2020高考数学二轮练典型习题第二部分专题三第2讲空间点、线、面的位置关系（Word版带解析）

一、选择题 1．(2019·合肥市第一次质量检测)平面 α 外有两条直线 a，b，它们在平面 α 内的投影分别 是直线 m，n，则下列命题正确的是(　　) A．若 a⊥b，则 m⊥n B．若 m⊥n，则 a⊥b C．若 m∥n，则 a∥b D．若 m 与 n 相交，则 a 与 b 相交或异面 解析：选 D.对于选项 A，当直线 a，b 相交，且所在平面与平面 α 垂直时，直线 m，n 重 合，故 A 不正确；对于选项 B，不妨在正方体 ABCD­A 1B1C1D1 中考虑，取面对角线 AB1， AD1，其所在直线分别记为 a，b，其在平面 ABCD 上的投影分别为 AB，AD，记为 m，n，此 时 m⊥n，但 a 与 b 不垂直，故 B 不正确；对于选项 C，不妨在正方体 ABCD­A1B1C1D1 中考虑， 取面对角线 AB1，CD1，其所在直线分别记为 a，b，其在平面 ABCD 上的投影分别为 AB， CD，记为 m，n，此时 m∥n，但 a 与 b 不平行，故 C 不正确；对于选项 D，若 m 与 n 相交， 则 a 与 b 不可能平行，只能是相交或异面，故 D 正确，选 D. 2．(2019·长春市质量监测(一))在正方体 ABCD­A1B1C1D1 中，直线 A1C1 与平面 ABC1D1 所 成角的正弦值为(　　) A．1　　　　　　　　 B． 3 2 C． 2 2 D．1 2 解析：选 D.由题意画出图形如图所示，取 AD1 的中点为 O，连接 OC1，OA1，易知 OA1⊥ 平面 ABC1D1，所以∠A1C1O 是直线 A1C1 与平面 ABC1D1 所成的角，在 Rt△OA1C1 中，A1C1＝ 2OA1，所以 sin∠A1C1O＝OA1 A1C1＝1 2.故选 D. 3．如图，在三棱锥 D­ABC 中，若 AB＝CB，AD＝CD，E 是 AC 的中点，则下列命题中 正确的是(　　)A．平面 ABC⊥平面 ABD B．平面 ABD⊥平面 BCD C．平面 ABC⊥平面 BDE，且平面 ACD⊥平面 BDE D．平面 ABC⊥平面 ACD，且平面 ACD⊥平面 BDE 解析：选 C.因为 AB＝CB，且 E 是 AC 的中点，所以 BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于 DE∩BE ＝E，于是 AC⊥平面 BDE.因为 AC⊂平面 ABC，所以平面 ABC⊥平面 BDE.又 AC⊂平面 ACD，所以平面 ACD⊥平面 BDE.故选 C. 4．(2019·江西省五校协作体试题)如图，圆锥的底面直径 AB＝4，高 OC＝2 2，D 为底面 圆周上的一点，且∠AOD＝2π 3 ，则直线 AD 与 BC 所成的角为(　　) A．π 6 B．π 3 C．5π 12 D．π 2 解析：选 B.如图，过点 O 作 OE⊥AB 交底面圆于 E，分别以 OE，OB，OC 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，因为∠AOD＝2 3π，所以∠BOD＝π 3，则 D( 3，1，0)，A(0，－ 2，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2 2)，AD → ＝( 3，3，0)，BC → ＝(0，－2，2 2)，所以 cos〈AD → ， BC → 〉＝ －6 12 ＝－1 2，则直线 AD 与 BC 所成的角为π 3，故选 B. 5.如图，在矩形 ABCD 中，AB＝ 3，BC＝1，将△ACD 沿 AC 折 起，使得 D 折起后的位置为 D1，且 D1 在平面 ABC 上的射影恰好落在 AB 上，在四面体 D1ABC 的四个面中，有 n 对平面相互垂直，则 n 等 于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5解析：选 B. 如图，设 D1 在平面 ABC 上的射影为 E，连接 D1E，则 D1E⊥平面 ABC， 因为 D1E⊂平面 ABD1， 所以平面 ABD1⊥平面 ABC. 因为 D1E⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC， 所以 D1E⊥BC，又 AB⊥BC，D1E∩AB＝E， 所以 BC⊥平面 ABD1， 又 BC⊂平面 BCD1， 所以平面 BCD1⊥平面 ABD1， 因为 BC⊥平面 ABD1，AD1⊂平面 ABD1， 所以 BC⊥AD1，又 CD1⊥AD1，BC∩CD1＝C， 所以 AD1⊥平面 BCD1，又 AD1⊂平面 ACD1， 所以平面 ACD1⊥平面 BCD1. 