四川省棠湖中学2020届高三数学（文）下学期第一次在线月考试题（Word版附答案）

2020 年春四川省棠湖中学高三第一学月考试 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．已知复数 满足 （ 为虚数单位），则复数 的共轭复数 的虚部为 A．-1 B．1 C． D． 2．设 ， ，则 A． B． C． D． 3．公差不为零的等差数列 的前 n 项和为 是 的等比中项， ，则 S10 等于 A．18 B．24 C．60 D．90 4．函数 的图像大致是 A． B． C． D． 5．设 ，则“ ”是“ ”成立的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条 件 z 1z i= + i z z i− i { | 4}P x x= < 2{ | 4}Q x x= < P Q⊆ Q P⊆ RP C Q⊆ RQ C P⊆ { }na 4,nS a 3 7a a与 8 32S = 3 x xe ey x x −−= − ,a b∈R | | | |a a b b> 3 3a b>6．已知函数 的两个相邻的对称轴之间的距离为 ，为了得到 函数 的图象，只需将 的图象 A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度 C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度 7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积 （单位：cm3）是 A．8 B． C．16 D．16 8．甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读 了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁 说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨 雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图（二）是折扇的示意图， 为 的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是 A． B． C． D． 10．若抛物线 y2=4x 上一点 P 到其焦点 F 的距离为 2，O 为坐标原点，则 △OFP 的面积为 A． B．1 C． D．2 11．设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是 A． B． C． D． 12．如图，直角梯形 ， ， ， ， 是边 中点， 沿 翻折成四棱锥 ，则点 到平面 距离的最大值为 A． B． C． D． 第 II 卷 非选择题（90 分） ( ) sin ( 0)6f x x πω ω = + >   2 π ( ) sing x xω= ( )y f x= 6 π 6 π 12 π 12 π A OB 1 4 1 2 3 4 5 8 1 2 3 2 2018log 2019a = 2019log 2018b = 1 20192018c = a b c a b c> > a c b> > c a b> > c b a> > ABCD 90ABC∠ =  2CD = 1AB BC= = E CD ADE∆ AE D ABCE′− C ABD′ 1 2 2 2 1二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．双曲线 x2-2y2=1 的渐近线方程为______． 14．若 ， ， ， 成等比数列，且 ， ，则公比 ______. 15．若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是 __________． 16．已知函数 的图象是以点 为中心的中心对称图形， ，曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处 的切线互相垂直，则 ______． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。 17．(12 分)已知数列 为等差数列， ，且 依次成等比数列. （I）求数列 的通项公式； （II）设 ，数列 的前 项和为 ，若 ，求 的值. 18．（12 分）国家每年都会对中小学生进行体质健康监测，一分钟跳绳是监测的项目之一.今 年某小学对本校六年级 300 名学生的一分钟跳绳情况做了统计，发现一分钟跳绳个数最低为 10，最高为 189.现将跳绳个数分成 ， ， ， ， ， 6 组，并绘制出如下的频率分布直方图. 