石城中学 2020 届高三下学期第二次（线上）考试
理科数学试卷
满分：150 分 时间：120 分钟
命题范围：高考范围 下次周考范围：高考范围
一、选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.）
1．设集合 ，则下列结论正确的是 （ ）
A． B． C． D．
2．命题“ ， ”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．若复数 是纯虚数，则 的值为( )
A． B． C． D．
4．如果点 在平面区域 上，点 在曲线 上，那么 的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数 ，若正实数 ， 满 ，则
的最小值是（ ）
A．1 B． C．9 D．18
6．2018 年 1 月 31 日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段,月食的
初亏发生在 19 时 48 分,20 时 51 分食既,食甚时刻为 21 时 31 分,22 时 08 分生光,直至 23 时 12
{ } 11,1 . { 2}M N x x
= − = <
N M⊆ M N⊆ N M φ∩ = M N R=
0x∀ > 2 0x >
20, 0x x∀ > ≤ 20, 0x x∃ > ≤
20, 0x x∀ ≤ ≤ 20, 0x x∃ ≤ ≤
3 4sin cos5 5z iθ θ = − + − tan( )θ − π
3
4
± 4
3
3
4
− 4
3
−
P
2 2 0
2 0
2 1 0
x y
x y
y
− + ≥
+ − ≤
− ≥
Q ( )22 2 1x y+ + = PQ
3
2
4 1
5
− 2 2 1− 2 1−
2 1( ) sin2 1
x
xf x x x
−= + ++ a b (4 ) ( 9) 0f a f b+ − = 1 1
a b
+
9
2分复圆.全食伴随有蓝月亮和红月亮,全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始,生光时刻结東,一市
民准备在 19:55 至 21：56 之间的某个时刻欣赏月全食，则他等待“红月亮”的时间不超过 30 分
钟的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（错题再现）将 3 名教师和 3 名学生共 6 人平均分成 3 个小组，分别安排到三个社区参加
社会实践活动，则每个小组恰好有 1 名教师和 1 名学生的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，主要方式是由十天干（甲、乙、
丙、丁、戊、己、废、辛、壬、朵）和十二地支（子、丑、卯、辰、已、午、未、中、百、
戊、）按顺序配对，周而复始，循环记录．如：1984 年是甲子年，1985 年是乙丑年，1994 年
是甲戌年，则数学王子高斯出生的 1777 年是干支纪年法中的（ ）
A．丁申年 B．丙寅年 C．丁酉年 D．戊辰年
9．如图所示，边长为 2 的正方形 ABCD 中，E 为 BC 边中点，点 P 在对角线 BD 上运动，过
点 P 作 AE 的垂线，垂足为 F，当 最小时， （ ）
A． B． C． D．
10．（错题再现）过曲线 的左焦点 作曲线 的
切线，设切点为 延长 交曲线 于点 其中 有一个共同的
焦点，若 则曲线 的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
11．利用一半径为 4cm 的圆形纸片(圆心为 O)制作一个正四棱锥．方法如下：
(1)以 O 为圆心制作一个小的圆；
(2)在小的圆内制作一内接正方形 ABCD；
4
11
7
12
5
11
11
12
1
3
2
5
1
2
3
5
AE EP⋅ FC =
2 3
3 4AB AD+ 3 2
4 3AB AD+ 4 3
5 5AB AD+ 3 4
5 5AB AD+
2 2
1 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > 1F 2 2 2
2 :C x y a+ =
,M 1F M 2
3 : 2 ( 0)C y px p= > ,N 1 3,C C
1 0,MF MN+ =
1C
5 1
2
+
5 2 1
2
+
2(3)以正方形 ABCD 的各边向外作等腰三角形，使等腰三角形的顶点落在大圆上(如图)；
(4)将正方形 ABCD 作为正四棱锥的底，四个等腰三角形作为正四棱锥的侧面折起，使四个等
腰三角形的顶点重合，问：要使所制作的正四棱锥体积最大，则小圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 ，两个等式：
对任意的实数 均恒成立，且
上单调，则 的最大值为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：（本大题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分.）
13．若数列 为等差数列， 为等比数列，且满足： ， ，函数
，则 ________.
