贵州省高三年级防疫期间
“停课不停学”网上考试（三）
理科数学
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.请把答案填涂在答题卡上.）
1.已知集合 ， ，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
2.设 ， ，则 的值为（ ）
A. 0 B. C. D.
3.如图，一个装饰物的正视图、侧视图都是边长为 2，且有一个内角为
的菱形，俯视图是正方形，则这个装饰物的体积为（ ）
A. B.
C. D.
4.已知首项为 1，公比为 的等比数列 的前 项和为 ，
则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知圆 被两直线 ， 分成面积相等的四部分，且截 轴所得线段的长为
4.则圆 的方程是（ ）
A. B.
C. D.
{ }2| 6 0,A x x x x Z= − − < ∈ { }1,1,2,3B = −
2 A− ∈ A B⊆ { }1,1,2A B = − { }1,1,2A B∪ = −
0 2θ π≤ < ( )21 cos sin2
i iθ θ+ = + θ
4
π
2
π π
60°
8 3
3
8 2
3
8 3 8 2
q { }na n nS
3 3S = 2q = −
C 1 0x y− − = 3 0x y+ − = x
C
( ) ( )2 22 1 25x y− + − = ( ) ( )2 22 1 5x y− + − =
( ) ( )2 22 1 25x y+ + + = ( ) ( )2 22 1 5x y+ + + =6.函数 的部分图象大致为（ ）
A. B. C. D.
7.如图所示，已知 中， ， ，
交 于点 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
8.已知函数 ，
对任意的 ， ，当 时， ，则下列判断正确的是（ ）
A. B. 函数 在 上递增
C. 函数 的一条对称轴是 D. 函数 的一个对称中心是
9.某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共 12 关的闯关游戏.为了激
发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种网络虚拟币）.该软件提供了三种奖励方案：第一种，
每闯过一关奖励 80 慧币；第二种，闯过第一关奖励 8 慧币，以后每一关比前一关多奖励 8 慧币；第
三种，闯过第一关奖励 1 慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番（即增加 1 倍）.游戏规定：闯关者
须于闯关前任选一种奖励方案.已知一名闯关者冲关数一定超过 3 关但不会超过 9 关，为了得到更多
的慧币，他应如何选择奖励方案？答（ ）
A 选择第一种奖励方案 B. 选择第二种奖励方案
C. 选择第三种奖励方案 D. 选择的奖励方案与其冲关数有关
10.已知过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 ， 两点，则
的最小值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 9 D. 12
11.已知函数 有唯一零点，则 （ ）
在
cos1 xy x x
= + +
ABC∆ 2
3AE AC= 1
3BD BC=
BE AD F AF AB ACλ µ= + 2λ µ+ =
6
7
8
7
16
21
26
21
( ) ( )3sin 3cos 0f x x xω ω ω= + >
1x 2x ( ) ( )1 2 12f x f x = − 1 2 min 2x x
π− =
16f
π =
( )f x ,6 2
π π
( )f x 7
6x
π= ( )f x ,03
π
2 4y x= F ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 4AF BF+
( ) ( )2 2 24 x xf x x x a e e− − += − − + a =A. B. -2 C. D. 2
12.正四面体 的棱长为 2，动点 在以 为直径的球面上，则 的最大值为（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）
13.设 ，向量 ， ，且 ，则 ______
14.已知实数 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为______.
15.已知双曲线 ： 左焦点为 ，过原点的直线与双曲线相交于 、
两点.若 ， ， ，则双曲线 的实轴长 ______.
16.已知数列 的通项公式为 ，其前 项和记为 ，则下列命题正确的是______.
①数列 为递减数列； ②对任意正整数 ， 都成立；
③对任意正整数 ， 都成立；
④对任意正整数 ， 都成立.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
（一）必考题：共 60 分.
17.已知函数 的最小值为-2.
（1）求实数 的值；
（2）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ， ，
求 的长.
的
1
2
− 1
2
ABCD P BC AP AD⋅
2 3 4 3
x∈R ( )2, 2a = − ( )1,b x= a b⊥ a b− =
x y
2 0
4 4 3 0
x y
y x
x y
− ≥
≥
+ − ≥
2z x y= +
C ( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > > F A B
10AB = 2AF = 2 5cos 5ABF∠ = C 2a =
{ }na cos
2n n
na = n nS
{ }na n 1nS <
( ),m n m n> 1
2m n nS S− >
( ),m n m n> 1
2m n nS S− <
( ) ( )23sin 2 2cos 1f x x x m x R= − + + ∈
m
ABC∆ A B C a b c ( ) 2f A = 5c = 1cos 7B =
AC18.如图，正方体 ，点 ， ， 分别是棱 ， ， 的中点，动点
在线段 上运动.