1a 2a 3a 4a 1 2 32 3a a = − 2 3 24a a = − q = ( ) , 02 1 , 01 x xf x xmx m ≥ +=  − 0a ≠ ( )f x ( 1, )− +∞ xOy 1C cos sin x t y t α α =  = t 0t > (0, )2 πα ∈ 2C cos 1 x y sin β β =  = + β ( , )2 2 π πβ ∈ − O x 3C 1 cos ( (0, ))2 πρ θ θ= + ∈ 4C cos 1ρ θ = 3C 4C 1C 2C P 1C 3C Q α (0, )2 π | | | |OP OQ+2020 年春四川省棠湖中学高三第一学月考试 文科数学参考答案 1．A 2．B 3．C 4．A 5．C 6．D 7．B 8．B 9．C 10．B 11．C 12．B 13． 14． 15． 16． 17．解：（1）设数列{an}为公差为 d 的等差数列， a7﹣a2＝10，即 5d＝10，即 d＝2， a1，a6，a21 依次成等比数列，可得 a62＝a1a21，即（a1+10）2＝a1（a1+40）， 解得 a1＝5， 则 an＝5+2（n﹣1）＝2n+3； （2）bn （ ）， 即有前 n 项和为 Sn （ ） （ ） ， 由 Sn ，可得 5n＝4n+10，解得 n＝10． 18．解：（1）由图可知,优秀的频率为： , 故该校六年级学生一分钟跳绳为优秀的人数为 . （2） 组男生人数为 , 的中点值为 25, 组男生人数为 , 的中点值为 55, 组男生人数为 , 的中点值为 85, 组男生人数为 , 的中点值为 115, 2 3- (0,3] 3 4- ( )( )1 1 1 1 2 3 2 5 2n na a n n+ = = =+ + 1 1 2 3 2 5n n −+ + 1 2 = 1 1 1 1 1 1 5 7 7 9 2 3 2 5n n − + − + + −+ + 1 2 = 1 1 5 2 5n − + ( )5 2 5 n n = + 2 25 = ( )1 0.001 0.004 0.006 0.007 0.013 30 0.07− + + + + × = 300 0.07 21× = [ )10,40 20.001 30 300 63 × × × = [ )10,40 [ )40,70 50.004 30 300 306 × × × = [ )40,70 [ )70,100 110.006 30 300 3318 × × × = [ )70,100 [ )100,130 100.007 30 300 3021 × × × = [ )100,130组男生人数为 , 的中点值为 145, 组男生人数为 , 的中点值为 175, 故可估计此校六年级男生一分钟跳绳个数的平均数 为 . 19．（1）取 中点 ，连接 ， ， ， ……①由底面 ，所以 ， 又由 为 的中点，所以 ，可得 ，又由 ， 所以 平面 ， ……②由①②可得： 面 ， 又 面 平面 平面 . （2）由（1）知 面 ， 连接 ，易知 . 设 ，则 . 故 ，即 ，解得 ， 故 ， ，故 20．（Ⅰ）法一：设 ， ， 直线 直线 [ )130,160 190.013 30 300 5739 × × × = [ )130,160 [ ]160,190 10.07 300 37 × × = [ ]160,190 25 6 55 30 85 33 115 30 145 57 175 3 1066 30 33 30 57 3 × + × + × + × + × + × ≈+ + + + + AD E PE EM AC PA PD PE AD= ⇒ ⊥ ABCD BD AC⊥ ,E M ,AD CD //EM AC BD EM⊥ BD PM⊥ BD ⊥ PEM BD PE∴ ⊥ PE ⊥ ABCD PE ⊂ PAD ⇒ PAD ⊥ ABCD PE ⊥ ABCD EM 30PME∠ = ° AB a= 2 32 ,4 2 2 a ACPE EM a= − = = tan 30 PEPME EM °∠ = = 2 2 34 33 2 a a − = 2a = 1PE = 2 3ABCDS =四边形 1 2 313 3P ABCD ABCDV S− = ⋅ ⋅ = ( ),N x y ( )( )0 0 0, 0M x y x ≠ 1 1,MB NB⊥ 2 2MB NB⊥ ∴ 0 1 0 : 3 3 xNB y xy + = − + ① 0 2 0 : 3 3 xNB y xy − = − − ②得 又 ， ， 整理得点 的轨迹方程为 法二：设 ， ， 直线 直线 由 , 解得： ，又 ， 故 ，代入 得 . 点 的轨迹方程为 法三：设直线 ，则直线 直线 与椭圆 的交点 的坐标为 . 则直线 的斜率为 . 