理科数学试题（第 1 页共 16 页）
福州市 2020 届高三毕业班适应性试卷
数学(理科)详细解答及评分细则
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试
题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题
的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分
数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1. 在复平面内，复数 对应的点与 对应的点关于实轴对称，则
A． B． C． D．
【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及其几何意义等基础知识，意在考查直
观想象、数学运算的数学核心素养．
【答案】A．
【解析】由题得 ,所以 .故选 A.
2. 已知集合 ， ．若 ，则实数
A． B． C． D．
【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算、解方程等基础知识，意在考查逻辑推
理、数学运算等数学核心素养．
【答案】C．
【解析】因为 ，所以直线 与直线 平行，所以 .
故选 C.
3. 已知两个单位向量 ，若 ，则 的夹角为
z 1 i+
i
z =
i1− − i1− + 1 i+ 1 i−
1 iz = − 1 i ii
1 1i 1
iz += = −−
−= −
( ){ }, | 2 0A x y x y= + = ( ){ }, | 1 0B x y x my= + + = A B = ∅
m =
2− 1
2
− 1
2 2
A B = ∅ 2 0x y+ = 1 0x my+ + = 1
2m =
1 2,e e ( )1 2 12− ⊥e e e 1 2,e e理科数学试题（第 2 页共 16 页）
A． B． C． D．
【命题意图】本题主要考查平面向量的概念及运算等基础知识，意在考查逻辑推理，
数学运算，直观想象的数学核心素养．
【答案】B．
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，故选 B.
4. 一组数据的平均数为 ，方差为 ，将这组数据的每个数都乘以 得到一组新
数据，则下列说法正确的是
A．这组新数据的平均数为 B．这组新数据的平均数为
C．这组新数据的方差为 D．这组新数据的标准差为
【命题意图】本题主要考查统计和统计量的理解等基础知识，意在考查数据分析等数
学核心素养．
【答案】D．
【解析】由题意知：这组新数据的平均数为 ，方差为 ，标准差为 .故选
D．
5. 已知平面 平面 ，直线 ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及其相互转化等基础
知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学抽象的数学核心素养．
【答案】C．
【解析】若 ，则根据面面垂直的性质定理可得 ；若 ，则由 ，
可得 .故选 C.
6. 若 ，则
A． B． C． D．
【命题意图】本题主要考查指数、对数、幂的运算及性质等基础知识，意在考查逻辑
推理、数学运算的数学核心素养．
2π
3
π
3
π
4
π
6
( )1 2 12− ⊥e e e ( )1 2 12 0− ⋅ =e e e 1 1
2
22= ⋅e e e
1 2cos , =e e 1
2
[ ]1 2, 0,∈ πe e 1 2,
π
3=e e
m n ( )0a a >
m a m+
an a n
am 2a n a n
α ^ β , lm αα β =Ì m l^ m β^
m l^ m β^ m β^ l β⊂
m l^
( ) 3
3
12
3 1log e,2 e,a b c
− = = =
a b c> > c a b> > a c b> > c b a> >理科数学试题（第 3 页共 16 页）
【答案】B．
【解析】 ， ，所以 ，
，故 .故选 B.
7. 若 ，则
A． B． C． 或 D． 或
【命题意图】本题主要考查三角恒等变换等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算
的数学核心素养．
【答案】D．
【解析】由 得 ,所以 ,所
以 或 ,故 或 .故选 D.
8. 抛物线 的焦点为 ，点 为 上的动点，点 为 的准线上的动点，当
为等边三角形时，其周长为
A． B．2 C． D．
【命题意图】本题主要考查抛物线的概念与性质，直线与抛物线的位置关系等基础知
识，意在考查直观想象、逻辑推理、数学运算的数学核心素养．
【答案】D．
【解析】方法一、因为 为等边三角形，所以
垂直 的准线于 ，易知 ，因为 ，所
以 ，所以 的周长为 ，故选 D.
