四川泸县二中2020届高三数学（文）下学期第一次在线月考试题（Word版附答案）

2020 年春四川省泸县第二中学高三第一学月考试 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．已知集合 ， ，则 A． B． C． D． 2．已知复数 是纯虚数，其中 是实数，则 等于 A． B． C． D． 3．某校高三年级共有学生 900 人，编号为 1，2，3，…，900，现用系统抽样的方法抽取一个 容量为 45 的样本，则抽取的 45 人中，编号落在区间 的人数为 A．10 B．11 C．12 D．13 4．已知双曲线 的焦距为 ，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的 实轴长为 A．2 B．4 C．6 D．8 5．下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归 直线方程为 ，后因某未知原因使第 5 组数据的 值模糊不清，此位置数据记为 （如下表所示），则利用回归方程可求得实数 的值为 196 197 200 203 204 1 3 6 7 2{ | 4 0}A x x x= − < { | 1 1}B x x= − ≤ ≤ A B = [ 1,1]− [ 1,4)− (0,1] (0,4) (2 ) 1 ai iz i += − a z 2i 2i− i i− [481,720] 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 4 2  0.8 155y x= − y m m x y mA．8.3 B．8.2 C．8.1 D．8 6．函数 的部分图象如图所示，则 的值为 A． B． C． D． 7．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为 A． B． C． D． 8．已知奇函数 满足 ，当 时， ，则 A． B． C． D． 9．已知 是抛物线 的焦点，过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点， 为线段 的中点，若 ，则直线 的斜率为 A．3 B．1 C．2 D． 10．若函数 的最小正周期为 ，则 在 上的值域为 A． B． C． D． 11．已知球 的半径为 ， 三点在球 的球面上，球心 到平面 的距离为 ， ， , 则球 的表面积为 A． B． C． D． 12．已知函数 ，存在实数 ，使 的图象 与 的图象无公共点，则实数 的取值范围为 A． B． C． D． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 ( ) ( )sin ( 0, 0)f x A x Aω φ ω= + > > 11 24f π     6 2 − 3 2 − 2 2 − 1− 3log 6p = 5log 10q = 7log 14r = p q r q p r> > p r q> > p q r> > r q p> > ( )f x ( ) ( 4)f x f x= + (0,1)x∈ ( ) 2xf x = ( )2log 12f = 4 3 − 23 32 3 4 3 8 − F 2: 2 ( 0)C y px q= > (2,1)R l C A B R AB 5FA FB+ = l 1 2 ( ) ( )cos 03f x x πω ω = − >   2 π ( )f x 0, 4      π 3 1,2 2  −    1 ,12  −   3 ,12  −    1 ,12      O R , ,A B C O O ABC 1 2 R 2AB AC= = 120BAC °∠ = O 16 9 π 16 3 π 64 9 π 64 3 π )1ln()(,)( 2 −+=−= xabxgaxxxf )1( ≥aa )(xfy = )(xgy = b ( ]0,∞− ）（ 2ln4 3, +∞−      +∞+ ,2ln4 3      + 2ln4 3,113．已知向量 ， 的夹角为 ， ， ， .若 ，则 __________． 14．设等比数列 的前 项和为 .若 ，则 __________． 15．将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到的图象关于直线 对称，则 的最小正值为__________． 16．椭圆 的右焦点与抛物线 的焦点 重合，点 是椭 圆 和抛物线 的一个公共点，点 满足 ，则 的离心率为__________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）锐角 中，角 的对边分别为 ， 的面积为 ， （I）求 的值； （II）若 ， ，求 的最大值. 18．（12 分）在三棱柱 中，已知侧棱与底面垂直， ，且 ， ， 为 的中点， 为 上一点， ． 若三棱锥 的体积为 ，求 的长; 证明： 平面 ． 19．（12 分）随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活．在家里面不用出门就可以 买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买 当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式．