江西赣州石城中学2020届高三数学（文）下学期第二次线上试题（Word版附解析）

石城中学 2020 届高三下学期第二次（线上）考试 数学（文）试题 分值：150 分 考试时间：120 分钟 本次命题范围：高考范围 下次命题范围：高考范围 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知 A,B,C 为不共线的三点，则“ ”是“ 为直角三角形”的 ( )。 A．充分不必要条 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．福利彩票“双色球”中红球的号码可以从 01,02,03，…，32,33，这 33 个两位号码中选取， 小明利用如下所示的随机数表选取红色球的 6 个号码，选取方法是从第 1 行第 9 列的数字开 始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球的号码为(　　)。 81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85 06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49 A.12 B．33 C．06 D．16 3. 已知 、 ，且 ，则（ ） A． B． C． D． 4. 据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为男、子、伯、侯、公共五级。 现有每个级别的诸侯各一人，共五人要把 80 个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级 就多分 m 个(m 为正整数)，若按这种方法分橘子，“公”恰好分得 30 个橘子的概率是(　 　) A.1 8 B.1 7 C.1 6 D.1 5 5.函数 在区间 内的图像大致为（ ） A. B. AB AC AB AC+ = −    ABC∆ a b R∈ a b> 1 1 a b < sin sina b> 1 1 3 3 a b    sin (1 cos2 )y x x= + [ 2,2]−C. D. 6.在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示. 如果小正方形网格的边长为 ，那么该四面 体的体积是（ ） A. B. C. D. 7.观察下图： 则第（ ）行的各数之和等于 。 A. B. C. D. 8.（错题再现）已知 是球 表面上的点， ， ， ， ，则球 表面积等于( )。 A. B. C. D. 9.（错题再现）已知函数 ,则函数 有（ ） 个零点。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10.设集合 ，若动点 ，则 的取值范围是（ ）。 A. B. C. D. 1 64 3 32 3 16 32 22017 2010 2018 1005 1009 , , ,S A B C O SA ABC⊥ 平面 AB BC⊥ 1SA AB= = 2BC = O π4 π3 π2 π =)(xf    ≤ > )0(,2 )0(,lg x xx x 1)(3)(2 2 +−= xfxfy {( , )|| | | | 1}, {( , )|( )( ) 0},A x y x y B x y y x y x M A B= + ≤ = − + ≤ = ∩ ( , )P x y M∈ 2 2( 1)x y+ − 1 10[ , ]2 2 2 10[ , ]2 2 1 5[ , ]2 2 2 5[ , ]2 211.已知函数 ，若函数 存在零点，则实 数 的取值范围为（ ）。 A. B. C. D. 12.如图，点 在直线 上，若存在过 的直线交抛物线 于 两点，且 ，则称点 为“ 点”.下列结论中正确的是（ ） A. 直线 上的所有点都是“ 点” B. 直线 上仅有有限个点是“ 点” C. 直线 上的所有点都不是“ 点” D. 直线 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象,若函数 在区间 和 上均单调递增,则实数 的取值范围 是 . 14．已知 , , ,则 与 的夹角的取值 范围是__________. 15(错题再现).如图所示， 地在 地的正东方向 处， 地在 地的北偏东 方向 处，河流的沿岸 （曲线）上任意一点到 的距离比到 的距离远 .现要在曲线 上任一处 建一座码头，向 两地转运货物.经测算，从 到 和 到 修建公路 的费用均为 万元 ，那么修建这两条公路的总费用最低是__________万元. 16.已知数列 满足 ，则 的值__________． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 ( ) 2 2 1, 2 0 , 0x x x xf x e x − − + − ≤ > 2 2 4 2 C A C P C x PA y M N y 0MF FN → → ⋅ = AN C Q APQ∆ 2( ) ln , ( ) ( 1)f x x x g x xλ= = − λ ( )y f x= ( )y g x= 1x = λ 1x ≥ ( ) ( )f x g x≤ λ 1C    = = α α sin3 cos2 y x α 1C 3 2 32 3 2 x x y y  =′ = +′ +  2C x 1C 2C（2）若直线 与曲线 交于 两点，与曲线 交于 两点，求 值. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 . （1）当 时，解不等式 ； （2） ，求 的取值范围. 