1
实数
一、考点回顾
1、实数的分类
2、实数的运算
（1）有理数的运算定律在实数范围内都适用； （2）在实数范围内进行运算的顺序：先算乘方、开方，
再算乘除，最后算加减．运算中有括号的，先算括号内的，同一级运算从左到右依次进行．
3、实数大小的比较
（1）正数大于零，负数小于零，两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的较小．
（2）作差法比较大小
设 a，b 是任意两个实数． 若 a－b＞0，则 a＞b；若 a－b＝0，则 a＝b；若 a－b＜0，则 a＜b．
4、数轴：数轴的三要素为原点、正方向和单位长度，数轴上的点与实数一一对应．
5、相反数、倒数、绝对值
①实数 a、b 互为相反数 a＋b＝0； ②实数 a、b 互为倒数 ab＝1；
③
6、近似数、有效数字 ： 对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字开始到最末一个数字止，都是这个近
似数的有效数字．
7、数的平方与开方
①正数有两个平方根，负数没有平方根，0的平方根是0，正数的正的平方根叫做算术平方根；
②若 b3＝a，则 b 叫 a 的立方根；
③
二、考点精讲精练
例1、①光的速度大约是300 000 000米/秒，把300 000 000用科学记数法表示为__________；②某细小颗粒物
的直径为0.000 0025m，用科学记数法表示为__________． 答案：①3×108；②2.5×10－6
变式练习1：用科学记数法表示下列各数：1、567 000；2、0.000 0205 答案：1、5.67×105；2、2.05×10
－5
例2、用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值，其中错误的是（ ）
A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位） C．0.05（精确到千分位） D．0.050（精确到0.001）
变式练习2：用四舍五入法把0.00205取近似值，结果保留两个有效数字为__________．答案：0.0021
例3、计算 ． 答案： ．
变式练习3：
计算：① ； ② ．2
答案：①原式＝ ＝3－1－4＋3＝1； ②原式＝ ＝3＋1－2－1＝1．
例4、① 的平方根为__________； ②－（－3）的相反数为__________． 答案：① ；②－3
变式练习4： ① 的平方根为__________． ② 的倒数的相反数为__________．
答案：① ， 的平方根为 ； ②2
例5、实数 a、b 在数轴上的位置如图所示，则 的化简结果为________．
解：
变式练习5： ①写出一个比－3大的负无理数__________；
②已知 m，n 是两个连续的整数，且 ，则 m＋n＝__________；
③在1，－3， ，0，π 中，最小的数为__________．
答案：① ；②11；③－3
例6、已知 α 为锐角，且 ，计算 的值．
答案：
， ∴α＋15°＝60°，∴α＝45°， ．
变式练习6：
已知 α 为锐角，且 ，求 的值．
答案：
， ，
∵α 为锐角，∴α＝30°， .
代数式
一、考点回顾
1、用字母可以表示任意一个数．
2、用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式，如0，
，－x 等．
3、一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系，计算得出的结果，叫代数式的值．
4、体会字母表示数的意义及用代数式表示规律．
二、考点精讲精练3
例1、一列数 a1，a2，a3，…，其中 ， （n 为不小于2的整数），则 a4的值为（ ）
A． B． C． D．
变式练习1：
（1）给定一列按规律排列的数：1， ， ， ， ，…，它的第10个数是（ ）
A． B． C． D．
（ 2 ） 按 一 定 规 律 排 列 的 一 列 数 依 次 为 ， ， ， ， ， ， … ， 按 此 规 律 ， 第 7 个 数 为
