四川省棠湖中学2019-2020高二数学（理）下学期第一次在线月考试题（Word版附答案）

2020 年春四川省棠湖中学高二第一学月考试 理科数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．直线 的倾斜角是 A． B． C． D． 2．命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是 A．所有奇数的立方不是奇数 B．不存在一个奇数，它的立方是偶数 C．存在一个奇数，它的立方是偶数 D．不存在一个奇数，它的立方是奇数 3．椭圆 的焦距为 A．5 B．3 C．4 D．8 4．命题“ ， ”的否定是 A． ， B． ， C． ， D． ， 5．直线 被圆 截得的弦长为 A． B． C． D． 6．已知直线 和平面 内的两条直线 ，则“ ”是“ 且 ”的 A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3 1y x= − 30 45 60 90 2 2 125 9 x y+ = ( )0,x∀ ∈ +∞ e lnx x> ( )0,x∀ ∈ +∞ e lnx x≤ ( )0,x∃ ∈ +∞ e lnx x> ( )0,x∃ ∈ +∞ e lnx x≤ ( )0,x∃ ∈ +∞ e lnx x< 1y x= + 2 2 2x y+ = 2 2 2 6 2 6 l α ,m n l α⊥ l m⊥ l n⊥7．已知直线 与平面 ， ，则下列说法正确的是 A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ， ，则 D．若 ， ，则 8．已知 分别为直线 与 上的两个动点，则线段 的长度的最小值为 A． B．1 C． D．2 9．不等式组 表示的平面区域的面积为 A． B． C． D． 10．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次，两人成绩的条形统计图如图所示，则以下四 种说法中正确的个数为 ①甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数 ②甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数 ③甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 ④甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差 A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知 ， ， ，若不等式 对已知的 ， 及任意 实数 恒成立，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 12．已知 是椭圆 上两个不同点，且满足 ， 则 的最大值为 A． B．4 C． D． 第 II 卷 非选择题（90 分） l α β / /l α / /α β l β/ / l α⊥ α β⊥ l β/ / l α⊂ l β/ / / /α β l α⊂ l β⊥ α β⊥ P Q、 1 :3 4 4 0l x y+ − = 2 :3 4 1 0l x y+ + = PQ 3 5 6 5 6 0 0 3 x y x y x − + ≥  + ≥  ≤ 36 36 2 72 72 2 0m > 0n > 1 4 1m n + = 2 2m n x x a+ ≥ − + + m n x a [ )8,+∞ [ )3,+∞ ( ],3−∞ ( ],8−∞ 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 24 1x y+ = 1 2 1 2 14 2x x y y+ = 1 1 2 22 1 2 1x y x y+ − + + − 6-2 6 2+ 2 6二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率 为________. 14．求过点 ，并且在两轴上的截距相等的直线方程_____． 15．已知三棱锥 中， ， ， 两两相互垂直，且 ， ， ，则三棱锥 外接球的表面积为________. 16．已知 为坐标原点， 为抛物线 ： 的焦点，直线 ： 与抛物线 交于 ， 两点，点 在第一象限，若 ，则 的值为______. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（ 10 分）已知 ，命题 ： ，命题 ： . （I）当 时，若命题 为真，求 的取值范围； （II）若 是 的充分条件，求 的取值范围. 18．（12 分）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入 4 万元广告费用， 并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员失误，横轴的数据丢 失，但可以确定横轴是从 0 开始计数的. （I）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度； （II）估计该公司投入 4 万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代 表该组的取值）； ( )2 2 2 1 0x y aa − = > 3 0x y+ = ( )2,3P A BCD− AB AC AD 3AB = 4AC = 12AD = A BCD− O F C 2 2y x= l ( )2 1y m x= − C A B A 2AF BF= m 0a > p 2 12 0x x− − ≤ q ( )2 22x a− ≥ 3a = ( )p q∧ ¬ x p q¬ a（III）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表： 广告投入 x（单位：万元） 1 2 3 4 5 销售收益 y（单位：万元） 1 3 4 7 表中的数据显示，x 与 y 之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入上表的空白栏，并计 算 y 关于 x 的回归方程. 