所以共有 3 对平面互相垂直．故选 B. 6．(多选)如图，在正方体 ABCD­A1B1C1D1 中，点 P 在线段 BC1 上运动，则下列判断中正 确的是(　　) A．平面 PB1D⊥平面 ACD1 B．A1P∥平面 ACD1 C．异面直线 A1P 与 AD1 所成角的范围是(0，π 3 ] D．三棱锥 D1­APC 的体积不变 解析：选 ABD.对于 A，根据正方体的性质，有 DB1⊥平面 ACD1，又 DB1⊂平面 PB1D，则平面 PB1D⊥平面 ACD1，故 A 正确；对于 B，连接 A1B， A1C1，易证明平面 BA1C1∥平面 ACD1，又 A1P⊂平面 BA1C1，所以 A1P∥ 平面 ACD1，故 B 正确；对于 C，当 P 与线段 BC1 的两端点重合时，A1P 与 AD1 所成角取最小值π 3，当 P 与线段 BC1 的中点重合时，A1P 与 AD1 所成角取最大值π 2，故A1P 与 AD1 所成角的范围是[π 3，π 2 ]，故 C 错误；对于 D，V 三棱锥 D1­APC＝V 三棱锥 C­AD1P， 因为点 C 到平面 AD1P 的距离不变，且△AD1P 的面积不变，所以三棱锥 C­AD1P 的体积不变， 故 D 正确．故选 ABD. 二、填空题 7．(2019·沈阳市质量监测(一))如图，在正方体 ABCD­A1B1C1D1 中，下面结论中正确的是 ________．(写出所有正确结论的序号) ①BD∥平面 CB1D1； ②AC1⊥平面 CB1D1； ③异面直线 AC 与 A1B 成 60°角； ④AC1 与底面 ABCD 所成角的正切值是 2. 解析：对于①，BD∥B 1D1，BD⊄平面 CB 1D1，B1D1⊂平面 CB1D1，所以 BD∥平面 CB1D1，①正确；对于②，因为 AA1⊥平面 A1B1C1D1，所以 AA1⊥B1D1，连接 A1C1，又 A1C1⊥ B1D1，所以 B1D1⊥平面 AA1C1，所以 B1D1⊥AC1，同理 B1C⊥AC1，所以 AC1⊥平面 CB1D1，② 正确；对于③，易知 AC∥A1C1，异面直线 AC 与 A1B 所成角为∠BA1C1，连接 BC1，又△A1C1B 为等边三角形，所以∠BA1C1＝60°，异面直线 AC 与 A1B 成 60°角，③正确；对于④，AC1 与底面 ABCD 所成角的正切值是CC1 AC ＝ 1 2 ＝ 2 2 ≠ 2，故④不正确．故正确的结论为①②③. 答案：①②③ 8．(2019·武汉市调研测试)在棱长为 1 的正方体 ABCD­A1B1C1D1 中，点 A 关于平面 BDC1 的对称点为 M，则 M 到平面 A1B1C1D1 的距离为________． 解 析 ： 法 一 ： 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 ， 正 方 体 的 棱 长 为 1 ， 在 正 方 体 ABCD­A1B1C1D1 下面补一个棱长为 1 的正方体 ABCD­A2B2C2D2，连接 A2C2，B2D2，AC2，设 B2D2 ∩A2C2＝E，连接 CE 交 AC2 于 M(即 A 关于平面 BDC1 的对称点)，易得 M(1 3， 2 3，－2 3)，所以 点 M 到平面 A1B1C1D1 的距离为 1－(－2 3 )＝5 3.法二：依题意，点 M 在平面 ACC1A1 上，建立如图所示的平面直角坐标系，由已知得 A (－ 2 2 ，0)，C1( 2 2 ，1)，直线 OC1 的方程为 y＝ 2x，其斜率为 2， 因为点 A 关于直线 OC1 的对称点为 M，设 M(a，b)， 所以{ b－0 a＋ 2 2 ＝－ 2 2 b＋0 2 ＝ 2· a－ 2 2 2 ，解得{a＝ 2 6 b＝－2 3 ， 所以点 M 到直线 A1C1 的距离为 1－(－2 3 )＝5 3， 所以点 A 关于平面 BDC1 的对称点 M 到平面 A1B1C1D1 的距离为5 3. 答案：5 3 9．在长方体 ABCD­A1B1C1D1 中，AB＝AD＝4，AA1＝2.过点 A1 作平面 α 与 AB，AD 分别 交于 M，N 两点，若 AA1 与平面 α 所成的角为 45°，则截面 A1MN 面积的最小值是________， 此时 AM＝________． 