数学试题（第 1 页 共 14 页）
福州市 2020 届高三毕业班适应性试卷
数学（文科）详细解答及评分细则
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试
题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题
的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分
数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。
第 Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算等基础知识，意在考查逻辑推理、数学
运算等数学核心素养．
【答案】D．
【解答】由 得 所以 ．
2. 已知复数 满足 ，则
A． B． C． D．
【命题意图】本题主要考查复数的概念及其运算等基础知识，意在考查直观想象、数
学运算等数学核心素养．
【答案】A．
【解答】设 （ ），依题意得， ，解得 ，
所以 ．
( ){ }, | 2 4A x y x y= + = ( ){ }, | 1 0B x y x y= − + = A B =
∅ { }2,1 ( ){ }2,1 ( ){ }1,2
2 4,
1 0
x y
x y
+ =
− + =
1,
2,
x
y
=
= A B = ( ){ }1,2
z 6, 25z z z z+ = ⋅ = z =
3 4i± 3 4i± + 4 3i± 4 3i± +
iz a b= + ,a b∈R 2 22 6, 25a a b= + = 3, 4a b= = ±
z = 3 4i±数学试题（第 2 页 共 14 页）
3. 已知 均为单位向量，若 ，则 与 的夹角为
A． B． C． D．
【命题意图】本题主要考查本题主要考查平面向量的概念及运算等基础知识，意在考
查逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养．
【答案】C．
【解答】依题意， ， ，所以 ，即 ，所
以 ，所以 ．
4. 函数 的零点所在的区间为
A． B． C． D．
【命题意图】本题主要考查函数零点的概念与存在性定理等基础知识，意在考查逻辑
推理，数学运算，直观想象等数学核心素养．
【答案】B．
【解答】依题意， 为增函数，
，所以 的零点所在的区间为 ．
5. 班主任要从甲、乙、丙、丁、戊 5 个人中随机抽取 3 个人参加活动，则甲、乙同时被
抽到的概率为
A． B． C． D．
【命题意图】本题主要考查概率与古典概型等基础知识，意在考查数学建模、数学运
算和逻辑推理等数学核心素养．
【答案】C．
【解答】从 5 个人中随机抽取 3 人，所有的情况为{甲,乙,丙}，{甲,乙,丁}，{甲,乙,
戊}，{甲,丙,丁}，{甲,丙,戊}，{甲,丁,戊}，{乙,丙,丁}，{乙,丙,戊}，{乙,丁,戊}，{丙,
丁,戊}，共 10 种结果．记“甲、乙同时被抽到”为事件 ，则 包含基本事件{甲,乙,
丙}，{甲,乙,丁}，{甲,乙,戊}，共 3 个，故 ．
1 2,e e 1 2 3− =e e 1e 2e
30° 60° 120° 150°
1 2 1= =e e 2
1 2 3− =e e 1 22 2 3− ⋅ =e e 1 2
1
2
⋅ = −e e
1 2
1 2
1 2
1cos , 2
⋅= = −e ee e e e 1 2, 120= °e e
( ) 33 5xf x x= + −
( )0,1 31, 2
3 ,22
52, 2
( )f x ( )1 3 1 5 0,f = + − ＜ ( ) 2 32 3 2 5 0,f = + − ＞ 3
2f =
3 3 + 27 58
− = 133 3 08
− ＞ ( )f x 31, 2
1
10
1
5
3
10
2
5
A A
( ) 3
10P A =数学试题（第 3 页 共 14 页）
6. 若 ，则
A． B．1 C． 或 0 D． 或 1
【命题意图】本题主要考查三角恒等变换等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算
等数学核心素养．
【答案】D．
【解答】由题设得， ，所以 ，或 ．
所以 ，或 ．
7. 已知平面 平面 ，直线 ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【命题意图】本题主要考查充分条件、必要条件、直线与直线、直线与平面的位置关
系及其相互转化等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学抽象等数学核心素
养．
【答案】C．
【解析】若 ，则根据面面垂直的性质定理可得 ；若 ，则由 ，
可得 ．故选 C．
8. 已知过点 的直线与抛物线 交于 两点，若 ，
则
A． B． C． D．
【命题意图】本题主要考查抛物线的概念与性质、直线与抛物线的位置关系等基础知
识，意在考查直观想象、逻辑推理和数学运算等数学核心素养．
【答案】B．
【解答】依题意，点 为抛物线的焦点，则由抛物线的定义可得
．
( )tan 2sinα α= − π cos2α =
1
4
− 1
2
− 1
2
−
sin 2sincos
α αα = − sin 0α = 1cos 2
α = −
cos2α = 1− 22sin 1α = 2 1cos2 2cos 1 2
α α= − = −
