圆的标准方程(1)

教学目标 (一)知识目标 1.掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径； 2.理解并掌握切线方程的探求过程和方法。 (二)能力目标 1．进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力； 2. 通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、证明等合情推理方法，提高学生运算能力、逻辑思维能力； 3. 通过运用圆的标准方程解决实际问题的学习，培养学生观察问题、发现问题及分析、解决问题的能力。 (三)情感目标 通过运用圆的知识解决实际问题的学习，理解理论来源于实践，充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。 　　教学重、难点 (一)教学重点 圆的标准方程的理解、掌握。 (二)教学难点 圆的标准方程的应用。 　　教学方法 选用引导―探究式的教学方法。 　　教学手段    借助多媒体进行辅助教学。 　　教学过程 Ⅰ.复习提问、引入课题 师：前面我们学习了曲线和方程的关系及求曲线方程的方法。请同学们考虑：如何求适合某种条件的点的轨迹？ 生：①建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M的坐标为(x，y)；②写出适合某种条件p的点M的集合P＝｛M ︳p（M）｝；③用坐标表示条件，列出方程f(x,y)=0；④化简方程f(x,y)=0为最简形式。⑤证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点（一般省略）。［多媒体演示］ 师：这就是建系、设点、列式、化简四步曲。用这四步曲我们可以求适合某种条件的任何曲线方程，今天我们来看圆这种曲线的方程。［给出标题］ 师：前面我们曾证明过圆心在原点，半径为5的圆的方程：x2+y2=52 即x2+y2=25.     若半径发生变化，圆的方程又是怎样的？能否写出圆心在原点，半径为r的圆的方程？ 生：x2+y2=r2. 师：你是怎样得到的？（引导启发）圆上的点满足什么条件？ 生：圆上的任一点到圆心的距离等于半径。即 ，亦即 x2+y2=r2. 师：x2+y2=r2 表示的圆的位置比较特殊：圆心在原点，半径为r.有时圆心不在原点，若此圆的圆心移至C（a,b）点（如图），方程又是怎样的？ 生：此圆是到点C(a,b)的距离等于半径r的点的集合， 由两点间的距离公式得                                   即：（x-a）2+(y-b)2= r2 Ⅱ.讲授新课、尝试练习 师：方程（x-a）2+(y-b)2= r2 叫做圆的标准方程.      特别：当圆心在原点，半径为r时，圆的标准方程为：x2+y2=r2. 师：圆的标准方程由哪些量决定？ 生：由圆心坐标（a,b）及半径r决定。 师：很好！实际上圆心和半径分别决定圆的位置和大小。由此可见，要确定圆的方程，只需确定a、b、r这三个独立变量即可。 1、     写出下列各圆的标准方程：［多媒体演示］    ① 圆心在原点，半径是3   ：________________________    ② 圆心在点C（3，4），半径是 ：______________________ ③ 经过点P（5，1），圆心在点C（8，－3）：_______________________ 2、  变式题［多媒体演示］ ①     求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。      答案：(x-1)2 + (y-3)2 =       ② 已知圆的方程是 (x-a)2 +y2 = a2 ,写出圆心坐标和半径。              答案： C（a,0）,  r=|a| Ⅲ.例题分析、巩固应用 师：下面我们通过例题来看看圆的标准方程的应用. ［例1］            已知圆的方程是 x2+y2=17，求经过圆上一点P（，）的切线的方程。 师：你打算怎样求过P点的切线方程？ 生：要求经过一点的直线方程，可利用直线的点斜式来求。 师： 斜率怎样求？ 生：。。。。。。 师：已知条件有哪些？能利用吗？不妨结合图形来看看（如图） 生：切线与过切点的半径垂直，故斜率互为负倒数   半径OP的斜率 K1＝， 所以切线的斜率 K＝－＝－ 所以所求切线方程：y-= －(x-) 即：x+y=17   (教师板书)         师：对照圆的方程x2+y2=17和经过点P（，）的切线方程x+y=17，你能作出怎样的猜想？ 生：。。。。。。   师：由x2+y2=17怎样写出切线方程x+y=17,与已知点P（，）有何关系？ （若看不出来，再看一例） ［例1/］  圆的方程是x2+y2=13，求过此圆上一点（2，3）的切线方程。          