2020 届模拟 05
理科数学
测试范围：学科内综合．共 150 分，考试时间 120 分钟
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．）
1．设 , , ，则 （ ）
A． B． C． D．
2． 若 复 数 满 足 ， 其 中 为 虚 数 单 位 ， 则 复 数 的 共 轭 复 数 所 对 应 的 点 位 于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3 ． 已 知 幂 函 数 是 定 义 在 区 间 上 的 奇 函 数 ， 设
，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线 的两个实轴顶点为 ，点 为虚轴顶点，且
，则双曲线的离心率的范围为 （ ）
A． B． C． D．
5．已知桌子上有同一副纸牌中的红桃、方片、梅花的纸牌各 3 张，若小李第一次从中抽取了
1 张红桃和 2 张其他纸牌后不再放回，则第二次从中抽取了 1 张红桃和 2 张方片的概率为
（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量 ，函数 在区间
上单调，且 的最大值是 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．1
7．如图所示的程序框图，若输入的 ，则输出的 （ ）
U = R { | 0}A x x= > { | 1}B x x= >
UA B =
{ | 0 1}x x
z i 1i
z
z
=− i z
1( ) nf x mx += [ 2, ]n−
2 2 2sin , cos , tan7 7 7a f b f c f
π π π = = =
b a c< < c b a< < b c a< < a b c< <
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 1 2,A A C
1 2 0CA CA⋅ a b ( )f x = ⋅a b [ ],m n
m n−
2
π
( )2f
π =
7
4
5
4
5n = i =A．10 B．11 C．12 D．13
8． 设 是 的 对 角 线 的 交 点 ， 三 角 形 的 高 为 2， 为 任 意 一 点 ， 则
（ ）
A．6 B．16 C．24 D．48
9．设 满足约束条件 ，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
10．已知数列 满足 , ，
则 展开式中的常数项为 （ ）
A． B． C．80 D．160
11．如图，已知六个直角边均为 1 和 的直角三角形围成的两个正六边形，则该图形绕着
旋转一周得到的几何体的体积为 （ ）
A． B． C． D．
M ABCD ABD AP O
( 3 ) ( )OB OC OD OA OP OA+ + − ⋅ − =
,x y
0
2 3
4 6
x y
x y
x y
−
+
− −
≤
≤
≥
2 2( 1) ( 1)z x y= − + +
[2,13] [4,13] [4, 13] [2, 13]
{ }na 1 13 , 1n na a a+ = = 0 1 2
1 2 3 1 64n
n n n n na C a C a C a C++ + + + =
21( 1)(2 ) nx x x
− −
160− 80−
3 L
15
4
π 17
4
π 19
4
π 21
4
π12．已知函数 ，若函数 在 上有 3 个零点，则实数 的取
值范围为 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在题中的横线上．）
13．已知抛物线 ， 是 上的一点，若焦点 关于 的对称点 落在 轴上，则
.
14．南宋数学家杨辉研究了垛积与各类多面体体积的联系，由多面体体积公式导出相应的垛
积术公式．例如方亭(正四梭台)体积为
其中 为上底边长， 为下底边长， 为高．杨辉利用沈括隙积术的基础上想到：若由大小
相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由 个球组成，以下各层的长、宽依次各
增加一个球，共有 层，最下层(即下底)由 个球组成，杨辉给出求方垛中物体总数的
公式如下： 根据以上材料，我们可得 .
15．某一几何体三视图如图所示，已知几何体的体积为 ，则俯视图的面积为 .
16．在 中， 分别是 的中点，且 ，若 的面积不小于
，则 的最小值为 .
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（12 分）已知数列 的前 项和记为 , ， ；
等差数列 中，且 的前 项和为 ， .
（1）求 与 的通项公式；
（2）设数列 满足 ，求 的前 项和.