14． _______
15．二项式 的展开式中，设“所有二项式系数和”为 A，“所有项的系
数和”为 B，“常数项”值为 C，若 ，则含 的项为_____．
16．定义在 R 上的函数 满足 ，又当 时， 成立，
4 2
5
6 2
5
8 2
5 2 2
( ) ( )cos 0, 0, 2f x A x A
πω ϕ ω ϕ = + > > ≤
0, 04 4 4 4f x f x f x f x
π π π π − + − − − = − + + = x
( ) 30 16f x
π
在 ， ω
{ }na { }nb 1 2019a a π+ = 1 2019 2b b⋅ =
( ) sinf x x= 1009 1011
1009 1011
( )1
a af b b
+ =+
22
0
2sin 2
x dx
π
=∫
( )0 0
nbax a bx
+ > > ，
256 70A B C= = =， 6x
( )f x ( ) ( ) cosf x f x x− + = 0x ≤ ( ) 1
2f x′ ≥若 ，则实数 t 的取值范围为_________．
三、解答题：（共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．已知函数 的定义域为 ，集合 .
（1）若 ，求实数 的值；
（2）若 ，使 ，求实数 的取值范围.
18．某地种植常规稻 和杂交稻 ，常规稻 的亩产稳定为 485 公斤，今年单价为 3.70 元/公斤，
估计明年单价不变的可能性为 ，变为 3.90 元/公斤的可能性为 ，变为 4.00 的可能性为
.统计杂交稻 的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如图①.统计近 10 年杂交稻 的单
价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的 10 组数据记为
，并得到散点图如图②.
（1）根据以上数据估计明年常规稻 的单价平均值；
（2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻 的亩产平均值；以频率
作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻 的亩产超过 795 公斤的概率；
（3）①判断杂交稻 的单价 （单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）是否线性相关？若
相关，试根据以下的参考数据求出 关于的线性回归方程；
②调查得知明年此地杂交稻 的种植亩数预计为 2 万亩.若在常规稻 和杂交稻 中选择，明年
种植哪种水稻收入更高？
( ) 2 cos2 2 4f t f t t
π π ≥ − + +
( ) 23 2f x x x= + − A { }2 2| 2 9 0B x x mx m= − + − ≤
[ ]2,3A B∩ = m
( )1 2, Rx A x C B∀ ∈ ∃ ∈ 2 1x x= m统计参考数据： ， ， ， ，
附：线性回归方程 ， .
19 ． 如 图 所 示 ， 在 四 棱 锥 中 ， 平 面 平 面 ， ，
， ．
（1）求证： ；
（2）若二面角为 为 ，求直线 与平面 所成的角的正弦值．
20．已知 分别是椭圆 的长轴与短轴的一个端点， 是椭圆
的左、右焦点，以 点为圆心、3 为半径的圆与以 点为圆心、1 为半径的圆的交点在椭圆
上，且 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为椭圆 上一点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求证：
．
21．设函数 .
（Ⅰ）讨论 的导函数 的零点的个数；
A BCDE− BCDE ⊥ ABC BE EC⊥
6, 4 3BC AB= = 30ABC∠ = °
AC BE⊥
B AC E− − 45° AB ACE
,A B
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > ,E F
E F C
5AB =
C
P C PA y M PB x N
2AN BM OA⋅ =
( ) 2 lnxf x e a x= −
( )f x ( )f x′（Ⅱ）证明：当 时 .
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
选修 4-4：坐标系与参数方程
22．在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为
极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
．
（1）当 时，求 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 交于 两点，直线 的倾斜角 ，点 为直线 与 轴的
交点，求 的最小值．
选修 4-5：不等式选讲
23．已知 ， ，且 .
(1)若 恒成立，求 的取值范围；
(2)证明： .
0a > ( ) 22 lnf x a a a
≥ +
xOy l
cos
2 sin
x t
y t
α
α
=
= + t
x C
2 2 cos 2 sin 1 0+ − + =ρ ρ θ ρ θ
4
πα = l C
l C ,A B l 0, 3
∈
πα P l y
+
PA PB
PA PB
0a > 0b > 2 2 2a b+ =
2 2
1 4 2 1 1x xa b
+ ≥ − − − x
( )5 51 1 4a ba b
+ + ≥ 一、选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.）
1．设集合 ，则下列结论正确的是（ B ）
A． B． C． D．
【解析】B
由 ，得 或 ，则 ，选 B.