某公司组织统计了 AB AC 120° 5AB = 2AC = AP AB ACλ= +   AP BC⊥  λ = { }na n nS 6 37S S= − 4 3 3 2 a a a a + =+ ( ) 3 cos sinf x x x= − θ 6x π= θ 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 2: 4E y x= F P C E (0,1)Q QF QP⊥ C ABC∆ , ,A B C , ,a b c ABC∆ 23 tan 6sin a C A sin cosB C 6cos sin 3B C = 3a = b c+ 1 1 1ABC A B C− 90CAB∠ = ° 1AC = 2AB = E 1BB M AC 2 3AM AC= ( )I 1 1A C ME− 2 6 1AA ( )Ⅱ 1CB  1A EM近五年来该公司网购的人数 （单位：人）与时间 （单位：年）的数据，列表如下： 1 2 3 4 5 24 27 41 64 79 （I）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合 与 的关系，请计算相关系数 并加 以说明（计算结果精确到 0.01）．（若 ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型 拟合） 附：相关系数公式 ，参考数据 （II）建立 关于 的回归方程，并预测第六年该公司的网购人数（计算结果精确到整数）． （参考公式： ， 20．（12 分）已知函数 . （I）对于 ， 恒成立，求实数 的取值范围； （II）当 时，令 ，求 的最大值； 21．（12 分）设直线 与抛物线 交于 ， 两点，与椭圆 交于 ， 两 点，直线 ， ， ， （ 为坐标原点）的斜率分别为 ， ， ， ，若 . （I）是否存在实数 ，满足 ，并说明理由； （II）求 面积的最大值. iy it it iy y t r | | 0.75r > ( )( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 n i i i n n i i i i t t y y r t t y y = = = − − = − − ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) 1 2 2 1 1 n i i i n n i i i i t y nty t t y y = = = − = − − ∑ ∑ ∑ 5695 75.47≈ y t ( )( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 1 ˆ n n i i i i i i n n i i i i t t y y t y nty b t t t nt = = = = − − − = = − − ∑ ∑ ∑ ∑ ˆˆa y bt= − ( ) sinf x x ax= − (0,1)x∈ ( ) 0f x > a 1a = ( ) ( ) sin ln 1h x f x x x= − + + ( )h x l 2 2x y= A B 2 2 14 3 x y+ = C D OA OB OC OD O 1k 2k 3k 4k OA OB⊥ t 1 2 3 4( )k k t k k+ = + OCD∆（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在极坐标系中，已知曲线 ： 和曲线 ： ，以极点 为坐标原点， 极轴为 轴非负半轴建立平面直角坐标系. （I）求曲线 和曲线 的直角坐标方程； （II）若点 是曲线 上一动点，过点 作线段 的垂线交曲线 于点 ，求线段 长 度的最小值. 23．选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知函数 . （I）解不等式 ； （II）记函数 的最小值为 ，若 均为正实数，且 ，求 的最小值. 1C 2cosρ θ= 2C cos 3ρ θ = O x 1C 2C P 1C P OP 2C Q PQ ( ) | 2 1| | 1|f x x x= − + + ( ) 3f x ≥ ( )f x m , ,a b c 1 3 2 2a b c m+ + = 2 2 2a b c+ +2020 年春四川省泸县第二中学高三第一学月考试 文科数学参考答案 1．B 2．A 3．C 4．B 5．D 6．D 7．C 8．A 9．B 10．B 11．D 12．B 13． 14．-2. 15． 16． . 17．依题意，得 ，即 由正弦定理得： ∵ ，∴ ∴ （2）∵ ， ∴ ∵ 为锐角，∴ ， 由余弦定理得 ，即 ， ∴ ，整理得： ，即 ，当且仅当 时取 等号 故 的最大值为 6. 18．（1）设 ， ∵ ， 三棱锥 的高为 ， ∴ ， 解得 ，即 . 10 3 3 π 2-1 21 3 tansin2 6sin a Cab C A = 3 sin cos 3b A C a= 3sin sin cos 3sinB A C A= ( )0,A π∈ sin 0A > 3sin cos 3B C = ( )sin sin sin cos cos sinA B C B C B C= + = + 3 3 3sin 3 6 2A = + = A 1cos 2A = 2 2 19 2 2b c bc= + − × ( )29 3bc b c+ = + ( ) 2 2 9 3 2 b cb c + + ≤ + ×   ( )21 94 b c+ ≤ 6b c+ ≤ 3b c= = b c+ 1AA h= 1 1 1 1 1 1 1 1 1, 2 2A C AE E A C M A C M hV V S AC h− − ∆= = × = 1 1E AC M− 2 1 1 1 223 2 6E A C M hV − = × × = 2 2h = 1 2 2AA =（2）如图，连接 交 于 ，连接 . ∵ 为 的中点，∴ ， 又 ，∴ ， 而 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 . 