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高 2017 级线上第二次月考数学试卷（文）
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1．设集合 { | 1 1}A x x ， 2{ | 0}B x x x ，则 A B =（ ）
A．{ | 1 0}x x B．{ | 1 0x x 或 1}x
C．{ | 0 1}x x D．{ | 0 1}x x
2．设复数 1z ， 2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称， 1 3 iz ，则 1 2z z （ ）
A．10 B． 10 C． 9 i D． 9 i
3．等差数列 na 前 n 项和为 nS ，若 4a ， 10a 是方程 2 8 1 0x x 的两根，则 13S （ ）
A．58 B．54 C．56 D．52
4．若 1sin 3
，且 π π2
，则sin 2 （ ）
A． 2 2
9
B． 4 2
9 C． 4 2
9
D． 2 2
9
5．已知命题 ： ， ，则( )
A．￢ ： ，
B．￢ ： ，
C．￢ ： ，
D．￢ ： ，
6.某校调查了 320 名学生每周的自习时间(单位：小时），制成了下图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范
围是 17 5 30．， ，样本数据分组为 17 5 20．， ， 20 22 5， ． ， 22 5 25．， ， 25 27 5， ． ， 27 5 30．， ．根据直方图，
这 320 名学生中每周的自习时间不足 22 5．小时的人数是（ ）
A．68 B．72 C．76 D．80
7．若双曲线
2
2 1yx m
的一个焦点为抛物线 xy 122 的焦点，则 m （ ）
A． 2 2 B．8 C．9 D．
8．执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）高 2017 级 数学（文） 第 2页 共 4 页
A． 3 B． 6 C．10 D． 15
9．在区间 0 2， 上任取两个数，则这两个数之和大于 3 的概率是（ ）
A． 1
8 B． 1
4 C． 7
8 D． 3
4
10．已知函数 πcos 2 0, 2f x x
的最小正周期为 π ，将其图象向右平移 π
6
个单位后得函数
cos2g x x 的图象，则函数 f x 的图象（ ）
A．关于直线 2π
3x 对称 B．关于直线 π
6x 对称
C．关于点 2π 03
， 对称 D．关于点 5π 012
， 对称
11．甲、乙两个几何体的三视图如图所示（单位相同），记甲、乙两个几何体的体积分别为 1V ， 2V ，则（ ）
A． 1 22V V B． 1 22V V C． 1 2 163V V D． 1 2 173V V
12．已知函数
2ln ( )( ) ( )x x bf x b Rx
.若存在 1[ ,2]2x ，使得 ( ) ( )f x x f x ，则实数b 的取值
范围是（ ）
A． ( , 2) B． 3( , )2
C． 9( , )4
D． ( ,3)
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
卷
包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选
考题，考生根据要求作答。高 2017 级 数学（文） 第 3页 共 4 页
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。
13．函数 ( ) ln(1 )f x x 的定义域为__________．
14．已知等比数列 na 中， 2 1a ， 5 8a ，则 na 的前 6 项和为__________．
15．某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近 5 年的年广告支出 x 单位：万元 与年销售额 y 单位：万元
进行了初步统计，如表所示．
年广告支出 x /万元 2 3 5 7 8
年销售额 y /万元 28 37 a 60 70
经测算，年广告支出 x 与年销售额 y 满足线性回归方程 6.4 1.8y x
，则 a 的值为______．
16．已知圆 2 2: 4 2 44 0C x y x y ，点 P 的坐标为 ,4t ，其中 2t ，若过点 P 有且只有一条直线l 被
圆C 截得的弦长为 4 6 ，则直线l 的一般式方程是____________________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12 分）在 ABC△ 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c ，且 2 1cos sin2 12B B ， π0 2B ，
（1）求 B．
（2）若 3b ，求 ABC△ 面积的最大值．
18．（12 分）某高校共有学生 15000 人，其中男生 10500 人，女生 4500
人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方
法，收集 300 名学生每周平均体育运动时间的样本数据 单位：小时 ．
Ⅰ 应收集多少位女生的样本数据？
Ⅱ 根据这 300 个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分
布直方图 如图所示 ，其中样本数据的分组区间为：[0,2], (2,4] ,(4,6],
(6,8], (8,10], (10,12],估计该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率；
Ⅲ 在样本数据中，有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列
联表，并判断是否有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”高 2017 级 数学（文） 第 4页 共 4 页
19．（12 分）已知几何体 ABCDEF 中， / /AB CD ， ,AD DC EA 平
面 ABCD ， / /FC EA ， 1AB AD EA ， 2CD CF .