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值.
1 1 1 1ABCD A B C D− E M N 1CC 1 1B C 1BB F
MN
1 / /A F 1D AE
EF 1D AE19.党的十九大报告明确指出要坚决打赢脱贫攻坚战，让贫困人口和贫困地区同全国一道进入全面小
康社会，要动员全党全国全社会力量，坚持精准扶贫、精准脱贫，确保到 2020 年我国现行标准下农
村贫困人口实现脱贫.现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作.经摸底排查，该村现有贫困农
户 100 户，他们均从事水果种植，2017 年底该村平均每户年纯收入为 1 万元，扶贫工作组一方面请
有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其
户数必须小于种植的户数.从 2018 年初开始，若该村抽出 户（ ， ）从事水果包装、
销售.经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高 ，而从事包装销售农户
的年纯收入每户平均为 万元.（参考数据： ， ，
， ）.
（1）至 2018 年底，该村每户年均纯收入能否达到 1.32 万元？若能，请求出从事包装、销售 户数；
若不能，请说明理由；
（2）至 2020 年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫（即每户（水果种植农户）年均纯收入不低
于 1.6 万元），至少要抽出多少户从事包装、销售工作？
的
4x x∈Z 1 12x≤ ≤
20
x
13 5 x −
31.12 1.404= 31.15 1.520=
31.18 1.643= 31.2 1.728=20.已知圆 ： ，过 且与圆 相切的动圆圆心为 .
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）已知过点 的两直线 和 互相垂直，且直线 交曲线 于 ， 两点，直线 交曲线 于
， 两点（ ， ， ， 为不同的四个点），求四边形 的面积的最小值.
C ( )2 21 16x y+ + = ( )1,0D C P
P E
C 1l 2l 1l E Q S 2l E
R T Q R S T QRST21.设函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个极值点 ， ，求证： .
( ) 2 lnf x ax ax x= − −
( )f x
( )f x 1x 2x ( ) ( )2 1 1 2
3 ln 24x f x x f x+ > +（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目
计分.
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原点 为极
点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.直线 的极坐标方程为 .
（1）求 和 的直角坐标方程；
（2）已知 与 相切，求 的值.
23.已知 ， ， 为正数，且满足 ，证明：
（1） ；
（2） .
xOy C
1 1
2
2 1
2
x t t
y t t
= +
= −
t O
x l 2 cos sin 0mρ θ ρ θ− + =
C l
l C m
a b c 1a b c+ + =
1 1 1 9a b c
+ + ≥
3a b c+ + ≤贵州省高三年级防疫期间
“停课不停学”网上考试（三）
理科数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的）
1. C 。由 ， ，
对于 A， ，故 A 不正确；对于 B，集合 中不含 ，故 B 不正确；
对于 C， ，故 C 正确；对于 D， ，故 D 不正确。
2. C 。 ，则 ，所以 。
3. A 。由三视图知该几何体是两个大小相同的正四棱锥的组合体， 正视图、侧视图均都是边长为
2，且有一个内角为 的菱形，所以正四棱锥的底边边长为 ，高为 ，
所以组合体的体积为 。
4. B 。 ，当 时，则 ，所以 ，
当 时， ，解得 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件。
5. B 。设圆 的方程为 ，
圆 被两直线 ， 分成面积相等的四部分，
圆心 一定是两条直线 ， 的交点，
联立 ，解得 ， ，又圆 截 轴所得线段的长为 4，
，则圆 的方程 。
{ } { } { }2| 6 0, 2 3, 1,0,1,2A x x x x Z x x x Z= − − < ∈ = − < < ∈ = − { }1,1,2,3B = −
2 A− ∉ B 0
{ }1,1,2A B = − { }1,0,1,2,3A B∪ = −
( )21 cos sin cos sin2
i i i iθ θ θ θ+ = + ⇒ = + cos 0,sin 1θ θ= =
2
πθ =
60° 2 3 2 32
× =
1 8 32 2 2 33 3V = × × × × =
1 1a = 1q = 1 2 3 1a a a= = = 3 3S =
1q ≠ ( ) ( )
3
1
3
1
3 11
a q
S qq
−
= = ≠− 2q = −
3 3S = 2q = −
C ( ) ( )2 2 2x m y n r− + − =
C 1 0x y− − = 3 0x y+ − =