α ⊥ β , lm αα β⊂ = m l⊥ m β⊥
m l⊥ m β⊥ m β⊥ l β⊂
m l⊥
( )0,1 2 4x y= ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2
9
4y y+ =
AB =
25
4
17
4
13
4
9
4
( )0,1 AB = 1 2 2y y+ + =
9 1724 4
+ =数学试题（第 4 页 共 14 页）
9. 某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门
课程．已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁
与丙没有相同课程．则以下说法错误的是
A．丙有可能没有选素描 B．丁有可能没有选素描
C．乙丁可能两门课都相同 D．这四个人里恰有 2 个人选素描
【命题意图】本题主要考查创新意识，意在考查逻辑推理等数学核心素养．
【答案】C．
【解答】因为甲选择了素描，所以乙必定没选素描．那么假设丙选择了素描，则丁一
定没选素描；若丙没选素描，则丁必定选择了素描．综上，必定有且只有 2 人选择素
描，选项 A，B，D 判断正确．
不妨设甲另一门选修为摄影，则乙素描与摄影均不选修，则对于素描与摄影可能出现
如下两种情况：
由上表可知，乙与丁必有一门课程不相同，因此 C 不正确．
10. 定 义 在 上 的 奇 函 数 满 足 ， 且 当 时 ，
，则
A． B． C． D．
【命题意图】本题主要考查函数的概念与性质等基础知识，意在考查逻辑推理、数学
运算和数学抽象等数学核心素养．
【答案】B．
【解答】依题意， ，所以 ，所以 为周
期函数，周期为 4．又 ，所以 ，所以
．
11. 已知函数 ，将 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵
坐标保持不变，得到函数 的图象．若 ，则 的最小值
情形一 甲 乙 丙 丁 情形二 甲 乙 丙 丁
素描 √ × √ × 素描 √ × × √
摄影 √ × × √ 摄影 √ × √ ×
R ( )f x ( ) ( )2f x f x− = 1 0x− ≤ ＜
( ) 2 1xf x = − ( )2log 20f =
1
4
1
5
1
5
− 1
4
−
( ) ( ) ( )2f x f x f x+ = − = − ( ) ( )4f x f x+ = ( )f x
22 log 5 3＜ ＜ 21 2 log 5 0− −＜ ＜ ( )2log 20f =
( )22 log 5f + = ( ) ( )2 2log 5 2 2 log 5f f− = − − = ( )22 log 52 1−− − = 4 15
− − =
1
5
( ) sin cosf x x x= + ( )f x 1
2
( )y g x= ( ) ( )1 2 2g x g x = − 1 2| |x x−数学试题（第 5 页 共 14 页）
为
A． B． C． D．
【命题意图】本题主要考查三角函数的图象和性质、函数的概念与性质等基础知识，
意在考查逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养．
【答案】A．
【解答】 ，所以 ，故 的周期为 ，且
．因为 ，所以 ，或
，所以 ，所以 ．
12. 已知双曲线 （ ）的一条渐近线方程为 ， 分别
是 的左、右顶点， 是 上异于 的动点，直线 的斜率分别为 ，
若 ，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【命题意图】本题主要考查双曲线的简单几何性质、直线和双曲线的位置关系、函数
的概念与性质等基础知识，意在考查逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素
养．
【答案】A．
【解析】依题意， ，则双曲线的方程为： ，则 ，
设 ，则 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
第 Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．
π
2 π 2π 4π
( ) π2 sin 4f x x = +
( ) π2 sin 2 4g x x = +
( )g x π
( )max 2,g x = ( )min 2g x = − ( ) ( )1 2 2g x g x⋅ = − ( ) ( )1 2 2g x g x= − =
( ) ( )1 2 2g x g x= − = − 1 2
π π,2x x k k− = + ∈N 1 2 min
π| | 2x x− =
2 2
2 2: 1x yC a b
− = 0, 0a b＞ ＞ 2 0x y− = ,A B
C M C ,A B ,MA MB 1 2,k k
11 2k≤ ≤ 2k
1 1,8 4
1 1,4 2
1 1,4 8
− −
1 1,2 4
− −
1
2
b
a
=
2 2
2 2 14
x y
b b
− = ( ) ( )2 ,0 , 2 ,0A b B b−
( )0 0,M x y
2 2
0 0
2 2 14
x y
b b
− =
2
2 0
22
0 0 0
1 2 2 2 2 2
0 0 0 0
14 1
2 2 4 4 4
xb by y yk k x b x b x b x b
−
= ⋅ = = =+ − − −
1 [1,2]k ∈
1
2