2．命题“ ， ”的否定是（ B ）
A． B．
C． D．
【解析】B
全称命题改否定，首先把全称量词改成特称量词，然后把后面结论改否定即可.
3．若复数 是纯虚数，则 的值为( C )
A． B． C． D．
【解析】 C
根据所给的虚数是一个纯虚数，得到虚数的实部等于 0，而虚部不等于 0，得到角的正弦和余
弦值，根据同角三角函数之间的关系，得到结果.
4．如果点 在平面区域 上，点 在曲线 上，那么 的最
小值为（ A ）
A． B． C． D．
【解析】A
的最小值就是圆心（0，-2）到平面区域 的最小值减去圆的半径，由图可
{ } 11,1 . { 2}M N x x
= − = <
N M⊆ M N⊆ N M φ∩ = M N R=
1 1 22, 0, (1 2 ) 0x x xx x
−< < − < 0x < 1
2x > M N⊆
0x∀ > 2 0x >
20, 0x x∀ > ≤ 20, 0x x∃ > ≤
20, 0x x∀ ≤ ≤ 20, 0x x∃ ≤ ≤
3 4sin cos5 5z iθ θ = − + − tan( )θ − π
3
4
± 4
3
3
4
− 4
3
−
P
2 2 0
2 0
2 1 0
x y
x y
y
− + ≥
+ − ≤
− ≥
Q ( )22 2 1x y+ + = PQ
3
2
4 1
5
− 2 2 1− 2 1−
PQ
2 2 0
{ 2 0
2 1 0
x y
x y
y
− + ≥
+ − ≤
− ≥得圆心（0，-2）到平面区域的最小值是 ，所以 的最小值为 .
5．已知函数 ，若正实数 ， 满 ，则
的最小值是（ A ）
A．1 B． C．9 D．18
【详解】A
因为 ，所以
，
所以函数 为奇函数，又若正实数 满 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，取等号.
故选 A
6．2018 年 1 月 31 日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段,月食的
初亏发生在 19 时 48 分,20 时 51 分食既,食甚时刻为 21 时 31 分,22 时 08 分生光,直至 23 时 12
分复圆.全食伴随有蓝月亮和红月亮,全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始,生光时刻结東,一市
民准备在 19:55 至 21：56 之间的某个时刻欣赏月全食，则他等待“红月亮”的时间不超过 30 分
钟的概率是（ C ）
A． B． C． D．
【解析】C
分析：由市民准备在 19:55 至 21：56 之间的某个时刻欣赏月全食知这是一个几何概型，由题
可知事件总数包含的时间长度是 121，而他等待的时间不多于 30 分钟的事件包含的时间长度
是 55，两值一比即可求出所求．
详解：如图，时间轴点所示，概率为
5
2
PQ 3
2
2 1( ) sin2 1
x
xf x x x
−= + ++ a b (4 ) ( 9) 0f a f b+ − = 1 1
a b
+
9
2
( ) 2 1 sin2 1
x
xf x x x
−= + ++
( ) ( )2 1 2 1sin sin2 1 2 1
x x
x xf x x x x x f x
−
−
− −− = − − = − + + = − + +
( )f x ,a b ( ) ( )4 9 0f a f b+ − = 4 9 0a b+ − =
( ) ( )1 1 1 1 1 1 4 1 4 14 4 1 5 5 2 4 19 9 9 9
b a b aa ba b a b a b a b
+ = + + = + + + = + + ≥ + =
4b a
a b
= 2 3b a= =
4
11
7
12
5
11
11
12
55 5
121 11P = =故选 C.