∴ ( ),C m n 1 0x y− − = 3 0x y+ − =
1 0
3 0
x y
x y
− − =
+ − = 2, 1x y= = 2, 1m n∴ = = C x
2 24 5r n∴ = + = C ( ) ( )2 22 1 5x y− + − =6. D 。函数 ，设 ，可得 为奇函数，
所以 的图像关于 对称，则 的图像关于 对称，故排除
A、C
当 时， ，即 ，故排除 B。
7. B 。设 ， ， ，
，
，
三点共线， ，解得 ，
， ， 。
8. D 。 ，
又 ，即 ，
有且仅有 满足条件；又 ，则 ，
， 函数 ， 对于 A， ，故 A 错误；
对于 B，由 ，解得 ，故 B
错；
对于 C，当 时， ，故 C 错误；
对于 D，由 。
9. A 。设冲关数为 ，三种方案获得的慧币为 ，
由题意可知： ； ，
cos1 xy x x
= + + ( ) cos xg x x x
= + ( )g x
( ) cos xg x x x
= + ( )0,0 cos1 xy x x
= + + ( )0,1
x → +∞ ( )g x → +∞ y → +∞
( )0AF k AD k= ≠
2
3AE AC= 1
3BD BC=
( )1 1 2 1
3 3 3 3AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC= + = + = + − = +
2 2
3 3 3 2
k k k kAF AB AC AB AE∴ = + = +
, ,B F E
2 13 2
k k∴ + = 6
7k =
4 2
7 7AF AB AC∴ = + 4 2,7 7
λ µ= = 82 7
λ µ∴ + =
( ) 3sin 3cos 2 3sin 3f x x x x
πω ω ω = + = +
sin 13x
πω − ≤ + ≤ 2 3 2 3sin 2 33x
πω − ≤ + ≤
∴ 2 3 2 3 12− × = − 1 2 min 2x x
π− =
2 2
T T
π π= ⇒ =
2 2T
πω∴ = = ∴ ( ) 2 3sin 2 3f x x
π = +
22 3sin 36 3f
π π = =
( )2 2 22 3 2k x k k Z
π π ππ π− + ≤ + ≤ + ∈ ( )5
12 12k x k k Z
π ππ π− + ≤ ≤ + ∈
7
6x
π= 7 7 22 3sin 2 3sin6 3 3 3f
π π π π = + =
22 3sin 03 3 3f
π π π = + =
n , ,n n nA B C
80nA n= ( ) 21 88 4 42n
n nB n n n
− ×= + = +；当 时， ， ， ，
故选择第一种奖励方案。
10. C 。由题意可知 ，
当直线 的斜率不存在时，可得 ，所以 ，即 ；
当直线 的斜率存在时，设斜率为 ，则直线 方程： ，
则 ，整理可得 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时，取等号，故 的最小值为 9。
11. B 。因为函数 有唯一零点，
等价于方程 有唯一解，
等价于函数 的图像与 的图像只有一个交点.
当 时， ，此时有两个零点，矛盾；
当 时，由于 在 单调递减，在 单调递增，
且 在 单调递减，在 单调递增，
所以函数 的图像最低点为 ，
的图像的最低点为 ，由于 ，
故两函数图像有两个交点，矛盾，
当 时，由于 在 单调递减，在 单调递增，
且 在 单调递增，在 单调递减，
所以函数 的图像最低点为 ，
的图像的最高点为 ，
( )1 1 2
2 11 2
n
n
nC
× −
= = −− 9n = 9 80 9 720A = × = 9 360B = 9 511C =
1 2 1 24 4 4 52 2
p pAF BF x x x x + = + + + = + +
AB 1x = 1 2 1x x= = 4 10AF BF+ =
AB k AB ( )1y k x= −
( )
2
1
4
y k x
y x
= −
=
( )2 2 22 4 0k x k x k− + + = 1 2 1=x x
1 2 2
2
14 4 5 4 5 2 4 5 9AF BF x x xx
+ = + + = + + ≥ + =
2 1
1 , 22x x= = 4AF BF+
( ) ( )2 2 24 x xf x x x a e e− − += − − +
( )2 2 24 x xx x a e e− − +− = +
2 4y x x= − ( )2 2x xy a e e− − += +
0a = ( )22 4 2 4 4y x x x= − = − − ≥ −
0a > ( )22 4 2 4y x x x= − = − − ( ),2−∞ ( )2,+∞
( )2 2x xy a e e− − += + ( ),2−∞ ( )2,+∞
2 4y x x= − ( )2, 4−
( )2 2x xy a e e− − += + ( )2,2a 2 0 4a > > −
0a < ( )22 4 2 4y x x x= − = − − ( ),2−∞ ( )2,+∞
( )2 2x xy a e e− − += + ( ),2−∞ ( )2,+∞
2 4y x x= − ( )2, 4−
( )2 2x xy a e e− − += + ( )2,2a若两函数只有一个交点，则 ，即 。
12. C 。设 的中点为 ，以 为原点建立如图所示的空
间坐标系，
则 ，设 ，则
，
， ，
在以 为球心，以 为半径的球面上，
， ， ，
令 ，
则直线 与单位圆 相切时，