答案：2x+3y=13  即：2x+3y－13＝0 师：发现规律了吗？（学生纷纷举手回答） 生：分别用切点的横坐标和纵坐标代替圆方程中的一个x和一个y，便得到了切线方程。 师：若将已知条件中圆半径改为r，点改为圆上任一点（xo,yo）,则结论将会发生怎样的变化？大胆地猜一猜！ 生：xox+yoy=r2. 师：这个猜想对不对？若对，可否给出证明？ 生：。。。。。。 ［例2］已知圆的方程是 x2+y2=r2，求经过圆上一点P（xo,yo）的切线的方程。 解：如图(上一页)，因为切线与过切点的半径垂直，故半径OP的斜率与切线的斜率互为负倒数   ∵半径OP的斜率 K1＝，∴切线的斜率 K＝－＝－ ∴所求切线方程：y-yo= － (x-xo) 即：xox+yoy=xo2+yo2   亦即：xox+yoy=r2. (教师板书)      当点P在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用。 归纳总结：圆的方程可看成 x.x+y.y=r2,将其中一个x、y用切点的坐标xo、yo 替换，可得到切线方程 ［例3］右图为某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB＝20M，拱高OP＝4M，在建造时每隔4M需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度。（精确到0.01M）         引导学生分析，共同完成解答。    师生分析：①建系； ②设圆的标准方程（待定系数）；③求系数（求出圆的标准方程）；④利用方程求A2P2的长度。    解：以AB所在直线为X轴，O为坐标原点，建立如图所示的坐标系。则圆心在Y轴上，设为 （0，b）,半径为r，那么圆的方程是   x2+(y-b)2=r2. ∵P(0,4),B(10,0)都在圆上，于是得到方程组：   解得：b=-10.5 ,r2=14.52 ∴圆的方程为 x2+(y＋10.5)2=14.52. 将P2的横坐标x=-2代入圆的标准方程 且取y>0 得：y=      ≈14.36-10.5=3.86 (M) 答：支柱A2P2的长度约为3.86M。 Ⅳ.课堂练习、课时小结 课本Ｐ77练习2，3 师：通过本节学习，要求大家掌握圆的标准方程，理解并掌握切线方程的探求过程和方法，能运用圆的方程解决实际问题. Ⅴ.问题延伸、课后作业 (一)若P（xo,yo）在圆（x-a）2+(y-b)2= r2上时，試求过P点的圆的切线方程。 课本Ｐ81习题7.7 : 1，2，3，4 (二)预习课本Ｐ77～Ｐ79   教学设计说明 　　设计思想： 在教学过程中，教师遵循数学发展规律，并依据建构主义教育理论，创设一系列数学实验环境，在情境中让学生观察、类比、猜想、尝试、探索、归纳并引导加以证明，强调主动建构，从深层次加强学生对知识的感知度，使学生能更好地理解和掌握圆的标准方程。 　　设计理念： 设计的根本出发点是促进学生的发展。教师以合作者的身份参与，课堂上建立平等、互助、融洽的关系，师生共同研究，共同提高。 　　设计思路： 本节课的设计与教材的呈现方式有所不同，教材只是教学的蓝本，教师在理解教材编写意图的基础上，应发挥主观能动作用，对教材资源进行再加工、再创造，这样教学有利于认知结构与知识结构的有机结合，也有利于学生从深层次理解和掌握圆的标准方程。鉴于此，本节在给出圆的标准方程的过程中，运用简单、特殊的到复杂、一般的数学思想，使用了观察、猜测、经验归纳等方法进行合情地推理，同时引导学生对照圆的几何形状，观察和欣赏圆的方程，体会数学中的美——对称、简洁。圆的标准方程的应用是本节的难点。为了突破难点，设计三个例题。第一、二个例题，从特殊到一般给出切线方程，培养学生探究问题的兴趣，不断完善自己的认知结构。第三个例题，充分利用多媒体的动感演示，刺激学生的感官，引起更强的注意，从而使学生理解理论来源于实践，充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，增强应用意识；同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。最后设计了“问题延伸”，让学生带着问题走进课堂，又带着问题走出课堂，激发学生不断求知、不断探索的欲望。 在整个教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机的结合起来，教师的每项措施都是为了力求给学生创造一种思维情境，一种动手、动脑、动口并且主动参与学习的机会，激发学生求知的欲望，促使学生掌握知识，解决问题。 　　媒体设计： 　　采用powerpoint媒体。本节知识容量大，同时又有图形。为了在短时间内完成教学内容，故采用演示文稿的方式，增加信息量，节省时间。同时动态演示图形，刺激学生的感官，引起更强的注意，提高课堂教学效率。