的( )3 θ ρπ= ∈R 1C ,M N 2C ,P Q | | | | MN PQ ( ) | | | 2 |f x x a x= − + + 1a = ( ) 4f x ≥ 0 0, ( ) | 2 1|x R f x a∃ ∈ ≤ + a 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知 A,B,C 为不共线的三点,则“ ”是“ 为直角三角形”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】若 ，两边平方得到 ，即 故 为直角三角形，充分性； 若 为直角三角形，当 或 为直角时， ，不必要；故选： 2．福利彩票“双色球”中红球的号码可以从 01,02,03，…，32,33 这 33 个两位号码中选取， 小明利用如下所示的随机数表选取红色球的 6 个号码，选取方法是从第 1 行第 9 列的数字开 始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球的号码为(　　) 81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85 06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49 A.12 B．33 C．06 D．16 解析：选 C　被选中的红色球的号码依次为 17,12,33,06,32,22，所以第四个被选中的红色球 的号码为 06. 3. 已知 、 ，且 ，则（ ） A． B． C． D． 【详解】 对于 A 选项，取 ， ，则 成立，但 ，A 选项错误； 对于 B 选项，取 ， ，则 成立，但 ，即 ，B 选项错 误；对于 C 选项，由于指数函数 在 上单调递减，若 ，则 ，C 选 项正确；对于 D 选项，取 ， ，则 ，但 ，D 选项错误.故选：C. 提分技巧：. (1).幂函数的性质：幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于 是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象 限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点。 AB AC AB AC+ = −    ABC∆ AB AC AB AC+ = −    0AB AC∴ ⋅ =  AB AC⊥  ABC∆ ABC∆ BÐ C∠ AB AC AB AC+ ≠ −    A a b R∈ a b> 1 1 a b < sin sina b> 1 1 3 3 a b    1a = 1b = − a b> 1 1 a b > a π= 0b = a b> sin sin 0π = sin sina b= 1 3 x y  =    R a b> 1 1 3 3 a b    2 2a b1 时，指数函数对于 x 的负数值非常平坦，对于 x 的正数值迅速攀 升，在 x 等于 0 的时候，y 等于 1。当 00）当 00; 当 0 )0(,2 )0(,lg x xx x 1)(3)(2 2 +−= xfxfy {( , ) || | | | 1}, {( , ) | ( )( ) 0},A x y x y B x y y x y x M A B= + ≤ = − + ≤ = ∩ ( , )P x y M∈ 2 2( 1)x y+ − 1 10[ , ]2 2 2 10[ , ]2 2 1 5[ , ]2 2 2 5[ , ]2 2 ,A B M ( )22 1d x y= + − M ( )0,1 M y x= 2 2 M 1 1,2 2  −   1 9 5 4 4 2 + = ( )22 1x y+ − 1 5,2 2     后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函 数 求出最值. 11.已知函数 ，若函数 存在零点，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【详解】 函数 存在零点， 即方程 存在实数根， 即函数 与 的图象有交点，如图所 示， 直线 恒过定点 ， 过点 与 的直线的斜率 ，设直线 与 相切于 ， 则切点处的导数值为 ，则过切点的直线方程为 ， 又切线过 ，则 ， ，得 ， 此时切线的斜率为 ，由图可知，要使函数 存在零点， 则实数 的取值范围是 或 ，故选 B. 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结 合求解． 12.如图，点 在直线 上，若存在过 的直线交抛物线 于 两点，且 ，则称点 为“ 点”.下列结论中正确的是（ ） A. 直线 上的所有点都是“ 点” ( ) 2 2 1, 2 0 , 0x x x xf x e x − − + − ≤  ∴ P : 1l y x= − P 2y x= ,A B 2PA AB= l δ δ ( ) 2cos2f x x= 6 π ( )g x ( )g x 0, 3 a     72 , 6a π     a 23 ππ ≤≤ ax y C B A –1–2–3–4 1 2 3 4 –1 –2 –3 –4 1 2 3 4 O 14. 已知 , , ,则 与 的夹角的取值范 围是______________. 【分析】由已知条件得 ,故点 A 在以在以 C 为 圆心 为半径的圆上,数形结合可求 与 的夹角的取值范围是． 【解析】法一、 ,设 ,则 ,所以点 A 在 以 C 为圆心 为半径的圆上.作出图形如下图所示,从图可知 与 的夹角的取值范围是 . 法二、因为 ,所以 ,所以点 A 在以 C 为圆心 为半径的圆上. 作出图形如下图所示,从图可知 与 的夹角的取值范围 是 . 15.如图所示， 地在 地的正东方向 处， 地在 地的北偏东 方向 处，河流的 沿岸 （曲线）上任意一点到 的距离比到 的距离远 .现要在曲线 上任一处 建一座码头，向 两地转运货物.经测算，从 到 和 到 修建公路的费用均为 万元 ，那么修建这两条公路的总费用最低是__________万元. 