四川泸县一中2020届高三数学（理）下学期第一次在线月考试卷（Word版附答案）

2020 年春四川省泸县第一中学高三第一学月考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．已知集合 A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，则 A∩B＝ A．{0，1} B．{﹣1，0} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2} 2．若 ， 均为实数，且 ，则 A． B． C． D． 3．已知四边形 是平行四边形，点 为边 的中点，则 A． B． C． D． 4．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a2=4，a4=2，则 S6= A．0 B．10 C．15 D．30 5．函数 的图象大致为 A． B． C． D． 6．已知向量 ， 满足 ， ，且 ，则向量 与 的夹角的余弦值为 a b 3i 2 i1 i a b+ = +− ab = 2− 2 3− 3 ABCD E CD BE = 1 2 AB AD− +  1 2 AB AD−  1 2AB AD+  1 2AB AD−  ( )( ) 2 2 lnx xf x x−= + a b 2a| |= 1b| |= 2b a+ | |= a bA． B． C． D． 7．已知角 的终边经过点 ，则 A． B． C． D． 8．执行如图所示的程序框图，则输出 的值为 A． B． C．2 D．3 9．要将甲、乙、丙、丁 4 名同学分到 、 、 三个班级中，要求 每个班级至少分到一人，则甲被分到 班的分法种数为 A． B． C． D． 10．将函数 的图像向右平移 个周期后，所得图 像对应的函数为 ，则函数 的单调递增区间为 A． B． C． D． 11．若直线 是曲线 的一条切线，则实数 A． B． C． D． 12．已知函数 是定义在 上的函数，且满足 ，其中 为 的导 数，设 ， ， ，则 、 、 的大小关系是 A． B． C． D． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．已知实数 满足条件 ，则 的最大值是__________． 2 2 2 3 2 8 2 4 α ( )1, 3P − sin 2α = 3 2 3 2 − 1 2 − 3 4 − S 2 13 log 32 + 2log 3 A B C A 6 12 24 36 sin(2 )3y x π= + 1 4 ( )f x ( )f x π ππ πk k k+ + ∈ Z7[ , ] ( )12 12 [ , ]( )6 3k k k Z π ππ π− + ∈ 5[ , ]( )12 12k k k Z π ππ π− + ∈ [ , ]( )3 6k k k Z π ππ π− + ∈ y ax= 2ln 1y x= + a = 1 2e − 1 22e − 1 2e 1 22e ( )f x R ( ) ( ) 0f x f x′ + > ( )f x′ ( )f x (0)a f= 2 (ln 2)b f= (1)c ef= a b c c b a> > a b c> > c a b> > b c a> > ,x y 1 1 0 4 0 y x y x y ≥  − − ≥  + − ≤ 2z x y= +14． 展开式中 的系数为__________. 15．等比数列 中， ,函数 ，则 __________． 16．三棱锥 中，底面 是边长为 的等边三角形， 面 ， ,则 三棱锥 外接球的表面积是_____________ . 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）在 中，角 所对的边分别是 满足： ，且 成等比数列. (Ⅰ)求角 的大小； (Ⅱ)若 ,判断三角形的形状. 18．（12 分）已知某产品的历史收益率的频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）试估计该产品收益率的中位数； （II）若该产品的售价 （元）与销量 （万份）之间有较强线性相关关系，从历史销售记录 中抽样得到如表 5 组 与 的对应数据： 售价 （元） 25 30 38 45 52 销量 （万份） 7.5 7.1 6.0 5.6 4.8 根据表中数据算出 关于 的线性回归方程为 ，求 的值； （III）若从表中五组销量数据中随机抽取两组，记其中销量超过 6 万份的组数为 ，求 的 分布列及期望. 2 10( 2018 )( )x y x y+ − 5 6x y { }na 1 82, 4a a= = ( ) ( )( ) ( )1 2 8f x x x a x a x a= − − … − ( )0f ′ = S ABC− ABC 2 SA ⊥ ABC 2SA = S ABC− ABC , ,A B C a,b,c 3cos cos sin sin cos 2A C A C B+ + = a,b,c B 2 , 2tan tan tan a c b aA C B + = = x y x y x y y x 10. ˆ0ˆy bx= − b X X19．（12 分）四棱锥 中，底面 为菱形， , 为等边三角 形 （Ⅰ）求证： ; （II）若 ，求二面角 的余弦值. 20．（12 分）已知椭圆 ： 的离心率为 ，焦距为 ． （Ⅰ）求 的方程； （II）若斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点（点 ， 均在第一象限）， 为坐标 原点，证明：直线 ， ， 的斜率依次成等比数列． 21．