1 1,8 4
1
4kk = ∈ 数学试题（第 6 页 共 14 页）
13. 若实数 x，y 满足约束条件 则 的最大值
为 ．
【命题意图】本题主要考查简单的线性规划问题等基础知识，意在考查直观想象与数
学运算等数学核心素养．
【答案】4．
【解答】作出可行域如图所示，则当直线 过点 时 取最大值 4．
14. 的 内 角 的 对 边 分 别 为 ， 若 ， 则
．
【命题意图】本题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，意在考查逻辑推理、
数学运算、直观想象等数学核心素养．
【答案】 ．
【解答】由题设及正弦定理得 ，所以
．又 ，所以 ，所以 ．
15. 勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动
学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，
以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边
三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对
应的等边三角形的边长比为 ，若从大的勒洛三角形中随机
取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为______．
【命题意图】本题主要考查概率与几何概型、平面几何等基础
知识，考查阅读能力与应用意识和创新能力，意在考查数学建模、数学运算和逻辑推
理等数学核心素养．
【答案】 ．
【解析】设图中的小的勒洛三角形所对应的等边三角形的边长为 ，则小勒洛三角形
的面积 ，因为大小两个勒洛三角形，它们所对应
的 等 边 三 角 形 的 边 长 比 为 ， 所 以 大 勒 洛 三 角 形 的 面 积
2,
2 2 0,
1 0,
y
x y
x y
−
− +
+ −
≥
≥
≤
2z x y= +
2z x y= + (3, 2)A − z
ABC△ , ,A B C , ,a b c cos cos 2a B b A ac+ =
a =
1
2
sin cos sin cos 2 sinA B B A a C+ = ( )sin A B+ =
2 sina C πA B C+ + = sin 2 sinC a C= 1
2a =
1:3
1
9
a
1S =
( ) 22
23
43 26 2
aa a
π − 3π× − × =
1:3 2S =
( )( )23
2
aπ − 3
=数学试题（第 7 页 共 14 页）
，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概
率 ．
16. 在三棱锥 中， 底面 ， ， 是线段 上
一点，且 ．三棱锥 的各个顶点都在球 表面上，过点 作球 的
截面，则所得截面圆的面积的最小值为 ．
【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、球体与截面等基础
知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算等数学核心素养．
【答案】 ．
【解答】将三棱锥 补成直三棱柱，则三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球
，记三角形 的外心为 ，设球的半径为 ， ，
则球心 到平面 的距离为 ，即 ，连接 ，则
，所以 ．在 中，取 的中
点为 ，连接 ，则 ， ，
所以 ．在 中， ，由题意得到当截面与直线 垂
直 时 ， 截 面 面 积 最 小 ， 设 此 时 截 面 圆 的 半 径 为 ， 则
，
所以最小截面圆的面积为 ．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第
17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要
求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17. （本小题满分 12 分）
已知数列 满足 ， ，设 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和．
( ) 29
2
aπ − 3
1
2
SP S
= = 1
9
P ABC− PA ⊥ ABC , 6, 8AB AC AB AC⊥ = = D AC
3AD DC= P ABC− O D O
12π
P ABC−
O ABC 1O R 2PA x=
O ABC x 1OO x= 1O A
1
1 52O A BC= = 2 2 25R x= + ABC△ AC
E 1 1,O D O E 1
1 32O E AB= = 1 24DE AC= =
1 13O D = 1Rt OO D△ 2 13OD x= + OD
r
( )2 2 2 2 225 13 12r R OD x x= − = + − + =
12π
{ }na 1 1a = ( ) ( )1 1 1n nna n a n n+ − + = + n
n
ab n
=
{ }nb
2 nb
nc n= − { }nc n
A
B
C
1O
O
E D
P数学试题（第 8 页 共 14 页）
【命题意图】本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，意在考查逻辑推理、数