1 , 0
( ) ln , 0
xxf x x xx
( ) ( )F x f x kx= − R k
1(0, )e
1(0, )2e
1( , )2e
−∞ 1 1( , )2e e
2: 8C y x= Q C F Q P y
FP =
2 2( )3
hV a b ab= + +
a b h
a a×
n b b×
2 2( )3 2
n b aS a b ab
−= + + + 2 2 21 2 n+ + + =
3
ABC△ ,E F ,AC AB 4, 6AB AC= = ABC△
6 3 BE
CF
{ }na n nT 1 2 1( 1)n na T n+ = + ≥ 1 1a =
{ }nb { }nb n nS 1 3 33, 27b a S= + =
{ }na { }nb
{ }nc
1 3 1
3
logn
n n
c b a+ +
= { }nc n18．（12 分）京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，为纪念著名京剧表演艺术
家，京剧艺术大师梅兰芳先生，某电视台《我爱京剧》的一期比赛中，2 位“梅派”传人和
4 位京剧票友（资深业余爱好者）在幕后登台演唱同一曲目《贵妃醉酒》选段，假设 6 位演
员的演唱水平相当，由现场 40 位大众评委和“梅派”传人的朋友猜测哪两位是真正的“梅
派”传人.
（1）此栏目编导对本期的 40 位大众评委的年龄和对京剧知识的了解进行调查，根据调查
得到的数据如下：
京剧票友 一般爱好者 合计
50 岁以上 15 10 25
50 岁以下 3 12 15
合计 18 22 40
试问：在犯错误的概率不超过多少的前提下，可以认为年龄的大小与对京剧知识的了解有
关系？
（2）若在一轮中演唱中，每猜出一位亮相一位，且规定猜出 2 位“梅派”传人”或猜出 5
人后就终止，记本轮竞猜一共竞猜 次，求随机变量 的分布列与期望.
参考数据：
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
参考公式：
X X
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ac bdK a b c d a c b d
−= + + + +19．（12 分）在如图（1）梯形 中， ，
过 作 于 ， ，沿 翻折后得图（2），使得 ，又点 满足
，连接 ，且 .
（1）证明： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成的二面角的余弦值.
ABCD 9, 10, : 1: 2AB AD DC EB= = =
D DE AB⊥ E 1DE = DE 2
3AEB π∠ = F
EA EB EF+ = , ,AF BF CF 2EM MF=
//CF BDM
BMD AED20．（12 分）已知椭圆 的左、右焦点为 ，左右两顶点 ，点
为椭圆 上任意一点，满足直线 的斜率之积为 ，且 的最大值为 4.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知直线 与 轴的交点为 ,过 点的直线 与椭圆 相交与 两点，连接点
并延长,交轨迹 于一点 .求证： .
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = ＞ ＞ 1 2,F F ,A B M
C ,MA MB 3
4
− 1 2MF MF⋅
C
2ax c
= x S S l C ,P Q
2QF C P′ 2 2'P F PF=21．（12 分）已知函数 在点 处的切线方程为 .
（1）若函数 存在单调递减区间，求实数 的取值范围；
（2）设 ，对于 ， 的值域为 ，若 ，
求实数 的取值范围.
( ) m xf x e n−= + (1,1) 2 0x y+ − =
( ) ( )( cos )( )F x f x a x a= − + ∈R a
2( ) ( 1)[ (1 ) 1]G x f x x t x= + + − + [0,1]x∈ ( )G x [ , ]N M 2M N>
t请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清
题号．
22．（10 分）选修 4—4 坐标系与参数方程已知直线 的普通方程为 ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系，曲线 的参数方程为 ，将直线向右平移 2 个单位后得到直线 ，
又点 的极坐标 .
（1）求直线 以及曲线 的极坐标方程；
（2）若直线 与曲线 交于 两点，求三角形 的面积值.
23．（10 分）选修 4—5 不等式选讲
已知函数
（1）若 ，求不等式 的解集；
（2）当 时，若 的最小值为 2，求 的最小值.
l 2 0x y− + = x
C
2 2cos
2 2 2sin
x
y
θ
θ
= +
= +
'l
P (3 2, )2
π
'l C
'l C ,A B PAB
( ) | | | |f x x a x b c= + + − +
1, 2, 3a b c= = = 8 ( ) 10f x< <
0, 0, 0.a b c> > > ( )f x 1 1 1
a b c
+ +2020 届模拟 05 理科数学答案与解析
1．【答案】B【解析】因为 ，所以 ．
2．【答案】C【解析】由 得 ，所以 ，所以 对应的点在第三
象限.
3．【答案】A【解析】因为幂函数 在区间 上是奇函数，所以 ，
即 ，因为 ，又 为增函数，所以 .
4 ． 【 答 案 】 A 【 解 析 】 根 据 题 意 ， ， 所 以 为 钝 角 ， 所 以 ， 所 以
.
