2020届高三数学（理）下学期开学试题（Word版附答案）

2020 届高三学年下学期开学考试 理科数学 一、单选题 1.已知集合 ， ，则 ( ) A. B. C.[-2,2] D.[0,2] 2.给定下列三个命题： 函数 （ 且 ）在 上为增函数； ； 成立的一个充分不必要条件是 . 其中的真命题为（ ） A． B． C． D． 3. 、 、 表示空间中三条不同的直线， 、 表示不同的平面，则下列四个命题中正确的 是（ ） A．若 ， ， ，则 B．若 ， ， ， ，则 C．若 ， ， ， ， ，则 D．若 ， ， ， ，则   ≤≤= 424 1| xxA { }xxyyB −+−== 22| =∩ BA { }0 { }2 1 :p xy a a= + 0a > 1a ≠ R 2 2 2 : , 0p a b R a ab b∃ ∈ − + = ppxyC： ( ) 33: 22 1 =−+ yxC 6|=MN| MNF∆ 4 23B. C. D. 11.在内接于球 的四面体 中,有 , , ,若球 的最大截面的面积是 ,则 的值为( ) A． B． C． D． 12.已知函数 ，若 在 上恒成立，则实数 a 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 二、填空题 13. （13）若复数 在复平面上所对应的点在实轴上，则实数 ______. （14）现有高一学生两人，高二学生两人，高三学生一人，将这五人排成一行，要求同一年 级的学生不能相邻，则不同的排法总数为 （15）已知直线 与双曲线 的渐近线交于 A,B 两点，且过 原点和线段 AB 中点的直线的斜率为 ，则 8 23 8 3 8 2 O ABCD AB CD t= = 6AD BC= = 7AC BD= = O 55 4 π t 5 6 7 8 ( )( )Raxaxxxf ∈−−= 1ln)( 22 ( ) 0≥xf 1x0 ≤< ),4 2[ +∞ ),2 1[ +∞ ),1[ +∞ ),2[ +∞ ( )( )1a i i+ + a = xy −=1 ( )0,0122 =+ babyax 2 3- = a b（16）观察下面的数表，该表中第 6 行最后一个数是______（2 分）；设 2016 是该表的 行 第 个数，则 ______（3 分）. 三、解答题 17.（10 分）在平面直角坐标系 中，直线 l 的参数方程为 ，以 0 为极 点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，点 P 是曲线 上的动点，点 Q 在 OP 的延长线上且|PQ|=3|OP|,点 Q 的轨迹为 . （1）求直线 l 及曲线 的极坐标方程。 （2）若射线 与直线 l 交于点 M，与曲线 交于点 N（N 与极点不重 合），求 的最大值。 18.（12 分）如图，四棱锥 的底面是边长为 1 的菱形，其中 ， 垂直 于底面 ， ； （1）求四棱锥 的体积； （2）设棱 的中点为 ，求异面直线 与 所成角的大小． m n m n+ = yx0 ( )为参数tty tx    += −= 3 ,1 1C ϕρ cos2= 1C 2C 2C ）（ 20 πααθ > 2 2e = 1F 2F M 2F 2 1+ 2F l C A B C 1F AB∆ 1F AB∠ AB l x P OPA OPB∠ = ∠ P ( ) ( ).1ln Raxxaxf ∈−= ( )xfy = ( )( )11 f， 02 =+ yx ( )xf 2≥x ( ) 521 −≤− xxf高三年级下学期开学考试 数学学科试题（理) 满分：150 分；考试时间：120 分钟 一、单项选择题（每题 5 分共 60 分） 1.B 2．D 3．D 4.A 5．C 6.C 7.B 8．B 9．B 10.C 11．