(1).求证：平面 EBD 平面 BCF .
(2).求点 B 到平面 ECD 的距离.
20．（12 分）已知椭圆C ：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，若椭圆经过点 6, 1P ，且 1 2PF F△
的面积为 2．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设斜率为 1 的直线 l 与以原点为圆心，半径为 2 的圆交于 A ， B 两点，与椭圆 C 交于 C ， D 两点，且
CD AB （ R ），求 的最小值及此时直线 l 的方程．
21.（12 分）已知函数 21 1( ) ln ( 1) .2 2f x x x m x m
（1）设 2x 是函数 ( )f x 的极值点，求 m 的值，并求函数 )(xf 的单调性.
（2）若对任意 (1, ), ( ) 0x f x 恒成立，求 m 的取值范围.
请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】
已知曲线C 的极坐标方程是 4sin 0 ，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l
过点 10M ， ，倾斜角为 3 π4
．
（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线 的参数方程；
（2）设直线l 与曲线C 交于 A ， B 两点，求 MA MB 的值．
23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】
已知函数 2f x x ．
（1）解不等式 1 5f x f x ；
（2）若 1a ，且 bf ab a f a
，证明： 2b ．高 2017 级线上第二次月考数学试卷（文）
解析
1． A 2． B 3． D 4． C 5．
6. B 7． B 8． C 9．A 10． D 11． D 12． C
13． ( ,1) ; 14 . 21
2 ; 15．55; 16． 4 3 36 0x y ;
17． 【解析】（1）由 2 1cos sin2 12B B ，则 21 sin 2 1 cos2 B B ，即 2sin cos sinB B B ，·········2 分
而 π0 2B ，故sin 0B ，所以 tan 1B ，·········4 分
又 π0 2B ，所以得 π
4B ，·········6 分 （其他解法，酌情给分）
（2）因为 3b ，故在 ABC△ 中，由余弦定理 2 2 2 2 22 cos 2 2 2b a c ac B a c ac ac
（当且仅当 a c 时等号成立）
即 ac229 ，所以
2
)22(9
22
9
ac ．·········10 分
所以
4
)12(9
4sin2
)22(9
2
1sin2
1
BacS ABC
所以 ABC△ 面积的最大值为
4
)12(9 ·········12 分
18．
·········3 分
·········6 分
·········8 分
·········10 分
·········12 分19．
另解：由（1）已知 Rt BDC 面积为： 1 12BDCS BD BC ，而由 ,AD DC EA 平面 ABCD
知，DC 平面 EAD ，故 1 22EDCS ED DC ,则由 E BDC B EDCV V 知：1 1
3 3BDC EDCEA S hS ,
得： 2
2h ，求点 B 到平面 ECD 的距离为 2
2
。
20． 【解析】（1）由 1 2PF F△ 的面积可得 1 2 1 22 c ，即 2c ，∴ 2 2 4a b ．①
又椭圆C 过点 6, 1P ，∴ 2 2
6 1 1a b
．②
由①②解得 2 2a ， 2b ，故椭圆C 的标准方程为
2 2
18 4
x y ．·········5 分
（2）设直线 l 的方程为 y x m ，则原点到直线l 的距离
2
md ，
由弦长公式可得
2
22 2 8 22
mAB m ．
将 y x m 代入椭圆方程
2 2
18 4
x y ，得 2 23 4 2 8 0x mx m ，