5．【答案】C【解析】设 A=｛抽取 1 张红桃和 2 张其他纸牌｝；B=｛第二次从中抽取 1 张红桃和 2 张方
片｝； ，
所以 .
6．【答案】D【解析】
，
由题意： , , ，即 ，
所以 .
7．【答案】C【解析】输入的 ，程序框图运行如下：
， ; ， ；
， ; ， ；
， ；
， ；
， ；所以输出的
8．【答案】B【解析】因为 ， 在向量 的射影为 ，
所以 .
9．【答案】A【解析】由约束条件 作出可行域如图，
{ }1U B x x= ≤ { | 0 1}UA B x x= ∴ < ∴ < <
2 1 1 1 1 1 1 2 1 1
6 3 3 3 3 2 3 3 2 3
3 3 3
9 9 6
15 9( ) , ( )28 140
C C C C C C C C C CP A P ABC C C
+= = = =
9
( ) 3140( ) 15( ) 25
28
P ABP B A P A
= = =
21 3( ) (2 cos ) cos sin2 2f x x x xω ω ω= ⋅ = + +a b 21 31 cos sin 22 4x xω ω= + +
1 cos2 31 sin 24 4
x x
ω ω+= + + 5 1 1 3( cos2 sin 2 )4 2 2 2x xω ω= + + 1 5sin(2 )2 6 4x
πω= + +
T π= 2
2
π πω∴ = 1ω∴ = 1 5( ) sin(2 )2 6 4f x x
π= + +
1 5( ) 12 4 4f
π = − + =
5n =
1i = 1( 1) 1 1 5S = − × = − < 2i = 21 ( 1) 2 1 2 1 5S = − + − × = − + = <
3i = 31 ( 1) 3 1 3 2 5S = + − × = − = − < 4i = 42 ( 1) 4 2 4 2 5S = − + − × = − + = <
10i = ( 1 2) ( 3 4) ( 5 6) ( 7 8) ( 9 10) 5S = − + + − + + − + + − + + − + =
11i = 115 ( 1) 11 5 11 6 5S = + − × = − = − <
12i = 126 ( 1) 12 6 5S n= − + − × = > = 12.i =
AP BD⊥ AM AP AP
2
( 3 ) ( ) 2 4 4 16OB OC OD OA OP OA AC AP AM AP AP+ + − ⋅ − = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
0
2 3
4 6
x y
x y
x y
−
+
− −
≤
≤
≥令 ，则表示点 和 两点的距离，由图可得， ,
联立 ，解得 ，所以
过 作 于 ，则 ，故 .
10 ． 【 答 案 】 D 【 解 析 】 因 为 ， 所 以 数 列 为 等 比 数 列 ， 所 以 ， 所 以
，
所以 ，其中 展开式的第 r+1 项为 ,令
，得 （舍去），令 可得 ，所以二项式 展开
式中常数项为 ．
11 ． 【 答 案 】 B 【 解 析 】 外 面 的 六 边 形 旋 转 得 到 的 几 何 体 的 体 积 为
， 内 部 的 六 边 形 旋 转 得 到 的 几 何 体 的 体 积 为
，所以几何体的体积为 .
12．【答案】B【解析】当 时， ，所以 ，又 时， ， 在
上单调递增， 时， ， 在 上单调递减，
. ;
，所以 的值域为 ，设 与 相切时的切点为 ，
所以切线方程为 ，代入 ，得 ，
故切线的斜率为 ，所以 与 的图象如下：
根据题意， ，故 ，所以实数 的取值范围为 .