解析：如图，过点 A 作 AE⊥MN，连接 A1E，因为 A1A⊥ 平面 ABCD，所以 A1A⊥MN，所以 MN⊥平面 A1AE，所以 A1E ⊥MN，平面 A1AE⊥平面 A1MN，所以∠AA1E 为 AA1 与平面 A1MN 所成的角，所以∠AA1E＝45°，在 Rt△A1AE 中，因为 AA1 ＝2，所以 AE＝2，A1E＝2 2，在 Rt△MAN 中，由射影定理得 ME·EN＝AE2＝4，由基本不等式 得 MN＝ME＋EN≥2 ME·EN＝4，当且仅当 ME＝EN，即 E 为 MN 的中点时等号成立，所以截面 A1MN 面积的最小值为1 2×4×2 2＝4 2.因为 AM2＋AN2＝MN2，所以 AM＝2 2. 答案：4 2　2 2 三、解答题 10.如图，在三棱锥 A­BCD 中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面 ABD⊥ 平面 BCD，点 E、F(E 与 A、D 不重合)分别在棱 AD、BD 上，且 EF⊥AD. 求证：(1)EF∥平面 ABC； (2)AD⊥AC. 证明：(1)在平面 ABD 内，因为 AB⊥AD，EF⊥AD， 所以 EF∥AB. 又因为 EF⊄平面 ABC，AB⊂平面 ABC， 所以 EF∥平面 ABC. (2)因为平面 ABD⊥平面 BCD， 平面 ABD∩平面 BCD＝BD， BC⊂平面 BCD 且 BC⊥BD， 所以 BC⊥平面 ABD. 因为 AD⊂平面 ABD，所以 BC⊥AD. 又因为 AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面 ABC，BC⊂平面 ABC， 所以 AD⊥平面 ABC. 又因为 AC⊂平面 ABC， 所以 AD⊥AC. 11.如图所示，已知 AB⊥平面 ACD，DE⊥平面 ACD，△ACD 为等边 三角形，AD＝DE＝2AB，F 为 CD 的中点． 求证：(1)AF∥平面 BCE； (2)平面 BCE⊥平面 CDE. 证明：(1)如图，取 CE 的中点 G， 连接 FG， BG.因为 F 为 CD 的中点， 所以 GF∥DE 且 GF＝1 2DE. 因为 AB⊥平面 ACD，DE⊥平面 ACD，所以 AB∥DE， 所以 GF∥AB. 又因为 AB＝1 2DE，所以 GF＝AB. 所以四边形 GFAB 为平行四边形，则 AF∥BG. 因为 AF⊄平面 BCE，BG⊂平面 BCE， 所以 AF∥平面 BCE. (2)因为△ACD 为等边三角形，F 为 CD 的中点， 所以 AF⊥CD. 因为 DE⊥平面 ACD，AF⊂平面 ACD， 所以 DE⊥AF. 又 CD∩DE＝D， 所以 AF⊥平面 CDE. 因为 BG∥AF，所以 BG⊥平面 CDE. 又因为 BG⊂平面 BCE， 所以平面 BCE⊥平面 CDE. 12．如图 1，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点 E 是 BC 边的中点， 将△ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD⊥平面 BCD，连接 AE，AC，DE，得到如图 2 所示的几何 体． (1)求证：AB⊥平面 ADC； (2)若 AD＝1，AC 与其在平面 ABD 内的正投影所成角的正切值为 6，求点 B 到平面 ADE 的距离． 解：(1)证明：因为平面 ABD⊥平面 BCD，平面 ABD∩平面 BCD＝BD， 又 DC⊥BD，DC⊂平面 BCD， 所以 DC⊥平面 ABD. 因为 AB⊂平面 ABD， 所以 DC⊥AB. 又因为折叠前后均有 AD⊥AB，且 DC∩AD＝D， 所以 AB⊥平面 ADC. (2)由(1)知 DC⊥平面 ABD， 所以 AC 在平面 ABD 内的正投影为 AD， 即∠CAD 为 AC 与其在平面 ABD 内的正投影所成的角． 依题意知 tan ∠CAD＝DC AD＝ 6， 因为 AD＝1，所以 DC＝ 6. 设 AB＝x(x＞0)，则 BD＝ x2＋1， 易知△ABD∽△DCB，所以AB AD＝DC BD， 即x 1＝ 6 x2＋1 ，解得 x＝ 2， 故 AB＝ 2，BD＝ 3，BC＝3. 由于 AB⊥平面 ADC， 所以 AB⊥AC，又 E 为 BC 的中点，所以由平面几何知识得 AE＝BC 2 ＝3 2， 同理 DE＝BC 2 ＝3 2， 所以 S△ADE＝1 2×1× (3 2 )2 －(1 2 )2 ＝ 2 2 . 因为 DC⊥平面 ABD，所以 VA­BCD＝1 3CD·S△ABD＝ 3 3 . 设点 B 到平面 ADE 的距离为 d， 则 1 3d·S△ADE＝VB­ADE＝VA­BDE＝1 2VA­BCD＝ 3 6 ， 所以 d＝ 6 2 ，即点 B 到平面 ADE 的距离为 6 2 .