2020 高考模拟--数学
1、已知集合 2
2{ | 2 3}, { | log 1}A x y x x B x x 则全集 RU 则下列结论正确的是
( )
A. A B A B. A B B C. ( )U A B ð D. UB A ð
2、设 i 为虚数单位，若复数 1 i 2 2iz ，则复数 z 等于( )
A. 2i B.2i C. 1 i D.0
3、设
1 , 0( )
2 , 0x
x xf x
x
，则 ( ( 2))f f （ ）
A．-1 B． 1
4
C． 1
2
D． 3
2
4、执行如图所示的程序框图，若输入的 3t ,则输出的 i ( )
A.9 B.31 C.15 D.63
5、若直线 2y x 的倾斜角为 ，则 sin 2 的值为（ ）
A. 4
5
B. 4
5
C. 4
5
D. 3
5
-
6、如图是函数 πsin R,A>0, >0,0< < 2y A x x
在区间 π 5π,6 6
上的图象,
为了得到这个函数的图象,只需将 sin Ry x x 的图象上的所有的点( )A. 向左平移 π
3
个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的 1
2 ,纵坐标不变
B. 向左平移 π
3
个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变
C. 向左平移 π
6
个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的 1
2 ,纵坐标不变
D. 向左平移 π
6
个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变
7、盒中装有形状、大小完全相同的 5 张“刮刮卡”，其中只有 2 张“刮刮卡”有奖，现甲
从盒中随机取出 2 张，则至少有一张有奖的概率为( )
A. 1
2 B. 3
5 C. 7
10 D. 4
5
8、已知 ,a b
满足| | 2 3,| | 3, 6a b a b ,则 a
在b
上的投影为（ ）
A. -2 B. -1 C. -3 D. 2
9、如图，某几何体的三视图是由三个边长为 2 的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该
几何体的体积为( )
A. 2
3 B.16
3 C.6 D.与点 O 的位置有关
10、泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称.登泰山的线路有四条:红门盘道徒步线路,桃花
峪登山线路,天外村汽车登山线路,天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路
时,发现三人走的线路均不同,且均没走天外村汽车登山线路,三人向其他旅友进行如下陈述:
甲:我走红门盘道徒步线路,乙走桃花峪登山线路;
乙:甲走桃花峪登山线路,丙走红门盘道徒步线路;
丙:甲走天烛峰登山线路,乙走红门盘道徒步线路.事实上,甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半,根据以上信息,可判断下面说法正确的是( )
A.甲走桃花峪登山线路 B.乙走红门盘道徒步线路
C.丙走桃花峪登山线路 D.甲走天烛峰登山线路
11、记 ( ) [ ]f x x x 其中[ ]x 表示不大于 x 的最大整数
, 0
( ) 1 , 0
kx x
g x
xx
若方程在 ( ) ( )f x g x
有 7 个不同的实数根，则实数 k 的取值范围( )
A. 1 1[ , ]6 5 B. 1 1( , ]6 5 C. 1 1( , )5 4 D. 1 1[ , )5 4
12、直线 3 3 0x y 经过椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的左焦点 F，交椭圆于 A，B
两点，交 y 轴于 C 点，若 2FC CA ，则该椭圆的离心率是（ ）
A． 3 1 B． 3 1
2
C． 2 2 2 D． 2 1
13、已知 na 为等差数列, nS 为其前 n 项和,若 1 3 56, 0a a a ,则 6S =__________.
14、已知下列命题：
①命题“ 2 1 3x R x x ， ”的否定是“ 2 1 3x R x x ， ”；
②已知 ,p q 为两个命题，若 p q“ ”为假命题，则 “ ”p q 为真命题；
③“ 2a ”是“ 5a ”的充分不必要条件；
④“若 0,xy 则 0x 且 0y ”的逆否命题为真命题.
其中真命题的序号是__________.
15、将函数 ( ) sin cos , 0f x a x b x a b a R, 的图象向左平移 π
6
个单位长度，得到
一个偶函数图象，则 b
a =__________.