7．（错题再现）将 3 名教师和 3 名学生共 6 人平均分成 3 个小组，分别安排到三个社区参加
社会实践活动，则每个小组恰好有 1 名教师和 1 名学生的概率为（ B ）
A． B． C． D．
【详解】B
将 名教师和 名学生共 人平均分成 个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，基
本事件总数 ，每个小组恰好有 名教师和 名学生包含的基本事件个数
，所以每个小组恰好有 名教师和 名学生的概率为
，故选 B．
8．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，主要方式是由十天干（甲、乙、
丙、丁、戊、己、废、辛、壬、朵）和十二地支（子、丑、卯、辰、已、午、未、中、百、
戊、）按顺序配对，周而复始，循环记录．如：1984 年是甲子年，1985 年是乙丑年，1994 年
是甲戌年，则数学王子高斯出生的 1777 年是干支纪年法中的（C ）
A．丁申年 B．丙寅年 C．丁酉年 D．戊辰年
【解析】C
由题意，天干是以 10 为公差的等差数列，地支是以 12 为公差的等差数列，1994 年是甲戌年，
则 1777 的天干为丁，地支为酉，故选：C．
9．如图所示，边长为 2 的正方形 ABCD 中，E 为 BC 边中点，点 P 在对角线 BD 上运动，过
点 P 作 AE 的垂线，垂足为 F，当 最小时， （ D ）
A． B． C． D．
【详解】D
1
3
2
5
1
2
3
5
3 3 6 3
2 2 2
6 4 2n 90C C C= = 1 1
1 1 1 1 1 1
3 3 2 2 1 1m 36C C C C C C= = 1 1
36 2
90 5
mp n
= = =
AE EP⋅ FC =
2 3
3 4AB AD+ 3 2
4 3AB AD+ 4 3
5 5AB AD+ 3 4
5 5AB AD+ 依题 ，由图易知向量 所成角为钝角，所以
，所以当 最小时，即为向量 在向量 方向上的投影最小，数形
结合易知点 P 在点 D 时, 最小（如图所示），
在三角形 ADE 中，由等面积可知 ，
所以 ，从而 .所以
.故选 D.
10．过曲线 的左焦点 作曲线 的切线，设切点
为 延长 交曲线 于点 其中 有一个共同的焦点，若
则曲线 的离心率为（ A ）．
A． B． C． D．
【详解】A
设双曲线的右焦点为 ，则 的坐标为 ．
因为曲线 与 有一个共同的焦点，所以曲线 的方程为 ．
cos ,AE EP AE EP AE EP⋅ = ,AE EP
cos , 0AE EP > 1F 2 2 2
2 :C x y a+ =
,M 1F M 2
3 : 2 ( 0)C y px p= > ,N 1 3,C C
1 0,MF MN+ =
1C
5 1
2
+
5 2 1
2
+
2
2F 2F ( ),0c
1C 3C 3C 2 4y cx=因为 ，
所以 ，
所以 为 的中点，
因为 O 为 的中点，
所以 OM 为 的中位线，
所以 OM∥ ．
因为|OM|=a，所以 ．
又 ， ，
所以 ．
设 N(x,y)，则由抛物线的定义可得 ，
所以 ．
过点 F1 作 x 轴的垂线，点 N 到该垂线的距离为 ，
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，
所以 ，
整理得 ，解得 ．
故选 A．
11．利用一半径为 4cm 的圆形纸片(圆心为 O)制作一个正四棱锥．方法如下：
1 0MF MN+ =
1MF MN NM= − =
M 1F N
1 2F F
1 2NF F
2NF
2 2NF a=
2 1NF NF⊥ 1 2 2F F c=
( ) ( )2 2
1 2 2 2NF c a b= − =
2x c a+ =
2x a c= −
2a
1Rt F PN 2 2 2
1 1| | +| | | |F P PN F N=
2 2 24 4y a b+ =
2 2 24 (2 ) 4 4( )c a c a c a− + = −
2 1 0e e− − = 5 1
2e
+=(1)以 O 为圆心制作一个小的圆；
(2)在小的圆内制作一内接正方形 ABCD；
(3)以正方形 ABCD 的各边向外作等腰三角形，使等腰三角形的顶点落在大圆上(如图)；
(4)将正方形 ABCD 作为正四棱锥的底，四个等腰三角形作为正四棱锥的侧面折起，使四个等
腰三角形的顶点重合，问：要使所制作的正四棱锥体积最大，则小圆的半径为（C ）
A． B． C． D．
【详解】C
设小圆的半径为 ，连 OD.OH.OH 与 AD 交于点 M，则
.因为大圆半径 R=4，所以 ，在正四棱锥中，如图
所示，
.
