2020 年春四川省泸县第二中学高三第一学月考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．已知复数 是纯虚数，其中 是实数，则 等于
A． B． C． D．
3．某校高三年级共有学生 900 人，编号为 1，2，3，…，900，现用系统抽样的方法抽取一个
容量为 45 的样本，则抽取的 45 人中，编号落在区间 的人数为
A．10 B．11 C．12 D．13
4．已知双曲线 的焦距为 ，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的
实轴长为
A．2 B．4 C．6 D．8
5．下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归
直线方程为 ，后因某未知原因使第 5 组数据的 值模糊不清，此位置数据记为
（如下表所示），则利用回归方程可求得实数 的值为
196 197 200 203 204
1 3 6 7
2{ | 4 0}A x x x= − < { | 1 1}B x x= − ≤ ≤ A B =
[ 1,1]− [ 1,4)− (0,1] (0,4)
(2 )
1
ai iz i
+= − a z
2i 2i− i i−
[481,720]
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 4 2
0.8 155y x= − y
m m
x
y mA．8.3 B．8.2 C．8.1 D．8
6．函数 的部分图象如图所示，则 的值为
A． B． C． D．
7．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．
8．某校组织由 5 名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生 和 都不是
第一个出场， 不是最后一个出场”的前提下，学生 第一个出场的概率为
A． B． C． D．
9．已知 是抛物线 的焦点，过点 的直线 与抛物线 交于 ，
两点， 为线段 的中点，若 ，则直线 的斜率为
A．3 B．1 C．2 D．
10．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19 岁的高斯得到了一个数学史上非
常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对
的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的
规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数 ，则
等于
A． B． C． D．
11．已知球 的半径为 ， 三点在球 的球面上，球心 到平面 的距离为 ，
， , 则球 的表面积为
A． B． C． D．
12．已知函数 ，存在实数 ，使 的图象
与 的图象无公共点，则实数 的取值范围为
( ) ( )sin ( 0, 0)f x A x Aω φ ω= + > > 11
24f
π
6
2
− 3
2
− 2
2
− 1−
3log 6p = 5log 10q = 7log 14r = p q r
q p r> > p r q> > p q r> > r q p> >
A B
B C
1
3
1
5
1
9
3
20
F 2: 2 ( 0)C y px q= > (2,1)R l C A B
R AB 5FA FB+ = l
1
2
1 2 3 100+ + + +
2( ) ( 0)3 6057
xf x mm
= >+
(1) (2) (3) ( 2018)f f f f m+ + + + +
2018
3
m + 2 4036
3
m + 4036
6
m + 2 4037
6
m +
O R , ,A B C O O ABC 1
2 R
2AB AC= = 120BAC °∠ = O
16
9
π 16
3
π 64
9
π 64
3
π
)1ln()(,)( 2 −+=−= xabxgaxxxf )1( ≥aa )(xfy =
)(xgy = bA． B． C． D．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知向量 ， 的夹角为 ， ， ， .若
，则 __________．
14． 展开式中 的系数为__________．
15．将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到的图象关于直线
对称，则 的最小正值为__________．
16．椭圆 的右焦点与抛物线 的焦点 重合，点 是椭
圆 和抛物线 的一个公共点，点 满足 ，则 的离心率为__________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）锐角 中，角 的对边分别为 ， 的面积为
，
（I）求 的值；
（II）若 ， ，求 的最大值.
18．（12 分）在三棱柱 中，已知侧棱与底面垂直， ，且 ，
， 为 的中点， 为 上一点， ．
若三棱锥 的体积为 ，求 的长;
证明： 平面 ．
( ]0,∞− ）（ 2ln4
3, +∞−
+∞+ ,2ln4
3
+ 2ln4
3,1
AB AC 120° 5AB = 2AC = AP AB ACλ= +
AP BC⊥ λ =
( )( )42 1 1x x x+ + − 2x
( ) 3 cos sinf x x x= − θ
6x
π= θ
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 2: 4E y x= F P
C E (0,1)Q QF QP⊥ C
ABC∆ , ,A B C , ,a b c ABC∆
23 tan
6sin
a C
A
sin cosB C
6cos sin 3B C = 3a = b c+
1 1 1ABC A B C− 90CAB∠ = ° 1AC =
2AB = E 1BB M AC 2
3AM AC=
( )I 1 1A C ME− 2
6 1AA
( )Ⅱ 1CB 1A EM19．（12 分）某职业学校有 2000 名学生，校服务部为了解学生在校的月消费情况，随机调查
了 100 名学生，并将统计结果绘成直方图如图所示.
（I）试估计该校学生在校月消费的平均数；
（II）根据校服务部以往的经验，每个学生在校的月消费金额 （元）和服务部可获得利润
（元），满足关系式： 根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，
回答下列问题：
（i）将校服务部从一个学生的月消费中，可获得的利润记为 ，求 的分布列及数学期望.
