2020年新高考数学全真模拟试卷07（解析版）

2020 年新高考数学全真模拟卷 07 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 1．已知集合  2| 1A x N x   ，集合  | 1 3B x Z x     ，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． 1,3 B． 1,3 C． 1,2,3 D． 1,0,2,3 【答案】C 【解析】    2| 1 = 0 1A x N x   ， ， { 1,0,1,2,3}B   阴影部分对应的集合为 BC A ， 则 { 1,2,3}BC A   ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用 Venn 图表示集合关系是解决本题的关键． 2．设复数 z 满足 (1 ) 2i z i  ，则 z  （ ） A． 1 2 B． 2 2 C． 2 D．2 【答案】C 【解析】∵(1＋i)z＝2i， ∴z＝ 2i 1 i ＝       2 1 2 1 1 1 2 i i i i i    =1＋i. ∴|z|＝ 1+1＝ 2 . 故答案：C 【点睛】本题考查复数的运算及复数的模．复数的常见考点有：复数的几何意义，z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的 点 Z(a，b)、平面向量 OZ  都可建立一一对应的关系(其中 O 是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴 上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这 两个复数叫做互为共轭复数，复数 z 的共轭复数记作 z ．3．设 a＝30.5，b＝log32，c＝cos 2 3  ，则 a，b，c 的大小关系是（ ） A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．a＞b＞c 【答案】D 【解析】 0.5 03 3 1  ， 3 3 30 log 1 log 2 log 3 1    ， 2 1cos 03 2     ， a b c   . 故选：D. 【点睛】本题考查指数函数、对数函数的单调性，余弦值在各象限的符号，以及增函数的定义，属于基础题． 4．已知  0,  ， 3sin 3 5      ，则 cos 2 6      （ ） A． 24 25 B． 24 25  C． 7 25 D． 7 25  【答案】B 【解析】因为 3sin 3 5      由余弦二倍角公式可得 2 22 3 7cos 2 1 2sin 1 23 3 5 25                          而 2cos 2 cos 2 sin 23 6 2 6                            所以 2 7sin 2 cos 26 3 25                  由同角三角函数关系式可得 2 24cos 2 1 sin 26 6 25                   因为  0,  则 4,3 3 3         ,而 3sin 03 5       所以 ,3 3        则 ,3 3        所以 22 ,23 3              32 ,3 2 6 2                ,即 32 ,6 6 2        又因为 7sin 2 06 25        ,所以 32 ,6 2        故 cos 2 06      所以 24cos 2 6 25       故选:B 【点睛】本题考查了同角三角函数关系式及诱导公式的化简应用,三角函数恒等变形及角的范围确定,综合性较强,属 于中档题. 5．函数    sinf x A x   （其中 0A  ， 2   ）的图象如图所示，为了得到   sing x A x 的图象，则 只要将  f x 的图象（ ） A．向右平移 6  个单位长度 B．向右平移 3  个单位长度 C．向左平移 6  个单位长度 D．向左平移 3  个单位长度 【答案】B 【解析】根据图像有 2A  , 7 2 4 6 3 2 T      , 所以 22 | |T    ,则| | =1 . 不妨取 =1 ， 又 2 =03f      有 2sin =03      ， 得 2 2 ,3 k k Z       ,又 2   . 所以 = 3  ，即   sin 3f x x      ，   sing x x 所以由   sin 3f x x      向右平移 3  个单位长度可得   sing x x 的图像. 故选：B 【点睛】本题考查三角函数的图像性质，根据图像求解析式，三角函数的图像变换，属于中档题. 6．