方法二、因为 为等边三角形， ，
所以 垂直 的准线于 ，设 ，则 ，所以 ，
( )2 1
3 032 2 2 1a = = > =
1
3 1 1
331 e 2e ac
− = = >
=
1 a c< <
3 3log e log 3 1b = < = c a b> >
tan 3cos( )2
α α − = − π
π
cos2α =
1− 7
9 0 7
9 1− 7
9
tan 3cos( )2
α α − = − π
π sin 2 3cos
cos 2
α
α
α
π − = −π −
cos 3cossin
α αα = −
cos 0α = sin 3
1α = − 2cos2 2cos 1 1α α= − = − 2cos2 1 2 7
9sinα α= − =
2: 2C y x= F P C M C
FPM△
2 3 2 6
FPM△ PM
C M 4PM OF= 1
2OF =
2PM = FPM△ 3 2 6× =
FPM△ PF PM=
PM C M
2
,2
mP m
1 ,2M m −
21
2 2
mPM = +理科数学试题（第 4 页共 16 页）
又因为 ，且 ，所以 ，解得 ，所以
，所以 的周长为 ，故选 D.
9. 在同一平面直角坐标系中，画出三个函数
， 的部分图象如图所示，
则
A. 为 为 为 B. 为 为 为
C. 为 为 为 D. 为 为 为
【命题意图】本题主要考查三角函数的图象和性质等基础知识，意在考查逻辑推理、
直观想象、数学运算的数学核心素养．
【答案】A．
【解析】 ， ， 的最大值分别为 ，1，1，由于图象
的最大值最大，故 为 ； ， 的最小正周期分别为 ，图象 的最小
正周期比 小，故 为 ， 为 ，故选 A.
10. 射线测厚技术原理公式为 ，其中 分别为射线穿过被测物前后的强度，
是自然对数的底数， 为被测物厚度， 为被测物的密度， 是被测物对射线的吸
收系数．工业上通常用镅 241（ ）低能 射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢
板的半价层厚度为 0.8，钢的密度为 7.6，则这种射线的吸收系数为
（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度， ，
结果精确到 0.001）
A． B． C． D．
【命题意图】本题主要考查函数的概念与性质，在物理背景下考查学生的创新意识和
应用意识，意在考查逻辑推理，数学运算，数学建模的数学核心素养．
【答案】C．
【解析】依题意得 ，所以 ，所以 ，故
选 C.
1 02F
， PM MF=
22
21 1 1
2 2 2 2
m m
+ = + + 2 3m =
2PM = FPM△ 3 2 6× =
( ) sin 2 cos2 ,f x x x= +
5( ) sin 2g x x = +
π
( ) co 7sh x x = −
π
a ( ),f x b ( ),g x c ( )h x a ( ),h x b ( ),f x c ( )g x
a ( ),g x b ( ),f x c ( )h x a ( ),h x b ( ),g x c ( )f x
( ) 2 sin 2 4f x x = +
π
( )g x ( )h x 2 a
a ( )f x ( )g x ( )h x π,2π b
c b ( )g x c ( )h x
0e tI I ρµ−= 0I I，
e t ρ µ
241 Am γ
ln 2 0.6931≈
0.110 0.112 0.114 0.116
7.6 0.81 e2
µ− ×= ln 2 6.08µ= ln 2 0.6931 0.1146.08 60.8
µ = ≈ ≈理科数学试题（第 5 页共 16 页）
11. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ， 是 上关
于原点对称的两点， 是 上异于 的动点，直线 的斜率分别为 ，若
，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【命题意图】本题主要考查双曲线的概念与性质、直线和双曲线的位置关系等基础知
识，意在考查逻辑推理、直观想象、数学运算的数学核心素养．
【答案】A．
【解析】∵双曲线 的一条渐近线方程为 ，
∴ ，则双曲线的方程为： ,
设 ， ，则 ,所以
，
即 ，∵ ，∴ .故选 A.
