诸暨市 2018－2019 学年高二下学期期末考试
数学试卷
选择题部分（共 40 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.设全集 ， ， ，则 等于（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用补集与交集的运算法则求解即可．
【详解】解：∵集合 ， ， ，
由全集 ， ．
故选：B．
【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础知识的考查．
2.已知 是虚数单位， ，则计算 的结果是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据虚数单位 的运算性质，直接利用复数代数形式的除法运算化简求值．
【详解】解： ，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
{1,2,3,4}U = {1,2}A = {2,3}B = ( )U A B
{ }4 { }1,3,4 { }2,4 { }3,4
{1,2}A = {2,3}B = {2}A B∴ ∩ =
{1,2,3,4}U = ( )U {1,3,4}A B∴ =
i 2 1i = − 2
1
i
i+
1 i+ 1 i− + 1 i− 1 i− −
i
2 1i = −
2 2 (1 ) 2 2 11 (1 )(1 ) 2
i i i i ii i i
− +∴ = = = ++ + −3.椭圆 的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
从椭圆方程确定焦点所在坐标轴，然后根据 求 的值.
【详解】由椭圆方程得： ，所以 ，又椭圆的焦点在 上，
所以焦点坐标是 .
【点睛】求椭圆的焦点坐标时，要先确定椭圆是 轴型还是 轴型，防止坐标写错.
4.函数 的导函数是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据导数的公式即可得到结论．
【详解】解：由 ，得
故选：D．
【点睛】本题考查了导数的基本运算，属基础题．
5.设 是实数，则“ ”是“ ”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
2 2
14 5
x y+ =
( )1,0± ( )3,0± ( )0, 1± ( )0, 3±
2 2 2c a b= − c
2 25, 4a b= = 2 1c = y
( )0, 1±
x y
2( ) ln sin 1f x x x x= + + +
12 cos 1x xx
+ + + 12 cosx xx
− +
12 cosx xx
+ − 12 cosx xx
+ +
2( ) ln sin 1f x x x x= + + + 1( ) 2 cosf x x xx
′ = + +
x | 1| 2x − < | 2 | 1x -
' ( ) 0f x = 2x = − 1x =
2x < − ' ( ) 0f x > ( )f x ( , 1)−∞ −
2 1x− < < ( ) 0f x′ < ( )f x ( 1,0)−
1x > ' ( ) 0f x > ( )f x (0, )+∞
( )f x 2− 1 2
5( 2)f e
− =
2
5
e
, 0a b > 4b a
a a b
+ +
4 41 1
1
b a b
ba a b a
a
+ = + + −+ +
4 4 4, 0, 1 1 2 1 1 3
1 1
b a b ba b b ba a b a a
a a
> ∴ + = + + − ≥ + ⋅ − = + + +
41
1
b
ba
a
+ =
+ 1a b= =【点睛】本题考查了基本不等式的应用，关键要变形凑出积为定值的形式，属基础题．
17.设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时， .
若对任意的 ，都有 ，则 的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
由 ，得 ，分段求解析式，结合图象可得 m 的取值范围．
【详解】解： ， ，
时， ，
时， ；
时， ；
时， ；
当 时，由 ，解得 或 ，
( )f x R ( 1) 2 ( )f x f x+ = (0,1]x∈ ( ) ( 1)f x x x= −
( , ]x m∈ −∞ 3( ) 2f x ≥ − m
13, 4
−∞
( 1) 2 ( )f x f x+ = ( ) 2 ( 1)f x f x= −
( 1) 2 ( )f x f x+ = ( ) 2 ( 1)f x f x∴ = −
(0,1]x∈
1( ) ( 1) [ ,0]4f x x x= − ∈ −
(1,2]x∴ ∈ 1 (0,1], ( ) 2x f x− ∈ = 1( 1) 2( 1)( 2) ,02f x x x − = − − ∈ −
(2,3]x∴ ∈ 1 (1,2], ( ) 2 ( 1) 4( 2)( 3) [ 1,0]x f x f x x x− ∈ = − = − − ∈ −
(3,4]x∴ ∈ 1 (2,3], ( ) 2 ( 1) 8( 3)( 4) [ 2,0]x f x f x x x− ∈ = − = − − ∈ −
(3,4]x∈ 38( 3)( 4) 2x x− − = − 13
4x = 15
4x =若对任意 ，都有 ，则 。
故答案为： 。
【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形
结合的解题思想方法，属中档题．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.已知函数 的最小正周期为 .