详解：以 所在的直线为 轴， 的中垂线为 轴，建立平面直角坐标系，则 ，由 知点 的轨迹，即曲线 的方程为 ， ， 修建这两条公路的总费用最低是 万元，故答案为 . ( )2 0OB = ， ( )2 2OC = ， ( 2 cos 2 sin )CA α α= ， OA OB (2 2 cos ,2 2 sin )OA OC CA α α= + = + +   2 OA OB (2 2 cos ,2 2 sin )OA OC CA α α= + = + +   ( , )A x y 2 22 2 cos ( 2) ( 2) 2 2 2 sin x x y y α α  = + ⇒ − + − = = + 2 OA OB ]12 5,12[ ππ ( 2 cos 2 sin )CA α α= ， 2 2( 2 cos ) ( 2 sin ) 2CA α α= + = 2 OA OB ]12 5,12[ ππ B A 4km C B 30 2km PQ A B 2km PQ M ,B C M B M C a /km AB x AB y ( ) ( ) ( )2,0 , 2,0 , 3, 3A B C− 2MA MB− = M PQ ( )2 2 1 03 yx x− = > 2MB MC MA MC∴ + = − + 2 2 2 7 2MA MC AC= + − ≥ − = − ∴ ( )2 7 2 a− ( )2 7 2 a−点睛：本题主要考查利用定义求双曲线方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的 最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论 来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用 参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解. 16.已知数列 满足 ，则 的值__________． 详解：设 ，则 ， 即 ， ， 故数列 是公比为 的等比数列， 则 ， ， ， 故答案为 . 点睛：本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项，属于中档题.由数列的 递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、 等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘 法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如 的递推数列求通项往往用构造法，即将 利用待定系数法构造成 的形式，再根据等比 数例求出 的通项，进而得出 的通项公式. 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.） 17. 的内角 的对边分别为 ，已知 . （1）求 ； { }na * 1 13,(3 )(6 ) 18( )n na a a n N+= − + = ∈ 1 1n i ia= ∑ 1 , 1,2,...n n b na = = 1 1 13 6 18 n nb b+   − + =      1 1 13 6 1 0, 2 3n n n nb b b b+ +− − = ∴ = + 1 1 123 3n nb b+  + = +   1 3nb +   2 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 23 3 3 3 n n n nb b a − −   + = + = + = ⋅      ( )1 2 13 n nb∴ = − ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2 11 1 1 12 1 2 23 3 2 1 3 nn n n n n i i i in b n na + = = =  −  = = − = − = − −−   ∑ ∑ ∑ ( )11 2 23 n n+ − − 1 ( 0, 1)n na qa p p q−= + ≠ ≠ 1 ( 0, 1)n na qa p p q−= + ≠ ≠ 1( )n na m q a m−+ = + { }na m+ { }na ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2cos ( cos cos ) 3B a B b A c+ = B（2）若 成等差数列，且 的周长为 ，求 的面积. 分 析 ： （ 1 ） 由 , 利 用 正 弦 定 理 可 得 ， 再 由 两 角 和 的 正 弦 公 式 结 合 诱 导 公 式 可 得 ,从而可得结果；（2）由 成等差数列， 的周长为 ，可得 ，由余弦定理 利用三角形面积公式可得结果. 详解：（1）已知 ， 由正弦定理得 ，..................................2 分 即 ....................................................................................4 分 为 的内角， ...............................................................................................................................6 分 （2） 成等差数列， ，..........................................................8 分 又 的周长为 ，即 ，.............................................10 分 由余弦定理知 ...............................................................................................................11 分 ........................................12 