16、如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在 x 轴上，
且 3a c , 那么椭圆的方程是_______
17、在 ABC 中， 3 sin cosa C c A ．
（1）求角 A 的大小；
（2）若 3ABCS ， 2 2 3b c ，求 a 的值．18、在多面体 ABCDEF 中,四面体 ABCD 是正方体，CF 平面
ABCD , / / , 2 2CF DE AB CF DE ,G 为 BF 的中点
(1)求证：CG AF
(2)求平面 BCF 与平面 AEF 所成的角的正弦值
19、如图,四棱锥 P ABCD 的底面是菱形, PO 底面 ABCD ,O E、 分别是 AD 、AB 的中点，
6, 5, 60AB AP BAD .
（1）证明： AC PE ；
（2）求直线 PB 与平面 POE 所成角的正弦值；
（3）在 DC 边上是否存在点 F，使 BF 与 PA 所成角的余弦值为 3 3
10
，若存在，确定点 F 位
置；若不存在，说明理由.
20、已知双曲线 2 2: 1C x y 及直线 : 1l y kx
1.若l 与C 有两个不同的交点,求实数 k 的取值范围
2.若l 与C 交于 ,A B 两点, O 是原点,且 2,OABS 求实数 k 的值.
21、已知函数 ( )0x
axf x ae
.
(1)求函数 f x 的单调区间
(2)当 1a 时，如果方程 f x t 有两个不等实根 1 2,x x ，求实数 t 的取值范围，并证明1 2 2x x .
22、[选修 4-4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中,曲线 C 的参数方程为 cos
1 sin
x
y
( 为参数).以原点为极点,x 轴的非
负半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求曲线 C 的极坐标方程.
(2)直线 1 cos: sin
x tl y t
( t 为参数)与曲线 C 交于 ,A B 两点,求 AB 最大时,直线 l 的直角坐标
方程.
23、已知函数 | 2 |f x x a a＝ － ＋ .
（1）当 2a＝ 时，求不等式 6f x 的解集；
（2）设函数 2 |1|g x x＝ － ，当 x R 时， 3f x g x ＋ ，求 a 的取值范围．1 答案及解析：
答案：D
解析：由 22 3 0,(2 3)( 1) 0x x x x ,则 3[ 1, ]2A ,故 3( , 1) ( , )2U A ð
由 2log 1x 知, (2, )B ,因此
A B , 3[ 1, ] (2, )2A B , 3( ) (2, ),(2, ) ( , 1) ( , )2R A B ð 故选 D
2 答案及解析：
答案：B
解析：
2 2i 1 i2 2i 2i1 i 1 i 1 iz .故选 B.
3 答案及解析：
答案：C
解析：∵
1 , 0
2 , 0x
x x
x
，
∴
22 2 1
4f （ ）
， 1 1 12 14 4 2f f f
（（ ））
4 答案及解析：
答案：B
解析：执行程序框 3, 0; 8, 1; 23, 3; 68, 7; 203, 15t i t i t i t i t i ; 608, 31t i
满足 606t ,退出循环,因此输出 31i ,故选 B
5 答案及解析：
答案：A
解析：由题意得 tan 2 = - ，
所以 cos 0 ¹ ，所以 2 2 2
2sin cos 2tan 4sin2 sin cos tan 1 5
= = = -+ + .
6 答案及解析：
答案：A
解析：由图可知 1, πA T ,
∴ 2
又 π 2 π z6 k k ，
∴ π2 π+ z3k k ，又 π0 2
，
∴ π
3
，
∴ πsin 2 3y x
∴为了得到这个函数的图象，只需将 sin Ry x x 的图象上的所有向左平移 π
3
个长度单
位，得到 πsin 3y x
的图象，再将 πsin 3y x
的图象上各点的横坐标变为原来的
1
2 (纵坐标不变)即可．
故选：A
7 答案及解析：
答案：C
解析：从 5 张“刮刮卡”中随机取出 2 张，共有 2
5 10C 种情况，2 张均没有奖的情况有
2
3 3C (种)，故所求概率为 3 71 10 10
.
