浙江名校协作体2020届高三数学3月第二次联考试题（PDF版附答案）

高三数学学科 试题 第1页（共 4 页） 高三年级数学学科 考生须知： 1．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号． 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷． 选择题部分（共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．若全集  0,1,2,3,4,5,6,7U = ，集合  3,4,5,6A = ，集合  1,3,4B = ，则集合( ) ( )UUAB= A． 0,1,2,5,6,7 B． 1 C． 0,2,7 D． 5,6 2．已知双曲线 22 221 ( 0, 0)xy abab− =   的渐近线方程为 3yx= ，则双曲线的离心率是 A． 10 B． 10 10 C． 3 10 10 D．3 10 3．若直线 2y ax a=+与不等式组 60 3 30 xy x xy − +     + −  表示的平面区域有公共点，则实数a 的取值范围是 A． 90, 5   B． 0,9 C． )0,+ D．( ,9− 4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），该几何体的体积（单位： 3cm ）是 A．162 B．126 C．144 D．108 36 2+ 5．已知平面 ⊥ 平面  ，且 l= ， a  ，b  ， 则“ ab⊥ ”是“ al⊥ 或bl⊥ ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3 6 正视图 6 侧视图 俯视图 6 第 4 题图 高三数学学科 试题 第2页（共 4 页） A B D B' C 第 8 题图 6．函数 sin 2(1 ) | |1exyx=−+ 的图象可能是 A． B． C． D． 7．已知 01a，随机变量 ,XY的分布列如下： 则下列正确的是 A． ( ) 2E Y a= B． ( ) ( )E X E Y= C． ( ) 1 2DY  D． ( ) ( )D X D Y= 8．已知C 为 Rt ABD 斜边 BD 上一点，且 ACD 为等边三角形，现将 ABC 沿 AC 翻折至 AB C ．若在三棱锥 B ACD− 中，直线CB 和直线 AB 与平面 ACD 所成角分别为 ,，则 A．0  B． 2   C． 23   D． 3 9．已知 10 eab   ，则下列正确的是 A． b b a ab a b a   B． b a b aa a b b   C． b a b ab b a a   D．以上均不正确 10．已知数列 na 满足： ( )110, ln e 1na nna a a+= = + − （ *Nn ），前 n 项和为 nS ( 参考数据： ln 2 0.693,ln 3 1.099)，则下列选项中错误．．的是 X 0 1 2 P ( )21 a− ( )21aa− 2a Y 1 0 1− P ( )21 a− ( )21aa− x y x3-3 O x y x3-3 O x y x3-3 Ox y x3-3 O 高三数学学科 试题 第3页（共 4 页） A． 21na − 是单调递增数列， 2na 是单调递减数列 B． 1 ln 3nnaa++ C． 2020 666S  D． 2 1 2nnaa−  非选择题部分（共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分． 11．若复数 2i 1iz += − (i 为虚数单位)，则 z = ▲ ． 12．我国古代数学著作《增删算法统宗》中有这样一道题：“三百七十八里关，初行健步不为难； 次日脚痛减一半，六朝才得到其关；要见每朝行里数，请君仔细详推算．”其大意为“某人行路， 每天走的路是前一天的一半，6 天共走了378 里．”则他第六天走 ▲ 里路，前三天共走了 ▲ 里路． 13．在二项式 6 2 1x x − 的展开式中，常数项是 ▲ ，所有二项式系数之和是 ▲ ． 14．设椭圆 2 2:12 xCy+=的左焦点为 F ，直线 : 2 0l x y−+=．动点 P 在椭圆C 上，记点 到 直线l 的距离为 d ，则||PF d− 的最大值是 ▲ ． 15．在ΔABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．若 2CB= ，43bc= ， 1a = ，则sin A = ▲ ， 的面积是 ▲ ． 16．已知 ,Rxy ，且满足 4 2 1 0x y xy+ + + = ，则 22 4x y x y+ + + 的最小值是 ▲ ． 17．已知平面向量 3, , , 2, 3, 4, 2a b c a b c a b= = =  = ，则 a c b c +  的最大值是 ▲ ，最小 值是 ▲ ． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分 14 分）已知函数 ( ) 2 1sin cos 2 +3 2 6f x x x   = + +       . （Ⅰ）求 24   f 的值； （Ⅱ）求函数 ( )y f x= 的最小正周期及其单调递增区间． 高三数学学科 试题 第4页（共 4 页） 19．（本小题满分 15 分）如图，在四棱台 1 1 1 1ABCD A B C D− 中， 底面 ABCD 是菱形， 3ABC =， 1 6B BD =， 11B BA B BC =  ， 1122AB A B==， 1 3BB= ． （Ⅰ）求证：直线 AC ⊥ 平面 1BDB ； （Ⅱ）求直线 11AB 与平面 1ACC 所成角的正弦值． 20．（本小题满分 15 分）已知等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，满足 4212aa−=， 4 2 323S S S+ = ， 数列 nb 满足 1 0b = ，且 ( ) ( )( ) ( )1 11 11nnn b n b n n+ − + =+ ++ （ *Nn ）． （Ⅰ）求数列 na ， nb 的通项公式； （Ⅱ）设数列 n n b a   前 n 项和为 nT ，证明： 2nT  （ *Nn ）． 