1,
∴经过点 A(2,-2)的曲线 f(x)的切线方程为 x-y-4=0 或 y+2=0.
导数 f'(x0)的几何意义就是函数 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线的斜率,曲线在点 P 处的切线是以点 P 为切
点,曲线过点 P 的切线则点 P 不一定是切点,此时应先设出切点坐标.
【变式训练 2】(1)已知直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a)相切,则 a 的值为( ).
A.1 B.2 C.-1 D.-2(2)设 a∈R,函数 f(x)=ex+ 푎
e푥的导函数是 f'(x),且 f'(x)是奇函数.若曲线 y=f(x)的一条切线的斜率是
3
2,则切
点的横坐标为 .
【解析】(1)设直线y=x+1 与曲线y=ln(x+a)的切点为(x0,y0),则y0=1+x0,y0=ln(x0+a).又y'= 1
푥 + 푎,所以y'| 푥=푥0
= 1
푥0 + a=1,即 x0+a=1.
又 y0=ln(x0+a),所以 y0=0,则 x0=-1,所以 a=2.
(2)函数 f(x)=ex+ 푎
e푥的导函数是 f'(x)=ex- 푎
e푥.又 f'(x)是奇函数,所以 f'(x)=-f'(-x),即 ex- 푎
e푥=-(e-x-a·ex),则
ex(1-a)=e-x(a-1),所以(e2x+1)·(1-a)=0,解得 a=1,所以 f'(x)=ex- 1
e푥.令 ex- 1
e푥=3
2,解得 ex=2 或 ex=-1
2(舍去),所以x=ln
2.
【答案】(1)B (2)ln 2
题型三 导数运算的应用
【例 3】设点 P,Q 分别是曲线 y=xe-x(e 是自然对数的底数)和直线 y=x+1 上的动点,则 P,Q 两点间距离的
最小值为( ).
A.
2
2 (2 ― 1
e) B. 2(2 ― 1
e)
C.
2
2 D. 2
【解析】y'=e-x-xe-x=(1-x)e-x,令(1-x)e-x=1,得 ex=1-x,ex+x-1=0,令 h(x)=ex+x-1,显然 h(x)是增函数,且
h(0)=0,即方程 ex+x-1=0 只有一解x=0,曲线y=xe-x在x=0 处的切线方程为y=x,故两条平行线x-y=0 和x-y+1=0
间的距离为 d= 1
2=
2
2 ,即 P,Q 两点间距离的最小值为
2
2 ,故选 C.
【答案】C
导数是研究函数问题的工具,解题时,要有运用导数的意识.
【变式训练 3】f(x)=x(2017+ln x),若 f'(x0)=2018,则 x0 等于( ).
A.e2 B.1 C.ln 2 D.e【解析】f'(x)=2017+ln x+x×1
푥=2018+ln x,故由 f'(x0)=2018 得 2018+ln x0=2018,则 ln x0=0,解得 x0=1.
【答案】B
方法一 化归转化思想在导数运算中的应用
对于比较复杂的函数求导,若直接套用求导法则,计算过程繁琐冗长,且易出错.可先化简将其转化为基
本初等函数,再求导,但要注意变形的等价性,避免不必要的失误.
【突破训练 1】求下列函数的导数.
(1)y=1 + 푥
1 ― 푥+1 ― 푥
1 + 푥;
(2)y=xln 2푥.
【解析】(1)∵y=(1 + 푥)2 + (1 ― 푥)2
1 ― 푥 =2(1 + 푥)
1 ― 푥 = 4
1 ― 푥-2,∴y'= 4
(1 - 푥)2.
(2)y=xln(2x)
1
2=1
2xln 2x,
y'=(1
2xln2푥)'=1
2[x'ln 2x+x(ln 2+ln x)']=1
2(ln 2x+1).
方法二 求切线斜率的方法
导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面:
(1)已知切点 A(x0,f(x0)),求斜率 k,即求该点处的导数值:k=f'(x0).