2 2( 1) ( 1)t x y= − + + ( , )x y (1, 1)D − maxt DC=
4 6
2 3
x y
x y
− = −
+ = ( 1,2)C − max 13t DC= =
(1, 1)D − DH BD⊥ H min
1 ( 1) 2
2
t DH
− −= = = [2,13]z ∈
1 3n na a+ = { }na 13n
na −=
0 1 2 0 0 1 1 2 2
1 2 3 1 3 3 3 3 (1 3) 4 64, 3n n n n n
n n n n n n n n na C a C a C a C C C C C n++ + + + = + + + + = + = = ∴ =
61( 1)(2 )x x x
− − 61(2 )x x
− 6 6 6 2
1 6 6
1(2 ) ( ) ( 1) 2r r r r r r r
rT C x C xx
− − −
+ = − = − ⋅ ⋅ ⋅
6 2 1r− = − 7
2r = 3r = 3 3 3
4 6( 1) 2 160T C= − ⋅ = − 2 3
2
1( 1)(4 4)x x x
− + −
1 ( 160) 160− × − =
2 2 2 21 3 3 3 212 [ ( ) ( 3) ( ) ( 3) ]3 2 2 2 4
ππ π π π× × + + × =
2 21 1 3 32 ( ) ( ) 13 2 2 2
π π π× × + × = 17
4
π
0x > ln( ) xf x x
=
2
1 ln( ) xf x x
−′ = (0, )x e∈ ( ) 0f x′ ＞ ∴ ( )f x
(0, )e ( , )x e∈ +∞ ( ) 0f x′ ＜ ∴ ( )f x ( , )e +∞
(0,1), ( ) 0x f x′∈ ＞ ( ) (1) 0f x f＜ ＜ (1, ), '( ) 0, ( ) (1) 0x e f x f x f∈ > > =
( , ), '( ) 0, ( ) 0x e f x f x∈ +∞ < > ( )f x 1( , )e
−∞ y kx= ln xy x
= 0 0( , )x y
0 0
02 2
0 0
ln 1 ln ( )x xy x xx x
−− = − (0,0) 0x e=
1
2e ( )f x y kx=
1
2
0
k e
k
10 2k e
< < k 1(0, )2e13．【答案】6【解析】根据题意， 为 的中点，所以 的横坐标为 ，所以 .
14．【答案】 【解析】观察规律令 ，可得 .
15．【答案】 【解析】这个几何体为一个四棱锥，直观图如下，设四棱锥的高为 ，几何体的体积为
，即点 到平面 的距离为 ，俯视图为一个正三角形，边长为 2，所以
俯视图的面积为 ，
16．【答案】 【解析】根据题意，画出图形，如图所示：
又点 分别为 的中点，则 ，
所以在 中，由余弦定理得
, ，
所以 ，
又若 的面积不少于 6，
所以
当 取最大时， 有最小值，最小值为 .
17．【解析】
（1） ，
又 ， ，所以数列 为等比数列， （3 分）
设数列 的公差为 ， .（6 分）
（2）由题意得： （9 分）
所以前 项和 .（12 分）
18．【解析】
（1）因为 ，（3 分）
所以在犯错误的概率不超过 2.5%的前提下可以认为年龄与对京剧知识的了解有关系.
Q FP Q 1x = 2(1 2) 6FP = + =
1 ( 1)(2 1)6 n n n+ + 1,a b n= = 2 2 2 11 2 ( 1)(2 1)6n n n n+ + + = + +
3 h
1 1 2 2 3, 33 2 h h
+× × = ∴ = E ABCD 3
3
91
14
,E F ,AC AB 3, 2AE AF= =
ABE△
2 2 24 3 24cos 25 24cosBE A A= + − = − 2 2 22 6 24cos 40 24cosCF A A= + − = −
25 24cos 15140 24cos 40 24cos
BE A
CF A A
−= = −− −
ABC△
1 3 1 1sin 12sin 6 3, sin , cos [ , ]2 2 2 2ABCS AB AC A A A A= ⋅ = ∴ ∴ ∈ −△ ≥ ≥
cos A BE
CF
91
14
1 1 1 12 1( 1) 2 1( 2), 2 ( 2), 3 ( 2)n n n n n n n n na T n a T n a a a n a a n+ − + += + ∴ = + ∴ − = ∴ = ≥ ≥ ≥ ≥
1 1a = 2
2
1
3, 3aa a
= ∴ = { }na 13n
na −∴ =
{ }nb d 3 3 127, 6, 3a S b d d+ = ∴ + = ∴ = 3nb n∴ =
( )1 3 1
3 1 1 1
log 1 1n
n n
c b a n n n n+ +
= = = −+ +
n 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( )2 2 3 1 1n