___1/50_______
3、已知 ，记 b1＝2（1－a1），b2＝2（1－a1）（1－a2），…，bn＝2（1－a1）（1－
a2）·…·（1－an），则通过计算推测出 bn 的表达式为 bn＝__________（用含 n 的代数式表示）．
答案：
， ，
例2、如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答：
（1）表中第8行的最后一个数是__________，它是自然数__________的平方，第8行共有__________个数；
（2）用含 n 的代数式表示：第 n 行的第一个数是__________，最后一个数是__________，第 n 行共有
__________个数；
（3）求第 n 行各数之和．
答案：（1）64，8，15；（2）n2－2n＋2，n2，2n－1；
（3）
变式练习2：
1、观察下列等式： ．
（1）猜想并写出第 n 个等式；（2）证明你写出的等式的正确性．4
答 案 ： （ 1 ） 猜 想 ： ； （ 2 ） 证 明 ： ， 即
．
2 、 观 察 下 列 各 式 ： ， ， 根 据 观 察 计 算 ：
（n 为正整数）．
答案：
例3、正方形 OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3、…按如图放置，其中点 A1、A2、A3、…在 x 轴的正半轴上，
点 B1、B2、B3、…在直线 y＝－x＋2上，依次类推，则点 An 的坐标为__________．
答案：设 B1（y1，y1），代入 y＝－x＋2得 y1＝1，∴B1（1，1），A1（1，0），设 B2（y2＋1，y2），代入 y＝－
x ＋ 2 可 得 ， ， ． 同 样 可 求 ，
．
变式练习3：
如图所示，直线 y＝x＋1与 y 轴交于点 A1，以 OA1为边作正方形 OA1B1C1，然后延长 C1B1与直线 y＝x＋
1交于点 A2，得到第一个梯形 A1OC1A2；再以 C1A2为边作正方形 C1A2B2C2，同样延长 C2B2与直线 y＝x＋1交
于点 A3得到第二个梯形 A2C1C2A3；再以 C2A3为边作正方形 C2A3B3C3，延长 C3B3，得到第三个梯形；…；则
第二个梯形 A2C1C2A3的面积是__________；第 n（n 是正整数）个梯形的面积是__________（用含 n 的式子表
示）．
答案：6，
解析：依题意 OA1＝1，C1A2＝2，…，Cn－1An＝2n－1，∴第二个梯形 A2C1C2A3的面积为6，第 n 个梯形的面5
积为 .
例4、如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，图案（1）需要4根小棒，图案（2）需要10根小
棒，……，按此规律摆下去，第 n 个图案需要小棒__________根（用含有 n 的代数式表示）．
答案：图（1）四根，图（2）4×3－2根，图（3）4×5－4根，图（4）4×7－6根，…图（n）4×（2n－1）－
2（n－1）根，故填6n－2．
变式练习4：如图，这是由边长为1的等边三角形摆出的一系列图形，按这种方式摆下去，则第 n 个图形的周长
是__________．
答案：n＋2
例5、已知 ，则 的值为__________．
解： 由 得 a－b＝－4ab， ．
变式练习5：
已知 a－2b＝3，则6－2a＋4b 的值为__________． 答案：6－2a＋4b＝6－2（a－2b）＝6－2×3＝0．
整式
一、考点回顾
1、代数式的分类
2、同类项：所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫同类项，合并同类项时，只把系数相加，
所含字母和字母的指数不变．
3、整式的运算
（1）整式的加减——先去括号或添括号，再合并同类项．
（2）整式的乘除
①幂的运算性质：am·an＝am＋n（m，n 为整数，a≠0）； （am）n＝amn（m，n 为整数，a≠0）；
（ab）n＝anbn（n 为整数，a≠0，b≠0）； am÷an＝am－n（m，n 均为整数，且 a≠0）；
②a0＝1（a≠0）； ；