19．（1）由题知 ， ， ， ， ， 则 . 故 与 的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合. （2）由（1）得 ， . 所以 与 的回归方程为 . 将 带入回归方程，得 ， 所以预测第 6 年该公司的网购人数约为 91 人. 20．（1）由 ，得： ， 因为 ，所以 ， 令 ， ， 再令 ， ， 所以 在 上单调递减，所以 ， 1AB 1A E F MF E 1BB 1 2 3AF AB= 2 3AM AC= 1/ /MF CB MF ⊂ 1A EM 1CB ⊄ 1A EM 1 / /CB 1A EM 3t = 47y = 5 1 852i i i t y = =∑ ( )2 1 10 n i i t t = − =∑ ( )2 1 2278 n i i y y = − =∑ ( )( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 n i ii n n i ii i t t y y r t t y y = = = − − = − − ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) 1 2 2 1 1 n i ii n n i ii i t y nty t t y y = = = − − − ∑ ∑ ∑ 147 147 147 0.97 0.75150.9422780 2 5695 = = ≈ ≈ > y t 1 2 2 1 14.ˆ 7 n i ii n ii t y nty b t nt = = − = = − ∑ ∑ 47 14.7 3 9ˆ 2.a = − × = y t 14.7 2.9y t= + 6t = 91.1 91y = ≈ ( ) 0f x > sin 0x ax− > 0 1x< < sin xa x < sin( ) xg x x = ( ) 2 cos sin' x x xg x x −= ( ) cos sinm x x x x= − ( )' cos sin cos sin 0m x x x x x x x= − − = − < ( )m x ( )0,1 ( )( ) 0m x m ( )h x ( )0,1 ( )1,x∈ +∞ ( )' 0h x < ( )h x ( )1,+∞ ( )max (1) 0h x h= = l y kx b= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )3 3,C x y ( )4 4,D x y y kx b= + 2 2x y= 2 2 2 0x kx b− − = 1 2 2x x k+ = 1 2 2x x b= − 2 1 4 8 0k b∆ = + > OA OB⊥ 1 2 1 2 0x x y y+ = 2b = 2y kx= + 2 23 4 12x y+ = ( )2 23 4 16 4 0k x kx+ + + = 3 4 2 16 3 4 kx x k + = − + 3 4 2 4 3 4x x k = + 2 2 192 48 0k∆ = − > 2 1 4k > 1 2 1 2 1 2 y yk k kx x + = + = 3 4 3 4 3 4 6y yk k kx x + = + = − 1 2 3 4 1 6 k k k k + = −+ 2 3 41CD k x x= + − 2 2 2 4 14 3 1 3 4 kCD k k −= ⋅ + ⋅ + O CD 2 2 1 d k = + 2 2 1 4 14 32 3 4OCD kS CD d k∆ −= ⋅ = ⋅ + 24 1 0k t− = > 2 4 3 34OCD tS t∆ = ≤+ 2t = 5 5k = ± OCDS∆ 3 1C 2 2 cosρ ρ θ= 2 2 2x y x+ = ( )2 21 1x y− + = 2C 3x = 1C x A∵ ，∴ 过点 ， 设直线 的参数方程为 （ 为参数）， 代入 可得 ，解得 或 ， 可知 ， 代入 可得 ，解得 ， 可知 ，所以 ， 当且仅当 时取等号，所以线段 长度的最小值为 . 23．（1） 所以 等价于 或 或 ，解得 或 ， 所以不等式的解集为 或 （2）由（1）可知，当 时， 取得最小值 ，所以 ，即 故 ， 由柯西不等式 ，整理得 ， 当且仅当 ，即 ， ， 时等号成立 所以 的最小值为 . PQ OP⊥ PQ ( )2,0A PQ 2x tcos y tsin θ θ = +  = t 1C 2 2 0t tcosθ+ = 1 0t = 2 2t cosθ= − 2 2AP t cosθ= = 2C 2 3tcosθ+ = 1't cosθ= 1'AQ t cosθ= = 12 2 2PQ AP AQ cos cos θ θ= + = + ≥ 12cos cos θ θ= PQ 2 2 ( ) 3 , 1 12 , 1 2 13 , 2 x x f x x x x x   − ≤ − = − − <