分 点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及 解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这 类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特 , ,a b c ABC∆ 3 5 ABC∆ ( )2cos cos cos 3B a B b A c+ = ( )2cos sin cos sin cos 3sinB A B B A C+ = 3cos 2B = , ,a b c ABC∆结合 3 5 5b = 15 , 2 3 ac得到 = + ( )2cos cos cos 3B a B b A c+ = ( )2cos sin cos sin cos 3sinB A B B A C+ = ( )2cos sin 3sin ,B A B C⋅ + = 3cos ,2B B∴ =  ABC∆ 6B π∴ = , ,a b c 2b a c∴ = + ABC∆ 3 5 3 5, 5a b c b+ + = ∴ = ( ) ( )22 2 2 2 22 cos 3 2 3 ,b a c ac B a c ac a c ac= + − = + − = + − + 15 , 2 3 ac∴ = + ( ) ( )15 2 31 1 1sin 15 2 32 2 2 4ABCS ac B∆ − ∴ = = × − × =别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心. 18.在如图所示的几何体 中， 为 的中点， . （1）求证： ； （2）若 ，求 该几何体的体积. 分析：（1 ）由 可得 共面，根据等腰三角形的 性质可得 ， ，由线面垂直的判定定理可得 平 面 进 而 可 得 结 果 ； （ 2 ） 由 （ 1 ） 可 知 平 面 由勾股定理可得 ，从而可 求出梯形 的面积，利用棱锥的体积公式可得结果. 详解：（1） 与 确定平面 ......................................................................................................................................1 分 .连接 的为 的中点， .同理可得 ，..............................................................2 分 又 平面 平面 平面 平 面 ......................................................................................................4 分 （2）由（1）可知 平面 .................................................5 分 ，又 .................................................................................6 分 在梯形 中，取 的中点 ，连接 ，则 且 四边形 为平行四边形， 且 .........................................................................................................................7 分 又 .............................................................................8 分 ACBFE , ,AB BC AE EC D= = AC / /EF DB AC FB⊥ , 4, 3, 3, 2AB BC AB AE BF BD EF⊥ = = = = / /EF DB EFBD DE AC⊥ BD AC⊥ AC ⊥ ,BDEF AC ⊥ 1, ,3ABCEF A BDEF C BDEF BDEFBDEF V V V S AC− −∴ = + = ⋅ ⋅ FM BM⊥ BDEF / / ,EF BD EF ∴ BD EFBD , ,DE AE EC D = AC DE AC∴ ⊥ BD AC⊥ ,BD DE D BD ∩ = ⊂ ,EFBD DE ⊂ ,EFBD AC∴ ⊥ ,BDEF FB ⊂ ,EFBD AC FB∴ ⊥ AC ⊥ 1, ,3ABCEF A BDEF C BDEF BDEFBDEF V V V S AC− −∴ = + = ⋅ ⋅ , , 4, 2 2, 4 2AB BC AB BC AB BD AC = ⊥ = ∴ = = 2 23, 1AE DE AE AD= ∴ = − = BDEF BD M MF / /EF DM ,EF DM= ∴ FMDE / /FM DE∴ FM DE= 2 2 23, ,BF BF FM BM= ∴ = +............. .......................................................................................................................................12 分 点睛：解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之 间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线 和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论 ；（3）利用面面平行的性质 ；（4）利用面面 垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面. 19. 