③单项式乘单项式，单项式乘多项式，单项式除以单项式，多项式除以单项式．
④乘法公式：平方差公式（a＋b）（a－b）＝a2－b2； 完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab＋b2．
（3）因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫多项式的因式分解．
因式分解的基本方法：①提公因式法；②公式法；③分组分解法；④十字相乘法．
因式分解常用公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）a2±2ab＋b2＝（a±b）26
二、考点精讲精练
例1、若单项式 与－2x3ya＋b 是同类项，则这两个单项式的积为_______．
解：
依题意 解得 ．
变式练习1：
若－2amb2m＋3n 与 的和仍为一个单项式，则 m 与 n 的值分别为（ ）
A．1，2 B．2，1 C．1，1 D．1，3
解：
依题意，－2amb2m＋3n 与 是同类项， ∴ m＝2n－3且 2m＋3n＝8, 得 m＝1，n＝2 选 A．
例2、下列计算正确的是（ ）
A．（－p2q）3＝－p5q3 B．（12a2b3c）÷（6ab2）＝2ab
C．3m2÷（3m－1）＝m－3m2 D．（x2－4x）·x－1＝x－4 答案：D
变式练习2：
（1）下列计算正确的是（ ）
A．a＋a＝a2 B．（2a）3＝6a3 C．（a－1）2＝a2－1 D．a3÷a＝a2
（2）下列计算中正确的是（ ）
A．（a＋b） 2＝a2＋b2 B．a3＋a2＝2a5 C．（－2x3）2＝4x6 D．（－1）－1＝1 答案：（1）D
（2）C
例3、已知实数 a、b 满足（a＋b）2＝1和（a－b）2＝25，求 a2＋b2＋ab 的值．
解：由（a＋b）2＝1得 ，① 由（a－b）2＝25得 ，②
①＋②得 ． ①－②得 ab＝－6, ∴a2＋b2＋ab＝13－6＝7．
变式练习3：若 x＝a2＋b2＋5a＋1，y＝10a2＋b2－7a＋6，则 x，y 的大小关系为（ ）
A．x＞y B．x＜y C．x＝y D．不能确定
解：
∴ x＜y． 答案：B
例4、已知 x2＋3x＝10，求代数式（x－2）2＋x（x＋10）－5的值．
解：（x－2）2＋x（x＋10）－5＝x2－4x＋4＋x2＋10x－5＝2x2＋6x－1＝2(x2＋3x)－1＝2×10－1＝19
变式练习4：
已知整式 的值为6，则2x2－5x＋6的值为__________．
解：
＝6， ． ∴2x2－5x＋6＝12＋6＝18．
例5、若 a，b，c 是三角形三边的长，则代数式 a2＋b2－c2－2ab 的值（ ）
A．大于0 B．小于0 C．大于或等于0 D．小于或等于07
解：a2＋b2－c2－2ab＝（a－b）2－c2＝(a－b＋c)(a－b－c)
若 a，b，c 是三角形三边的长,
则 a－b＋c＞0，a－b－c＜0， ∴(a－b＋c)(a－b－c)＜0，即 a2＋b2－c2－2ab＜0． 选 B．
变式练习5：（1）多项式 ac－bc＋a2－b2分解因式的结果为（ ）
A．（a－b）（a＋b＋c） B．（a－b）（a＋b－c） C．（a＋b）（a＋b－c） D．（a＋b）（a－b＋
c）
（2）分解因式①2x2－4xy＋2y2 ②（2x＋1）2－x2 ③（a＋b）（a－b）＋4（b－1) ④x2－y2－3x－
3y
答案：（1）ac－bc＋a2－b2＝c(a－b)＋(a＋b)(a－b) ＝(a－b)(a＋b＋c), 选 A．
（2）①2x2－4xy＋2y2＝2（x2－2xy＋y2）＝2（x－y）2
②（2x＋1）2－x2＝(3x＋1)(x＋1)
③（a＋b）（a－b）＋4（b－1）＝a2－b2＋4b－4＝a2－(b2－4b＋4)＝a2－(b－2)2＝(a＋b－2)(a－b
＋2)
④x2－y2－3x－3y＝(x＋y)(x－y)－3(x＋y)＝(x＋y)(x－y－3)
分式
一、考点回顾
1、分式
若 A、B 是整式，将 A÷B 写成 的形式，如果 B 中含有字母，式子 叫分式．分式的分母 B≠0，若分