（1）当 时，求函数 的值域；
（2）已知 的内角 ， ， 对应的边分别为 ， ， ，若 ，且
， ，求 的面积.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】
【分析】
（1）利用周期公式求出 ω，求出相位的范围，利用正弦函数的值域求解函数 f（x）的值域；
（2）求出 A，利用余弦定理求出 bc，然后求解三角形的面积．
【详解】解：（1） 的最小正周期是 ，得 ，
当 时，
所以，此时 的值域为
（2）因为 ，所以 ，
∴
( , ]x m∈ −∞ 3( ) 2f x ≥ − 13
4m ≤
13, 4
−∞
( ) sin 2 ( 0)3f x x
πω ω = + >
π
0, 2x
π ∈ ( )f x
ABC∆ A B C a b c 3
2 2
Af =
4a = 5b c+ = ABC∆
3 ,12
−
3 34
( )f x π 2π πω = 1ω =
0, 2x
π ∈
423 3 3x
π π π≤ + ≤
( )f x 3 ,12
−
3sin2 3 2
Af A
π = + =
2
3 3A
π π+ =
3A
π=
2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2b c bc= + −，
的面积
【点睛】本题考查三角函数的性质以及三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．
19.如图，在三棱锥 中， ， 在底面 上的射影 在 上，
于 .
（1）求证： 平行平面 ，平面 平面 ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）证明 EF∥BC，从而 BC∥平面 DEF，结合 AB⊥DF，AB⊥DE，推出 AB⊥平面 DEF，即可证
明平面 DAB⊥平面 DEF．
（2）在△DEF 中过 E 作 DF 的垂线，垂足 H，说明∠EBH 即所求线面角，通过求解三角形推出
结果．
【详解】解：（1）证明：因为 ，所以 ， 分别是 ， 的中点
所以 ，从而 平面
又 ， ，所以 平面
从而平面 平面
（2）在 中过 作 的垂线，垂足
由（1）知 平面 ， 即所求线面角
由 是 中点， 得
216 ( ) 3 25 3b c bc bc= + − = − 3bc =
ABC∆ 1 3sin 32 4ABCS bc A∆ = =
D ABC− DA DB DC= = D ABC E AC
DF AB⊥ F
BC DEF DAB ⊥ DEF
3BAC ADC
π∠ = ∠ = BE DAB
15
5
DA DB DC= = E F AB AC
EF BC∥ BC∥ DEF
AB DF⊥ AB DE⊥ AB ⊥ DEF
DAB ⊥ DEF
DEF∆ E DF H
EH ⊥ DAB EBH∠
F AB AB EF⊥ EA EB=设 ，则 ，因为 ，
则 ， ， ，
所以所求线面角的正弦值为
【点睛】本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间
想象能力以及计算能力，是中档题。
20.已知数列 满足 ，且 .
（1）设 ，求证数列 是等比数列；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知数列递推式可得 ，又 ，得 ，从而可得数
列 是等比数列；
（2）由（1）求得数列 的通项公式，得到数列 的通项公式，进一步得到 ，然后分
类分组求数列 的前 项和 ．
【详解】（1）由已知得 代入 得
又 ，所以数列 是等比数列
（2）由（1）得 ， ，
2AC = 1BE =
3BAC ADC
π∠ = ∠ =
3DE = 3
2EF = 15
2DF = 15
5EH =
15sin 5
EHEBF EB
∠ = =
{ }na 1 1a = ( )*
1 2 1 Nn na a n+ = + ∈
( )*1n nb a n= + ∈N { }nb
2n nc a n= − { }nc n nT
2 1
1 2
2 2 2
2 2 2
n
n n
n nT
n n
+
+
+ + −= − − +
1 2 1+1n na a+ = +（ ） 1n nb a= + 1 2n nb b+ =
{ }nb
{ }nb { }na nc
{ }nc n nT
1n na b= − ( )*
1 2 1n na a n N+ = + ∈
( )1 1 2 1 1n nb b+ − = − +
( )*
1 2n nb b n N+ = ∈
1 1 1 2 0b a= + = ≠ { }nb
2n
nb = 2 1n
na = − 2 2 1n
nc n= − −
( )1 22 2 2 2( )1 2n
nS n n= + +⋅⋅⋅+ − + +⋅⋅⋅+ −因为 ， ， ，且 时，
所以当 时，
当 时，
.
所以
【点睛】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了数列的分组求和，属中档题．
21.已知 是抛物线 焦点，点 是抛物线 上一点，且
.
（1）求 ， 的值；
（2）过点 作两条互相垂直的直线，与抛物线 的另一交点分别是 ， .
①若直线 的斜率为 ，求 的方程；
②若 的面积为 12，求 的斜率.