回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 ， . 19．（12 分）已知抛物线 焦点为 ，准线与 轴的交点为 . （Ⅰ）抛物线 上的点 P 满足 ，求点 的坐标； （Ⅱ）设点 是抛物线 上的动点，点 是 的中点， ，求点 的轨迹方程. 20．（12 分）已知圆 C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0． （Ⅰ）若直线 l：x+y＝0 与圆 C 交于 A，B 两点，求弦 AB 的长； （Ⅱ）从圆 C 外一点 P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为 M，O 为坐标原点，且有|PM|＝ |PO|，求使得|PM|取得最小值的点 P 的坐标． 21．（12 分）在梯形 中， ， 为 的中点，线段 与 交于 点（如图 1）.将 沿 折起到 的位置，使得二 面角 为直二面角（如图 2）. （Ⅰ）求证： 平面 ； 1 2 2 2 1 ( ) ˆ n i i i i i x y nx y b x nx = = ⋅ − ⋅ = − ∑ ∑ ˆˆa y bx= − 2: 4y xΓ = F x M Γ =5PF P A Γ B FA 2MC CB=  C ABCD / / , , 2 2 43AB CD BAD AB AD CD π∠ = = = = P AB AC DP O ACD∆ AC 'ACD∆ - - 'AB AC D / /BC 'POD（Ⅱ）线段 上是否存在点 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在， 求出 的值；若不存在，请说明理由. 22．（12 分）在平面直角坐标系 中，四个点 ， ， ， 中有 3 个点在椭圆 ： 上. （Ⅰ）求椭圆 的标准方程； （Ⅱ）过原点的直线与椭圆 交于 ， 两点（ ， 不是椭圆 的顶点），点 在椭圆 上，且 ，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，设直线 ， 的斜率 分别为 ， ，证明：存在常数 使得 ，并求出 的值. PD′ Q CQ 'BCD 6 8 ' PQ PD xOy 32, 3       3 , 23       61, 3  −    61, 3       C ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > C C A B A B C D C AD AB⊥ BD x y M N AM AN 1k 2k λ 1 2k kλ= λ2020 年春四川省棠湖中学高二第一学月考试 理科数学试题参考答案 1．C 2．C 3．D 4．C 5．C 6．C 7．D 8．B 9．A 10．D 11．D 12．C 13． 14． 或 15． 16． 17．（1）由题意， ，即命题 ： ， 当 时，命题 ： ，即 ： ， 若 为真，则 都是真命题，则 ； （2）由题意， ： ， ： ， 若 是 的充分条件，则 ， 即 ，解得 .故 的取值范围是 . 18．（1）设各小长方形的宽度为 m，可得： ， . （2）可得各组中点从左向右依次是 1，3，5，7，9，11， 各组中点对应的频率从左向右依次是 0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04， 平均值 . （3）得空白栏为 5， ， ， ， ， 根据公式可得 ， ， 故回归直线方程为 . 19．解:（Ⅰ）设点 P 的坐标为 由已知可得， 2 3 3 3 2 0x y− = 5 0x y+ − = 169π 2 2 12 0x x− − ≤ 3 4x⇔ − ≤ ≤ p 3 4x− ≤ ≤ 3a = q¬ ( )22 9x − < q¬ 1 5x− < < ( )p q∧ ¬ ,p q¬ 1 4x− < ≤ q¬ 2 2a x a− < < + p 3 4x− ≤ ≤ p q¬ [ ] ( )3,4 2 ,2a a− ⊆ − + 2 4 2 3 a a + >  − < − 5a > a 5a > ( )0.08 0.1 0.14 0.12 0.04 0.02 1m + + + + + = 2m∴ = ∴ 1 0.16 3 0.2 5 0.28 7 0.24 9 0.08 11 0.04 5= × + × + × + × + × + × = 1 2 3 4 5 35x + + + += =∴ 1 3 4 5 7 45y + + + += = 5 1 1 1 2 3 3 4 4 5 5 7 74i i i x y = = × + × + × + × + × =∑ 5 2 2 2 2 2 2 1 1 2 3 4 5 55i i x = = + + + + =∑ 2 74 5 3 4ˆ 1.455 5 3b − × ×= =− × 4 1.4 3 .2ˆ 0a = − × = − 1.4 .2ˆ 0y x= − ( , )p pP x y， 代入抛物线方程 得 ， 所以点 的坐标为 或 （Ⅱ）设 ， ， ，由已知 ， 得： ， 又因为点 是 FA 的中点得， ， ， 点 在抛物线 上，即 ，所以点 C 的轨迹方程为： 20．（1）圆 C 可化为（x+1）2+（y﹣2）2＝2，则圆心 C（﹣1，2）， 所以 C 到直线 l 的距离 d ， 则弦长 AB＝2 ； （2）因为切线 PM 与半径 CM 垂直，所以|PM|2＝|PC|2﹣|CM|2， 又因为|PM|＝|PO|，则|PO|2＝|PC|2﹣|CM|2，即（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2＝x12+y12， 整理得 2x1﹣4y1+3＝0，所以点 P 的运动轨迹为直线 2x﹣4y+3＝0， 所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值． 