学运算等数学核心素养．满分 12 分．
【解答】（1）因为 ，所以 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分
又因为 ，
所以 ，即 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
所以 为等差数列，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
其首项为 ，公差 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
所以 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
（2）由（1）及题设得， ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
所以数列 的前 项和
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
18. （本小题满分 12 分）
如图，四棱柱 的底面为菱形， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）设 ，若 平面 ，
求三棱锥 的体积．
【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、多面体的体积等基
础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算等数学核心素养．满分 12 分．
【解析】（1）证明：依题意， ，且 ，
∴ ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分
∴四边形 是平行四边形，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
∴ ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
n
n
ab n
= n na nb=
( ) ( )1 1 1n nna n a n n+ − + = +
( ) ( ) ( )11 1 1n nn n b n nb n n++ − + = + 1 1n nb b+ − =
{ }nb
1 1 1b a= = 1d =
( )1 1nb n n= + − =
2n
nc n= −
{ }nc n
( ) ( )2 32 2 2 2 1 2 3n
nS n= + + + + − + + + +
( )12 2 2
1 2 2
n n n+− ×= −−
2
12 22
n n n+ += − −
1 1 1 1ABCD A B C D− AC BD O=
1B C ∥ 1A BD
AB = 1 2,AA =
3BAD
π∠ = 1AO ⊥ ABCD
1 1B A BD−
1 1 //A B AB //AB CD
1 1 //A B CD
1 1A B CD
1 1B C A D∥
1B C ⊄ 1A BD 1A D ⊂ 1A BD
1B C ∥ 1A BD
A
B
C
D
1A
1B 1C
1D
O数学试题（第 9 页 共 14 页）
（2）依题意， ，
在 中， ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
所以三棱锥 的体积
．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
由（1）知 平面 ，
∴ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
19. （本小题满分 12 分）
世界互联网大会是由中国倡导并每年在浙江省嘉兴市桐乡乌镇举办的世界性互联网
盛会，大会旨在搭建中国与世界互联互通的国际平台和国际互联网共享共治的中国平台，
让各国在争议中求共识、在共识中谋合作、在合作中创共赢．2019 年 10 月 20 日至 22 日，
第六届世界互联网大会如期举行，为了大会顺利召开，组委会特招募了 1 000 名志愿者．某
部门为了了解志愿者的基本情况，调查了其中 100 名志愿者的年龄，得到了他们年龄的中
位数为 34 岁，年龄在 岁内的人数为 15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布
直方图：
（1）求 ， 的值并估算出志愿者的平均年龄（同一组的数据用该组区间的中点值
代表）；
（2）这次大会志愿者主要通过现场报名和登录大会官网报名，即现场和网络两种方
式报名调查．这 100 位志愿者的报名方式部分数据如下表所示，完善下面的表格，通过计
算说明能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关
系”？
1 2, 3AA AO= =
1Rt AAO△ 2 2
1 1 1AO AA AO= − =
1A BCD−
1A BCDV − 1
1
3 BCDS AO= ⋅△
21 3 2 13 4
= × × ×
3
3
=
1B C ∥ 1A BD
1 1 1B A BD C A BDV V− −=
1A BCDV −=
3
3
=
[40,45)
频率/组距
年龄/岁20 25 30 35 40 45 50
0.010
0.020
2m
2n
O
m n数学试题（第 10 页 共 14 页）
男性 女性 总计
现场报名 50
网络报名 31
总计 50
参考公式及数据： ，其中 .
