2018-2019 学年第二学期高二期末教学质量调测
数学试卷
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1.集合 ， ，若 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
因为 ，所以 ，选 D.
2.双曲线 的焦点到渐近线的距离为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出双曲线的焦点坐标，再求出双曲线的渐近线方程，再求焦点到渐近线的距离.
【详解】由题得双曲线的一个焦点坐标为（4,0），渐近线方程为 即
.
所以焦点到渐近线的距离为 .
故选：D
【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查点到直线的距离的计算，意在考查学生
对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
{0,2, }A a= 2{1, }B a= {0,1,2,4,16}A B = a
0 1 2 4
{ }0,1,2,4,16A B∪ = 4a =
2 2
14 12
x y− =
3 2 3
2 3 3 ,2y x x= =
3 0x y− =
|4 3 0 | 2 3
3+1
− =3.若实数 满足 ，则 的最大值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．
【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
设 得 ，
平移直线 ，
由图象可知当直线 经过点 时，直线 的截距最大，
此时 最大．
由 ，解得 ，即 ，
代入目标函数 得 ．
即目标函数 的最大值为 4．
故选：B．
【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学
思想是解决
x y，
2 0
3
0
x y
x y
x
− ≤
+ ≤
≥
2x y+
2z x y= + 2y x z= − +
2y x z= − +
2y x z= − + B 2y x z= − +
z
2 0
3
x y
x y
− =
+ =
1
2
x
y
=
= (1,2)B
2z x y= + 2 1 2 4z = × + =
2z x y= +此类问题的基本方法．
4.若实数 满足 ，则下列关系中不可能成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，结合对数函数的性质，依次分析选项，综合即可得答案．
【详解】根据题意，实数 ， 满足 ，
对于 ，若 ， 均大于 0 小于 1，依题意，必有 ，故 有可能成立；
对于 ，若 ，则有 ，故 有可能成立；
对于 ，若 ， 均大于 1，由 ，知必有 ，故 有可能成立；
对于 ，当 时， ， ， 不能成立，
故选： ．
【点睛】本题考查对数函数的单调性，注意分类讨论 、 的值，属于中档题.
5.在我国南北朝时期，数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则
积不容异”．其意思是，用一组平行平面截两个几何体，若在任意等高处的截面面积都对应相
等，则两个几何体的体积必然相等．根据祖暅原理，“两几何体 A、B 的体积不相等”是“A、
B 在等高处的截面面积不恒相等”的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充要 D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】
先阅读题意，再由原命题与其逆否命题的真假及充分必要条件可得解
【详解】由已知有”在任意等高处 截面面积都对应相等”是“两个几何体的体积必然相等“的的
a b， log 2 log 2a b
<
0 1b a< < < 0 1a b< < < 1a b> >
0 1b a< < <
a b log 2 log 2a b
<
A a b 0 1b a< < < A
B log 2 0 log 2b a
> > 0 1a b< < < B
C a b log 2 log 2a b
< 1a b> > C
D 0 1b a< < < log 2 0a
> log 2 0b
< log 2 log 2a b
<
D
a b充分条件不必要条件，结合原命题与其逆否命题的真假可得：
“两几何体 A、B 的体积不相等”是“A、B 在等高处的截面面积不恒相等”的充分不必要条件，
故选：A．
【点睛】本题考查了阅读能力、原命题与其逆否命题的真假及充分必要条件，属中档题。
6.函数 与 在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由二次函数 中一次项系数为 0，我们易得函数 的图象关于 轴对称，
然后分当 时和 时两种情况，讨论函数 的图象与函数 的图
象位置、形状、顶点位置，可用排除法进行解答．
【详解】由函数 中一次项系数为 0，我们易得函数 的图象关于 轴对
称，可排除 ；
当 时，函数 的图象开口方向朝下，顶点 点在 轴下方，函数
的图象位于第二、四象限，可排除 ；
时，函数 的图象开口方向朝上，顶点 点在 轴上方，可排除 A；
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是函数的表示方法(图象法)，熟练掌握二次函数及反比例函数图
2y ax a= + ( 0)ay ax
= ≠
2y ax a= + 2y ax a= + y
0a > 0a < 2y ax a= + ( 0)ay ax
= ≠
2y ax a= + 2y ax a= + y
D
0a < 2y ax a= + (0, )a x
( 0)ay ax
= ≠ B
0a > 2y ax a= + (0, )a x象形状与系数的关系是解答本题的关键．
7.已知圆 的圆心为 ，点 是直线 上的点，若圆
上存在点 使 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
问题转化为 到直线 的距离 .