nA n n n
= − + − + + − =+ +
2 2
2 ( ) 40(30 15 12) 6.061 5.024( )( )( )( ) 18 22 15 25
n ac bdK a b c d a c b d
− − ×= = ≈ >+ + + + × × ×（5 分）
（2）由题意，随机变量 的取值分别为 .（6 分）
, ，
, ，（10 分）
随机变量 的分布列为：
2 3 4 5
（11 分）
随机变量 的期望为： .（12 分）
19．【解析】
（1）连接 与 交于点 ， ，则
， ，（2 分）
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .（4 分）
（2）证明：由 ，得四边形 为平行四边形，所以 ， ，所以
，
所以 ，（6 分）
又 ，所以 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ADE.（8 分）
以点 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，（9 分）
设平面 BMD 的一个法向量为 ，
所以
X 2,3,4,5
2
2
2
6
1( 2) 15
AP X A
= = =
1 1 2
2 4 2
3
6
2( 3) 15
C C AP X A
= = =
1 2 3 4
2 4 3 4
4
6
4( 4) 15
C C A AP X A
+= = = 1 2 4 8( 5) 1 15 15 15 15P X = = − − − =
∴ X
X
P 1
15
2
15
4
15
8
15
∴ X 1 2 4 8 642 3 4 515 15 15 15 15EX = × + × + × + × =
DB EC N : 1: 2DC EB = : 2:1EN CN =
2 , : 2:1EM MF EM MF= ∴ = ∴ //MN CF
MN ⊂ BDM CF ⊄ BDM
//CF BDM
EA EB EF+ = AFBE 6AF BE= =
3EAF
π∠ =
2 2 2 cos 3 33EF AE AF AE AF
π= + − ⋅ =
2 2 2 ,AF AE EF AE EF= + ∴ ⊥
, ,DE EB DE EA EB EA E⊥ ⊥ = DE ⊥ AFBE DE EF⊥
EA ED E= EF∴ ⊥ ADE
E EA x EF y ED z
(0,0,0), (0,0,1), ( 3,3 3,0), (0,2 3,0)E D B M−
(3, 3 3,1), (3, 3,0)BD BM= − = −
( , , )x y z=n
( , , ) (3, 3 3,1) 0 3 3 3 0,
( , , ) (3, 3,0) 0 3 3 0
BD x y z x y z
BM x y z x y
⋅ = ⋅ − = − + = ∴
⋅ = ⋅ − = − =
n
n令 ，则 ，（10 分）
又平面 得一个法向量为 ，（10 分）
所以 ，
又平面 与平面 所成的二面角显然为锐角，
所以平面 与平面 所成的二面角的余弦值 .（12 分）
20．【解析】
（1）根据题意 ，（1 分）
又设 ，所以 ，所以 ，（3 分）
故 ，从而椭圆 的标准方程为 .（4 分）
（2）根据题意， ，所以设直线 的方程 ，
联立 ，消 得 ，
，即 .
设 ，则 .
由根与系数的关系得， .（7 分）
设直线 的方程为 ，
所以 ，得 ，
.（10 分）
所以
故 ，所以 .（12 分）
21．【解析】
因为 ，所以 ，
3y = (1, 3,6)=n
AED (0,1,0)=m
3 30cos , 202 10
⋅< >= = =⋅
n mn m n m
BMD AED
BMD AED 30
20
1 2 2 2
1 2 ( ) 4, 22
MF MFMF MF a a
+⋅ = = ∴ =≤
0 0( , )M x y
0
0
0 0
2
22 220 0
2 2 2 2 2
0 0
(1 )xbyy y ba
x a x a x a x a a
−
⋅ = = = −+ − − −
2
2
3
4
b
a
− = −
2 3b = C
2 2
14 3
x y+ =
(4,0)S l 4x ky= +
2 2
4
14 3
x ky
x y
= + + =
x 2 2(3 4) 24 36 0k y ky+ + + =
2 2 2(24 ) 4 36(3 4) 144( 4) 0k k k∆ = − × + = − > 2 4k >
1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y 0 0'( , )P x y
1 2 1 22 2
24 36,3 4 3 4
ky y y yk k
+ = − =+ +
2QF 2
2
1 1xx yy
−= +
2
2
2 2
2 2
1 1
14 3
4
xx yy
x y
x ky
− = +
+ =
= +
2
22 2
2
2 2