已知点 P 是抛物线 2 2x y 上的一点，在点 P 处的切线恰好过点 10, 2     ，则点 P 到抛物线焦点的距离为（ ）A． 1 2 B．1 C． 3 2 D．2 【答案】B 【解析】抛物线方程为 21 2y x ， y' x ，设切点 P 坐标为 0 0( , )x y ，∴切线斜率为 0k x ，又切线过点 1(0, )2  ， ∴ 0 0 0 1 2y xx   ， ∴ 2 2 0 0 1 1 2 2x x  ， 0 1x   ． 0 1 2y  ．即 1(1, )2P 或 1( 1, ) 2 P  ， 抛物线标准方程为 2 2x y ， 1p  ，∴ P 点到焦点的距离为 1 1 1 12 2 2 2 p    ． 故选：B． 【点睛】本题考查直线与抛物线相切问题，考查导数的几何意义，考查抛物线的几何性质．利用导数几何意义求出 切点坐标，利用焦半径公式求出焦半径，本题难度一般． 7．已知随机变量ξ的分布列，则下列说法正确的是( ) A．存在 x，y∈(0，1)，E(ξ)> 1 2 B．对任意 x，y∈(0，1)，E(ξ)≤ 1 4 C．对任意 x，y∈(0，1)，D(ξ)≤E(ξ) D．存在 x，y∈(0，1)，D(ξ)> 1 4 【答案】C 【解析】依题意可得   2E xy  ，              2 2 2 2 2 22 22 2 1 2 1 2 1 2 1 2D x xy y y xy x y x y x y x y x x y yx               因为 1x y  所以  2 12 2 2 x yxy   即   1 2E   故 A ， B 错误；            2 2 2 22 1 1 2 1 2 1 2D x x x y yx x x y yx x yx            0 1x Q 1 2 1 1x     20 2 1 1x     D yx  即    1 2D E  ，故C 成立；      2 2 11 2 4 4 x yD x yx xy      故 D 错误 故选：C 【点睛】本题考查简单随机变量的分布列中期望和方差的运算，属于难题。 8．已知直线 y kx 与双曲线C ：   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     相交于不同的两点 A ，B ，F 为双曲线C 的左焦点，且 满足 3AF BF ， OA b （O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ） A． 2 B． 3 C．2 D． 5 【答案】B 【解析】如图所示： 1F 为双曲线右焦点，连接 1AF ，根据对称性知 1BF AF 13 3AF BF AF  ， 1 2AF AF a  ， 13 ,AF a AF a  在 AOF 和 1AOF 中，分别利用余弦定理得到： 2 2 29 2 cosa c b bc AOF    ， 2 2 2 12 cosa c b bc AOF    两式相加得到 2 2 2 2 210 2 2 3 3a c b c a e      故选： B 【点睛】本题考查了双曲线的离心率，根据条件计算出 13 ,AF a AF a  是解题的关键. 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的 得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9．下列说法中正确的是（ ）A．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等. B．若 A、B 为互斥事件，则 A 的对立事件与 B 的对立事件一定互斥. C．某个班级内有 40 名学生，抽 10 名同学去参加某项活动，则每 4 人中必有 1 人抽中. D．若回归直线 ˆˆ ˆy bx a  的斜率 ˆ 0b  ，则变量 x 与 y 正相关. 【答案】AD 【解析】对于 A 中，在频率分布直方图中，根据中位数的概念，可得中位数左边和右边的直方图的面积相等是正确 的； 对于 B 中，若 A、B 为互斥事件，根据互斥事件和对立事件的概念，可得则 A 的对立事件与 B 的对立事件不一定互 斥，所以不正确； 对于 C 中，某个班级内有 40 名学生，抽 10 名同学去参加某项活动，根据概率的概念，可得每 4 人中不一定必有 1 人抽中，所以是不正确的； 对于 D 中，若回归直线 ˆˆ ˆy bx a  的斜率 ˆ 0b  ，根据回归系数的含义，可得变量 x 与 y 正相关是正确的． 故选：AD． 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图和回归直线方程的应用，以及互斥事件与对立事件的应用，其中解答熟记 统计知识和互斥事件和对立事件的基本概念，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题． 