【答案】（1） ， （2）① ② 或
【解析】
分析】
（1）直接利用抛物线方程，结合定义求 p 的值；然后求解 t；
（2）①直线 AB 的斜率为 ，设出方程，A、B 坐标，与抛物线联立，然后求 AB 的方程；
②求出三角形的面积的表达式，结合△ABC 的面积为 12，求出 m，然后求 AB 的斜率．
【详解】解：（1）由抛物线定义得 ，
，
（2）设 方程为 ， ，
的
【
1 22 2 2n n n+= − − −
1 0c < 2 0c < 3 0c > 3n ≥ 1 2 2 0n
n nc c+ − = − >
2n ≤ 2 12 2 2n
n nT S n n += − = + + −
3n ≥
1 2 3n nT c c c c= − − + + ( )1 2 3 1 22nc c c c c c= + + + − +
1 24 2 2 2n
nS n n+= + = − − +
2 1
1 2
2 2 2
2 2 2
n
n n
n nT
n n
+
+
+ + −= − − +
F 2: 2 ( 0)C y px p= > (1, )( 0)P t t > C
| | 2PF =
t p
P C A B
AB 2
5
− AB
ABC∆ AB
2p = 2t = 2 5 0x y+ = 2 2- - 2 2− +
2
5
−
1 22
p+ = 2p =
2 4t = 2t =
PA 1 ( 2)x m y− = − ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y与抛物线方程联立得
由韦达定理得： ，即
类似可得
①直线 的斜率为 ， 或 ，
当 时， 方程为 ，
此时直线 方程是 。同理，当 时，直线 的方程也是 ，
综上所述：直线 的方程是
②
或
或
【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系，考查计算能力.
22.已知函数 ，其中 .
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时， 恒成立，求 的值；
（3）确定 的所有可能取值，使得对任意的 ， 恒成立.
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2） （3）
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，通过当 时，当 时，判断函数的单调性即可．
（2）由（1）及 知 所以 ，令 ，利
用导数求出极值点，转化求解 ．
的
2 4 8 4 0y my m− + − =
12 8 4y m= − 1 4 2y m= −
2
4 2y m
= − −
AB 2 1
2 1 2 1
4y y
x x y y
− =− +
1 2
1 51m m
= = −
− − 2m∴ = − 1
2m =
2m = − PA 1 2( 2)x y− = − − ( )25, 10 , (0,0)A B−
AB 2 5 0x y+ = 1
2m = AB 2 5 0x y+ =
AB 2 5 0x y+ =
1 | | | |2PABS PA PB∆ = ⋅ 2
2
1 1 41 | 4 4 | 1 42 m m m m
= + − + − −
4
2
18 12m
m
−= =
2 2m = 2 1
2m =
1 2 21 1
ABk
m m
= = − −
− − 2 2− +
( ) ln(1 )f x ax x= − + a∈R
( )f x
1x > − ( ) 0f x ≥ a
a 0x ≥ 1( ) 1
xf x ex
−≥ −+
1a = 1a ≥
0a ≤ 0a >
(0) 0f = 0a > 1f 1 1 ln 0a aa
− = − + ≥ ( ) 1 lng a a a= − +
1a =（3）记 ，则 ，说明 ，
由（2 ） ， ，所以 利用放缩法，转化求解即
可．．
【详解】解：（1）
当 时，函数 在 上单调递减
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增
（2）由（1）及 知
所以
令 ，则 ，
所以 ，且等号当且仅当 时成立
若当 时， 恒成立，则
（3）记
则
又 ，故 在 的右侧递增， ，
由（2） ， ，所以
当 时，
综上 取值范围是
【点睛】本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于
等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值
问题．注意放缩法的应用．
的
1( ) ln(1 ) 1
xh x ax x ex
−= − + − ++ 2
1 1( ) 1 (1 )
xh x a ex x
−′ = − + −+ + 1a ≥
1 lna a− ≥ ln(1 )a a≥ + 1 ( )ae a a R> + ∈
1 ( 1)( ) 1 1
ax af x a x x
− − +′ = − =+ +
0a ≤ ( )f x ( 1, )− ∞
0a > ( )f x 11, 1a
− −
1 1,a
− +∞
(0) 0f = 0a >
1 1 1 ln 0f a aa
− = − + ≥
( ) 1 lng a a a= − + 1( ) 1g a a
′ = − + ( ) (1) 0g a g≤ =
1 ln 0a a− + = 1a =
1x > − ( ) 0f x ≥ 1a =
1( ) ln(1 ) 1
xh x ax x ex
−= − + − ++
2
1 1( ) 1 (1 )
xh x a ex x
−′ = − + −+ +
(0) 0h = ( )h x 0x = (0) 0h′ ≥ 1a ≥
1 ln ( 0)a a a− ≥ > ln(1 )( 1)a a a≥ + > − 1( )ae a a R> + ∈
1a ≥ 2
1 1( ) 1 (1 )
xh x a ex x
−′ = − + −+ + 2
1 1 11 1 (1 ) 1x x x
≥ − + −+ + +
211 01 x
= − ≥ +
a 1a ≥
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