( 3) 6( 3)[3 4] 9 0ky kyy yy y
+ ++ + − =
2
2 0 02 2 2
22 22 22 22
9 9 9, 27(3 4) 18 27( 3) (3 4) 183 4
yy y y k y kyky k y k yy
− − −= ∴ = =+ + ++ + + ++
1
2
2
2 1 1
9 9
27 36 2 1(3 4) 18 18 27( )3
y
k y k k ky y y
− −= = = −
+ + + + + − −
2
0 1 1 1 1 1
2 2 1
3 3 2 1( ) 1 ( )( ) 1 [ 3( )]( ) 1 43
kyx y k y k k y ky xy y y
+= − + = + − + = + − − − + = + =
1 1'( , )P x y− 2 2'P F PF=
'( ) m xf x e −= − 1'(1) 1, 1mf e m−= − = − ∴ =又 ，故 .（2 分）
（1）由题意得 ，若函数 存在单调减区间，
则 即 存在取值区间，
即 存在取值区间，所以 .（5 分）
（2）因为 ，所以
①当 时， ， 在 上单调递减，由 ，
所以 ，即 ，得 ；（7 分）
②当 时， ， 在 上单调递增，
所以 ，即 ，得 ，（8 分）
③当 时，在 ， ， 在 上单调递减，
在 ， ， 在 上单调递增，
所以 ，即 .（10 分）
令 , ，则 ，所以 在 上单调递减，
故 ，而 ，所以不等式（ ）无解，
综上所述， .（12 分）
22．【解析】
（1）直线 的普通方程为 ，直线 的极坐标方程 ，（3 分）
曲线 的普通方程 ，
所以 .（5 分）
（2）由（1）得 ，
所以 ，（8 分）
点 到直线 的距离 为 ，所以 .（10 分）
23．【解析】
（1）根据题意，
，（3 分）
解 ，或 ，得 或 ，
所以解集为 .（5 分）
（2）因为 ，
1 1(1) 1, 0f e n n−= + = ∴ = 1( ) xf x e −=
1( ) ( sin cos )xf x e a x x−′ = − − + + ( )f x
1( ) ( sin cos ) 0xf x e a x x−′ = − − + + ≤ sin cos 0a x x− + + ≥
2 sin( )4a x
π+≤ 2a <
2 (1 ) 1( ) x
x t xG x e
+ − += ( )( 1)'( ) x
x t xG x e
− − −=
1t≥ ( ) 0h x′ ≤ ( )G x [0,1] 2N M<
2 (1) (0)G G< 32 1t
e
−⋅ < 3 2
et > −
0t≤ '( ) 0G x ≥ ( )G x [0,1]
2 (0) (1)G G< 32 t
e
−< 3 2t e< −
0 1t< < [0, )x t∈ '( ) 0G x < ( )G x [0, ]t
( ,1]x t∈ '( ) 0G x > ( )G x [ ,1]t
2 ( ) max{ (0), (1)}G t G G< 1 32 max{1, }( )t
t t
e e
+ −⋅ < ∗
1( ) t
tp t e
+= (0,1)t ∈ ( ) 0t
tp t e
−′ = < 1( ) t
tp t e
+= (0,1)t ∈
1 42 1t
t
e e
+× > > 3 3 4t
e e e
− < < ∗
( ,3 2 ) (3 , )2
et e∈ −∞ − − +∞
'l 0x y− = 'l 4
πρ =
C 2 2( 2) ( 2 2) 4x y− + − =
2 2 2 cos 4 2 sin 6 0ρ ρ θ ρ θ− − + =
2 6 6 0ρ ρ− + =
2
1 2 1 2 1 2( ) 4 2 3AB ρ ρ ρ ρ ρ ρ= − = + − =
P 'l d 3 2 sin 34
π = 1 2 3 3 3 32PABS = × × =
2 2, 2
( ) | 1| | 2 | 3 6, 1 2
4 2 , 1
x x
f x x x x
x x
+
= + + − + = − < + >
≥ 1
10 4 2 8
x
x
−
> − >
≤
3 4x< < 3 2x− < < −
( 3, 2) (3,4)− −
( )f x x a x b c= + + − + ( ) ( )x a x b c a b c+ − − + = + +≥当且仅当 时，等号成立，（8 分）
又 ，所以 ，
所以 的最小值为 ，所以 .所以
.（10 分）
a x b− ≤ ≤
0, 0a b> > a b a b+ = +
( )f x a b c+ + 2a b c+ + =
1 1 1 1 1 1 1 1 1 9( )( ) (3 ) (3 2 2 2)2 2 2 2
b a a c c ba b ca b c a b c a b c a b c
+ + = + + + + = + + + + + + + + + =≥
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