而|PO|的最小值为原点 O 到直线 2x﹣4y+3＝0 的距离 d ， 过点 且垂直于直线 2x﹣4y+3＝0 的方程为： (1,0)F 1 5, 4p pPF x x= + = = 2 4y x= 4py = ± P (4,4) (4, 4)− ( , )C x y ( , )B m n ( , )A s t ( 1,0)M − 2MC CB=  1 (3 1)1 2 2 2 2 2 3 2 m xx m x y n y n y  = ++ = − ⇒ = −  = B 2 1 2 m s n t = +  = 3 3 s x t y =⇒  = ( , )A s t 2 4y x= 2 4t s= 2 4 3y x= 1 2 2 22 − += = 2 2 12 2 62r d− = − = 3 3 5 1020 = = O 2 0x y+ =所以由 ，得 ，故所求点 P 的坐标为 P（ ）． 21．（1）证明：因为在梯形 中， ， 为 的中点， 所以 ， 所以四边形 为平行四边形，因为线段 与 交于 点， 所以 为线段 的中点，所以 中 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 . （2）解：平行四边形 中， ， 所以四边形 是菱形， ，垂足为 ， 所以 ， 因为 平面 ， 平面 ， 所以 是二面角 的平面角， 因为二面角 为直二面角， 所以 ，即 . 可以如图建立空间直角坐标系 ，其中 ， 因为在图 1 菱形 中， ，所以 ， 所以 ， 所以 ， ，设 为平面 的法向量， 2 0 2 4 3 0 x y x y + =  − + = 3 10 3 5 x y  = −  = 3 3 10 5 − ， ABCD / / , 2 4AB CD AB CD= = P AB / / ,CD AP CD AP= APCD AC DP O O AC ABC∆ / /OP BC OP ⊂ 'POD BC ⊄ 'POD / /BC 'POD APCD 2AP AD= = APCD AC DP⊥ O ',AC OD AC OP⊥ ⊥ 'OD ⊂ 'ACD OP ⊂ ACB 'D OP∠ 'B AC D− − 'B AC D− − ' 2D OP π∠ = 'OP OD⊥ O xyz− (0,0,0)O APCD 3BAD π∠ = 1, 3OD OP OA OC− − = = ( 3,2,0), (0,1,0), ( 3,0,0), '(0,0,1)B P C D− − ' ( 3, 2,1)BD = − (0,2,0)CB = ( , , )n x y z= 'BCD因为 ，所以 ，即 ，取 ，得到 ，所 以 ； 线段 上存在点 使得 与平面 所成角的正弦值为 ，设 ， 因为 ， 所以 ， 因为 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以线段 上存在点 ，且 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 . 22．（1）∵ ， 关于 轴对称. ∴这 2 个点在椭圆上，即 ①当 在椭圆上时， ② 由①②解得 ， .当 在椭圆上时， ③ 由①③解得 ， .又 ∴ ， ∴椭圆 的方程为 . （2）设 ， ，则 . 因为直线 的斜率 ，又 .所以直线 的斜率 . 设直线 的方程为 ，由题意知 ， . ' n CB n BD  ⊥  ⊥   0 ' 0 n CB n BD  ⋅ =  ⋅ =   2 0 3 2 0 y x y z = − + = 1x = 0 3 y z = = − (1,0, 3)n = − 'PD Q CQ 'BCD 6 8 '(0 1)PQ PDλ λ= ≤ ≤  ( 3,1,0), ' (0, 1,1)CP PD= = −  ' ( 3,1 , )CQ CP PQ CP PDλ λ λ= + = + = −     2 3(1 ) 6cos , 8| || | 2 2 2 4 CQ nCQ n CQ n λ λ λ ⋅ −< >= = = − +      23 7 2 0λ λ− + = 0 1λ≤ ≤ 1 3 λ = PD′ Q 1 ' 3 PQ PD = CQ 'BCD 6 8 61, 3       61, 3  −    x 2 2 1 2 13a b + = 32, 3       2 2 2 1 13a b + = 2 3a = 2 1b = 3 , 23       2 2 1 2 13a b + = 2 4 3a = 2 8 3b =  0a b> > 2 3a = 2 1b = C 2 2 13 x y+ = ( )( )1 11 1 0, xA yx y ≠ ( )2 2,D x y ( )1 1,B x y− − AB 1 1 ABk y x = AB AD⊥ AD 1 1 xk y = − AD y kx m= + 0k ≠ 0m ≠由 可得 ，所以 ， .由题意知 ，所以 ，所 以直线 的方程为 ，令 ，得 ，即 ，可得 ， 令 ，得 ，即 ，可得 ， 所以 ，即 ，因此，存在常数 使得结论成立. 2 2 13 y kx m x y = + + = ( )2 2 21 3 6 3 3 0k x mkx m+ + + − = 1 2 2 6 1 3 mkx x k + = − + ( )1 2 1 2 2 22 1 3 my y k x x m k + = + + = + 1 2x x≠ 1 2 1 1 2 1 1 3 3BD y y yk x x k x += = − =+ BD ( )1 1 1 13 yy y x xx + = + 0y = 12x x= ( )12 ,0M x 1 1 1 yk x = − 0x = 12 3 yy = − 120, 3 yN  −   1 2 1 5 3 yk x = 1 2 3 5k k= − 3 5 λ = − 3 5 λ = −