直线 由 解得:点 的轨迹方程为： （Ⅱ）法一：设 ， 由（Ⅰ）法二得： ×① ② 2 2 20 2 0 9 9 xy xy − = − 2 2 0 0 118 9 x y+ = 2 0 2 2 2 2 18 1 99 29o y y x xy  −  ∴ − = = −− N ( )2 2 1 099 2 y x x+ = ≠ ( ),N x y ( )( )0 0 0, 0M x y x ≠ 1 1,MB NB⊥ 2 2MB NB⊥ ∴ 0 1 0 : 3 3 xNB y xy + = − + ① 0 2 0 : 3 3 xNB y xy − = − − ② ① ② 2 0 1 0 1 0 9yx x y y  −=  = − 2 2 0 0 118 9 x y+ = 0 1 2 xx∴ = − 0 1 0 1 2x x y y = −  = − 2 2 0 0 118 9 x y+ = 2 2 1 1 199 2 y x+ = ∴ N ( )2 2 1 099 2 y x x+ = ≠ ( )1 : 3 0MB y kx k= − ≠ 1 1: 3NB y xk = − − ① 1MB 2 2 : 118 9 x yC + = M 2 2 2 12 6 3 2 +1 2 +1 k k k k  −    ， 2MB 2 2 2 2 6 3 32 +1 12 + 1 2 2 1 MB k k k k k k − − = = − ∴ 2 : 2 3NB y kx= + ② ① ② N ( )2 2 1 099 2 y x x+ = ≠ ( )1 1N x y, ( )( )0 0 0, 0M x y x ≠ 0 1 2 xx = −四边形 的面积 ， ， 当 时， 的最大值为 . 法二：由（Ⅰ）法三得：四边形 的面积 当且仅当 时， 取得最大值 . 21．（1）当 时， ，定义域为 ，由 得 ． 当 变化时， ， 的变化情况如下表： 极大值 故当 时， 取得极大值 ，无极小值． （2） ， ． 当 时，因为 ，所以 ， 在 单调递减． 因为 ， ， 所以有且仅有一个 ，使 ， 当 时， ，当 时， ， 2 1MB NB ( )1 2 1 2 0 1 332 2S B B x x x= + = × 2 00 18x< ≤ ∴ 2 0 18x = S 27 2 2 2 1MB NB ( )1 2 1 2 M NS B B x x= + = 2 2 2 12 6 54 2 +1 2 +1 2 +13 k k k k k k  + = ×   54 27 2 1 22 k k = ≤ + 2 2k = S 27 2 2 0a = ( ) ( ) ( )ln 2 1f x x x= + − + ( )2,− +∞ ( ) 1 02 xf x x +′ = − =+ 1x = − x ( )f x′ ( )f x x ( )2, 1− − 1− ( )1,− +∞ ( )f x′ + 0 − ( )f x   1x = − ( )f x ( ) ( ) ( )1 ln 2 1 1 1 0f − = − − − + = ( ) ( )1 e 1 12 axf x a xx  = − + ++ ′  2x > − 0a > 1x > − ( ) ( ) ( )2 1 e 1 2 0 2 axf x a a x x  = − − + ++ ′ ′ ( ) 10 02f b−′ = − < ( )1 1,0x ∈ − ( )1 0g x′ = 11 x x− < < ( ) 0f x′ > 1x x> ( ) 0f x′ − = ( )0 ln2 1 0f = − < ( )f x ( )1,− +∞ 1 0a− < < ( ) ( )ln 2 1x x+ ≤ + e 1x x≥ + ( )e 1 1ax ax a x− ≥ − + > − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )e e ln 2 1 e 1 ln 2 1 ]ax ax axf x x x x a x−  = + − + > − + + +  1 1 1 1 1 1 1e e e 1 ln e 2 1 ] e e 1 ln e 1 ] 0a a a a af a a − − − − −− −            > + − + − > + − − =                          ( )0 ln2 1 0f = − < ( )f x 1 e ,a − +∞    1a > − 0a ≠ ( )f x ( )1,− +∞ 3 4,C C 1 , 0, 2 1 cos cos πρ θ θ ρ θ    = + ∈        = 2 1 0ρ ρ− − = 1 5 2 ρ += 1 5 2 + 1C , 0, , 02 πθ α α ρ  = ∈ >     2C 2sin , 0, 2 πρ θ θ  = ∈   2sin , 0, 2 πρ α α  = ∈   2sin , 0, 2OP πα α  = ∈   1C 3C 1 cos , 0, 2 πρ α α  = + ∈   1 cos , 0, 2OQ πα α  = + ∈   ( )1 2sin cos 1 5sinOP OQ α α α ϕ+ = + + = + + ϕ ( )2,1当 ，即 时， 取得最大值为 . 23． 因为 ，所以 ， 根据均值不等式有 ， 当且仅当 ，即 时取等号，所以 M 的值为 当 时，原不等式等价于 ， 解得 ； 当 时，原不等式等价于 ， 解得 ； 当 时，原不等式等价于 ， 解得 ； 综上所述原不等式解集为 ． 2 , Z2 k k πα ϕ π+ = + ∈ 2 5arcsin 5 α = OP OQ+ 1 5+