(2)已知斜率 k,求切点 A(x1,f(x1)),即解方程 f'(x1)=k.
(3)若求过点 P(x0,y0)的切线方程,可设切点为(x1,y1),由{푦1 = f(푥1),
푦0 - 푦1 = f'(푥1)(푥0 - 푥1)求解即可.
【突破训练 2】已知函数 f(x)=xln x,若直线 l 过点(0,-1),并且与曲线 y=f(x)相切,求直线 l 的方程.【解析】∵点(0,-1)不在曲线f(x)=xln x上,∴设切点为(x0,y0).又∵f'(x)=1+ln x,∴{푦0 = 푥0ln푥0,
푦0 + 1 = (1 + ln푥0)푥0,
解得 x0=1,y0=0.∴切点为(1,0).又∵f'(1)=1+ln 1=1,
∴直线 l 的方程为 y=x-1,即 x-y-1=0.
1.(2017 海南八校一模)已知函数 f(x)= 푎푥
푥2 + 3,若 f'(1)=1
2,则实数 a 的值为( ).
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】函数 f(x)= 푎푥
푥2 + 3,则 f'(x)=푎(푥2 + 3) ― ax(2x)
(푥2 + 3)2 ,
∵f'(1)=1
2,即 f'(1)=4푎 - 2푎
16 =1
2,∴a=4.
【答案】B
2.(2017 吉林白山二模)设 f(x)存在导函数且满足 lim
Δ푥→0
푓(1) - 푓(1 - 2Δ푥)
Δ푥 =-2,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的
斜率为( ).
A.-1 B.-2 C.1 D.2
【解析】y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为 f'(1)= lim
Δ푥→0
=f(1) - f(1 - 2훥x)
2훥x =-1.
【答案】A
3.(2017 惠州模拟)已知函数 f(x)=1
푥cos x,则 f(π)+f'(π
2)=( ).
A.- 3
π2 B.- 1
π2C.-3
π D.-1
π
【解析】因为 f'(x)=- 1
푥2cos x+1
푥(-sin x),所以 f(π)+f'(π
2)=-1
π+2
π×(-1)=-3
π.
【答案】C
4.(2017 江西南昌模拟)已知函数 f(x)=ln 푥2 + 1,则 f'(2)=( ).A.1
5 B.2
5 C.3
5 D.4
5
【解析】因为 f(x)=ln 푥2 + 1=1
2ln(x2+1),所以 f'(x)=1
2× 2푥
1 + 푥2= 푥
1 + 푥2,所以 f'(2)= 2
1 + 22=2
5,故选 B.
【答案】B
5.(2017 西宁复习检测)已知曲线 y=푥 + 1
푥 - 1 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a=( ).
A.-2 B.2 C.-1
2 D.1
2
【解析】由 y'= -2
(푥 - 1)2,得曲线在点(3,2)处的切线的斜率为-1
2.又因为切线与直线 ax+y+1=0 垂直,所以
a=-2,故选 A.
【答案】A
6.(2017 河南郑州二模)设函数 f(0)(x)=sin x,定义 f(1)(x)=f'[f(0)(x)],f(2)(x)=f'[f(1)(x)],…,f(n)(x)=f'[f(n-1)(x)],则
f(1)(15°)+f(2)(15°)+…+f(2017)(15°)的值为( ).
A.
6 + 2
4 B.
6 - 2
4 C.0 D.1
【解析】f0(x)=sin x,则 f(1)(x)=cos x,f(2)(x)=-sin x,f(3)(x)=-cos x,f(4)(x)=sin x,f(5)(x)=cos x,…,则
f(1)(x)=f(5)(x)=f(9)(x)=…,
即 f(n)(x)=f(n+4)(x),则 f(n)(x)是周期为 4 的周期函数.
又 f(1)(x)+f(2)(x)+f(3)(x)+f(4)(x)=sin x+cos x-sin x-cos x=0,且 2017=504×4+1,
∴f(1)(15°)+f(2)(15°)+…+f(2017)(15°)=f(1)(15°)=cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin
45°sin 30°=
2
2 ×
3
2 +
2
2 ×1
2=
6 + 2
4 .