A 12.B 二、填空题（每题 5 分共 20 分） 13： 14：48 15： 16：126 ； 507 三、解答题 1− 2 3-17 答案：18、 答案：解：（1）∵四棱锥 的底面是边长为 1 的菱形，其中 ， 垂直于底面 ， ， ∴ ， ， ， ， ∴四棱锥 的体积 ． （2）取 中点 ，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐 标系， ， ， ， ， ， ， 设异面直线 与 所成角为 ， 则 ，故 ， ∴异面直线 与 所成角为 ． S ABCD− 60DAB∠ = ° SD ABCD 3SB = 1BD = 1 1 2 1 1 cos120 3AC = + − × × × ° = 2 2 3 1 2SD BDSB= − = − = 1 1 31 32 2 2ABCDS AC BD= × × = × × = S ABCD− 1 1 3 623 3 2 6ABCDV S SD= × × = × × = BC E D DA x DE y DS z ( )1,0,0A ( )0,0, 2S 1 2,0,2 2M       1 3, ,02 2B       1 2,0,2 2DM  =      1 3, , 22 2SB  = −     DM SB θ 3 14cos 23 34 DM SB DM SB θ ⋅ = = = ⋅ ⋅     3 πθ = DM SB 3 π19、 答案：解：（1）函数 sin（ωx ）， ∵函数 f（x）的最小正周期为 3π，即 T＝3π ∴ω 那么： ， 由 ，k∈Z， 得： ∴函数 f（x）的单调递增区间为 ，k∈Z； （2）函数 sin（ωx ）， ∵ω＝2 ∴f（x） sin（2x ）， ，可得 sin（2α ） ∵0＜α＜π， ∴ （2α ） 2α 或 解得：α 或 α ． （3）20、 ( ) 3 3 32 2f x sin x cos xω ω= + = 6 π+ 2π ω= 2 3 = ( ) 23 3 6f x sin x π = +   22 22 3 6 2k x k π π ππ π− ≤ + ≤ + 3 32k x k ππ π π− ≤ ≤ + 3 32k k ππ π π − + +  ， ( ) 3 3 32 2f x sin x cos xω ω= + = 6 π+ 3= 6 π+ ( ) 3 2f α = 6 π+ 3 2 = 6 π ≤ 6 π+ 13 6 π≤ 6 3 π π+ = 2 3 π 4 π= 12 π=答案： 21、 答案：（1）由题意，椭圆 的离心率 ，且椭圆上一动点 到 的最远距离为C 2 2e = M 2F， 可得 ，解得 ，所以椭圆的标准方程为 . （2）由题意可知，当 不存在时， 不符合题意. 设直线 ： ，则 ： ， ∴ ，得 ，∴ ∴ ， ，∴ ， 直线 的方程为 或 . （3）设 ， ， ， ： ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ，所以 ， ∴ ，∴ ， ∴ ， ，∴ . （4）22、 答案： 2 1+ 2 2 2 2 2 2 1 ce a a c a b c  = =  + = +  = +  2 1 1 a c b  =  =  = 2 2 12 x y+ = k 1F AB∆ ABl ( )1y k x= − 1AFl ( )1 1y xk = − + ( ) ( ) 1 1 1 y k x y xk  = − = − + ( )2 21 1k x k+ = − 2 2 2 1 2,1 1 k kA k k  − −  + +  ( ) ( ) ( ) 22 2 2 22 2 1 8 2 1 1 k k k k − + = + + 4 27 6 1 0k k− − = 2 1k = AB 1y x= − + 1y x= − ( ),0P m ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ABl ( )1y k x= − ( ) 2 2 1 2 2 y k x x y  = −  + = ( )2 2 2 21 2 4 2 2 0k x k x k+ − + − = 2 1 2 2 4 1 2 kx x k + = + 2 1 2 2 2 2 1 2 kx x k −= + 1 1 AP yk x m = − 2 2 BP yk x m = − ( ) ( ) ( )( )1 2 2 1 1 2 0AP BP y x m y x mk k x m x m − + −+ = =− − ( )1 2 2 1 1 2 0y x y x m y y+ − + = ( )( )1 2 1 22 2 0kx x k mk x x km− + + + = 2 4km k= 2m = ( )2,0P