内江市 2019－2000 学年度第一学期高二期末检测题
数学(文科)
本试卷共 4 页，全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号、班级用签字笔填写在答题卡相应位置。
2.选择题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其它答案。不能答在试题卷上。
3.非选择题用签字笔将答案直接答在答题卡相应位置上。
4.考试结束后，监考人员将答题卡收回。
一、选择题：(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题的四个选项中只有一个
是正确的，把正确选项的代号填涂在答题卡的指定位置上。)
1.已知某班有学生 48 人，为了解该班学生视力情况，现将所有学生随机编号，用系统抽样的
方法抽取一个容量为 4 的样本，已知 3 号，15 号，39 号学生在样本中，则样本中另外一个学
生的编号是
A.26 B.27 C.28 D.29
2.设 B 点是点 A(2，－3，5)关于平面 xOy 的对称点，则|AB|＝
A. B.38 C. D.10
3.直线 l1、l2 的斜率是方程 x2＋2x－1＝0 的两根，则 l1 与 l2 的位置关系是
A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.重合
4.如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第 1 次到第 14 次的考试成绩依
次记为 A1，A2，A3，…，A14，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流
程图，那么输出的结果是
10 38A.9 B.8 C.7 D.6
5.方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线与圆(x＋1)2＋y2＝25 的位置关系是
A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定
6.关于直线 m、n 及平面 α、β，下列命题中正确的是
A.若 m∥α，α∩β＝n，则 m∥n B.若 m⊥α，m∥β，则 α⊥β
C.若 m∥α，n∥α，则 m∥n D.若 m α，α⊥β，则 m⊥β
7.已知(x0，y0)为线性区域 内的一点，若 z＝2x0－y0，则 z 的最大值为
A.2 B.3 C.－1 D.
8.已知点 M(1，3)到直线 l：mx＋y－1＝0 的距离等于 1，则实数 m 等于
A. B. C.－ D.－
9.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。哥德巴赫猜想是“每个
大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 40＝3＋37。(注：如果一个大于 1 的整数除了 1
和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数。)在不超过 11 的素数中，随机选取 2 个不同的
数，其和小于等于 10 的概率是
A. B. C. D.
10.若圆心坐标为(－2，1)的圆，被直线 x－y－1＝0 截得的弦长为 2，则这个圆的方程是
A.(x－2)2＋(y－1)2＝4 B.(x＋2)2＋(y－1)2＝4
C.(x＋2)2＋(y－1)2＝9 D.(x－2)2＋(y－1)2＝9
⊂
2 2 0
1
1 0
x y
x
x y
− + ≥
≤
+ − ≥
1
2
3
4
4
3
4
3
3
4
1
2
1
3
1
4
1
511.若圆 C：(x－3)2＋(y－4)2＝1 上存在点 P，使得 ，其中点 M(－t，0)、N(t，
0)(t∈R＋)，则 t 的最小值是
A.7 B.5 C.4 D.6
12.已知正三棱锥 A－BCD 的外接球是球 O，正三棱锥底边 BC＝3，侧棱 AB＝2 ，点 E 在
线段 BD 上，且 BE＝DE，过点 E 作球 O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是
A.[ ，3π] B.[2π，3π] C.[ ，4π] D.[ ，4π]
二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。)
13.已知 x1，x2，x3，…，xn 的平均数为 a，则 2x1＋3，2x2＋3，…，2xn ＋3 的平均数是 。
14.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提
出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。已知一个 5 次多项式 f(x)＝4x5－3x3
－2x2－5x＋1，用秦九韶算法求这个多项式当 x＝3 时的值为 。
15.一条光线从点(2，－3)射出，经 x 轴反射，其反射光线所在直线与圆(x－3)2＋y2＝1 相切，
则反射光线所在的直线方程为 。
16.如图所示，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 E 是棱 CC1 上的一个动点，若平面 BED1 交
棱 AA1 于点 F，给出下列命题：
①四棱锥 B1－BED1F 的体积恒为定值；
②对于棱 CC1 上任意一点 E，在棱 AD 上均有相应的点 G，使得 CG//平面 EBD1；
③O 为底面 ABCD 对角线 AC 和 BD 的交点，在棱 DD1 上存在点 H，使 OH//平面 EBD1；
④存在唯一的点 E，使得截面四边形 BED1F 的周长取得最小值。其中为真命题的是 。
(填写所有正确答案的序号)
三、解答题：(本大题共 6 个小题，共 70 分。解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤。)
17.(本小题满分 10 分)
已知△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(－2，－4)、B(2，4)、C(5，－1)。
(1)求边 AB 上的中线所在直线的一般式方程；
( ) 0MP CP CN⋅ − =
3
9
4
π 11
4
π 9
4
π(2)求边 AB 上的高所在直线的一般式方程。
18.(本小题满分 12 分)
某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，
60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]。
(1)求图中 a 的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这 100 名学生语文成绩的平均数与中位数。
19.(本小题满分 12 分)
如图，把长为 6，宽为 3 的矩形折成正三棱柱 ABC－A1B1C1，三棱柱的高度为 3，矩形的
对角线和三棱柱的侧棱 BB1、CC1 的交点记为 E、F。
(1)在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，若过 A1、E、F 三点做一平面，求截得的几何体 A1B1C1EF 的
表面积；
(2)求三棱锥 A1－AEF 的体积。
20.(本小题满分 12 分)
某公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个
起点站，为了研究车辆发车间隔时间 x 与乘客等候人数 y 之间的关系，经过调查得到如下数
据：
调查小组先从这 6 组数据中选取 4 组数据求线性回归方程，再用剩下的 2 组数据进行检
验。检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数 ，再求 与实ˆy ˆy际等候人数 y 的差，若差值的绝对值都不超过 1，则称所求方程是“恰当回归方程”。
(1)从这 6 组数据中随机选取 4 组数据，求剩下的 2 组数据的间隔时间相邻的概率；
(2)若选取的是中间 4 组数据，求 y 关于 x 的线性回归方程 ，并判断此方程是否是
“恰当回归方程”。
附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线 的斜率和截距的最
小二乘估计分别为： 。
21.(本小题满分 12 分)
在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PA⊥底面 ABCD，四棱锥 P－
ABCD 的体积 V＝ ，M 是 PA 的中点。
(1)求异面直线 PB 与 MD 所成角的余弦值；
(2)求点 B 到平面 PCD 的距离。
22.(本小题满分 12 分)
如图，圆 x2＋y2＝4 与 x 轴交于 A、B 两点，动直线 l：y＝kx＋1 与 x 轴、y 轴分别交于
点 E、F，与圆交于 C、D 两点。
(1)求 CD 的中点 M 的轨迹方程；
(2)若 ，求直线 l 的方程；
ˆˆ ˆy bx a= +
ˆˆ ˆy bx a= +
1 1
2 2 2
1 1
( )( )
ˆ ˆˆ,
( )
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nx y
b a y bx
x x x nx
= =
= =
− − −
= = = −
− −
∑ ∑
∑ ∑
8
3
CE FD= (3)设直线 AD、CB 的斜率分别为 k1、k2，是否存在实数 k 使得 ＝2？若存在，求出 k 的值；
若不存在，说明理由。
1
2
k
k
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