四川省棠湖中学2020届高三数学（理）下学期第一次在线月考试题（Word版附答案）

2020 年春四川省棠湖中学高三第一学月考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．已知复数 满足 （ 为虚数单位），则复数 的共轭复数 的虚部为 A．-1 B．1 C． D． 2．设 ， ，则 A． B． C． D． 3．公差不为零的等差数列 的前 n 项和为 是 的等比中项， ，则 S10 等于 A．18 B．24 C．60 D．90 4．函数 的图像大致是 A． B． C． D． 5．某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布 （单位： ）现抽取 500 袋样本， 表示抽取的面粉质量在 的袋数，则 的数学期望约为 z 1z i= + i z z i− i { | 4}P x x= < 2{ | 4}Q x x= < P Q⊆ Q P⊆ RP C Q⊆ RQ C P⊆ { }na 4,nS a 3 7a a与 8 32S = 3 x xe ey x x −−= −附：若 ，则 ， A．171 B．239 C．341 D．477 6．已知函数 的两个相邻的对称轴之间的距离为 ，为了得到 函数 的图象，只需将 的图象 A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度 C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度 7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积 （单位：cm3）是 A．8 B． C．16 D．16 8．甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读 了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁 说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙 子算经》、……《缉古算经》等 10 部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学 的重要文献．这 l0 部专著中有 7 部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这 10 部专著中选择 2 部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选 2 部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的 概率为 A． B． C． D． 10．若抛物线 y2=4x 上一点 P 到其焦点 F 的距离为 2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为 A． B．1 C． D．2 11．设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是 A． B． C． D． 12．如图，直角梯形 ， ， ， ， 是边 中点， 沿 翻折成四棱锥 ，则点 到平面 距离的最大值为 ( ) sin ( 0)6f x x πω ω = + >   2 π ( ) sing x xω= ( )y f x= 6 π 6 π 12 π 12 π 14 15 1 15 2 9 1 2 3 2 2018log 2019a = 2019log 2018b = 1 20192018c = a b c a b c> > a c b> > c a b> > c b a> > ABCD 90ABC∠ =  2CD = 1AB BC= = E CD ADE∆ AE D ABCE′− C ABD′A． B． C． D． 第 II 卷 非选择题（90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．双曲线 x2-2y2=1 的渐近线方程为______． 14．若 ， ， ， 成等比数列，且 ， ，则公比 ______. 15．若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是 __________． 16．已知函数 的图象是以点 为中心的中心对称图形， ，曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处 的切线互相垂直，则 __________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）已知数列 为等差数列， ，且 依次成等比数列. （I）求数列 的通项公式； （II）设 ，数列 的前 项和为 ，若 ，求 的值. 18．（12 分）“微信运动”是手机 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生 的微信 好友中有 400 位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了 40 位参与“微信运动”的微信好友(女 20 人，男 20 人)在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别： 、0～2000 步，(说明：“0～2000”表示“大于或等于 0，小于 2000”，以下同理)， 、2000～ 5000 步， 、5000～8000 步， 、8000～10000 步， 、10000～12000 步，且 三 种类别的人数比例为 ，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据 绘制如图所示的频率分布直方图． 