10．已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形， D ， E 分别是 AC 、 AB 上的两点，且 AE EB  ， 2AD DC uuur uuur ， BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ） A． 1AB CE    B． 0OE OC    C． 3 2OA OB OC     D． ED  在 BC  方向上的投影为 7 6 【答案】BCD 【解析】由题 E 为 AB 中点，则CE AB ， 以 E 为原点，EA，EC 分别为 x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以， 1 2 3(0,0), (1,0), ( 1,0), (0, 3), ( , )3 3E A B C D ， 设 1 2 3(0, ), (0, 3), (1, ), ( , )3 3O y y BO y DO y      ， BO  ∥ DO  ， 所以 2 3 1 3 3y y   ，解得： 3 2y  ， 即 O 是 CE 中点， 0OE OC    ，所以选项 B 正确； 32 2OA OB OC OE OC OE           ，所以选项 C 正确； 因为CE AB ， 0AB CE   ，所以选项 A 错误； 1 2 3( , )3 3ED  ， (1, 3)BC  ， ED  在 BC  方向上的投影为 1 2 73 2 6 BC BC ED        ，所以选项 D 正确. 故选：BCD 【点睛】此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位 置建立直角坐标系，利于计算. 11．已知三个数1, , 9a 成等比数列，则圆锥曲线 2 2 12 x y a   的离心率为（ ） A． 5 B． 3 3 C． 10 2 D． 3 【答案】BC 【解析】由三个数1, , 9a 成等比数列，得 2 9a  ，即 3a   ；当 3a  ，圆锥曲线为 2 2 13 2 x y  ，曲线为椭圆，则 1 3 33 e   ；当 3a   时，曲线为 2 2 12 3 y x  ，曲线为双曲线， 5 10 22 e   ，则离心率为： 3 3 或 10 2 故选：BC 【点睛】本题考查等比数列的性质，离心率的求解，易错点为漏解 a 的取值，属于中档题 12．已知函数    22019 ln 1 2019 1x xf x x x       ，下列说法正确的是（ ） A．函数  f x 是奇函数 B．关于 x 的不等式    2 1 2 2f x f x   的解集为 1 ,4     C．函数  f x 在 R 上是增函数 D．函数  f x 的图象的对称中心是 0,1 【答案】BCD 【解析】A．函数的定义域为 R ，    f x f x     2 22019 ln 1 2019 1 2019 ln 1 2019 1x x x xx x x x                2 2ln 1 ln 1 2x x x x       ln1 2 2   ， 函数  f x 不是奇函数，故 A 不正确； B.由 A 可知，     2 0f x f x    设     1F x f x  ，     0F x F x   函数的定义域为 R 并且是奇函数，    22019 ln 1 2019x xF x x x      ，在 0,  是增函数+增函数-减函数=增函数，并且  0 0F  ，  F x 在 R 上是单调递增函数    2 1 2 2f x f x   变形为      2 1 1 1 2 2 1f x f x f x         即        2 1 2 2 1 2F x F x F x F x        F xQ 在 R 上是单调递增函数 2 1 2x x    ，解得： 1 4x  故不等式的解集是 1 ,4     ，故 B 正确； C.由 B 可知     1F x f x  是 R 上单调递增函数，  f x 也是 R 上单调递增函数，故 C 正确； D.     2f x f x   ，  f x 关于 0,1 对称，故 D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数的性质和应用，属于中档题型，本题的关键是判断     2f x f x   ， 所有选项的判断都以这个式子作为判断的基础。 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．若函数         2 2 , 0 , 0 x x xf x g x x      为奇函数，则   1f g   ________． 