一个调查学生记忆力的研究团队从某中学随机挑选 100 名学生进行记忆测试，通过讲解 100 个陌生单词后，相隔十分钟进行听写测试，间隔时间 （分钟）和答对人数 的统计表格 如下： 时间 （分 钟） 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 答对人数 98 70 52 36 30 20 15 11 5 5 1.99 1.85 1.72 1.56 1.48 1.30 1.18 1.04 0.7 0.7 时间 与答对人数 的散点图如图： 附： ， ， ， ， ， 对于一组数据 ， ，……， ，其回归直线 的斜率和截距的最 小二乘估计分别为： ， .请根据表格数据回答下列问题： ( )1 3 2 1 3 2, 2 2 2 1 , 4 2 42 2 3 2ABCEFBDEFFM BM S V∴ ⊥ = × + × = ∴ = × × =梯形 ( || , )a b a bα α⊥ ⇒ ⊥ ( ), ||a aα α β β⊥ ⇒ ⊥ t y t y lg y t y 2 38500it =∑ 342iy =∑ lg 13.5iy =∑ 10960i it y =∑ lg 620.9i it y =∑ ( )1 1,u v ( )2 2,u v ( ),n nu v v uα β= +  1 22 1 n i i i n i i u v nuv u nu β = = − = − ∑ ∑  v uα β= −（1）根据散点图判断， 与 ，哪个更 适 宣作为线性回归类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的判断结果，建立 与 的回归方程； （ 数据保留 3 位有效数字） （3）根据（2）请估算要想记住 的内容，至多间隔多 少 分钟重新记忆一遍.（参考数据： ， ） 【详解】 （1）由图象可知， 更适宜作为线性回归型；........................4 分 （2）设 ，根据最小二乘法得 ，....................6 分 ，......................................................8 分 所以 ， 因此 ；.....................................................10 分 （3）由题意知 ，即 ，解得 ，即至多 19.05 分钟，就需要重新复习一 遍...............................................................................................................................................12 分 20.如图所示，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ， 短轴长为 . （1）求椭圆 的标准方程； （2）设 为椭圆 的左顶点， 为椭圆 上位于 轴上方的点，直线 交 轴于点 ， 点 在 轴上，且 ，设直线 交椭圆 于另一点 ，求 的面积的最大 值. y at b= + lg y ct d= + y t 75% lg 2 0.3≈ lg3 0.48≈ lg y ct d= + lg y ct d= + 10 1 10 222 1 lg 10 lg 620.9 10 55 1.35 0.014738500 10 5510 i i i i i t y t y c t t = = − − × ×= = ≈ −− ×− ∑ ∑ lg 2.16d y ct= − ≈ lg 0.0147 2.16y t= − + 0.0147 2.1610 ty − += 0.0147 2.1610 75ty − += ≥ 0.0147 2.16 2 lg3 2lg 2 1.88t− + ≥ + − ≈ 19.05t ≤ xOy 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 2 2 4 2 C A C P C x PA y M N y 0MF FN → → ⋅ = AN C Q APQ∆详解：（1）由题意得 ，解得 ，所以椭圆 的标准方程为 .........................................................................................................................4 分 （2）由题可设直线 的方程为 ，则 ，又 且 ，所以 ，所以直线 的方程为 ，则 ，...........................................................6 分 联立 消去 并整理得 ，解得 或 ， 则 ，.................................................8 分 直线 的方程为 ，同理可得 ，.................................................10 分 所以 关于原点对称，即 过原点，所以 的面积 ，当且仅当 ，即 时，等号 成立，所以 的面积的最大值为 ......................................................................................................................................12 分 提分技巧： 求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于 的方程组，解出 ，从 2 2 2 2 2 2 4 2 c a b a b c  =  =  = +  4 2 2 2 2 a b c =  =  = C 2 2 116 8 x y+ = PA ( )4 , 0y k x k= + > ( )0,4M k ( )2 2,0F 0MF FN ⋅ = MF FN⊥ FN ( )2 2 2 