8 答案及解析：
答案：A
解析： a
在 b
上的投影为 6cos 23
a ba
b
.9 答案及解析：
答案：B
解析：如图是还原后的几何体，是由棱长为 2 的正方体挖去一个四棱锥构成的，正方体的体
积为 8，四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，顶点 O 在平面 1 1ADD A 上，高为 2，所以四棱
锥的体积为 1 84 23 3
，所以该几何体的体积为 8 168 3 3
故选 B
10 答案及解析：
答案：D
解析：因为甲、乙的陈述都只对了一半，所以若乙的陈述中“甲走桃花峪登山线路”正确，则
甲的陈述全部错误，与题意不符，故乙的陈述中，“甲走桃花峪登山线路”不正确，“丙走红
门盘道徒步线路”正确，故甲的陈述中，“乙走桃花峪登山线路”正确，丙的陈述中，“甲走天
烛峰登山线路”正确，故选 D.
11 答案及解析：
答案：D
解析：作出函数 ( )f x , ( )g x 的图象如图所示,由图可知
方程 ( ) ( )f x g x 在[ 5,0] 上有 3 个不同的实数根,则在[0,5]上有 4 个不同的实数根,当直线
y kx 经过 (4,1) 时, 1
4k ;当直线 y kx 经过 (5,1) 时, 1
5k ,可知当 1 1
5 4k 时,直线 y kx
与 ( )f x 的图象在[0,5]上有 4 个焦点,即方程 ( ) ( )f x g x ,在[0,5]上有 4 个不同的实数根,选 D
12 答案及解析：
答案：A
解析：由 3 3 0x y ，取 0y ，得 3x＝﹣ ，取 0x ，得 1y＝ ，∴ 3,0 , 0,1 ,F C ，设 0 0,A x y ，则 0 03,1 , , 1FC CA x y ，
由 2FC CA ，得 0 03,1 2 ,2 2x y ，∴ 0
0
3 2
1 2 2
x
y
，即
0
0
3
2
3
2
x
y
，即 3 3,2 2A
．
把 A 的坐标代入椭圆，可得 2 2
3 9 14 4a b
，即 2 2
3 9 4a b
．
又 2 2 3b a＝ ﹣，解得 2 6 3 3
2a ，又 2 3c ，
∴ 2
2
3 2 2 2 3
6 3 3 2 3
2
c
a
，∴ 3 1e ．
13 答案及解析：
答案：6
解 析 ： ∵ na 是 等 差 数 列 , ∴ 3 5 4 4 4 12 0, 0, 3 6, 2a a a a a a d d , ∴
6 16 15 6 6 15 ( 2) 6S a d .
14 答案及解析：
答案：②
解析：①特称命题的否定是全称命题，则“ 2 1 3x R x x ， ”的否定是
“ 2 1 3x R x x ， ”，∴①错误；
②若“ p q ”为假命题，则 p，q 同时为假命题，∴ p 和 q 为真命题，∴ p q 为真命
题，正确。
③当 3a 时，满足 2a 但 5a 不成立，∴“ 2a ”是“ 5a ”的必要不充分条件；∴③错
误。
④若 0xy ，则 0x 或 0y ，∴原命题错误，根据逆否命题与原命题的等价性可知，逆否命题也正确，∴④错误。
故正确是②。
15 答案及解析：
答案： 3
解析：因为 ( ) sin cos , 0f x a x b x a b a R, 的图象向左平移 π
6
单位长度，得到偶函数图
象，所以函数 ( ) sin cosf x a x b x 的对称轴为 π
6x
，
所以 ( ) sin cos = (0)=3 3 3f a b f b ，因为 0a ，所以 3b
a
．
16 答案及解析：
答案：
22
112 9
yx
解析：由题意可设椭圆方程为：
22
2 2 1( 0)yx a b
a b
∵短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在 x 轴上
∴ 60b tgc
°
又 2 2 23,a c a b c
∴ 2 212, 9a b
∴椭圆的方程为：
22
112 9
yx
17 答案及解析：
答案：（1）因为 3 sin cosa C c A ，所以 cos 0A ，
由正弦定理
sin sin sin
a b c
A B C
，
得 3sin sin sin cosA C C A ．
又因为 (0, )C ，sin 0C ，所以 3tan 3A ．
又因为 (0, )A ，
所以
6A ．
（2）由 1 1sin 32 4ABCS bc A bc ，得 4 3bc ，
由余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A ，
得 2 2 2 2 cos 6a b c bc ，
即 2 2 2( ) 2 3 ( ) 8 3 12a b c bc bc b c ，
因为 2 2 3b c ，
解得 2 4a .