式的分子为零且分母不为零时，分式的值为零．
2、分式的基本性质： ， （其中 M 为非零整式）
3、分式的运算
（1）分式的加减： （2）分式的乘除：
（3）分式的乘方： ； （4）符号法则： ．
4、约分：根据分式的基本性质，把分式的分子和分母中的公因式约去，叫约分．
5、通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化成和原来的分式分别相等的同分母的分式，叫通分．
二、考点精讲精练
例1、下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A． B． C． D． 答案：A
变式练习1：
下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D． 答案：C8
例2、若分式 无意义，则 x＝_____；若分式 的值为0，则 x 的值为___．答案：3或－2；2
变式练习2：若分式 有意义，则 x 的取值范围是__________；若 的值为0，则 x 的值为______.答案：
x≠3；－2
例3、化简 ． 解：原式
变式练习3：
化简 ． 解：原式＝
例4、先化简，再求值： ，其中 ．
解：原式＝
∵ ， ∴ ． ∴原式＝ ．
变式练习4：
有这样一道题：计算 的值，其中 x＝2013．某同学把“x＝2013”错抄成“x＝
2031”，但它的结果也正确，请你说说这是怎么回事．
解：∵
∴ 结果与 x 无关．故把“x＝2013”错抄成“x＝2031”，不影响它的结果．
变式练习5：
1 、 若 ， 则 __________ ． 2 、 已 知 实 数 x 满 足 ， 则 的 值 为
__________．
答案：9
1、法1：由 得 ，
法2：由 得
2、由 得 ， ．
整式方程
一、考点回顾
1、等式的基本性质．
2、一元一次方程的解法：
①解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项及将未知数的系数化为1；
②最简方程 ax＝b 的解有以下三种情况：
当 a≠0时，方程有且仅有一个解 ；当 a＝0，b≠0时，方程无解；当 a＝0，b＝0时，方程有无数个
解．
3、一元二次方程的一般形式为 ax2＋bx＋c＝0（a≠0），其解法主要有：直接开平方法，配方法，因式分解法，
求根公式法．
4、一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式为
（b2－2ac≥0）
5、一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2－4ac．
△＞0 方程有两个不相等的实数根；△＝0 方程有两个相等的实数根；△＜0 方程没有实数根．
二、考点精讲精练
例1、方程2x（x－3）＝5（x－3）的解为（ ）
A． B．x＝3 C．x1＝3， D．
解析：
2x（x－3）＝5（x－3） 2x（x－3）－5（x－3）＝0 （x－3）（2x－5）＝0
∴x1＝3， ． 答案：C
变式练习1： 若代数式2x2－x 与4x－2的值相等，则 x 的值为（ ）
A．2 B． C．2，或 D．1
解：2x2－x＝4x－2 x(2x－1)－2(2x－1)＝0 (2x－1)(x－2)＝0 ∴2x－1＝0 或 x－2＝0
∴ 答案：C
例2、若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的一根为1，且满足 ，则 c＝__________．
解：依题意 a＋b＋c＝0． ∵ ， , ∴a－2＝0，b－3＝0
∴a＝2，b＝3 ∴2＋3＋c＝0，c＝－5． 答案：－5
变式练习2：10
已知 α 是方程 x2＋x－1＝0的根，则代数式 的值为__________．
解： 依题意 α2＋α－1＝0，α2＋α＝1．
． 答案：14
例3、关于 x 的方程 k2x2＋（2k－1）x＋1＝0有实数根，则 k 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解： 当 k＝0时，原方程为一元一次方程－x＋1＝0, x＝1，有实根.
