开封五县联考高二期末考试
数学(理科)
2020.01
考生注意：
1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。2.考
生作答时，请将答案答在答题卡上。第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题
目的答案标号涂黑；第 II 卷请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作
答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3.本卷命题范围：必修 5 第二章、第三章、选修 2－1、选修 2－2 第一章。
第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.函数 f(x)＝x2 在区间[－1，2]上的平均变化率为
A.－1 B.1 C.2 D.3
2.“x0， ，若不等式 m＋n≥－x2＋2x＋a 对已知的 m，n 及任意实数 x 恒
成立，则实数 a 的取值范围是
A.[8，＋∞) B.[3，＋∞) C.(－∞，3 ] D.(－∞， 8]
10.公差不为 0 的等差数列{an}的部分项 ，…，构成公比为 4 的等比数列{ }，
且 k1＝1，k2＝2，则 k3＝
A.4 B.6 C.8 D.22
11.椭圆 的左焦点为 F，直线 x＝a 与椭圆相交于点 M、N，当△FMN 的周长最大
时，△FMN 的面积是
A. B. C. D.
12.已知抛物线 y2＝2x 的焦点为 F，点 P 是抛物线上一点，且满足|PF|＝ ，从点 P 引抛物线
准线的垂线，垂足为 M，则△MPF 的内切圆的周长为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.质点 M 按规律 s(t)＝(t－1)2 做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点 M 在 t＝3s
时的瞬时速度为 (单位：m/s)。
14. ＝ 。
15.已知 O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y2＝2x 的焦点，直线 l：y＝m(2x－1)与抛物线 C 交于
A，B 两点，点 A 在第一象限，若|AF|＝2|BF|，则 m 的值为 。
16.已知函数 ，令 g(x)＝f(x)－kx＋1，若函数 g(x)有四个零点，则实数 k
22
π + 32
π + 2 23
π + 2 33
π +
1 4 1m n
+ =
1 2 3k k ka a a， ，
nka
2 2
15 4
x y+ =
5
5
6 5
5
8 5
5
4 5
5
5
2
(5 5)
2
π−
(5 5)π− (30 10 5)π− (15 5 5)
2
π−
2
1
(2 1)x dx−∫
3
2 , 2( )
( 1) , 2
xf x x
x x
≥=
− 0)的焦点为 F，点 P(x0， p)在抛物线 C 上，且|PF|＝3。
(1)求抛物线 C 的方程；
(2)过焦点 F 的直线 l 与抛物线分别相交于 A，B 两点，点 A，B 的坐标分别为(x1，y1)， (x2，
y2)，O 为坐标原点，若 ，求直线 l 的方程。
20.(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)＝x2－3x－alnx 的一个极值点为 2。
(1)求函数 f(x)的极值；
(2)求证：函数 f(x)有两个零点。
21.(本小题满分 12 分)
在平面直角坐标系 xOy 中，四个点 中有 3 个点在
2
( ) x
xf x e
=
1
2
−
2
1 2( )x xOA OB⋅ = − +
3 3 6 62, , , 2 , 1, , 1,3 3 3 3
− 椭圆 C： 上。
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)过原点的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点(A，B 不是椭圆 C 的顶点)，点 D 在椭圆 C 上，且 AD
⊥AB，直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M、N 两点，设直线 AM，AN 的斜率分别为 k1，k2，
证明：存在常数 λ 使得 k1＝λk2，并求出 λ 的值。
22.(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)＝lnx－2x，g(x)＝－ax2＋ax－2。
(l)若曲线 y＝f(x)与 y＝g(x)在点(1，－2)处有相同的切线，求函数 f(x)－g(x)的极值；
(2)若 a>0 时，不等式 f(x)－g(x)≥0 在 x∈[ ，1](e 为自然对数的底数，e≈2.71828)上恒成立，
求实数 a 的取值范围。
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
1
e
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