12. 在三棱锥 中， 底面 ， ， 是线段 上
一点，且 ．三棱锥 的各个顶点都在球 表面上，过点 作球 的
截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为 ，则球 的表面积为
A． B． C． D．
【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，球体与截面等基础
知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养．
【答案】C．
【解析】将三棱锥 补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球
，记三角形 的中心为 ，设球的半径为 ， ，则球心 到平面
的距离为 ，即 ，连接 ，则 ，∴ ．在 中，取
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > 2 0x y− = ,A B C
M C ,A B ,MA MB 1 2,k k
11 2k 2k
1 1,8 4
1 1,4 2
1 1,4 8
− −
1 1,2 4
− −
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > 2 0x y− =
2a b=
2 2
2 2 1( 0)4
x y bb b
− = >
( )1 1,A x y ( )0 0,M x y ( )1 1,B x y− −
2 2
1 1
2 2
2 2
0 0
2 2
1
4 ,
1
4
x y
b b
x y
b b
− =
− =
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2
1 0 1 0
1, 44
x x x x y y y y y y y y
x x x xb b
+ − + − + −∴ = ∴ = + −
1 2
1
4k k⋅ = 11 2k 2
1 1,8 4k ∈
P ABC− PA ⊥ ABC , 6, 8AB AC AB AC⊥ = = D AC
3AD DC= P ABC− O D O
16π O
72π 86π 112π 128π
P ABC−
O ABC 1O R 2PA x= O ABC
x 1OO x= 1O A 1 5O A = 2 2 25R x= + ABC△ AC理科数学试题（第 6 页共 16 页）
的中点为 ，连接 ，则 ，
，所以 ．在 中，
，由题意得到当截面与直线 垂直时，截面面
积最小，设此时截面圆的半径为 ，则
，
所以最小截面圆的面积为 ，当截面过球心时，截面面积最大为 ，所以
， ，球的表面积为 ．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.
13. 曲线 在点 处的切线方程为________．
【命题意图】本题主要考查函数与导数和导数几何意义等基础知识，意在考查逻辑推
理、直观想象、数学运算的数学核心素养．
【答案】 ．
【解析】因为 ，所以 ，
所以在点 处的切线方程为 ，即 .
14. 勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动
学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，
以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三
角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的
等边三角形的边长比为 ，若从大的勒洛三角形中随机取一
点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为______．
【命题意图】本题主要考查概率与几何概型、平面几何等基础知识，考查阅读能力与
应用意识和创新能力，意在考查数学建模、数学运算和逻辑推理的数学核心素养．
【答案】 ．
【解析】设图中的小的勒洛三角形所对应的等边三角形的边长为 ，则小勒洛三角形
的面积为 ，因为大小两个勒洛三角形，它们所对
应的等边三角形的边长比为 ，所以大勒洛三角形的面积为
E 1 1,O D O E 1
1 32O E AB= =
1 24DE AC= =
1 13O D = 1Rt OO D△
2 13OD x= + OD
r
( )2 2 2 2 225 13 12r R OD x x= − = + − + =
12π 2Rπ
2 12 16Rπ − π = π 2 28R = 2 112R4π = π
( ) sinf x x x= ( ),0π
2 0x yπ + − π =
( ) sin cosf x x x x′ = + ( ) sin cosf ′ π = π + π π = −π
( ),0π ( )y x= −π − π 2 0x yπ + − π =
1:3
1
9
a
( )2
1
2
2
3 2 3
46 2a
aaS
π − 3π= × − × =
1:3
A
B
C
1O
O
E D
P理科数学试题（第 7 页共 16 页）
，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小
勒洛三角形内的概率为 ．
15. 已知 的内角 的对边分别为 ．若
，则角 大小为_____．
【命题意图】本题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，意在考查逻辑推理、
数学运算、直观想象的数学核心素养．
【答案】 ．
【解析】因为 所以
所以 所以
因为 ，所以 ，则 ，所以 ，
又 ，则 ，因为 ，所以 ，故 ．
16. 已知函数 是定义在 上的偶函数． ，且 ，都有
,则不等式 的解集为________．
【命题意图】本题主要考查函数的概念与性质及其应用、解不等式等基础知识，意在
考查逻辑推理、数学运算和直观想象的数学核心素养．
【答案】 ．
【解析】因为函数 是定义在 上的偶函数，所以 关于 轴对称，
由 向左平移 个单位得到 ，所以 关于直线 对称.
，且 ，都有 ,
所以 在 上单调递增，所以 在 上单调递减，
因为 ，且 ，
所以 ，所以 ，解得 ，所以原不等式的解集为 .