若 k≠0时，原方程为一元二次方程， ，得 k≤ ． ∴ ．
综合得 ，故选 A．
变式练习3：
关于 x 的方程2kx2＋（8k＋1）x＝－9k 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解：依题意，2k≠0, k≠0． 2kx2＋（8k＋1）x＋9k＝0 △＝(8k＋1)2－4×2k×9k＞0,
∴k＞ ∴ 答案：D
例4、某纪念品原价为168元，连续两次降价 a%后售价为128元，下列所列方程正确的是（ ）
A．168（1＋a%）2＝128 B．168（1－a%）2＝128 C．168（1－2a%）＝128 D．168（1－a2%）＝
128
变式练习4：
甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，
丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，那么顾客在哪家超市购买这种商品更合算（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．都一样
解：设这种商品原价为 a 元． 甲超市 ； 乙超市 ；
丙超市 ． ∵ 0.64a＞0.63a＞0.6a, ∴在乙超市购买这种商品更合算．
例5、某批发商以每件50元的价格购进800件 T 恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单
价不变，预计仍可售出200件．批发商为了增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多
售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商对剩余的 T 恤一次性清仓销售，清仓时单
价为40元，设第二个月单价降低 x 元．
（1）填表（不需要化简）
时间 第一个月 第二个月 清仓时
单价（元） 80 40
销售量（件） 200
（2）如果批发商希望通过销售这批 T 恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
答案：（1）80－x；200＋10x；800－200－（200＋10x）；11
（2）依题意，得80×200＋（80－x）（200＋10x）＋40[800－200－（200＋10x）]－50×800＝
9000．
∴x2－20x＋100＝0，解此方程得 x 1＝x2＝10， 且 x＝10时，80－x＝70＞50． 故第二个月的单价为70
元．
变式练习5：
某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平
均单株盈利4元，当同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到14
元，且尽可能地减少成本，每盆应该植多少株？
答案：设每盆至多植 x 株， 依题意（3＋x）（4－0.5x）＝14， x1＝1，x2＝4，
因要尽可能地减少成本，∴x＝4舍去． ∴取 x＝1，x＋3＝4． 即每盆植4株时，每盆的盈利为14元．
分式方程
一、考点回顾
1、分式方程：分母中含有未知数的有理方程叫分式方程．
2、解分式方程的基本思想方法：分式方程 整式方程．
3、解分式方程要验根．
二、考点精讲精练
例1、若分式方程 有增根，则 m 的值为（ ）
A．2 B．1 C．－1 D．以上都不对
答：去分母 x－3＝m， 把 x＝2代入得 m＝－1，故选 C．
变式练习：
若分式方程 有增根，则它的增根为（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．1和－1
解：两边同乘（x＋1）（x－1）， 得 x2＋m（x＋1）－7＝0，
当 x＝1时，m＝3；当 x＝－1时，m 不存在， ∴x＝1是增根，故选 B．
例2、解分式方程 ．
解：方程两边同乘以（x＋1）（x－1）， 得5（x＋1）＝3(x－1) 解得 x＝－4．
经检验知 x＝－4是原方程的根． ∴原方程的根为 x＝－4．
变式练习：
解分式方程 ．解 ， x－4＋2(x－3)＝－4 3x＝6 x＝2
经检验，x＝2是原方程的根． ∴原方程的根是 x＝2．
例3、用换元法解方程 ，若设 x2－3x＋1＝y，则原方程可化为（ ）
A．y2－6y＋8＝0 B．y2－6y－8＝0 C．y2＋6y＋8＝0 D．y2＋6y－8＝0
解： ， ∵x2－3x＋1＝y, ∴ 答案：A
变式练习：12
已知方程 的两根分别是 ， ，则方程 的根是（ ）
A． B． C． D．
解：
， ， x － 1 ＝ a － 1 ， 或 ． 得 x ＝ a ， 或
．
例4、某市为了进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路，为使工程能提前3个月
完成，需要将原定的工作效率提高12%．问原计划完成这项工程用多少个月？
分析：相等关系是实际施工效率＝原计划施工效率×（1＋12%）．
