高中数学考点《概率及其与统计的交汇问题》专项训练题

1.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用，同时渗透互斥事件、对立事件； 2.概率常与统计知识结合在一起命题，主要以解答题形式呈现，中档难度. 1.古典概型的概率 (1)公式 P(A)＝m n＝A中所含的基本事件数 基本事件总数 . (2)古典概型的两个特点：所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等. 2.几何概型的概率 (1)P(A)＝ 构成事件A的区域长度（面积或体积） 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）. (2)几何概型应满足两个条件：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；②每个基本事件出现的可 能性相等. 3.概率的性质及互斥事件的概率 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率：P(A)＝1. (3)不可能事件的概率：P(A)＝0. (4)若 A，B 互斥，则 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，特别地 P(A)＋P( A － )＝1. 热点一　古典概型的概率 【例 1】　(2016·山东卷)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示 的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为 x，y.奖励规 则如下： 专题五 第 2 讲　概率及其与统计的交汇问题 概率与统计 考向预测 知识与技巧的梳理 热点题型①若 xy≤3，则奖励玩具一个； ②若 xy≥8 则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动. (1)求小亮获得玩具的概率； (2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由. 解　用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间 Ω 与点集 S＝{(x，y)|x∈N，y∈N， 1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应. 因为 S 中元素的个数是 4×4＝16. 所以基本事件总数 n＝16. (1)记“xy≤3”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件数共 5 个，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)， 所以 P(A)＝ 5 16，即小亮获得玩具的概率为 5 16. (2)记“xy≥8”为事件 B，“3＜xy＜8”为事件 C. 则事件 B 包含的基本事件数共 6 个.即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4). 所以 P(B)＝ 6 16＝3 8. 事件 C 包含的基本事件数共 5 个，即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1). 所以 P(C)＝ 5 16.因为3 8＞ 5 16， 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 探究提高　1.求古典概型的概率的关键是正确列举出基本事件的总数和待求事件包含的基本事件数. 2.两点注意：(1)对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不重不漏. (2)当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率. 【训练 1】 (2017·昆明诊断)某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取 40 名学生的 测试成绩，整理数据并按分数段[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]进行分组，假 设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图(如下). (1)体育成绩大于或等于 70 分的学生常被称为“体育良好”.已知该校高一年级有 1 000 名学生，试估计该校高 一年级中“体育良好”的学生人数； (2)为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[60，70)和[80，90)的样本学生中随机抽取 2 人，求在抽 取的 2 名学生中，至少有 1 人体育成绩在[60，70)的概率. 解　(1)由折线图，知样本中体育成绩大于或等于 70 分的学生有 14＋3＋13＝30(人). 所以该校高一年级中，“体育良好”的学生人数大约有 1 000×30 40＝750(人). (2)设“至少有 1 人体育成绩在[60，70)”为事件 M，记体育成绩在[60，70)的数据为 A1，A2，体育成绩在[80，90)的数据为 B1，B2，B3，则从这两组数据中随机抽 取 2 个，所有可能的结果有 10 种，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)， (B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3). 而事件 M 的结果有 7 种，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3). 因此事件 M 的概率 P(M)＝ 7 10. 热点二　概率与统计的综合问题 【例 2】　(2017·合肥质检)一企业从某条生产线上随机抽取 100 件产品，测量这些产品的某项技术指标值 x， 得到如下的频率分布表： x [11，13) [13，15) [15，17) [17，19) [19，21) [21，23) 频数 2 12 34 38 10 4 (1)作出样本的频率分布直方图，并估计该技术指标值 x 的平均数和众数； (2)若 x