（12 分）设函数 ， (I)当 时，求函数 的单调区间； (II)若 在 内有极值点，当 ， ，求证： . P ABCD− ABCD 60DAB∠ = ° ADP∆ AD PB⊥ 2, 6AB BP= = D PC B− − C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 3 2 2 3 C 1 2 − l C P Q P Q O OP PQ OQ ( ) ln 1 af x x x = + − ( )0a > 1 30a = ( )f x ( )f x 10, e      ( )1 0,1x ∈ ( )2 1,x ∈ +∞ ( ) ( )2 1 42 3f x f x e− > − ( )2.71828e = …（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）,以坐标原点为极点， 以 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （Ⅰ）求曲线 的普通方程与曲线 的的直角坐标方程； （II）若 与 交于 两点，点 的极坐标为 ，求 的值. 23．（10 分）已知函数 ． （Ⅰ）求不等式 的解集； （Ⅱ）设函数 的最小值为 m，当 a，b， ，且 时，求 的最大值． xoy 1C 21 2 21 2 x t y t  = −  = + t x 2C 2sin 4cosρ θ θ= 1C 2C 1C 2C ,A B P ( 2, )4 π 1 1 PA PB + ( ) 2 1 1f x x x= − + − ( ) 4f x ≤ ( )f x c R+∈ a b c m+ + = 2 1 2 1 2 1a b c+ + + + +2020 年春四川省泸县第一中学高三第一学月考试 理科数学参考答案 1．A 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D 7．B 8．C 9．B 10．B 11．B 12．A 13．7 14．210 15． 16． 17：(Ⅰ) , 因为 , 又 , 而 成等比数列，所以 不是最大， 故 为锐角，所以 . (Ⅱ)由 ,则 , 利用正弦定理可得 , 又因为 ,所以 , 所以三角形 是等边三角形. 18．（1）依题意，设中位数为 ， ，解得 . （2） ， ， ∴ . （3） 的可能取值为 0,1,2，故 ， ， ， 故 的分布列为 0 1 2 122 28 3 π 3cos cos sin sin cos 2A C A C B+ + = ( )cos cosB A C= − + 32sin sin 2A C∴ = 2 2sin sin sinb ac B A C= ⇒ = 2 32sin 2B∴ = , ,a b c b B 60B = ° 2 tan tan tan a c b A C B + = cos ccos 2 cos sin sin sin a A C b B A C B + = cos cos 2cos 1A C B+ = = 2 3A C π+ = 3A C π= = ABC x ( )0.3 2.5 0.2 0.5x+ × − = 0.28x = 25 30 38 45 52 190 385 5x + + + += = = 7.5 7.1 6.0 5.6 4.8 31 6.25 5y + + + += = = 10.0 6.2 0.13 ˆ 8b −= = X ( )0P X = 0 2 2 3 2 5 3 10 C C C = = ( ) 1 1 2 3 2 5 61 10 C CP X C = = = ( ) 2 0 2 3 2 5 12 10 C CP X C = = = X X故 . 19：（1）证明：取 中点 ，连结 ， ∵ 为菱形， ∴ 为等边三角形 ∴ ∵ 为等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ (2) ∵ 为等边三角形，边长为 2 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 如图，以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系 P 3 10 6 10 1 10 ( ) 6 2 4 10 10 5E X = + = AD E PE BE ABCD 60DAB∠ = ° ABD∆ ,BE AD⊥ ADP∆ PE AD⊥ PE BE E∩ = AD PBE⊥ 面 PB PBE⊂ 面 AD PB⊥ ,PAD BAD∆ ∆ 3PE BE= = 6PB = 2 2 2PE BE PB+ = PE EB⊥ ,PE AD AD BE E⊥ ∩ = PE ABCD⊥ 面 EA EB EP x y z则 设平面 的法向量为 ，则 , 取 ，则 设平面 的法向量为 , 取 ，则 设二面角 的平面角为 ∴ ，则二面角 的余弦值 等于 0 20.