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
【命题意图】本题主要考查概率与统计等基础知识，考查学生的创新意识和应用意识，
意在考查数学建模、数学抽象、数学运算、数据分析等数学核心素养．满分 12 分．
【解答】（1）因为志愿者年龄在 内的人数为 ，
所以志愿者年龄在 内的频率为： ；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分
由频率分布直方图得： ，
即 ，① ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
由中位数为 可得 ，
即 ，② ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
由①②解得 ， .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
志愿者的平均年龄为
（岁）． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
（2）根据题意得到列联表：
男性 女性 总计
现场报名
网络报名
总计
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
所以 的观测值
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
( )2
0P K k
0k
[40,45) 15
[40,45) 15 0.15100
=
(0.020 2 4 0.010) 5 0.15 1m n+ + + × + =
2 0.07m n+ =
34 0.020 5 2 5 2 (34 30) 0.5m n× + × + × − =
5 4 0.2m n+ =
0.020m = 0.025n =
(22.5 0.020 27.5 0.040 32.5 0.050 37.5 0.050 42.5 0.030× + × + × + × + × + 47.5 0.010) 5× × =
34
19 31 50
31 19 50
50 50 100
2K数学试题（第 11 页 共 14 页）
，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
所以不能在犯错误的概率不超过 的前提下，认为选择哪种报名方式与性别有关
系．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
说明：第（1）小题中，方程①②列对一个给 2 分，两个都列对给 3 分．
20. （本小题满分 12 分）
已知 ．
（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（2）若存在 ，使得 成立，求 的取值范围．
【命题意图】本题主要考查函数和导数及其应用等基础知识，意在考查直观想象、逻
辑推理与数学运算等数学核心素养．满分 12 分.
【解答】 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分
（1）当 时， ，
所以 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
（2）存在 ，使得 成立，
等价于不等式 在 有解． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
设 ，则 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
当 时， ， 为增函数；当 时， ， 为减函数．
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
又 ， ，故 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
所以当 时， ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
2100 (19 19 31 31)
50 50 50 50k
× × − ×= × × ×
( ) ( ) 22 19 31 19 31
50 50 50
× + × − = × × 5.76 10.828= ＜
0.001
( ) 22 ln 3f x x x x ax= + + +
1a = ( )y f x= 1x =
0
1,eex ∈
( )0 0f x ≥ a
( ) ( )2 ln 1 2f x x x a′ = + + +
1a = ( ) 22 ln 3,f x x x x x= + + + ( ) ( )2 ln 1 2 1f x x x′ = + + +
( ) ( )1 5, 1 5f f ′= =
( )y f x= 1x = ( )5 5 1y x− = − 5y x=
0
1,eex ∈
( )0 0f x ≥
22 ln 3x x xa x
+ +−≥ 1,ee
( ) 22 ln 3x x xh x x
+ += − ( ) ( )( )2
2 2
3 12 3 x xx xh x x x
+ −+ −′ = − = −
1 1e x< < ( ) 0h x′ > ( )h x 1 ex< < ( ) 0h x′ < ( )h x
21 3e 2e 1
e eh
− + = −
( ) 2e 2e 3e eh
+ += − ( )1 e 0eh h − ＜
1,eex ∈
( ) 21 3e 2e 1
e eh x h
− + = − ＞数学试题（第 12 页 共 14 页）
所以 ，即 的取值范围为 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
21. （本小题满分 12 分）
已知椭圆 ( )的离心率为 ，以 的短轴为直径的圆与直线
相切．
（1）求 的方程；
（2）直线 交椭圆 于 ， 两点，且 ．已知 上存
在点 ，使得 是以 为顶角的等腰直角三角形．若 在直线 右下方，
求 的值．
【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、直线和圆的位
置关系等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算等数学核心素养．满分 12
分.
【解答】（1）依题意， ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
因为离心率 ，
所以 ，解得 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
所以椭圆 的标准方程为 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
（2）因为直线 的倾斜角为 ，且 是以 为顶角的等腰直角
三角形， 在直线 右下方，所以 轴．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
过 作 的垂线，垂足为 ，则 为线段 的中点，所以 ，故
，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
所以 ，
即 ，
整理得 ．① ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
由 得 .