【答案】A
7.(2017 江西七校一模)已知函数 f(x)=x2+f'(2)(ln x-x),则 f'(4)= .
【解析】f(x)=x2+f'(2)(ln x-x),则 f'(x)=2x+f'(2)(1
푥 - 1),则 f'(2)=4+f'(2)(1
2 - 1),
∴f'(2)=8
3,∴f'(x)=2x+8
3(1
푥 - 1),∴f'(4)=6.
【答案】68.(2017 郑州第二次质检)如图,y=f(x)是可导函数,直线 l:y=kx+2 是曲线 y=f(x)在 x=3 处的切线,令 g(x)=xf(x),
其中 g'(x)是 g(x)的导函数,则 g'(3)= .
【解析】由题图可得曲线 y=f(x)在 x=3 处的切线的斜率为-1
3,即 f'(3)=-1
3.又因为 g(x)=xf(x),所以
g'(x)=f(x)+xf'(x),g'(3)=f(3)+3f'(3),由题图可知 f(3)=1,所以 g'(3)=1+3×( - 1
3)=0.
【答案】0
9.(2017 保定一模)若函数 f(x)=ln x+ax 的图象上存在与直线 2x-y=0 平行的切线,则实数 a 的取值范围
是 .
【解析】函数f(x)=ln x+ax 的图象上存在与直线 2x-y=0 平行的切线,即 f'(x)=2 在 x∈(0,+∞)上有解,而
f'(x)=1
푥+a,即
1
푥+a=2 在 x∈(0,+∞)上有解,a=2-1
푥,因为 x>0,所以 2-1
푥0,b>0)的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率
为 2,所以 f'(1)=2a+b=2,即 a+푏
2=1.则
8푎 + 푏
푎푏 =8
푏+1
푎=(푎 + 푏
2)(8
푏 + 1
푎)=8푎
푏 + 푏
2푎+5≥2 8푎
푏 · 푏
2푎+5=9,当且仅当{2푎 + 푏 = 2,
8푎
푏 = 푏
2푎, 即
{푎 = 1
3,
푏 = 4
3
时等号成立.所以
8푎 + 푏
푎푏 的最小值是 9.
【答案】A
12.(2017 北京东城区模考)已知 M,N 分别是曲线 y=ex 与直线 y=ex-1 上的点,则线段 MN 的最小值为( ).
A. 1
e2 + 1 B.
e2 + 1
e2 + 1 C. e2 + 1 D.e
【解析】设曲线 y=ex 在某点处的切线为 l,当切线 l 与直线 y=ex-1 平行时,这两条平行直线间的距离就
是所求的最小值.因为切线 l 与直线 y=ex-1 平行,所以切线 l 的斜率为 e.设切点坐标为 M(a,b),又曲线 y=ex 在
点 M(a,b)处的切线的斜率为 y'| 푥=푎=ea,
由 ea=e,得 a=1,所以切点 M 的坐标为(1,e),
故切线 l 的方程为 y-e=e(x-1),即 ex-y=0.
又直线 y=ex-1,即 ex-y-1=0,
所以 d= 1
e2 + 1=
e2 + 1
e2 + 1 ,即线段 MN 的最小值为
e2 + 1
e2 + 1 .
【答案】B
13.(2017 河北衡水一模)定义:如果函数 f(x)在[a,b]上存在 x1,x2(a0)的几何意义:表示直线x=a,x=b,y=0 及曲线 y=f(x)所围成的 的面
积. 二 定积分的性质
1.
푏
푎
kf(x)dx=k
푏
푎
f(x)dx (k 为常数).
2.
푏
푎
[f1(x)±f2(x)]dx=
푏
푎
f1(x)dx±
푏
푎
f2(x)dx.
3.
푏
푎
f(x)dx=
푐
푎
f(x)dx+
푏
푐
f(x)dx(其中 a
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