21．（本小题满分 15 分）已知抛物线 2 2x py= （ 0p  ）上一点 R ( ,2)m 到它的准线的距离为3 ． 若 点 ,,A B C 分别在抛物线上，且点 A 、C 在 y 轴右侧，点 B 在 y 轴左侧， ABC 的重心G 在 y 轴 上 ， 直线 AB 交 y 轴于点 M 且 满 足 32AM BM ， 直线 BC 交 y 轴 于 点 N ．记 ,,ABC AMG CNG   的面积分别为 1 2 3,,S S S ， （Ⅰ）求 p 的值及抛物线的准线方程； （Ⅱ）求 1 23 S SS+ 的取值范围． 22．（本小题满分 15 分）已知函数 ( ) ( )e elnf x k x kx= − + ，其中 0k  ． ( ) exgx= ． （Ⅰ）求函数 ( )fx的单调区间； （Ⅱ）证明：当 2e 2e ek  + 时，存在唯一的整数 0x ，使得 ( ) ( )00f x g x ． （注： e 2.71828= 为自然对数的底数，且ln 2 0.693 ，ln 3 1.099 ．） 第 19 题图 第 21 题图参考答案 高三年级数学学科 一、 选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A B A C D D B A C 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分． 11． 10 2 12． 6 ；336 13． 15； 64 14． 2 2 15． 75 27 , 25 7 (第二问若为两解并含 25 7 ，则扣一分) 16． 13 4 − 17．16, 2 15 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 解析：（Ⅰ）由 ( ) 2 1sin cos 2 +32 6fx x xππ  = ++     可得： ( ) 21 cos 2 3 cos 2 +26 x fx x π π −+= +  …………2 分 cos 2 + cos 2 16 62 22 xxπ ππ  − ++    = + …………3 分 cos 2 + +sin 2 166 22 xxππ  +    = + …………5 分 第 19 题图 2 51sin 22 12 2x π= ++ ， …………7 分 则 2 5 1 2 1 21= sin 2 + = sin24 2 24 12 2 2 2 2 2f π ππ π +  × + +=     . …………9 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知： ( ) 2 51sin 22 12 2fx x π= ++ ， 函数 ( )y fx= 的最小正周期为T π= ．……………………………………………11 分 又由 52 222 12 2k xkππ πππ−< + < +，………………………………………………13 分 解得 11 24 24k xkππππ− ， 函数 ()fx在区间 (0, )+∞ 上单调递增； …………………………………………………4 分 若 ke> ， ' ()[]()() k eekxkx e k e kfx xx −−+−= = . 当 ()(0, )k eex k −∈ 时， ' () 0fx< ，此时函数 ()fx单调递减； 当 ()( ,)k eex k −∈ +∞ 时， ' () 0fx> ，此时函数 ()fx单调递增. …………7 分 （II）当 0 1x = 时， (1) (1)f keg=>= ，即存在 0 1x = 使得 00() ()f x gx> . …………8 分 当 0 2x = 时， 2(2) (2) ( ) ln 2 2f g e ke k e− =− +−， 令 2( ) ( ) ln 2 2mk e ke k e=− +−，因 为 ()mk 是关于 k 的一次函数，所以 2 max ( ) max{ ( ), (2 )}m k me m e e= + . 2() 2 0me e e=− ， 则 ()hx 在区间[3, )+∞ 上单调递增， …………13 分 则 ( ) (3)hx h≥ 3 ( ) ln 3 3e e ke k=−− − 3 ( )3e e ke k>−− − 32 ( 3)e e ke>−+ − 32 2(2 )( 3)e e e ee>−+ + − 23 ( 2 1)ee e= −− 223 [( 1) 2] 3 [(2.5 1) 2]ee e= −−> −− 2(1.5 1)e= − (1 1) 0e> −=，即 () ()gx f x> ，不符合题意.综上所述，当 22ek e e ． …………15 分 解法 2（评分标准参考解法 1）：因为讨论的是整数解问题，所以接下来若能证明 xe≥ 时，不符 合题意即可. 当 xe≥ 时，令 () () ()hx gx f x= − ( ) lnxe e k e x kx= −− −.则 ' ()() x e kehx e kx −=−−，令 ()() x e ketx e kx −=−−，则 ' 2 ()() x k eetx e x −= − ，由 ke> 易知 ' 2 ()() x k eetx e x −= − 在[, )e +∞ 上 单调递增，则 2 '' 2() () 2 0ee eke e eetx te e e e eee − +−≥ =− >− =−>，则 ()tx在区间[, )e +∞ 上 单调递增，则 ()() () 0eee ketx te e k e ee −≥ = − −= −>，即 ' () 0hx> ，则 ()hx 在区间[, )e +∞ 上 单调递增，则 () ()hx he≥ ( ) lnee e k e e ek=−− − 2 0eee=−>，即 () ()gx f x> ，不符合题意. 综上所述，当 22ek e e ．