23e 2e 1
ea
− +−＞ a
23e 2e 1,e
− +− +∞
2 2
2 2: 1x yC a b
+ = 0a b＞ ＞ 6
3 C
:3 4 5 0l x y+ − =
C
y x m= + C ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 1 2x x＞ l
P PMN△ PMN∠ P MN
m
2 23
0 0 5 1
4
b +
+ −= =
2 2 6
3
c a be a a
−= = =
2 1 6
3
a
a
− = 3a =
C
2
2 13
x y+ =
y x m= + 45° PMN△ PMN∠
P MN NP x∥
M NP Q Q NP ( )1 2,Q x y
( )1 2 22 ,P x x y−
( )1 2 23 2 4 5 0x x y− + − =
( ) ( )1 2 23 2 4 5 0x x x m− + + − =
1 26 4 5 0x x m+ + − =
2 23 3,x y
y x m
+ =
= +
2 24 6 3 3 0x mx m+ + − =
x
y
P l
M
N
O
Q数学试题（第 13 页 共 14 页）
所以 ，解得 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
所以 ，②
，③∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
由①-②得， ，④
将④代入②得 ，⑤ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
将④⑤代入③得 ，解得 ．
综上， 的值为 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 两题中任选一题作答．如果多做，则按所
做第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22.（本小题满分 10 分）选修 ：坐标系与参数方程
已知直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）．以 为极点，
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）写出 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）设点 为 上的任意一点，求 到 距离的取值范围．
【命题意图】本题主要考查直线的参数方程、曲线直角坐标方程、极坐标方程的互
化，圆的极坐标方程等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心
素养．满分 10 分.
【解答】（1） 的普通方程为 ，即 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
曲线 的直角坐标方程为 ，即 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
（2）由（1）知， 是以 为圆心，半径 的圆， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
圆心 到 的距离 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
所以直线 与圆 相离， 到曲线 距离的最小值为 ；最大
值 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
所以 到曲线 距离的取值范围为 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
2 236 48 48 0m m∆ = − + ＞ 2 2m− ＜ ＜
1 2
3
2x x m+ = −
( )2
1 2
3 14x x m= −
1 1 2
mx = −
2 1x m= − −
( ) ( )( )31 1 1 12 4
m m m m − + = − + 1m = −
m 1−
4 4−
xOy 1C 3 ,x t
y t
= − +
= t O
x 2C 2 1 2 cosρ ρ θ= +
1C 2C
P 2C P 1C
1C 3x y− = − 3 0x y− + =
2C 2 2 1 2x y x+ = + ( )2 21 2x y− + =
2C ( )1,0 2r =
2C ( )1,0 1C 1 0 3 2 2 2
2
d
− += = ＞
1C 2C P 1C 2 2 2 2d r− = − =
2 2d r+ = + 2 3 2=
P 1C 2,3 2 数学试题（第 14 页 共 14 页）
23.（本小题满分 10 分）选修 ：不等式选讲
已知 ，且 ．
（1）求 的取值范围；
（2）求证： ．
【命题意图】本题主要考查配方法、基本不等式和不等式证明等基础知识，意在考
查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养．满分 10 分.
【解答】（1）依题意， ，故 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分
所以 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
所以 ，即 的取值范围为 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
（2）因为 ，
所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
又因为 ，
所以 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
4 5−
0, 0, 0a b c＞ ＞ ＞ 2a b c+ + =
2a b c+ +
1 4 9 18a b c
+ + ≥
2 0a b c− = + ＞ 0 2a＜ ＜
2a b c+ + ( ) 2
2 1 72 2 4a a a = + − = − +
( )2 27 2 2 2 44 a b c+ + + − =≤ ＜ 2a b c+ + 7 ,44
0, 0, 0a b c＞ ＞ ＞
( ) 1 4 9 4 9 4 914 b a c a c ba b c a b c a b a c b c
+ + + + = + + + + + +
4 9 4 914 2 2 2b a c a c b
a b a c b c
+ ⋅ + ⋅ + ⋅≥
14 2 4 2 9 2 36 36= + + + =
2a b c+ + =
1 4 9 18a b c
+ + ≥
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