因为 0a ，
所以 2a .
解析：
18 答案及解析：
答案：(1) CF 平面 ABCD , AB 平面 ABCD ,
CF AB 又四边形 ABCD 是正方形, AB BC
BC CF C , AB 平面 BCF
CG 平面 BCF , CG AB
2BC CF ,G 为 BF 的中点, CG BF
AB BF B , CG 平面 ABF
AF 平面 ABF , CG AF
(2) CF 平面 ABCD , / /CF DE , DE 平面 ABCD
以 D 为坐标原点, , ,DA DC DE 所在的直线分别为 , ,x y z 轴建立空间直角坐标系
如图所示则 (0,0,0), (2,0,0) (0,2,0), (0,0,1), (0,2,2)D A C E F
( 2,0,1), (0,2,1), (0,2,0)AE EF DC
设 ( , , )n x y z 为平面 AEF 的法向量则 0
0
n AE
n EF
得 2 0
2 0
x z
y z
令 1x ,则 (1, 1,2)n
由题意知 (0,2,0)DC 为平面 BCF 的一个法向量
2 6cos , 66 2
n DCn DC
n DC
所以平面 BCF 与平面 AEF 所成角的正弦值为 26 301 ( )6 6
19 答案及解析：
答案：（1）连接OB ，由已知及平面几何知识得 , ,OA OB OP 两两垂直,
如图建立空间直角坐标系O xyz ，依题意可得 (0,0,0)O , (3,0,0)A , (0,3 3,0)B ，
( 6,3 3,0)C ， ( 3,0,0)D , 3 3 3( , ,0)2 2E , (0,0,4)P .∵ ( 9,3 3,0)AC , 3 3 3( , , 4)2 2PE ,
∴ 27 27 0 02 2AC PE .
∴ AC PE ，因此 AC PE .
（2）解:设平面 POE 的法向量为 ( , , )m x y z ，
由 (0,0,4)OP , 3 3 3( , ,0)2 2OE 及
0
0
m OP
m OE
得 4 0
3 0
z
x y
.令 1y ，得 ( 3,1,0)m
又求得 (0,3 3, 4)PB .
设 PB 与平面 POE 所成角为θ,则
3 3 3 129sin cos , 862 43
m PB
m PB
m PB
.
（3） 解:∵假设存在 F DC ，使 , 0,1DF DC ,设 ( , , )F x y z ，
计算得 ( 3 3 ,3 3 ,0)F ，则 ( 3 3 ,3 3 3 3,0)BF .
又 (3,0, 4)PA ，由异面直线 PA 与 BF 所成角的余弦值为 3 3
10
,得
2
9 93 3
10 5 36( 1)
BF PA
BF PA
，解得 1
2
满足条件 0,1 ，因此，存在点 F 在 DC 的中点处.