1 2 2 2 1 1a 2a 3a 4a 1 2 32 3a a = − 2 3 24a a = − q = ( ) , 02 1 , 01 x xf x xmx m ≥ +=  − 0a ≠ ( )f x ( 1, )− +∞ xOy 1C cos sin x t y t α α =  = t 0t > (0, )2 πα ∈ 2C cos 1 x y sin β β =  = + β ( , )2 2 π πβ ∈ − O x 3C 1 cos ( (0, ))2 πρ θ θ= + ∈ 4C cos 1ρ θ = 3C 4C 1C 2C P 1C 3C Q α (0, )2 π | | | |OP OQ+23．选修 4-5：不等式选讲（10 分） 设 ，且 ，记 的最小值为 . （I）求 的值，并写出此时 ， 的值； （II）解关于的不等式： .2020 年春四川省棠湖中学高三第一学月考试 理科数学参考答案 1．A 2．B 3．C 4．A 5．B 6．D 7．B 8．B 9．A 10．B 11．C 12．B 13． 14． 15． 16． 17．解：（1）设数列{an}为公差为 d 的等差数列， a7﹣a2＝10，即 5d＝10，即 d＝2， a1，a6，a21 依次成等比数列，可得 a62＝a1a21，即（a1+10）2＝a1（a1+40）， 解得 a1＝5， 则 an＝5+2（n﹣1）＝2n+3； （2）bn （ ）， 即有前 n 项和为 Sn （ ） （ ） ， 由 Sn ，可得 5n＝4n+10，解得 n＝10． 18．(Ⅰ)所抽取的 40 人中，该天行走 2000～8000 步的人数：男 12 人， 女 14 人，400 位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走 2000～8000 步的人数 约为： 人； (Ⅱ)该天抽取的步数在 8000～12000 的人数：男 8 人，女 4 人， 再按男女比例分层抽取 9 人，则其中男 6 人，女 3 人 所求概率 (或 ) (Ⅲ)完成 列联表 参与者 超越者 合计 2 3- (0,3] 3 4- ( )( )1 1 1 1 2 3 2 5 2n na a n n+ = = =+ + 1 1 2 3 2 5n n −+ + 1 2 = 1 1 1 1 1 1 5 7 7 9 2 3 2 5n n − + − + + −+ + 1 2 = 1 1 5 2 5n − + ( )5 2 5 n n = + 2 25 = 26400 26040 × = 1 3 2 2 3 1 3 6 3 6 3 6 4 9 37 42 C C C C C CP C + += = 4 6 4 9 371 42 CP C = − = 2 2×男 12 8 20 女 16 4 20 合计 28 12 40 计算 ， 因为 ，所以没有理由认为“认定类别”与“性别”有关， 即“认定类别”与“性别”无关 19．（1）在棱 AB 上存在点 E，使得 AF∥面 PCE，点 E 为棱 AB 的中点． 理由如下：取 PC 的中点 Q，连结 EQ、FQ，由题意，FQ∥DC 且 ，AE∥CD 且 ， 故 AE∥FQ 且 AE＝FQ．所以，四边形 AEQF 为平行四边形．所以，AF∥EQ，又 EQ⊂平面 PEC，AF⊄平面 PEC， 所以，AF∥平面 PEC． （2）由题意知△ABD 为正三角形，所以 ED⊥AB，亦即 ED⊥CD，又∠ADP＝90°， 所以 PD⊥AD，且面 ADP⊥面 ABCD，面 ADP∩面 ABCD＝AD， 所以 PD⊥面 ABCD，故以 D 为坐标原点建立如图空间坐标系， 设 FD＝a，则由题意知 D（0，0，0），F（0，0，a），C（0，2，0）， ， ， ，设平面 FBC 的法向量为 ， 则由 得 ，令 x＝1，则 ， ， 所以取 ，显然可取平面 DFC 的法向量 ， 由题意： ，所以 a＝1． ( )2 2 40 12 4 8 16 1.90520 20 28 12K × − ×= ≈× × × 1.905 3.841< 1FQ CD2 = 1AE CD2 = ( )B 31 0，， ( )FC 0 2 a ，，= − ( )CB 3 1 0= − ， ， ( )m x y z= ， ， m FC 0 m CB 0  ⋅ = ⋅ =   2 0 3 0 y az x y − = − = y 3= 2 3z a = 2 3m 1 3 a  =      ， ， ( )n 1 0 0 ，，= 2 1 1cos m n4 121 3 a = = + +  ＜ ， ＞由于 PD⊥面 ABCD，所以 PB 在平面 ABCD 内的射影为 BD， 所以∠PBD 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角， 易知在 Rt△PBD 中 ，从而∠PBD＝45°， 所以直线 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45°． 20．（Ⅰ）法一：设 ， ， 直线 直线 得 又 ， ， 整理得点 的轨迹方程为 法二：设 ， ， 直线 直线 由 , 解得： ，又 ， 故 ，代入 得 . PDtan PBD 1BD ∠ = = ( ),N x y ( )( )0 0 0, 0M x y x ≠ 1 1,MB NB⊥ 2 2MB NB⊥ ∴ 0 1 0 : 3 3 xNB y xy + = − + ① 0 2 0 : 3 3 xNB y xy − = − − ② ×① ② 2 2 20 2 0 9 9 xy xy − = − 2 2 0 0 118 9 x y+ = 2 0 2 2 2 2 18 1 99 29o y y x xy  −  ∴ − = = −− N ( )2 2 1 099 2 y x x+ = ≠ ( ),N x y ( )( )0 0 0, 0M x y x ≠ 1 1,MB NB⊥ 2 2MB NB⊥ ∴ 0 1 0 : 3 3 xNB y xy + = − + ① 0 2 0 : 3 3 xNB y xy − = − − ② ① ② 2 0 1 0 1 0 9yx x y y  −=  = − 2 2 0 0 118 9 x y+ = 0 1 2 xx∴ = − 0 1 0 1 2x x y y = −  = − 2 2 0 0 118 9 x y+ = 2 2 1 1 199 2 y x+ =点 的轨迹方程为 法三：设直线 ，则直线 直线 与椭圆 的交点 的坐标为 . 