所以
记 ，所以令 ，
4 2
5
6 2
5
8 2
5 2 2
( )0 4r r< <
22 , 2AD r OM r= = 24 2MH r= −
2 2HO HM OM= −
2 2
2 24 2 2r r
= − −
3 21 116 4 2 16 4 22 2r r r r= − + − = −
( )2 4 31 1 42 16 4 2 4 23 3 3V S HO r r r r= ⋅ = × × − = × −
( )4 3 3 4 34 2 ' 16 5 2 16 5 2r rt r r t r r r r= − ⇒ = − = − 8 2' 0 5rt r= ⇒ =易知， 时， 取最大值，所以小圆半径为 时，V 最大。故选 C.
12．已知函数 ，两个等式：
对任意的实数 均恒成立，且
上单调，则 的最大值为 （ A ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【详解】A
因为两个等式： 对任意的实数 x
均恒成立，所以 的图象关于直线 和点 对称，所以
，因为 ，所以 .因为 在
上单调，所以 ，所以 ，由选项知，只需要验证 .
1.当 时， ，因为 对任意的实数 x 均恒
成立，所以 ，因为 ，所以 ，所以
，可以验证 在 上不单调，
2.当 时， ，因为 对任意的实数 x 均恒成
立，所以 ，因为 ·所以 ·所以 ，
可以验证 在 上单调，
8 2
5r = 4 34 3rt r r= − 8 2
5
( ) ( )cos 0, 0, 2f x A x A
πω ϕ ω ϕ = + > > ≤
0, 04 4 4 4f x f x f x f x
π π π π − + − − − = − + + = x
( ) 30 16f x
π
在 ， ω
0, 04 4 4f x f x f x f xx
π π π π − + − − − = − + + =
( )f x
4
πx = − ,04
π
( )
4 4 4 2
T Tk k N
π π − − = + ∈
2T
π
ω= ( )2 1k k Nω = + ∈ ( )f x
30, 16
π
3 3016 16 2
Tπ π π
ω− = ≤ = 16
3
ω ≤ 3ω =
3ω = ( ) ( )cos 3f x A x ϕ= +
4 4f x f x
π π − = − +
( )3 4 2k k Z
π πϕ π⋅ + = + ∈
2
πϕ ≤
4
πϕ = −
( ) cos 3 4f x A x
π = −
( )f x 30, 16
π
1ω = ( ) ( )cosf x A x ϕ= +
4 4f x f x
π π − = − +
( )
4 2k k Z
π πϕ π+ = + ∈
2
πϕ ≤
4
πϕ = ( ) cos 4f x A x
π = +
( )f x 30, 16
π
所以 w=1.故选 A.
三、填空题：（本大题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分.）
13．若数列 为等差数列， 为等比数列，且满足： ， ，函数
，则 ________.
【详解】
是等差数列，
是等比数列，
，
，
.
故答案为： .
14． _______;
【详解】
= = ．
15．二项式 的展开式中，设“所有二项式系数和”为 A，“所有项的系
数和”为 B，“常数项”值为 C，若 ，则含 的项为_____．
【详解】
{ }na { }nb 1 2019a a π+ = 1 2019 2b b⋅ =
( ) sinf x x= 1009 1011
1009 1011
( )1
a af b b
+ =+
3
2
{ }na
1009 1011 1 2019a a a a π∴ + = + =
{ }nb
1 2019 1009 1011 2b b b b∴ ⋅ = ⋅ =
1009 1011
1009 10111 1 2 3
a a
b b
π π+∴ = =+ +
1009 1011
1009 1011
3sin1 3 3 2
a af fb b
π π + ∴ = = = +
3
2
22
0
2sin 2
x dx
π
=∫ 12
π −
2
2
0
2 2
xsin dx
π
∫ ( )2
2
0
0
1 ( ) |cosx dx x sinx
π
π
− = −∫ 12 2 2sin
π π π− = −
( )0 0
nbax a bx
+ > > ，
256 70A B C= = =， 6x 68x依题得 ，所以 n=8，在 的展开式中令 x=1，则有 ，所以 a+b=2，
又因为 展开式的通项公式为 ，令
.所以得到 （舍），当 时，由
得 .所以令 ，所以 ，故填 .