截距取得最小值，
令 ，解得 或
的最大值为 。
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）
13. 。
解：由向量 ， ，且 ，
所以 ，解得 ，则
所以 。
14. 1 。
2 4a = − 2a = −
BC M M
( )3 2 6,0, , 3,0,03 3A D
( ), ,P x y z
3 2 6, ,3 3AP x y z
= − −
2 3 2 6,0,3 3AD
= −
2 3 2 6 23 3AP AD x z∴ ⋅ = − +
P M 1
2 2 2 1x y z∴ + + = 0 1y≤ ≤ 2 20 1x z≤ + ≤
2 3 2 6 23 3x z m− + =
2 3 2 6 2 03 3x z m− + − = 2 2 1x z+ =
2 2
2 1
2 3 2 6
3 3
m− =
+ −
0m = 4m =
∴ AP AD⋅ 4
10
( )2, 2a = − ( )1,b x= a b⊥
2 2 0a b x⋅ = − = 1x = ( )1, 3a b− = −
( )221 3 10a b− = + − = 解：作出实数 ， 满足约束条件
的可行域，如图所示，
由 解得 ， ，作出直线 ： ，
将目标函数 化为 ， 目标函数过点 时， ，
综上所述， 的最小值为 1
15. 。
解：在 中， ， ， ，
由余弦定理可得 ，
从而可得 ，解得 ，
所以 为直角三角形，
设 为双曲线的右焦点，连接 ，根据对称性可得四边形 是矩形，
所以 ，所以 。
16.②④。
解：可知①是明显错误的.
对于②，由 得 ，所以②正确，
对于③④，
x y
2 0
4 4 3 0
x y
y x
x y
− ≥
≥
+ − ≥
2 0
4 4 3 0
x y
x y
− =
+ − =
1
4
1
2
x
y
=
=
1 1,4 2B ∴ l 2y x= −
2z x y= + 2y x z= − + ∴ 1 1,4 2B
min
1 12 14 2z = × + =
2z x y= +
2
AFB∆ 10AB = 2AF = 2 5cos 5ABF∠ =
2 2 2 2 cosAF AB BF AB BF ABF= + − ∠
( )2
2 2 0BF − = 2 2BF =
AFB∆
F′ ,BF AF′ ′ AFBF′
2BF AF′ = = 2 2a BF BF′= − =
1
2n na <
1 112 2 11 11 21 2
n
n
nS
− < = − 1k = ± QRST 288
49
( )
( )( )
( )22 4 2
4 22 2
1 72 2 1
72 12 25 123 4 4 3QSRT
k k k
S k kk k
+ + +
= ⋅ = + ++ +
( )4 2 2
4 2
2
2
6 12 25 12 16 1 1212 25 12 12 25
k k k
k k k k
+ + − = = − + + + +
1 2886 1 2 12 25 49
≥ − = × +
2
2
1212 =k k 1k = ±
2 1t k= +21.（1）当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 ， 上单调递减，
在 上单调递增.
解：（1） ，
令 ， ，
①当 时， 在 上单调递减，
②当 时， ，由 得 ， ，
当 时 ，当 时， ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
③当 时， ， ，∴ 在 上单调递减，
④当 时， ，由 得 ，
当 或 时， ，
当 时， ，
∴ 在 ， 上单调递减，
在 上单调递增，
0a > ( )f x
2 80, 4
a a a
a
+ +
2 8 ,4
a a a
a
+ + +∞
8 0a− ≤ < ( )f x ( )0, ∞+
8a < − ( )f x
2 80, 4
a a a
a
+ +
2 8 ,4
a a a
a
− + +∞
2 28 8,4 4
a a a a a a
a a
+ + − +
( ) ( )21 2 1' 2 0ax axf x ax a xx x
− −= − − = >
( ) 22 1h x ax ax= − − 2 8a a∆ = +
0a = ( ) lnf x x= − ( )0, ∞+
0a > > 0∆ ( )' 0f x = 2
1
8 04
a a ax a
+ += >
2
2
8 04
a a ax a
− += <
2 80, 4
a a ax a
+ +∈
( )' 0f x <
2 8 ,4
a a ax a
+ +∈ +∞
( )' 0f x >
( )f x
2 80, 4
a a a
a
+ +
2 8 ,4
a a a
a
+ + +∞
8 0a− ≤ < 0∆ ≤ ( )' 0f x ≤ ( )f x ( )0, ∞+
8a < − > 0∆ ( )' 0f x = 2 8 04
a a ax a
± += >
2 8 ,4
a a ax a
+ +∈ +∞
2 8 ,4
a a ax a
− +∈ +∞
( )' 0f x <
2 28 8,4 4
a a a a a ax a a
+ + − +∈
( )' 0f x >
( )f x
2 80, 4
a a a
a
+ +
2 8 ,4
a a a
a
− + +∞
2 28 8,4 4
a a a a a a
a a
+ + − + 综上所述，
当 时， 在 上单调递减，
在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 ， 上单调递减，
在 上单调递增.