【详解】如图所示：过 作圆 的切线 ，切点为 ，则 ，
，即 有解，
，则 到直线 的距离 ，
，解得 ，
故选： ．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．
8.已知椭圆 与双曲线 有相同的焦
2 2( 1) 12x y+ + = C P : 5 4 0l mx y m− − + = C
Q 60CPQ °∠ = m
30 301 ,16 6
− +
30 30,1 1 ,6 6
−∞ − + +∞
120, 5
12( ,0] ,5
−∞ +∞
C l 4d
P C PR R CPQ CPR∠ ∠
2 3sin60 sin CRCPR CP CP
∴ ° ∠ = = 4CP
4minCP∴ C l 4d
∴
2
| 0 5 4 | 4
1
m m
m
− − − +
+
120 5m
C
2 2
1 2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > >
2 2
2 2 2: 1( 0, 0)x yC m nm n
− = > >点 ，点 是两曲线的一个公共点，且 ，若椭圆离心率 ，则双曲
线 的离心率 （ ）
A. B. C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
设 ， ，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得 ， ，再由余弦定理，可得 ，
与 的关系，结合离心率公式，可得 ， 的关系，计算可得所求值．
【详解】设 ， ， 为第一象限的交点，
由椭圆和双曲线的定义可得 ， ，
解得 ， ，
在三角形 中， ，
可得 ，
即有 ，
可得 ，
即为 ，
由 ，可得 ，
故选： ．
【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，主要是离心率，考查解三角形的余弦定理，
考查化简整理的运算能力，属于中档题．
9.在 中， ， ，现将 绕 所在直线旋转至 ，设二
面角 的大小为 ， 与平面 所成角为 ， 与平面 所成角为 ，
1 2F F， P 1 2 60F PF °∠ =
1
2
2e =
2C 2e =
7
2
6
2
1| |PF s= 2| |PF t= s t a
m c 1e 2e
1| |PF s= 2| |PF t= P
2s t a+ = 2s t m− =
s a m= + t a m= −
1 2F PF 1 2 60F PF∠ = °
2 2 2 2 2 2 2 2 24 2 cos60 2 2 ( )c s t st a m am a m am a m= + − ° = + + + + − − −
2 2 23 4a m c+ =
2 2
2 2
3 4a m
c c
+ =
2 2
1 2
1 3 4e e
+ =
1
2
2e = 2
6
2e =
B
ABC∆
2ACB
π∠ = AC BC= ABC∆ BC PBC∆
P BC A− − θ PB ABC α PC PAB β若 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意画出图形，由线面角的概念可得 的范围，得到 正确，取特殊情况说明 ， ，
错误．
【详解】如图，
为等腰直角三角形， ，将 绕 所在直线旋转至 ，则 ，
可得 平面 ， 二面角 的大小 ，
是平面 的一条斜线，则 与平面 垂直时， 与平面 所成角最大，则
的范围为 ， ，故 正确；
此时 ，故 错误；
当 与平面 垂直时，三棱锥 满足 ， ， ，
，
则 ，设 ，则 ， 在平面 的射影为
的中心，
求得 ，即 与平面 所成角 的余弦值 ，则 ，故 错
误；
当 无限接近 0 时， 无限接近 ， ，故 错误．
综上，正确的选项是 ．
0 θ π< <
α θ> β θ< 0 4
πα< ≤
4 2
π πβ< <
α C A B D
ABC∆ AC BC= ABC∆ BC PBC∆ PC BC⊥
BC ⊥ PAC ∴ P BC A− − ACPθ = ∠
PB ABC PC ABC PB ABC
α (0 ]4
π
C
α θ< A
PC ABC C PAB− CA CB⊥ CA CP⊥ CB CP⊥
CA CB CP= =
PA PB AB= = 1AC BC= = 2PA PB AB= = = C PAB PAB∆
6
3OP = PC PAB β 6 2cos 3 2
β = >
4
πβ < D
θ β
4
π β θ> B
C故选： ．
【点睛】本题考查空间角及其求法，考查空间想象能力与思维能力，属难题．
10.已知数列 满足 ， ， ，设 为数列 的前 项之和，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由 可知数列 为等差数列且公差为 ，然后利用等差数列求和公式代入计算
即可。
【 详 解 】 由 可 知 数 列 为 等 差 数 列 且 公 差 为 ， 所 以
故选 ．
【点睛】本题主要考查等差数列的概念及求和公式，属基础题。
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分，共 36 分．
11. ___________， _____________．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
利用诱导公式，对数的运算性质即可求解．
【详解】 ；
．
故答案为： ，9．
C
{ }na 1
1
2a = 11n na a += + *n N∈ nS { }na n
19S =
323
2
− 324
2
− 323
2
361
2
11n na a += + { }na 1−
11n na a += + { }na 1−
19 1
19 18 1 19 18 32319 192 2 2 2S a d
× ×= + = × − = −
A
17sin 6
π = 22log 32 =
1
2 9
17 1sin sin(3 ) sin6 6 6 2
π π ππ= − = =
2
2 2 22log 3 3 92 2 2 9log log= = =
1
2【点睛】本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值以及对数的运算，考查了转化思想，
属于基础题．
12.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为_________．
【答案】 (1). 8 (2). 32
【解析】
【分析】
由三视图还原原几何体，该几何体为三棱锥，底面 为直角三角形， ，
， ， ，侧棱 底面 ，且 ．然后由三棱锥体积公式与
表面积公式求解．
【详解】由三视图还原原几何体如图，
该几何体为三棱锥，底面 为直角三角形， ，
， ， ，侧棱 底面 ，且 ．
则 ；
表面积为 ．
故答案为：8；32．
ABC AC BC⊥
4AC = 3BC = 5AB = PB ⊥ ABC 4PB =
ABC AC BC⊥
4AC = 3BC = 5AB = PB ⊥ ABC 4PB =
1 1 3 4 4 83 2P ABCV − = × × × × =
1 1 1 13 4 5 4 3 4 4 5 322 2 2 2S = × × + × × + × × + × × =【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．
13.已知 ，复数 且 （ 为虚数单位），则 __________，
_________．
【答案】 (1). (2).