16．定义在 R 上的函数 满足 ，又当 时， 成立，
若 ，则实数 t 的取值范围为_________．
【详解】
由 ，令 ，则
，所以
为奇函数.因为当 时， 成立，所以当 时，
成立，所以 在 上单调递增，所以 在 R 上单
调递增.因为 ，
即为 ，
所以 ，所以 ，所以 .
故答案为：
三、解答题：（共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．已知函数 的定义域为 ，集合 .
（1）若 ，求实数 的值；
2 256n =
nbax x
+
( )8 256a b+ =
nbax x
+
( ) ( )8 8 8 2
1 8 8
r
r rr r r r
r
bT C ax C a b xx
− − −
+
= =
8 2 0 4r r− = ⇒ = 4 4 4
8 70 1, 1C a b ab ab= ⇒ = = − 1ab =
2a b+ = 1a b= = 8 2 6 1r r− = ⇒ = 1 6 6
2 8 8T C x x= = 68x
( )f x ( ) ( ) cosf x f x x− + = 0x ≤ ( ) 1
2f x′ ≥
( ) 2 cos2 2 4f t f t t
π π ≥ − + +
,4
π +∞
( ) ( ) cosf x f x x− + = ( ) ( )1
1 cos2f x f x x= −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1
1 1cos cos cos 02 2f x f x f x x x f x x f x f x x− + = − − − + − = − + − =
( )1f x 0x ≤ ( ) 1' 2f x ≥ 0x ≤
( ) ( )1
1' ' sin 02f x f x x= + ≥ ( )1f x ( ],0−∞ ( )1f x
( ) 2 cos2 2 4f t f t t
π π ≥ − + +
( ) 1 1cos cos2 2 2 2f t t f t t
π π − ≥ − − −
( )1 1 2f t f t
π ≥ − 2t t
π≥ −
4t
π≥
,4
π +∞
( ) 23 2f x x x= + − A { }2 2| 2 9 0B x x mx m= − + − ≤
[ ]2,3A B∩ = m（2）若 ，使 ，求实数 的取值范围.
【解析】（1） ；（2） 或 .
试题解析：
（1） ，
因为 ，所以 ；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 分
（2）由已知得： ，所以 或 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分
18．某地种植常规稻 和杂交稻 ，常规稻 的亩产稳定为 485 公斤，今年单价为 3.70 元/公斤，
估计明年单价不变的可能性为 ，变为 3.90 元/公斤的可能性为 ，变为 4.00 的可能性为
.统计杂交稻 的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如图①.统计近 10 年杂交稻 的单
价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的 10 组数据记为
，并得到散点图如图②.
（1）根据以上数据估计明年常规稻 的单价平均值；
（2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻 的亩产平均值；以频率
作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻 的亩产超过 795 公斤的概率；
（3）①判断杂交稻 的单价 （单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）是否线性相关？若
相关，试根据以下的参考数据求出 关于的线性回归方程；
②调查得知明年此地杂交稻 的种植亩数预计为 2 万亩.若在常规稻 和杂交稻 中选择，明年
种植哪种水稻收入更高？
统计参考数据： ， ， ， ，
( )1 2, Rx A x C B∀ ∈ ∃ ∈ 2 1x x= m
5m = 4m < − 6m >
{ } { }| 1 3, , | 3 3, ,A x x x R B x m x m x R m R= − ≤ ≤ ∈ = − ≤ ≤ + ∈ ∈
[ ]2,3A B∩ = 5m =
RA C B⊆ 4m < − 6m >附：线性回归方程 ， .
（1）3.9；（2）0.104；（3）① ；②选择种杂交稻 收入更高.
【详解】
解：（1）设明年常规稻 的单价为，则的分布列为
3.70 3.90 4.00
0.1 0.7 0.2
，
估计明年常规稻 的单价平均值为 3.9（元/公斤）； （3 分）
（2）杂交稻 的亩产平均值为：
.