【答案】 15 【解析】根据题意，当 0x  时，      ,f x g x f x 为奇函数，              21 1 1 1 3 (3 2 3) 15f g f f f f f f f               ，则 故答案为 15 . 14．甲乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为 0．6 和 0．5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的 概率为__________； 【答案】 0.75 【解析】记甲击中目标为事件 A ，乙击中目标为事件 B ，目标被击中为事件C 则 ( ) 1 ( ) ( ) 1 (1 0.6)(1 0.5) 0.8P C P A P B       则目标是被甲击中的概率为 0.6 0.750.8P   故答案为 0.75 考点：条件概率与独立事件． 【方法点睛】条件概率解题技巧与方法首先判断问题的性质，确定所解的问题是不是条件概率问题，如果所要考虑 的事件是在另一件发生的前提下出现的，那么这一事件的概率，必须按条件概率来处理，从不同的解题思路入手， 条件概率的问题，必须从题设情形出发，灵活运用条件概率的有关性质或公式解答条件概率问题． 15．某公司租地建仓库，每月土地占用费 1y 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费 2y 与到车站的距 离成正比，如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用 1y 和 2y 分别为 2 万元和 8 万元，要使这两项费用之和最 小，仓库应建立在距离车站______ km 处，最少费用为______万元. 【答案】 5 8 【解析】设仓库与车站距离为 x ，依题意 1 1 2 2,ky y k xx   .由于“在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用 1y 和 2y 分别为 2 万元和 8 万元”，所以 1 22 ,8 1010 k k   ，解得 1 2 420, 5k k  .所以 1 2 20 4, 5y y xx   ，所以总费用 20 4 20 42 85 5x xx x     ，当且仅当 20 4 5 xx  ，即 5x  时，取得最小值. 故答案为：（1） 5 ；（2）8 . 【点睛】本小题主要考查函数模型在实际生活中的运用，考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 16．如图，在 Rt ABC 内有一系列的正方形，它们的边长依次为 1 2, , , ,na a a  ，若 AB a= ， 2BC a ，则所有正方形的面积的和为___________. 【答案】 24 5 a 【解析】根据题意可知 1 2 AB BC  ，可得 1 2 3a a ， 依次计算 2 1 2 3a a ， 3 2 2 3a a ，是公比为 2 3 的等比数列， 正方形的面积：依次 2 1 4 9S a ， 2 2 1 4 9S a ， 边长依次为 1a ， 2a ，， na ，正方形的面积构成是公比为 4 9 的等比数列． 所有正方形的面积的和 2 21 4 49 41 51 9 n aSS aq     ． 故答案为： 24 5 a 【点睛】本题考查了无穷等比数列的和公式的运用．利用边长关系建立等式，找到公比是解题的关键．属于中档题． 四、解答题：本小题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题共计 10 分）设 m 为正整数，各项均为正整数的数列{ }na 定义如下： 1 1a  ， 1 , ,2 , . n n n n n a aa a m a      为偶数 为奇数 （1）若 5m  ，写出 8a ， 9a ， 10a ； （2）求证：数列{ }na 单调递增的充要条件是 m 为偶数； （3）若 m 为奇数，是否存在 1n  满足 1na  ？请说明理由． 【解析】（1） 8 6a  ， 9 3a  ， 10 8a  ． （1 分） （2）先证“充分性”．当 m 为偶数时，若 na 为奇数，则 1na  为奇数． 因为 1 1a  为奇数，所以归纳可得，对 *n N  ， na 均为奇数，则 1n na a m   ， 所以 1 0n na a m    ， 所以数列 na 单调递增．（3 分） 再证“必要性”． 假设存在 *k N 使得 ka 为偶数，则 1 2 k k k aa a   ，与数列 na 单调递增矛盾， 因此数列 na 中的所有项都是奇数． 此时 1n na a m   ，即 1n nm a a  ，所以 m 为偶数． （5 分） （3）存在 1n  满足 1na  ，理由如下： 因为 1 1a  ， m 为奇数，所以 2 1 2a m m   且 2a 为偶数， 3 1 2 ma m  ． 