由判别式 2 216 12 2 8 0m m ，解得 2 3 2 3m ．
由直线和圆相交的条件可得 d r ，即 2
2
m ，也即 2 2m ，
综上可得 m 的取值范围是 2,2 ．
·········6 分
·········12 分设 1 1,C x y ， 2 2,D x y ，则 1 2
4
3
mx x ， 2
1 2
2 8
3
mx x ，········8 分
由弦长公式，得
2 2
2 2
1 2 1 2
16 8 32 42 4 2 129 3 3
m mCD x x x x m ．
由 CD AB ，得
2
22
4 12 2 2 83 13 48 2
mCD
AB mm
．·········10 分
∵ 2 2m ，∴ 20 4 4m ，
则当 0m 时， 取得最小值 2 6
3
，此时直线l 的方程为 y x ．·········12 分
21.【解析】（1）由题易知： 1( ) ( 1), 0f x x m xx
，
2x 是函数 ( )f x 的极值点，故 (2) 0f ，则 3
2m ，·········2 分
故有 1 5( ) 2f x xx
又由 ( ) 0f x 知： 1
2x 或 2x
( )f x 在 1(0, ),(2, )2
上单增，在 1( ,2)2
单减。·········6 分
（2）由题易知： 1( ) ( 1), 1f x x m xx
，，故有 1( ) ( 1) 2 ( 1) 1f x x m m mx
当1 0,m 即 1m 时， ( ) 1 0f x m ，此时 ( )f x 在(1, ) 上单增，故 ( ) (1) 0f x f 恒成
立，满足题意；·········8 分
当1 0,m 即 1m 时，由 1 1( ) ( 1) 1 0f m m mm m
，
1 1( 1) 1 ( 1) 01 1f m m mm m
知： 0 ( , 1)x m m ，使得 0( ) 0f x ，而易知 ( )f x
在(1, ) 单增，故 0(1, )x x 时 ( ) 0f x ， ( )f x 在 0(1, )x 上单减； 0( , )x x 时 ( ) 0f x ， ( )f x
在 0( , )x 上单增； min 0( ) ( )f x f x ，而 0( ) (1) 0f x f ，故不满足对任意 (1, ), ( ) 0x f x
恒成立，此种情况舍；·········11 分
综上： 1m ·········12 分
22． 【解析】（1）因为 4sin ，所以 2 4 sin ，
所以 2 2 4x y y ，即曲线C 的直角坐标方程为： 22 2 4x y ，·········2 分直线l 的参数方程
3π1 cos 4
3πsin 4
x t
y t
(t 为参数)，即
21 2
2
2
x t
y t
(t 为参数)，·········5 分
（2）设点 A， B 对应的参数分别为 1t ， 2t ，
将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得
2 2
2 21 2 42 2t t
，
整理，得 2 3 2 1 0t t ，所以 1 2
1 2
3 2
· 1
t t
t t
，·········8 分
因为 1 0t ， 2 0t ，所以 1 2 1 2 3 2MA MB t t t t ．·········10 分
23． 【答案】（1） | 4 1 x x x 或 ；（2）见解析．
【解析】（1）解： 2 1 5x x ，
当 2x 时， 2 1 5x x ， 4x ；
当1 2x 时， 2 1 5x x ，1 5 ，无解；
当 2x 时， 2 1 5x x ， 1x ．
综上，不等式的解集为： | 4 1 x x x 或 ．·········5 分
（2）证明： 2 2a bf ab a f ab ab a
2 2ab b a
2 22 2ab b a 2 2 2 2 2 24 4 0 1 4 0a b b a a b ．
因为 1a ，所以 2 1 0a ，所以 2 4 0b ， 2b ．·········10 分
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