24y xk = − 20,N k  −   ( ) 2 2 4 2 16 y k x x y  = +  + = y ( )2 2 2 21 2 16 32 16 0k x k x k+ + + − = 1 4x = − 2 2 2 4 8 1 2 kx k −= + 2 2 2 4 8 8,1 2 1 2 k kP k k  −  + +  AN ( )1 42y xk = − + 2 2 2 8 4 8,1 2 1 2 k kQ k k  − − + +  ,P Q PQ APQ∆ 2 1 16 322 8 212 1 2 2 P Q kS OA y y k k k = ⋅ − = ⋅ = ≤+ + 12k k = 2 2k = APQ∆ 8 2 , ,a b c , ,a b而写出椭圆的 标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程 联立，消元、 化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差 法”解决，往 往会更简单. 1．与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联 想到图形.理解 顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系，深挖出它们之间的联系，求解自然就 不难了． 2．焦点三角形 以椭圆 上一点 和焦点 F1 (－c，0)，F2 (c，0)为顶点 的 中，若 ，注意以下公式的灵活运用： （1） ； （2） ； （3） . 3．弦长公式 （1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解； （2）当直线的斜率存在时，斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 相交于 两个不 同 的 点 ， 则 弦 长 . 4．直线与椭圆的弦长问题有三种解法： （1）过椭圆的焦点的弦长问题，利用椭圆的定义可优化解题． （2）将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦 长． （3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 0 0( ),P x y 0( 0)y ≠ 1 2PF F△ 1 2F PF θ∠ = 1 2| | 2PF PF a+ = 2 2 2 1 2 1 24 2| | | | cos| || |c PF PF PF PF θ⋅= + － 1 2 1 2 1 ·sin2 | || |PF FS PF PF θ=△ 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 22 1( ) ( ) 1 | | 1 | | ( 0)＝AB x x y y k x x y y kk − + − = + − = + − ≠元二次方程根与系数的关系. 5．定点、定值问题多以直线与椭圆为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定 点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、 数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情 况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特 殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等. 21.已知函数 （ 为常数）. （1）若函数 与函数 在 处有相同的切线，求实数 的值； （2）当 时， ，求实数 取值范围. 【答案】（1） （2） 详解：（1）由题意得 ，............................................2 分 又 ，且函数 与 在 处有相同的切线， ，则 ，即 ..................................................................................................................................4 分 （2） 令 ， 由题意知，对任意 ， 恒成立。........................................5 分 ......................................................................................................6 分 ① 当 时， 恒成立， 单调递减，不满足题意。.. ..............8 分 ② ，即 时， 单调递增，满足题意，令 ， ， 单调递减，所以 = = ，所以 。.............10 分 ③当 时， ，当 时， ， 单调递减， 的 2( ) ln , ( ) ( 1)f x x x g x xλ= = − λ ( )y f x= ( )y g x= 1x = λ 1x ≥ ( ) ( )f x g x≤ λ 1 2 λ = 1 2 λ ≥ ( ) ( )ln 1, 2f x x g x xλ′ ′= + = ( ) ( )1 1 0f g= = ( )y f x= ( )y g x= 1x = ( ) ( )1 1f g∴ ′ = ′ 2 1λ = 1 2 λ = xxxxfxgxH ln)1()()()( 2 −−=−= λ [ )+∞∈ ,1x )1(0)( HxH =≥ 1ln2)(' −−= xxxH λ 0≤λ )(1 xH 0≤ )(xH )(1 xH 0≥ x x 2 ln1+≥λ )(xH x xxr 2 ln1)( += 0ln)( 2 ' ≤−= x xxr )(xr max)(xr )1(r 2 1 2 1≥λ 2 10