假设 ka 为奇数时， ka m ； ka 为偶数时， 2ka m ． 当 ka 为奇数时， 1 2k ka a m m    ，且 1ka  为偶数； 当 ka 为偶数时， 1 2 k k aa m   ． 所以若 1ka  为奇数，则 1ka m  ；若 1ka  为偶数，则 1 2ka m  ． 因此对 *n N  都有 2na m ． 所以正整数数列 na 中的项的不同取值只有有限个，所以其中必有相等的项． 设集合  { , | , }r sA r s a a r s   ，设集合  * *{ | , }B r N r s A N    ． 因为 A   ，所以 B   ． 令 1r 是 B 中的最小元素，下面证 1 1r  ．设 1 1r  且 1 1 1 1( )r sa a r s  ． 当 1ra m 时， 1 11 2r ra a  ， 1 11 2s sa a  ，所以 1 11 1r sa a  ； 当 1ra m 时， 1 11r ra a m   ， 1 11s sa a m   ，所以 1 11 1r sa a  ． 所以若 1 1r  ，则 1 1r B  且 1 11r r  ，与 1r 是 B 中的最小元素矛盾． 所以 1 1r  ，且存在 * 11 s N  满足 1 1 1sa a  ，即存在 1n  满足 1na  ．（12 分） 【点睛】本题考查数列的递推关系，考查数列的单调性，考查学生分析问题及解决问题得能力，属于难题． 18．（本题共计 12 分）在 ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别记为 a、b、c，且 2 2 5sin sin2 2 4 A B B Ca c b   ． （1）求 b a c 的值； （2）若 ABC 的面积 2 2S  ， 1cos 3B  ，求 ABC 的周长． 【答案】（1） 2 3 ；（2） 4 5 . 【解析】（1）由 2 2 5sin sin2 2 4 A B B Ca c b   及 A B C    得： 2 2 5cos cos2 2 4 C Aa c b  即 1 cos 1 cos 5 2 2 4 C Aa c b   由正弦定理得： 5sin sin cos sin cos sin sin2A A C C A C B    所以 3sin sin sin2A C B  ，即 3 2a c b  所以 2 3 b a c  ．（5 分） （2）由 1cos 3B  ， 0 B   得： 2 2sin 3B  又 1 sin 2 22S ac B  ，所以 6ac  （8 分） 又由余弦定理得：   2 22 2 2 2 cos 2 2 cos 16b a c ac B a c ac ac B a c          又由（1）得： 2 29 164b b  ，所以 8 5 5b  （11 分） 所以 ABC 的周长 5 4 52a b c b    ．（12 分） 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系、 两角和的正弦公式等，考查知识点较多，但也较基本．熟练掌握三角函数的公式是解题基础，根据条件选用恰当的 公式是解题关键． 19．（本题共计 12 分）学习雷锋精神前半年内某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏，学习雷锋精神时全修好；单位对 学习雷锋精神前后各半年内餐椅的损坏情况作了一个大致统计，具体数据如下： 损坏餐椅数 未损坏餐椅数 总 计 学习雷锋精神前 50 150 200 学习雷锋精神后 30 170 200 总 计 80 320 400 （Ⅰ）求:学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比分别是多少?并初步判断损毁餐椅数量与学习雷锋精神是否有关？ （Ⅱ）请说明是否有 97．5%以上的把握认为损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关？ 参考公式： K 2 ܽ݀െ 2 ܽെܽെ ， ܽ െ P（K2≥k0） 0．05 0．025 0．010 0．005 0．001 k0 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828 【答案】（Ⅰ） 2ͷΨͷ ;（Ⅱ）有 ͹ͷ 以上的把握认为损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关． 【解析】（1） 学习雷锋精神前座椅的损坏的百分比是: （2 分） 学习雷锋精神后座椅的损坏的百分比是: （4 分） 因为二者有明显的差异,所以初步判断损毁座椅减少与学习雷锋精神是否有关． （ 6 分）（2）根据题中的数据计算： （10 分） 因为 6．