依题意知杂交稻 的亩产超过 795 公斤的概率 ，
则将来三年中至少二年，杂交稻 的亩产超过 795 公斤的概率为：
. （6 分）
（3）①∵散点图中各点大致分布在一条直线附近，
∴可以判断杂交稻 的单价 与种植亩数线性相关，
由题中提供的数据得： ，
由 得 ，
∴线性回归方程为 ， （10 分）
② 估计明年杂交稻 的单价 元/公斤；
估计明年杂交稻 的每亩平均收入为 元/亩，
估计明年常规稻 的每亩平均收入为 元/亩，
∵ ，∴明年选择种杂交稻 收入更高. （12 分）19 ． 如 图 所 示 ， 在 四 棱 锥 中 ， 平 面 平 面 ， ，
， ．
（1）求证： ；
（2）若二面角为 为 ，求直线 与平面 所成的角的正弦值．
【解析】试题分析：
(1)利用题意首先证得 平面 ，结合线面垂直的定义有 .
(2)结合(1)的结论首先找到二面角的平面角，然后可求得直线 与平面 所成
角的正弦值为 .
试题解析：
（1） 中，应用余弦定理得 ，
解得 ，
所以 ，
所以 . （2 分）
因为平面 平面 ，平面 平面 ， ，
所以 平面 ，又因为 平面 ，
所以 . （5 分）
（2）由（1） 平面 ， 平面 ，
所以 .
又因为 ，平面 平面 ，
所以 是平面 与平面 所成的二面角的平面角，即 . (7 分）
A BCDE− BCDE ⊥ ABC BE EC⊥
6, 4 3BC AB= = 30ABC∠ = °
AC BE⊥
B AC E− − 45° AB ACE
AC ⊥ BCDE AC BE⊥
AB ACE
6
4
ABC∆
2 2 2
cos 2 ·
AB BC ACABC AB BC
+ −∠ = 3
2
=
2 3AC =
2 2 2AC BC AB+ =
AC BC⊥
BCDE ⊥ ABC BCDE ∩ ABC BC= BC AC⊥
AC ⊥ BCDE BE ⊂ BCDE
AC BE⊥
AC ⊥ BCDE CE ⊂ BCDE
AC CE⊥
BC AC⊥ ACE ∩ ABC AC=
BCE∠ EAC BAC 45BCE∠ = °因为 ， ，
所以 平面 . （9 分）
所以 是 与平面 所成的角. （10 分）
因为在 中， ，
所以在 中， . （12 分）
20．已知 分别是椭圆 的长轴与短轴的一个端点， 是椭圆
的左、右焦点，以 点为圆心、3 为半径的圆与以 点为圆心、1 为半径的圆的交点在椭圆
上，且 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为椭圆 上一点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求证：
．
【解析】
试题分析：根据题意列方程，利用待定系数法解方程求出椭圆的标准方程，第二步设出点 P
的坐标，满足椭圆方程作为条件（1），写出直线 AP、BP 的方程，表示点 M、N 的坐标，得
到 和 的长的表达式，两者相乘，代入条件（1）并化简所得的积，化简后恰好为
.
试题解析：
（1）由题意得 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 ． （4 分）
（2）由（1）及题意可画图，如图，不妨令 ．设 ，则
．
BE EC⊥ AC BE⊥
BE ⊥ ACE
BAE∠ AB ACE
Rt ACE∆ sin45 3 2BE BC= ° =
Rt BAE∆ 6sin 4
BEBAE AB
∠ = =
,A B
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > ,E F
E F C
5AB =
C
P C PA y M PB x N
2AN BM OA⋅ =
AM BN
2OA
2 2
2 3 1 4
5
a
a b
= + = + =
2, 1a b= =
C
2
2 14
x y+ =
( ) ( )2,0 , 0,1A B ( )0 0,P x y
2 2
0 04 4x y+ =令 ，得 ，从而 ； （5 分）
直线 的方程为 ，
令 ，得 ，从而 ． （7 分）
所以
． （10 分）
当 时， ,
所以 ,综上可知 ． （12 分）
21．设函数 .
（Ⅰ）讨论 的导函数 的零点的个数；
（Ⅱ）证明：当 时 .
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求出导函数，分 与 考虑 的单调性及性质，即可判断出
零点个数；（Ⅱ）由（Ⅰ）可设 在 的唯一零点为 ，根据 的正负，即可
判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于 ，即证明了
所证不等式.