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．
( )( ) ( )2 2
2 2
3 9
2
a a
S
π − 3 π − 3
= =
1
2
1
9
S
SP = =
ABC△ , ,A B C , ,a b c ( )cos sin cos cos ,A C C B− =
2, 2a c= = C
6
π
( )cos sin cos cos ,A C C B− = ( ) ( )cos sin cos cos ,A C C A C− = − +
cos sin sin sin ,A C A C= ( )sin cos sin 0,C A A− =
( )0, , sin 0C C∈ π ∴ ≠ cos sinA A= tan 1A =
4A = π
2
sin sin
a
A C
= 1sin 2C = c a< 0 4C< < π
6C = π
( )1f x + R [ )1 2, 1,x x∀ ∈ +∞ 1 2x x≠
( ) ( ) ( )1 2 2 1 0x x f x f x− − × × ×
99%
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1 1 , 60 ,2, A B A D BADAB AA = ∠ == °=
, AC OA BD O= ⊥ 1A BD
1B C ∥ 1A BD
1B AA D− −
1 1 // ,A B AB // ,AB CD
1 1 //A B CD
1 1A B CD
1 1B C A D∥
1B C ⊄ 1A BD 1A D ⊂ 1A BD
1B C ∥ 1A BD
AO ⊥ 1A BD 1AO AO⊥
1 1A B A D= O BD 1AO BD⊥
AO BD ⊂、 ABCD AO BD O=
1AO ⊥ ABCD
O 1, ,OA OB OA x y z
O
D
A B
C
C1
B1A1
D1理科数学试题（第 11 页共 16 页）
直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，
∴
设平面 的法向量为 ，
则 ，∴ ，取 ，则 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
设平面 的法向量为 ，
则 ，∴ ，取 ，则 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
∴ ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
设二面角 的平面角为 ，则 ，
∴二面角 的正弦值为 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
方法二：（1）证明：连接 交 于点 ，
因为四边形 为平行四边形，所以 为 中点，
又因为四边形 为菱形，所以 为 中点，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
∴在 中， 且 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
（2）略，同方法一.
20. （本小题满分 12 分）
已知椭圆 ( )的离心率为 ，以 的短轴为直径的圆与直线
相切．
（1）求 的方程；
O xyz−
( )3,0,0A ( )0,1,0B ( )0, 1,0D − ( )1 0,0,1A
( ) ( ) ( )1 3,0,1 3,1,, 0 , 3, 1,0 ,ABAA AD= − = −= − −
1A AB ( ), ,n x y z=
1n AA
n AB
⊥ ⊥
3 0
3 0
x z
x y
− + =
− + =
1x = ( )1, 3, 3n =
1A AD ( )1 1 1, ,m x y z=
1n AA
n AD
⊥ ⊥
3 0
3 0
x z
x y
− + =
− − =
1x = ( )1, 3, 3m = −
1 1cos , 77 7
m nm n
m n
⋅< >= = =
×⋅
1B AA D− − α
21 4 3sin 1 7 7
α = − =
1B AA D− − 4 3
7
1AB 1A B Q
1 1A B BA Q 1AB
ABCD O AC
1AB C△ 1 ,OQ B C∥ 1
1
2OQ B C=
OQ ⊂ 1A BD 1B C ⊄ 1A BD
1B C ∥ 1A BD
2 2
2 2: 1x yC a b
+ = 0a b＞ ＞ 6
3 C
:3 4 5 0l x y+ − =
C
O
D
A B
C
C1
B1A1
D1
x
y
z理科数学试题（第 12 页共 16 页）
（2）直线 交 于 ， 两点，且 ．已知 上存在点
，使得 是以 为顶角的等腰直角三角形，若 在直线 的右下方，求
的值．
【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，直线和圆的位
置关系等基础知识，意在考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算．满分 12
分.
【解析】（1）依题意， ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
因为离心率 ，
所以 ，解得 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
所以 的标准方程为 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
（2）因为直线 的倾斜角为 ，且 是以 为顶角的等腰直角三
角形， 在直线 的右下方，
所以 轴，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
过 作 的垂线，垂足为 ，则 为线段 的中点，
所以 ，故 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
所以 ，即 ，
整理得 ．①∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
由 得 .
所以 ，解得 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
所以 ，②
，③∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
由① ②得， ，④
y x m= + C ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 1 2x x> l
P PMN△ PMN∠ P MN m
2 23
0 0 5 1
4
b +
+ −= =
2 2 6
3
c a be a a
−= = =
2 1 6
3
a
a
− = 3a =
C
2
2 13
x y+ =
y x m= + 45° PMN△ PMN∠
P MN
NP x∥
M NP Q Q NP
( )1 2,Q x y ( )1 2 22 ,P x x y−
( )1 2 23 2 4 5 0x x y− + − = ( ) ( )1 2 23 2 4 5 0x x x m− + + − =
1 26 4 5 0x x m+ + − =
2 23 3,x y
y x m
+ =
= +
2 24 6 3 3 0x mx m+ + − =
2 236 48 48 0m m∆ = − + > 2 2m− < <
1 2
3
2x x m+ = −
( )2
1 2
3 14x x m= −
− 1 1 2
mx = −
x
y
P l
M
N
O
Q理科数学试题（第 13 页共 16 页）
将④代入②得 ，⑤ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
将④⑤代入③得 ，解得 .