则直线 的斜率为 . 直线 由 解得:点 的轨迹方程为： （Ⅱ）法一：设 ， 由（Ⅰ）法二得： 四边形 的面积 ， ， 当 时， 的最大值为 . 法二：由（Ⅰ）法三得：四边形 的面积 当且仅当 时， 取得最大值 . 21．（1）当 时， ，定义域为 ，由 得 ． 当 变化时， ， 的变化情况如下表： ∴ N ( )2 2 1 099 2 y x x+ = ≠ ( )1 : 3 0MB y kx k= − ≠ 1 1: 3NB y xk = − − ① 1MB 2 2 : 118 9 x yC + = M 2 2 2 12 6 3 2 +1 2 +1 k k k k  −    ， 2MB 2 2 2 2 6 3 32 +1 12 + 1 2 2 1 MB k k k k k k − − = = − ∴ 2 : 2 3NB y kx= + ② ① ② N ( )2 2 1 099 2 y x x+ = ≠ ( )1 1N x y, ( )( )0 0 0, 0M x y x ≠ 0 1 2 xx = − 2 1MB NB ( )1 2 1 2 0 1 332 2S B B x x x= + = × 2 00 18x< ≤ ∴ 2 0 18x = S 27 2 2 2 1MB NB ( )1 2 1 2 M NS B B x x= + = 2 2 2 12 6 54 2 +1 2 +1 2 +13 k k k k k k  + = ×   54 27 2 1 22 k k = ≤ + 2 2k = S 27 2 2 0a = ( ) ( ) ( )ln 2 1f x x x= + − + ( )2,− +∞ ( ) 1 02 xf x x +′ = − =+ 1x = − x ( )f x′ ( )f x x ( )2, 1− − 1− ( )1,− +∞极大值 故当 时， 取得极大值 ，无极小值． （2） ， ． 当 时，因为 ，所以 ， 在 单调递减． 因为 ， ， 所以有且仅有一个 ，使 ， 当 时， ，当 时， ， 所以 在 单调递增，在 单调递减． 所以 ，而 ， 所以 在 存在零点． 当 时，由（1）得 ， 于是 ，所以 ． 所以 ． 于是 ． 因为 ，所以所以 在 存在零点． 综上，当 ， 时，函数 在 上存在零点． ( )f x′ + 0 − ( )f x   1x = − ( )f x ( ) ( ) ( )1 ln 2 1 1 1 0f − = − − − + = ( ) ( )1 e 1 12 axf x a xx  = − + ++ ′  2x > − 0a > 1x > − ( ) ( ) ( )2 1 e 1 2 0 2 axf x a a x x  = − − + ++ ′ ′ ( ) 10 02f b−′ = − < ( )1 1,0x ∈ − ( )1 0g x′ = 11 x x− < < ( ) 0f x′ > 1x x> ( ) 0f x′ < ( )f x ( )11, x− ( )1,x +∞ ( ) ( )0 1 0f x f> − = ( )0 ln2 1 0f = − < ( )f x ( )1,− +∞ 1 0a− < < ( ) ( )ln 2 1x x+ ≤ + e 1x x≥ + ( )e 1 1ax ax a x− ≥ − + > − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )e e ln 2 1 e 1 ln 2 1 ]ax ax axf x x x x a x−  = + − + > − + + +  1 1 1 1 1 1 1e e e 1 ln e 2 1 ] e e 1 ln e 1 ] 0a a a a af a a − − − − −− −            > + − + − > + − − =                          ( )0 ln2 1 0f = − < ( )f x 1 e ,a − +∞    1a > − 0a ≠ ( )f x ( )1,− +∞22．(1)联立曲线 的极坐标方程 得: ，解得 ，即交点到极点的距离为 . (2)曲线 的极坐标方程为 ， 曲线 的极坐标方程为 联立得 即 曲线 与曲线 的极坐标方程联立得 ， 即 ， 所以 ，其中 的终边经过点 ， 当 ，即 时， 取得最大值为 . 23． 因为 ，所以 ， 根据均值不等式有 ， 当且仅当 ，即 时取等号，所以 M 的值为 当 时，原不等式等价于 ， 解得 ； 当 时，原不等式等价于 ， 3 4,C C 1 , 0, 2 1 cos cos πρ θ θ ρ θ    = + ∈        = 2 1 0ρ ρ− − = 1 5 2 ρ += 1 5 2 + 1C , 0, , 02 πθ α α ρ  = ∈ >     2C 2sin , 0, 2 πρ θ θ  = ∈   2sin , 0, 2 πρ α α  = ∈   2sin , 0, 2OP πα α  = ∈   1C 3C 1 cos , 0, 2 πρ α α  = + ∈   1 cos , 0, 2OQ πα α  = + ∈   ( )1 2sin cos 1 5sinOP OQ α α α ϕ+ = + + = + + ϕ ( )2,1 2 , Z2 k k πα ϕ π+ = + ∈ 2 5arcsin 5 α = OP OQ+ 1 5+解得 ； 当 时，原不等式等价于 ， 解得 ； 综上所述原不等式解集为 ．