解析：20 答案及解析：
答案：1.双曲线C 与直线l 有两个不同的交点,
则方程组 2 1t tee t
有两个不同的实数根,
整理得 2 21 2 2 0k x kx
∴
2
2 2
1 0
4 8 1 0
k
k k
解得 2 2k 且 1k
双曲线C 与直线l 有两个不同交点时, k 的取值范围是 2, 1 1.1 1, 2
2.设交点 1 1 2 2, , , ,A x y B x y O 到l 的距离为 h .直线l 与 y 轴交于点 0, 1 ,D
∴
1 2 2
1 2 2
2
1
2
1
kx x k
x x k
∵ 2
1 2 22 1
1 1 11 2,2 2 2
1
1OABS AB h k x x
k
x x
22
1 2 2 2 ,x x 即
2
2 2
2 8 81 1
k
k k
解得 0 k 或 6 .2k 又
∵ 2 2,k
∴ 0 k 或 6
2k 时, AOB 的面积为 2
解析：
21 答案及解析：
答案：(1) f x 的定义域为 R，且 1
x
a xf x e
.
由 1 0x
x
e
，得 1x ；由 1 0x
x
e
，得 1x .
故当 0a 时，函数 f x 的单调递增区间是 ( )1, ，单调递减区间是 (1 ) , ；
当 0a 时，函数 f x 的单调递增区间是 (1 ) , ，单调递减区间是 ( )1, .
(2)由(1)知当 1a 时， x
xf x e
，且 min
11f x f e
.
当 0x 时， 0f x ；当 0x 时， 0f x .当 10 t e
时，直线 y t 与 y f x 的图像有两个交点，
实数 t 的取值范围是 10, e
.
Q 方程 f x t 有两个不等实根 1 2,x x ，
1
1
x
x te
，
2
2
x
x te
， 1
1
xx te ， 2
2
xx te ， 1 2
1 2
x xx x t e e ，即
1 2
1 2
x x
x xt e e
.
要证 1 2 2x x ，只需证 1 2 2x xt e e ，
即证 1 2
1 2
1 2 2
x x
x x
x x e e
e e
，不妨设 1 2x x .
令 1 2m x x ，则 0 1mm e , ，
则要证 1
21
m
m
m e
e
，即证 2 2 0mm e m .
令 2 2 0xg x x e x x ，则 1 1xg x x e .
令 1 1xh x x e ，则 0xh x xe ，
1 1xh x x e 在 (0 ) , 上单调递增， 0 0h x h .
0g x ， g x 在 (0 ) , 上单调递增，
0 0g x g ，即 2 2 0xx e x 成立，
即 2 2 0mm e m 成立. 1 2 2x x .
解析：
22 答案及解析：
答案：(1) 2sin 0
(2) 1 0x y
解析：(1)由曲线 C 的参数方程 cos
1 sin
x
y
( 为参数)可得曲线 C 的普通方程为
22 1 1x y .因为 cos , sinx y ，
所以曲线 C 的极坐标方程为 2 2cos sin 1 1 ，即 2sin 0 .
(2)因为直线 1 cos: sin
x tl y t
( t 为参数)表示的是过点 1,0 的直线，曲线 C 的普通方程为
22 1 1x y ，所以当 AB 最大时，直线 l 经过圆心 0,1 .
设直线 l 的直角坐标方程为 y kx b .
把点 1,0 , 0,1 分别代入 y kx b ，得 0
1
k b
b
，解得 1
1
k
b
.
所以直线 l 的直角坐标方程为 1 0x y
23 答案及解析：
答案：（1）当 2a＝ 时， 2| 2| 2f x x＝ － ＋ .
解不等式| |2 2 2 6x － ＋ ，得 1 3x － .
因此 6f x 的解集为 3{ | }1x x － ．
（2）当 x R 时， | | | | | | |2 1 2 2 1 |2 1f x g x x a a x x a x a a a＋ ＝ － ＋ ＋ － － ＋－ ＋ ＝ － ＋ ，
当 1
2x 时等号成立，
所以当 x R 时， 3f x g x ＋ 等价于| |1 3a a － ＋ .①
当 1a 时，①等价于1 3a a － ＋ ，无解．
当 1a 时，①等价于 1 3a a －＋ ，解得 2a .
所以 a 的取值范围是[2 )，＋ ．
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