综上， 的值为 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
21. （本小题满分 12 分）
已知函数
（1）求函数 的极值点；
（2）当 时,当函数 恰有三个不同的零点,求实数 的取值范围.
【命题意图】本题主要考查函数和导数及其应用、函数零点等基础知识，意在考查直
观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养．满分 12 分.
【解析】（1）因为 所以 ，
所以 ,∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分
当 时， ,所以函数 无极值点；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
当 时,令 ，解得 .
由 ,解得 ;由 ,解得 .
故函数 有极大值点 ，无极小值点.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
综上，当 时，函数 无极值点；
当 时,函数 有极大值点 ，无极小值点. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
（2）当 时, ，
所以 ,
设 ，则
当 即 时, ，所以 在 单调递减，
2 1x m= − −
( ) ( )( )31 1 1 12 4
m m m m − + = − + 1m = −
m 1−
( ) ( )e 4ln , ,2
x x af x ax g x x
−= − =
( )f x
0a > ( ) ( ) ( )h x f x g x= − a
( ) eln ,2
xf x ax= − ( ) ln 12
xf x ax= − +
( ) 2 1 1 1
2
axf x a ax x x
−′ = × − = − = ( )0x >
0a ( ) 0f x′ > ( )f x
0a > ( ) 0f x′ = 1x a
=
( ) 0
0
f x
x
′ > >
10 x a
< < ( ) 0
0
f x
x
′
1x a
>
( )f x 1
a
0a ( )f x
0a > ( )f x 1
a
0a > ( ) ( ) ( ) ( )4ln 02
x ah x f x g x ax xx
= − = − + >
( ) ( )2
2 2
1 4 4 0a ax x ah x a xx x x
− + −′ = − − = >
( ) 2 4k x ax x a= − + − 21 16 ,a∆ = −
0
0a
∆
>
1
4a ( ) 0h x′ ( )h x ( )0,+∞理科数学试题（第 14 页共 16 页）
所以 不可能有三个不同的零点；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
当 即 时， 有两个零点 , ,
所以 又因为 开口向下，
当 时, ,所以 在 上单调递减；
当 时, ，所以 在 上单调递增；
当 时, ，所以 在 上单调递减. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
因为 ，又 ，所以 ，
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
令 则 .
令 ，则 单调递增.
当 时， ，所以 在 单调递减，
所以 即 ，所以 在 单调递增，
所以 ，即 .
由零点存在性定理知， 在区间 上有唯一的一个零点 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
又 ，所以 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
所以 ，所以 在区间 上有唯一的一个零点 ,
( )h x
0
0a
∆ >
>
10 4a< < ( )k x
2
1
1 1 16
2
ax a
− −=
2
2
1 1 16
2
ax a
+ −=
1 20, 0.x x> > ( ) 2 4k x ax x a= − + −
10 x x< < ( ) 0, 0)(k x h x′< ∴ < ( )h x ( )10, x
1 2x x x< < ( ) ( )0, 0k x h x′> ∴ > ( )h x ( )1 2,x x
2x x> ( ) ( )0, 0k x h x′< ∴ < ( )h x 2( , )x +∞
( ) 42 ln1 2 02
ah a= − + = 1 2 4x x = 1 22x x< <
( ) ( ) ( )1 22 .0h h h xx∴ < = <
3
2 2 2
2
1 1 1 4 1ln ln 2 2ln 4 ,12
ah a a aa a a a
a
= − ⋅ + = − − − +
( ) 31ln 2 2ln 4 ,a aam a = − − − + ( ) 4
2
2 2
2 1 12 2 1 12 a am a aa a a
− +′ = − + + =
( ) 412 2 1n a a a= − + ( ) 348 2n a a=′ −
10 4a< < ( ) 31 548 2 04 4n a ′ < × − = − = − × + =
>
( ) 0m a′ > ( )m a 10, 4
( ) 3
ln 21 1 1 13ln 22ln 4 04 4 4 164 4m a m < = = − +
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