解：
设原计划完工用 x 个月，则 ， 解得 x＝28， 经检验，x＝28是方程的根．
答：原计划完成这项工程用28个月．
变式练习： 甲、乙两人共同打印文件，甲共打1800个字，乙共打2000个字，已知乙的工作效率比甲高25%，
完成任务的时间比甲少5分钟，问甲、乙二人各花了多少时间完成任务？
解： 设甲所用时间为 x 分钟，
则 ，x＝45． 检验知，x＝45是原分式方程的根。
答：甲花了45分钟完成任务，乙花了40分钟完成任务．
例5、在社会主义新农村建设中，某乡决定对一段公路进行改造，已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完
成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．（1）求乙工程队单独完成
这项工程所需的天数；（2）求两队合做完成这项工程所需的天数．
解：（1）设乙工程队单独完成这项工程需要 x 天，
依题意 ，得 x＝60．检验知，x＝60是原方程的解．
答：乙工程队单独完成这项工程需要60天．
（2） 答：两队合做完成这项工程需要24天．
变式练习：
一项工程要在限期内完成，如果第一组单独做，恰好按规定日期完成；如果第二组单独做，需超过规定日
期4天才能完成．如果两组合做3天后，剩下的工程由第二组单独做，正好在规定日期内完成，问规定日期是多
少天？
解：设规定日期为 x 天，则
， 解得 x＝12． 经检验知，x＝12是原方程的解． 答：规定日期为12
天．
方程组
一、考点回顾
1、二元一次方程组的解法：①代入法解二元一次方程组；②加减法解二元一次方程组．13
2、列方程组解应用题：运用二元一次方程组解决简单的实际问题．
二、考点精讲精练
例1、解方程组：
解：两方程相加得 4a＝20 a＝5 将 a＝5代入 a－b＝8得 5－b＝8 所以 b＝－3
方程组的解是
变式练习1、解方程组：
解：由（2）得 y＝2x－1 将 y＝2x－1代入（1） 得3x＋5(2x－1)＝8 解得 x＝1 把 x＝1代入（2） 得 y＝
1
∴
例2、已知 a、b 满足方程组 求（a＋b）－2013的值．
解：两式相加得 a＋b＝1， ∴（a＋b）－2013＝1－2013＝1．
变式练习2、已知 是方程组 的解，求代数式4m（m－n）＋n（4m－n）＋5的值．
答：原式＝4m2－n2＋5，由已知有 两式相乘得4m2－n2＝3，∴原式＝3＋5＝8．
例3、若关于 x、y 的方程组 的解满足方程2x＋3y＝6，则 k 的值为（ ）
A． B． C． D．
解：将方程组中的 k 当作常数，解得 ∴2×5k＋3×（－2k）＝6， ，选 B．
变式练习3、若点 P（a＋b，－5）与（1，3a－b）关于 x 轴对称，则 a＝__________，b＝__________．
解：依题意 解得
例4、某校2009年初一年级和高一年级招生总数为500人，计划2010年秋季初一年级招生人数增加20%，高一
年级招生人数增加25%，这样2010年秋季初一年级、高一年级招生总数比2009年将增加21%，求2010年秋季
初一、高一年级的招生人数各是多少？
解：
设2009年初一年级招 x 人，高一年级招 y 人，则
(1＋20%)x＝480，(1＋25%)y＝125． 答：初一年级招480人，高一年级招125人．14
变式练习4、在某校举办的足球比赛中规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某班足球队参加了12
场比赛，共得22分，已知这个队只输了2场，那么此队胜几场？平几场？
答：
设胜 x 场，平 y 场，则
例5、某酒店客房有三人间、双人间的客房，收费数据如下表：
普通（元/间·天） 豪华（元/间·天）
三人间 150 300
双人间 140 400
为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人普通
间和双人普通间客房，若每间客房正好住满且一天共花去住宿费1510元，则旅游团住了三人普通间和双人普通
间客房各多少间？
解：设三人普通间和双人普通间各住了 x，y 间，则
答：旅游团住了三人普通间客房8间，双人普通间客房13间．
变式练习5、我市某林场计划购买甲、乙两种树苗共800株，甲种树苗每株24元，乙种树苗每株30元．相关资
料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%、90%．
（1）若购买这两种树苗共用去21000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？
（2）若要使这批树苗的总成活率不低于88%，则甲种树苗至多购买多少株？
解：（1）设购买甲种树苗 x 株，乙种树苗 y 株，
列方程组得 解得
答：购买甲种树苗500株，乙种树苗300株．
（2）设购买甲种树苗 z 株，乙种树苗（800－z）株， 则列不等式 85%z＋90%（800－z）≥88%×800，
解得 z≤320． 答：甲种树苗至多购买320株．
不等式