（ii）若校服务部计划每月预留月利润的 ，用于资助在校月消费低于 400 元的学生，估计受
资助的学生每人每月可获得多少元？
20．（12 分）设直线 与抛物线 交于 ， 两点，与椭圆 交于 ， 两
点，直线 ， ， ， （ 为坐标原点）的斜率分别为 ， ， ， ，若
.
（I）是否存在实数 ，满足 ，并说明理由；
（II）求 面积的最大值.
21．（12 分）已知函数 .
x y
10,200 400,
30,400 800,
50,800 1200,
x
y x
x
≤
3sin cos 3B C =
( )sin sin sin cos cos sinA B C B C B C= + = +
3 3 3sin 3 6 2A = + =
A 1cos 2A =
2 2 19 2 2b c bc= + − × ( )29 3bc b c+ = +
( ) 2
2 9 3 2
b cb c
+ + ≤ + ×
( )21 94 b c+ ≤ 6b c+ ≤ 3b c= =
b c+
1AA h=
1 1 1 1 1 1 1 1
1, 2 2A C AE E A C M A C M
hV V S AC h− − ∆= = × =
1 1E AC M− 2
1 1
1 223 2 6E A C M
hV − = × × =
2
2h = 1
2
2AA =（2）如图，连接 交 于 ，连接 .
∵ 为 的中点，∴ ，
又 ，∴ ，
而 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
19．（1）学生月消费的平均数
.
（2）（i）月消费值落入区间 、 、 的频率分别为 0.05、
0.80、0.15，
因此 ， ， ，
即 的分布列为
10 30 50
0.05 0.80 0.15
的数学期望值 .
（ii）服务部的月利润为 （元），
受资助学生人数为 ，
每个受资助学生每月可获得 （元）.
20.设直线 方程为 ， ， ， ， ，
联立 和 ，
1AB 1A E F MF
E 1BB 1
2
3AF AB=
2
3AM AC= 1/ /MF CB
MF ⊂ 1A EM 1CB ⊄ 1A EM
1 / /CB 1A EM
1 1 3( 300 500 7004000 1000 1000x = × + × + × 1 1900 1100) 200 6802000 4000
+ × + × × =
[ )200,400 [ )400,800 [ ]800,1200
( )10 0.05P ξ = = ( )30 0.80P ξ = = ( )50 0.15P ξ = =
ξ
ξ
P
ξ ( ) 10 0.05 30 0.80 50 0.15 32E ξ = × + × + × =
32 2000 64000× =
2000 0.05 100× =
164000 100 1604
× ÷ =
l y kx b= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )3 3,C x y ( )4 4,D x y
y kx b= + 2 2x y=得 ，
则 ， ， .
由 ，所以 ，得 .
联立 和 ，得
，
所以 ， .
由 ，得 .
（1）因为 ， ，
所以 .
（2）根据弦长公式 ，得：
.
根据点 到直线 的距离公式，得 ，
所以 ，
设 ，则 ，
所以当 ，即 时， 有最大值 .
21．（1）由 ，得： ，
因为 ，所以 ，
令 ， ，
再令 ， ，
2 2 2 0x kx b− − =
1 2 2x x k+ = 1 2 2x x b= − 2
1 4 8 0k b∆ = + >
OA OB⊥ 1 2 1 2 0x x y y+ = 2b =
2y kx= + 2 23 4 12x y+ =
( )2 23 4 16 4 0k x kx+ + + =
3 4 2
16
3 4
kx x k
+ = − + 3 4 2
4
3 4x x k
= +
2
2 192 48 0k∆ = − > 2 1
4k >
1 2
1 2
1 2
y yk k kx x
+ = + = 3 4
3 4
3 4
6y yk k kx x
+ = + = −
1 2
3 4
1
6
k k
k k
+ = −+
2
3 41CD k x x= + −
2
2
2
4 14 3 1 3 4
kCD k k
−= ⋅ + ⋅ +
O CD 2
2
1
d
k
=
+
2
2
1 4 14 32 3 4OCD
kS CD d k∆
−= ⋅ = ⋅ +
24 1 0k t− = > 2
4 3 34OCD
tS t∆ = ≤+
2t = 5
5k = ± OCDS∆ 3
( ) 0f x > sin 0x ax− >
0 1x< < sin xa x
<
sin( ) xg x x
= ( ) 2
cos sin' x x xg x x
−=
( ) cos sinm x x x x= − ( )' cos sin cos sin 0m x x x x x x x= − − = − ( )h x ( )0,1
( )1,x∈ +∞ ( )' 0h x < ( )h x ( )1,+∞
( )max (1) 0h x h= =
( )1,x∈ +∞ ( ) 0h x <
ln 1x x< −
1nx n
+= 1 1ln 1n n
n n
+ +< − ( ) 1ln 1 lnn n n
+ − <
1,2,3, ,n n=
( )1 1ln 2 ln1 1,ln3 ln 2 , ,ln 1 ln2 n n n
− < − < + −
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