0x = 0
0
2
2M
yy x
= − −
0
0
21 1 2M
yBM y x
= − = + −
PB 0
0
1 1yy xx
−= +
0y = 0
0 1N
xx y
= −
0
0
2 2 1N
xAN x y
= − = + −
0 0
0 0
22 11 2
x yAN BM y x
⋅ = + ⋅ +− −
2 2
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
4 4 4 8 4
2 2
x y x y x y
x y x y
+ + − − += − − +
0 0 0 0
0 0 0 0
4 4 8 8 42 2
x y x y
x y x y
− − += =− − +
0 0x = 0 1, 2, 2y BM AN= − = =
4AN BM⋅ = 2| |AN BM OA⋅ =
( ) 2 lnxf x e a x= −
( )f x ( )f x′
0a > ( ) 22 lnf x a a a
≥ +
0a ≤ 0a > ( )f x′
( )f x′ ( )0 +∞， 0x ( )f x′
22 lna a a
+试题解析：（Ⅰ） 的定义域为 ， . （1 分）
当 时, ， 没有零点； （2 分）
当 时，因为 单调递增， 单调递增，所以 在 单调递增.又 ,
当 b 满足 且 时， ,故当 时， 存在唯一零点.
（5 分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），可设 在 的唯一零点为 ，
当 时， ;
当 时， .
故 在 单调递减，在 单调递增， （8 分）
所以当 时， 取得最小值，最小值为 . （9 分）
由于 ，
所以 .
故当 时， . （12 分）
22．在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为
极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
．
（1）当 时，求 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 交于 两点，直线 的倾斜角 ，点 为直线 与 轴的
交点，求 的最小值．
( )f x ( )0 +∞， ( )2( )=2 0x af x e xx
′ − >
0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x′
0a > 2xe a
x
− ( )f x′ ( )0 +∞， ( ) 0f a′ >
0 4
ab< < 1
4b < ( ) 0f b′ < 0a > ( )f x′
( )f x′ ( )0 +∞， 0x
( )00x x∈ ， ( ) 0f x′ <
( )0 +x x∈ ∞， ( ) 0f x′ >
( )f x ( )00 x， ( )0 +x ∞，
0x x= ( )f x 0( )f x
02
0
2 =0x ae x
−
0 0
0
2 2( )= 2 ln 2 ln2
af x ax a a ax a a
+ + ≥ +
0a > 2( ) 2 lnf x a a a
≥ +
xOy l
cos
2 sin
x t
y t
α
α
=
= + t
x C
2 2 cos 2 sin 1 0+ − + =ρ ρ θ ρ θ
4
πα = l C
l C ,A B l 0, 3
∈
πα P l y
+
PA PB
PA PB(1) 直线 的普通方程为 ；曲线 的直角坐标方程为 ．(2)
【详解】
（1）直线 的普通方程为 ； （2 分）
曲线 的直角坐标方程为 ． （5 分）
（2）将直线 的参数方程 （ 为参数），代入圆的方程 ，
得 ，化简得 ， （7 分）
易知 ，设 所对应的参数分别为 ，则
则 ， （8 分）
所以 ．
当 时， 取得最小值 ． （10 分）
23．已知 ， ，且 .
(1)若 恒成立，求 的取值范围；
(2)证明： .
详解：（1）设
l 2 0x y− + = C ( ) ( )2 21 1 1x y+ + − =
2
4
l 2 0x y− + =
C ( ) ( )2 21 1 1x y+ + − =
l 2
x tcos
y tsin
α
α
=
= + t ( ) ( )2 21 1 1x y+ + − =
( ) ( )2 2cos 1 2 sin 1 1t tα α+ + + − = ( )2 2 sin cos 1 0t tα α+ + + =
( )0,2P ,A B 1 2,t t 1 2 1 0t t = >
( )1 2 1 2· 1, 12 sin cosPA PB t t PA PB t t α α= = + = + = +
( )
1 2
1 2
· 1 1 2
42 sin cos 2 2sin 4
PA PB t t
PA PB t t πα α α
= = = ≥+ + + +
4
πα = +
PA PB
PA PB
2
4
0a > 0b > 2 2 2a b+ =
2 2
1 4 2 1 1x xa b
+ ≥ − − − x
( )5 51 1 4a ba b
+ + ≥
, 1
12 1 1 3 2, 12
1, 2
x x
y x x x x
x x
≥
= − − − = − ≤
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