（2）由（1）得 时， 有两个极值点 ，设 ，
则有 且 ，
∴
， ，
令 ， ，
，
令 ，则 ，
0a > ( )f x
2 80, 4
a a a
a
+ +
2 8 ,4
a a a
a
+ + +∞
8 0a− ≤ < ( )f x ( )0, ∞+
8a < − ( )f x
2 80, 4
a a a
a
+ +
2 8 ,4
a a a
a
− + +∞
2 28 8,4 4
a a a a a a
a a
+ + − +
8a < − ( )f x 1 2x x< 1 2x x<
1 2
1 2
1
2
1
2
x x
x x a
+ =
= −
1
10 4x< <
( ) ( ) ( ) ( )2 2
2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2ln lnx f x x f x x ax ax x x a ax x+ = − − + − −
( )1 2 1 2 1 2 2 1 1 22 ln lnax x x x ax x x x x x= + − − −
2 1 1 2
3 ln ln4 x x x x= − −
1 1 1 1
3 1 1ln ln4 2 2x x x x = + − − − 1
10, 4x ∈
( ) 3 1 1ln ln4 2 2g x x x x x = + − − −
10, 4x ∈
( )
1
1 4' ln ln 12
2
x
g x x x
x x
− = − − + −
( ) ( )'h x g x= ( )
2
2
2
1 1
1 1 2 8' 1 1
2 2
x x
h x x x x x
− +
= + +
− − ∵ ，∴ ， ， ，
∴当 时， ，∴ 在区间 单调递增，
∴ ，∴ 在区间 单调递减，
∴ ，综上， .
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答
22. （ 1 ） 的 直 角 坐 标 方 程 为 , 直 线 的 直 角 坐 标 方 程 为 （ 2 ）
解：（1）因为 ， ，两式相减，有 ，
所以 的直角坐标方程为 .
直线 的直角坐标方程为 .
（2）联立 与 的方程，有 ，消 ，
得 ，因为 与 相切，所以有 ，
解得： .
23.解：（1）由 ，可得
.
10, 4x ∈
1 0x
>
1 01
2 x
>
−
2
2
2
1 1
2 8 0
1
2
x x
x x
− +
>
−
10, 4x ∈
( )' 0h x > ( )'g x 10, 4
( ) 1' ' 04g x g < =
( )g x 10, 4
( ) 1 3 ln 24 4g x g > = +
( ) ( )2 1 1 2
3 ln 24x f x x f x+ > +
C
2
2 12
yx − = l 2 0x y m− + =
2m = ±
( )2 2
2
12 2x t t
= + +
2
2
2
2 1 2
2
y t t
= + −
2 24 2 4x y− =
C
2
2 12
yx − =
l 2 0x y m− + =
l C
2
2 12
2 0
yx
x y m
− =
− + =
y
2 22 4 2 0x mx m+ + + = l C ( )2 2 216 4 2 2 8 16 0m m m∆ = − × + = − =
2m = ±
1a b c+ + =
( )1 1 1 a b ca b c
+ + + + 3 b c a c a b
a a b b c c
= + + + + + +
3 3 2 2 2 9b a c a c a
a b a c b c
= + + + + + + ≥ + + + = 当且仅当 时，等号成立.
（2）∵ ，∴
（当且仅当 时等号成立）
即 ，∴ 。
1
3a b c= = =
1a b c+ + = ( )2
2 2 2a b c a b c ab ac bc+ + = + + + + +
1 2 2 2ab ac bc= + + + ( )1 1 2 3a b a c b c a b c≤ + + + + + + = + + + =
1
3a b c= = =
( )2
3a b c+ + ≤ 3a b c+ + ≤
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