25>5．024 所以有 97．5%的把我认为损毁座椅数减少与学习雷锋精神有关。 （12 分） 考点：独立性检验 20．（本题共计 12 分）如图 1，在 Rt ABC 中， 90 , 3, 6, ,C BC AC D E    分别是 ,AC AB 上的点，且 / / , 2DE BC DE  ，将 ADE 沿 DE 折起到 1A DE 的位置，使 1AC CD ，如图 2． （1）求证： 1AC  平面 BCDE ； （2）若 M 是 1A D 的中点，求CM 与平面 1A BE 所成角的大小； （3）线段 BE 上是否存在点 P ，使平面 1A DP 与平面 1A BE 垂直？说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2） 45 ；（3）不存在，理由见解析. 【解析】（1） CD DE ， 1AD DE , 1 ,A D CD 是平面 1ACD 内的两条相交直线，  DE  平面 1ACD ,（2 分） 又 1AC  平面 1ACD ，  1AC DE ,（3 分） 又 1AC CD , ,DE CD 是平面 BCDE 内的两条相交直线， 1AC  平面 BCDE .（4 分） （2）如图建系C xyz ， 则 ( 2,0,0)D  ， (0,0,2 3)A ， (0,3,0)B ， ( 2,2,0)E  ， ∴ 1 (0,3, 2 3)A B   ， 1 ( 2, 1,0)A E    ， 设平面 1A BE 的一个法向量为 ( , , )n x y z则 1 1 0 0 A B n A E n          ∴ 3 2 3 0 2 0 y z x y      ∴ 3 2 2 z y yx      （6 分） ∴取 2y  ，得 ( 1,2, 3)n   ， 又∵ ( 1,0, 3)M  ， ∴ ( 1,0, 3)CM   ,CM n    ，CM 与平面 1A BE 所成角 ∴ 1 3 4 2cos 2| | | | 1 4 3 1 3 2 2 2 CM n CM n                 ， 2cos cos 2    ，（8 分） ∴ CM 与平面 1A BE 所成角的大小 45 . （3）设线段 BE 上存在点 P ，设 P 点坐标为 2 ,3 ,0t t  ，则  0,1t  则  1 2,0, 2 3A D    ，  2 2,3 ,0DP t t    设平面 1A DP 法向量为  1 1 1 1, ,n x y z ， 则     1 1 1 1 2 0 2 3 0 2 2 3 0 0 x z t x t y           ， ∴取 1 3x   ，得   1 3 2 23, ,13 tn t        ．（10 分） 假设平面 1A DP 与平面 1A BE 垂直， 则 1 0n n   ，∴    2 3 2 2 53 3 0, 0,13 3 t tt      ， ∴不存在线段 BE 上存在点 P ，使平面 1A DP 与平面 1A BE 垂直（12 分） 【点睛】本题考查线面垂直，考查线面角，考查面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.既有传统方 法，又有向量知识的运用，要加以体会，是中档题.21．（本题共计 12 分）已知椭圆 M ： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，过 2F 且垂直于 x 轴的 焦点弦的弦长为 2 2 ，过 1F 的直线l 交椭圆 M 于G ， H 两点，且 2GHF 的周长为8 2 . （1）求椭圆 M 的方程； （2）已知直线 1l ， 2l 互相垂直，直线 1l 过 1F 且与椭圆 M 交于点 A ， B 两点，直线 2l 过 2F 且与椭圆 M 交于C ， D 两点.求 1 1 AB CD  的值. 【答案】（1） 2 2 18 4 x y  （2） 1 1 3 2 8AB CD   【解析】（1）将 x c 代入 2 2 2 2 1x y a b   ，得 2by a  ，所以 22 2 2b a  . 因为 2GHF 的周长为8 2 ，所以 4 8 2a  ， 2 2a  ， 将 2 2a  代入 22 2 2b a  ，可得 2 4b  ， 所以椭圆 M 的方程为 2 2 18 4 x y  .（4 分） （2）（i）当直线 AB 、直线 CD 的斜率存在且不为 0 时， 设直线 AB 的方程为  2y k x  ，则直线CD 的方程为  1 2y xk    . 由   2 2 2 18 4 y k x x y      消去 y 得 2 2 2 22 1 8 8 8 0k x k x k     . 