一、考点回顾
1、掌握不等式，一元一次不等式（组）及其解集的概念．
2、掌握不等式的基本性质，一元一次不等式（组）的解法以及解集的数轴表示．
（1）解一元一次不等式的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化成1．要特别注意，不
等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，要改变不等号的方向．
（2）解一元一次不等式组的一般步骤是：
①先求出这个不等式组中各个一元一次不等式的解集；
②再利用数轴确定各个解集的公共部分，即求出了这个一元一次不等式组的解集．
二、考点精讲精练
例1、下列四个命题中，正确的有（ ）
①若 a＞b，则 a＋1＞b＋1；②若 a＞b，则 a－1＞b－1；
③若 a＞b，则－2a＜－2b；④若 a＞b，则2a＜2b．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：C
变式练习115
1．已知 ，下列不等式中错误的是（ ）
A． B． C． D． 答案：B
2、若 ，则下列不等式中不能成立的是（ ）
A． B． C． D． 答案：B
3、下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D． 答案：C
例2、不等式2x＋1≥5的解集在数轴上表示正确的是（ ）
答案：D
变式练习2
1、如图，用不等式表示数轴上所示的解集，正确的是（ ）
A． B． C． D． 答案：D
2、关于 x 的不等式 的解集如图所示，则 a 的取值是（ ）
A．0 B．－3 C．－2 D．－1 答案：D
3、如果不等式组 的解集是 ，那么 的值为_______．
答案： 得 ； 2x－b＜3得 ． ∴ ∴a＋b＝1．
4、已知不等式 x＋8＞4x＋m（m 是常数）的解集是 x＜3，求 m 的值．
解：解不等式 x＋8＞4x＋m 3x＜8－m
∵不等式 x＋8＞4x＋m（m 是常数）的解集是 x＜3， ∴ ， ∴ m＝－1
例3、函数 y＝ 中，自变量 x 的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x≥2，且 x≠3 C.x≤2 D．x≠3
答案： 得 x≥2，且 x≠3．
变式练习3
1、一次函数 的图象如图所示，当－3＜y＜3时，x 的取值范围是（ ）16
A．x＞4 B．0＜x＜2 C．0＜x＜4 D．2＜x＜4 答案：C
2、关于 x 的方程2x＋3k＝1的解是负数，则 k 的取值范围是多少？
答案： 2x＋3k＝1，
． 依题意 ， ∴ ．
3、点 A(m―4，1―2m)在第三象限，那么 m 值是（ ）
A． B．m＜4 C． D．m＞4
答案： 点 A(m―4，1―2m)在第三象限，
则 得 ．选 C．
例4、解不等式组，并在数轴上表示解集．
解：由（1）得 x≥13，由（2）得 x＞－2故解集为 x ≥13．(数轴上表示解集略)
变式练习4
解不等式组： 答案：－1＜x≤2
例5、不等式组 的最小整数解是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．－1
答案：
不等式组 的解集是 ，最小整数解是0．选 A．
变式练习5
1、不等式组 的整数解是（ ）
A．－1，0，1 B．－1，1 C．－1，0 D．0，1
答案：
不等式组 的解集是－1≤x＜1，整数解是－1，0．选 C．
2、已知关于 x 的不等式组 只有四个整数解，则实数 a 的取值范围是__________．
答案：x－a≥0，得 x≥a； 5－2x＞1，得 x＜2． 不等式组的解集是 a≤x＜2．17
∵不等式组只有四个整数解，即 1，0，－1，－2，∴ －3＜a≤－2．
不等式(组)的应用
一、考点回顾
用一元一次不等式(组)解应用题的一般步骤：
（1）审：审题，分析题目中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系.
（2）设：设适当的未知数.
（3）找：找出题目中的所有不等关系.
（4）列：列不等式(组).
（5）解：求出不等式组的解集.
（6）答：写出符合题意的答案.
二、考点精讲精练
例1、某校今年冬季烧煤取暖时间为4个月．如果每月比计划多烧5吨煤，那么取暖用煤总量将超过100吨；如果
每月比计划少烧5吨煤，那么取暖用煤总量不足68吨．该校计划每月烧煤多少吨（吨数取整数）？
解：
设该校计划每月烧煤 x 吨．
不等式组的解集为201.5x＋540，∴xy2，即1200＋1200×0.5x>1200×0.6(x＋1)，x0时，m 的值随 t 的增大而减小，故每天至少要组装180台空调．
例5、如图，一次函数 y＝kx＋b 的图象与反比例函数 的图象相交于 A、B 两点.
（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的 的取值范围.
解：（1）把（－2，1）代入 ， 得 m＝－2．
（2）从图象可看出，当 x
微信/支付宝扫码支付