（1）由题意可得 ，解得 ，又 ， 所以椭圆方程为 . （2）证明：设直线 的方程为 ， ， , 由 ，消去 ，得 则 ，且 ， 故 ( ) ( ) ( ) ( )0,0, 3 , 1,0,0 , 0, 3,0 , 2, 3,0P D B C− − PCD ( ), ,m x y z= · 0 · 0 m PD m DC  =  =   ( )( ) ( )( ) , , · 1,0, 3 0 3 0, 3 0, , · 1, 3,0 0 x y z x z x yx y z  − − = − − =   − + =− =   1z = ( )3, 1, 3, 1,1x y m= − = − = − − PCB ( ), ,n a b c= · 0 · 0 n PB n BC  =  =   ( )( ) ( )( ) , , · 0, 3, 3 0 3 3 0, 2 0, , · 2,0,0 0 a b c b c aa b c  − =  − =   − =− =  1c = − ( )0, 1, 0, 1, 1a b n= = − = − − D PC B− − θ ( )( ) ( ) ( ) 3, 1,1 · 0, 1, 1·cos cos , 0 3, 1,1 0, 1, 1 m nm n m n θ − − − − = = = = − − − −      D PC B− − 3 2 2 2 3 c a c  =  = 2 { 3 a c = = 2 2 2 1b a c= − = 2 2 14 x y+ = l 1 2y x m= − + ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y 2 2 1 2 14 y x m x y  = − +  + = y ( )2 22 2 1 0x mx m− + − = ( ) ( )2 2 24 8 1 4 2 0m m m∆ = − − = − > 1 2 2 0x x m+ = > ( )2 1 2 2 1 0x x m= − > ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 4 2 2 my y x m x m x x m x x m −  = − + − + = − + + =     即直线 ， ， 的斜率依次成等比数列. 21：(1)函数 的定义域为 ，当 时， ， 令： ，得： 或 ，所以函数单调增区间为： ， . (2)证明： ， 令： ， 所以： ， ，若 在 内有极值点， 不妨设 ，则 ，且 ， 由 得： 或 ， 由 得： 或 ， 所以 在 递增， 递减； 递减， 递增， 当 时， ； 当 时， ， 所以： ， . 设： ， ，则 . 所以： 是增函数，所以 . 又： ， ( ) 2 1 2 1 2 21 2 1 2 1 2 1 1 14 2 4OP OQ PQ x x m x x my yk k kx x x x − + + = = = = OP PQ OQ ( )f x ( ) ( )0,1 1,∪ +∞ 1 30a = ( ) ( )2 5 6 6 5' 1 x x f x x x   − −    = − ( )' 0f x > 6 5x > 5 6x < 50, 6      6 ,5  +∞   ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 11' 1 1 x a xaf x x x x x − + += − = − − ( ) ( ) ( )( )2 2 1 0g x x a x x m x n= − + + = − − = 2m n a+ = + 1mn = ( )f x 10, e      10 m e < < 1n em = > 12 2a m n e e = + − > + − ( )' 0f x > 0 x m< < x n> ( )' 0f x < 1m x< < 1 x n< < ( )f x ( )0,m ( ),1m ( )1,n ( ),n +∞ ( )1 0,1x ∈ ( ) ( )1 ln 1 af x f m m m ≤ = + − ( )2 1,x ∈ +∞ ( ) ( )2 ln 1 af x f n n ≥ = + − ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 1ln ln 2ln1 1 1 1 a af x f x f n f m n m n an m n m  − ≥ − = + − − = + − − − − −  12lnn n n = + − n e> ( ) 12lnF n n n n = + − n e> ( ) 2 2 2' 1 0F n n n = + + > ( )F n ( ) ( ) 12F n F e e e > = + − ( )( )2 3 1 31 4 1 10 3 10 32 2 03 3 3 3 e ee ee e ee e e e − − −− + − + − − − = − − + = = >  所以： . 22．（1）曲线 的参数方程为 （ 为参数），两式相加消去 t 可得普通方程为 ；又由 ρcosθ＝x，ρsinθ＝y， 曲线 的极坐标方程为 转化为直角坐标方程为 （2）把曲线 的参数方程为 （ 为参数），代入 得 ， 设 ， 是 对应的参数，则 ， 所以 23．（Ⅰ）①当 时， ②当 时， ③当 时， 综上： 的解集为 （Ⅱ）法一：由（Ⅰ）可知 即 又 且 ( ) ( )2 1 42 3f x f x e− > − 1C 21 2 21 2 x t y t  = −  = + t 2 0x y+ − = 2C 2sin 4cosρ θ θ= 2 4y x= 1C 21 2 21 2 x t y t  = −  = + t 2 4y x= 2 6 2 6 0t t+ − = 1t 2t ,A B 1 1 6 2t t+ = − 1 2 6t t⋅ = − 1 2 1 2 1 1 PA PB t t PA PB PA PB t t + −+ = =⋅ ⋅ ( )2 1 2 1 2 1 2 4 96 2 6 6 3 t t t t t t + − ⋅ = = =⋅ 1 2x < ( ) 3 2 4f x x= − + ≤ 2 1 3 2x∴− ≤ < 1 12 x≤ < ( ) 4f x x= ≤ 1 12 x∴ ≤ < 1x ≥ ( ) 3 2 4f x x= − ≤ 1 2x∴ ≤ ≤ ( ) 4f x ≤ 2 23x x − ≤ ≤   ( ) 13 2, 2 1, 12 3 2, 1 x x f x x x x x − +