由韦达定理得 2 1 2 2 8 2 1 kx x k    ， 2 1 2 2 8 8 2 1 kx x k   ，（7 分） 所以，  22 1 2 1 21 4AB k x x x x      2 2 4 2 1 2 1 k k    . 同理可得  2 2 4 2 1 2 k CD k    .  2 2 1 1 2 1 4 2 1 k AB CD k      2 2 2 3 2 84 2 1 k k    .（10 分） （ii）当直线 AB 的斜率不存在时， 2 2AB  ， 4 2CD  ， 1 1 3 2 8AB CD   . （iii）当直线 AB 的斜率为 0 时， 4 2AB  ， 2 2CD  ， 1 1 3 2 8AB CD   . 综上， 1 1 3 2 8AB CD   .（12 分） 点睛：本题综合考查了圆锥曲线的定义、应用，对直线和圆锥曲线的位置问题，常见方法是设出直线方程，联立曲 线方程，得到一元二次方程，利用韦达定理解决相关问题，思路较为清晰，关键是注意计算，综合性强，属于难题。 22．（本题共计 12 分）已知 2( ) e ( )xf x ax a   R . （1）已知 ( )f x 是 ( )f x 导函数，求 ( )f x 的极值； （2）设 ( ) e ( )xg x x f x  ，若 ( )g x 有两个零点，求 a 的取值范围. 【答案】(1) 极小值为 2 (1 ln 2 )a a (2) (0, ) 【解析】（1） ( ) e 2 , ( ) e 2x xf x ax f x a     （1 分） ①若 0a  ，显然 ( ) 0f x  所以 ( )f x 在 R 上递增，所以 ( )f x 没有极值.（2 分） ②若 0a  ，则 ( ) 0 ln 2 , ( ) 0 ln 2f x x a f x x a       ，（3 分） 所以 ( )f x 在 ( ,ln 2 )a 上是减函数，在 (ln 2 , )a  上是增函数。 所以 ( )f x 在 ln 2x a 处取极小值，极小值为 (ln 2 ) 2 (1 ln 2 )f a a a  （4 分） （2） 2( ) e ( ) ( 1)ex xg x x f x x ax     .函数 ( )g x 的定义域为 R， 且  ( ) e 2 e 2x xg x x ax x a     .（5 分） ①若 0a  ，则 ( ) 0 0; ( ) 0 0g x x g x x       .所以 ( )g x 在 ( ,0) 上是减函数，在 (0, ) 上是增函数。 所以 min( ) (0) 1g x g   . 令 ( ) ( 1) xh x x e  ，则 ( ) exh x x  . 显然 ( ) 0 0h x x    ，所以 ( ) ( 1)e xh x x  在 ( ,0) 上是减函数. 又函数 2y ax 在 ( ,0) 上是减函数，取实数 1 0 a   ， 则 21 1(0) 1 1 0g h a a a                   又 (0) 1 0, (1) 0, ( )g g a g x     在 ( ,0) 上是减函数，在 (0, ) 上是增函数。 由零点存在性定理， ( )g x 在 1 ,0 a     ， (0,1) 上各有一个唯一的零点。所以 0a  符合题意。 ②若 0a  ，则 ( ) ( 1)exg x x  ，显然 ( )g x 仅有一个零点 1，所以 0a  不符合题意. ③若 0a  ，则 ln( 2 )( ) e ex ag x x     .（9 分） （i）若 ln( 2 ) 0a  ，则 1 2a   ，此时 ( ) 0g x  ， 即 ( )g x 在 R 上递增，至多只有一个零点， 所以 1 2a   不符合题意， （ii）若 ln( 2 ) 0a  ，则 1 02 a   ，函数 ( )g x 在 ( ,ln( 2 ))a  上是增函数， 在 (ln( 2 ),0)a 上是减函数，在 (0, ) 上是增函数， 所以 ( )g x 在 ln( 2 )x a  处取得极大值，且极大值  2(ln( 2 )) [ln( 2 ) 1] 1 0g a a a      ， 所以 ( )g x 最多有一个零点，所以 1 02 a   不符合题意。（iii）若 ln( 2 ) 0a  ，则 1 2a   ，函数 ( )g x 在 ( ,0) 和 (ln( 2 ), )a  上递增，在 (0,ln( 2 ))a 上递减，所以 ( )g x 在 0x  处取得极大值，且极大值为 (0) 1 0g    ，所以 ( )g x 最多有一个零点，所以 1 2a   不符合题意. 综上所述，a 的取值范围是 (0, ) （12 分） 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值，考查利用导数求函数的最值和研究函数的零点问题，意在考查学生 对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.