一、选择题
1．(2019·福州市质量检测)已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1.若数列{ 1
an }为等差数列，则
a9＝( )
A．1
2 B．5
4
C．4
5 D．－4
5
解析：选 C.因为数列{ 1
an }为等差数列，a3＝2，a7＝1，
所以数列{ 1
an }的公差 d＝
1
a7－ 1
a3
7－3 ＝
1－1
2
7－3＝1
8，所以 1
a9＝ 1
a7＋(9－7)×1
8＝5
4，所以 a9＝4
5，
故选 C.
2．(一题多解)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S2＝2，S3＝－6，则 S5＝( )
A．18 B．10
C．－14 D．－22
解析：选 D.法一：设等比数列{a n}的公比为 q，由题意，得 {a1＋a1q＝2
a1＋a1q＋a1q2＝－6，解得
{a1＝－2
q＝－2 ，所以 S5＝
－2 × [1－（－2）5]
1－（－2） ＝－22，故选 D.
法 二 ： 设 等 比 数 列 {an} 的 公 比 为 q ， 易 知 q≠1 ， 令 A ＝ a1
q－1， 则 Sn ＝ Aqn － A ，
{S2＝Aq2－A＝2
S3＝Aq3－A＝－6，解得{A＝2
3
q＝－2
，所以 Sn＝2
3[(－2)n－1]，所以 S5＝2
3×[(－2)5－1]＝－22，故
选 D.
3．已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若 a1·a6·a11＝－3 3，b1＋b6＋b11
＝7π，则 tan b3＋b9
1－a4·a8的值是 ( )
A．－ 3 B．－1
C．－ 3
3 D． 3
解析：选 A.依题意得，a36＝(－ 3)3，3b6＝7π，所以 a6＝－ 3，b6＝7π
3 ，所以 b3＋b9
1－a4·a8＝
2b6
1－a＝－7π
3 ，故 tan b3＋b9
1－a4·a8＝tan(－7π
3 )＝tan(－2π－π
3)＝－tanπ
3＝－ 3，故选 A.4 ．( 一题多解)(2019· 合肥市第一次质量检测) 已知正项等差数列{a n} 的前 n 项和为
Sn(n∈N*)，a5＋a7－a26＝0，则 S11 的值为( )
A．11 B．12
C．20 D．22
解析：选 D.通解：设等差数列{an}的公差为 d(d>0)，则由(a1＋4d)＋(a1＋6d)－(a1＋5d)2＝
0，得(a1＋5d)(a1＋5d－2)＝0，所以 a1＋5d＝0 或 a1＋5d＝2，又 a1>0，所以 a1＋5d>0，则 a1＋
5d＝2，则 S11＝11a1＋11 × 10
2 d＝11(a1＋5d)＝11×2＝22，故选 D.
优解：因为{an}为正项等差数列，所以由等差数列的性质，并结合 a5＋a7－a26＝0，得 2a6
－a26＝0，a6＝2，则 S11＝11（a1＋a11）
2 ＝11 × 2a6
2 ＝11a6＝22，故选 D.
5．等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差 d>0，则其前 n 项和取最小值时 n 的值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选 C.由 d>0 可得等差数列{an}是递增数列，又|a6|＝|a11|，所以－a6＝a11，即－a1－
5d＝a1＋10d，所以 a1＝－15d
2 ，则 a8＝－d
20，所以前 8 项和为前 n 项和的最小值，
故选 C.
6．(多选)已知数列{an}是等比数列，则下列命题正确的是( )
A．数列{|an|}是等比数列
B．数列{anan＋1}是等比数列
C．数列{ 1
an }是等比数列
D．数列{lg a2n}是等比数列
解析：选 ABC.因为数列{an}是等比数列，所以an＋1
an ＝q.对于 A，|an＋1|
|an| ＝|an＋1
an |＝|q|，所
以数列{|an|}是等比数列，A 正确；对于 B，an＋1an＋2
anan＋1 ＝q2，所以数列{anan＋1}是等比数列，B
正确；对于 C，
1
an＋1
1
an
＝ an
an＋1＝1
q，所以数列{ 1
an }是等比数列，C 正确；对于 D，
lg a
lg a＝
2lg an＋1
2lg an ＝
lg an＋1
lg an ，不一定是常数，所以 D 错误．
二、填空题
7．(2019·贵阳市第一学期监测)已知数列{a n}中，a1＝3，a2＝7.当 n∈N*时，an＋2 是乘积an·an＋1 的个位数，则 a2 019＝________．
解析：a1＝3，a2＝7，a1a2＝21，a3＝1，a2a3＝7，a4＝7，a3a4＝7，a5＝7，a4a5＝49，a6＝
9，a5a6＝63，a7＝3，a6a7＝27，a8＝7，a7a8＝21，a9＝1，a8a9＝7，所以数列{an}是周期为 6
的数列，又 2 019＝6×336＋3，所以 a2 019＝a3＝1.
答案：1
8．在数列{an}中，n∈N*，若an＋2－an＋1
an＋1－an ＝k(k 为常数)，则称{an}为“等差比数列”，下列
是对“等差比数列”的判断：
①k 不可能为 0；
②等差数列一定是“等差比数列”；
③等比数列一定是“等差比数列”；
④“等差比数列”中可以有无数项为 0.
其中所有正确判断的序号是________．
解析：由等差比数列的定义可知，k 不为 0，所以①正确，当等差数列的公差为 0，即等
差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以②错误；当{an}是等比数列，且公比 q＝
1 时，{an}不是等差比数列，所以③错误；数列 0，1，0，1，…是等差比数列，该数列中有无
数多个 0，所以④正确．
答案：①④
9．(2019·洛阳尖子生第二次联考)已知函数 f(x)＝
ex－1
ex＋1，g(x)＝f(x－1)＋1，则 g(x)的图象
关于________对称，若 an＝g(1
n )＋g(2
n )＋g(3
n )＋…＋g(2n－1
n )(n∈N*)，则数列{an}
的通项公式为________．
解析：因为 f(x)＝
ex－1
ex＋1，所以 f(－x)＝
e－x－1
e－x＋1＝1－ex
ex＋1＝－f(x)，所以函数 f(x)为奇函数．因
为 g(x)＝f(x－1)＋1，所以 g(x)的图象关于点(1，1)对称，若 x1＋x2＝2，则有 g(x1)＋g(x2)＝2，
所以 an＝g(1
n )＋g(2
n )＋g(3
n )＋…＋g(2n－1
n )＝2(n－1)＋g(1)＝2n－2＋f(0)＋1＝2n
－1，即 an＝2n－1，故数列{an}的通项公式为 an＝2n－1.
答案：(1，1) an＝2n－1
三、解答题
10．(2019·昆明市诊断测试)已知数列{an}是等比数列，公比 q
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