【解析】
∵复数 且
∴
∴
∴
∴ ，
故答案为 ，
14.在 中， 在边 上， 平分 ，若 ， ，且 ，
则 ________， 的面积为_________．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
设 ，则 ，由角平分线的性质可得 ，由余弦定理可解得 ，
可 得 的 值 ， 由 余 弦 定 理 可 求 ， 结 合 范 围 ， 可 求 ，
，利用三角形的面积公式即可求得 ．
【详解】由题意，如图，设 ，则 ，
,a b∈R z a i= − 11
z bii
= ++ i ab = z =
6ab = − 10z =
z a i= − 11
z bii
= ++
( )(1 ) ( 1) ( 1) 11 2 2
a i a i i a a i bii
− − − − − += = = ++
1 12{ 1
2
a
a b
− =
+− =
3{ 2
a
b
=
= −
6ab = − 2 23 ( 1) 10z = + − =
6− 10
ABC∆ D AB CD ACB∠ 2AC = 1BC = 2 33CD =
AB = ABC∆
3 3
2
BD x= 2AD x= ACD BCD∠ = ∠ x
AB 1cos 2C = (0, )C π∈
3C
π=
3sin 2C = ABCS∆
BD x= 2AD x=由于 ，
所以，由余弦定理可得： ，
即： ，解得： ，
可得： ， ， ．
由于 ，
又 ，
可得： ， ，
可得： ．
故答案为： ， ．
点睛】本题主要考查了角平分线的性质，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合
应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
15.已知正数 满足 ，则 的最小值____________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据条件可得 ，然后利用基本不等式求解即可．
【
ACD BCD∠ = ∠
2 2 2 2 2 2
2 2
AC CD AD CD BC BD
AC CD CD BC
+ − + −=
2 2 2 22 3 2 34 ( ) 4 ( ) 13 3
2 3 2 32 2 2 13 3
x x+ − + −
=
× × × ×
3
3x =
3
3BD = 2 3
3AD = 3AB AD DB= + =
2 2 2 4 1 3 1cos 2 2 2 1 2
AC BC ABC AC BC
+ − + −= = =× ×
(0, )C π∈
3C
π= 3sin 2C =
1 1 3 3sin 2 12 2 2 2ABCS AC BC C∆ = = × × × =
3 3
2
x y， 2 3x y+ = 2 1
2
y
x y
+
1 2 3
3
+
2 1 2 2 2 1
2 6 6 3
y y x y y x
x y x y x y
++ = + = + +【详解】 ，
，
当且仅当 ，即 时取等号，
的最小值为 ．
故答案为： ．
点睛】本题考查了基本不等式及其应用，关键掌握“1“的代换，属基础题．
16.已知平面向量 ， ， 满足 ， ， ，则 的最大值为
___________．
【答案】
【解析】
【分析】
只有不等号左边有 ，当 为定值时，相当于存在 的一个方向使得不等式成立．
适当选取 使不等号左边得到最小值，且这个最大值不大于右边．
【详解】当 为定值时， 当且仅当 与 同向时取最小值，
此时 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，
所以
所以 ，当且仅当 且 与 同向时取等号．
故答案为： ．
【
2 3x y+ =
∴ 2 1 2 2
2 6
y y x y
x y x y
++ = +
2 1 2 126 3 6 3
y x y x
x y x y
= + + +
1 2 3
3
+=
2
6
y x
x y
= 9 3 3 3 3 3,2 4x y
− −= =
∴ 2 1
2
y
x y
+ 1 2 3
3
+
1 2 3
3
+
a b c | | 1a = 1b| |= | ( ) | | |c a b a b− + ≤ − | |c
2 2
c | |c c
c
| |c | ( ) |c a b− + c a b+
| ( ) | | | | | | |c a b c a b a b− + = − + −
| | | | | |c a b a b+ + −
| | | | 1a b= = 2 2 2 2( ) ( ) 2( ) 4a b a b a b+ + − = + =
2 2 2 2 2(| | | |) ( ) ( ) 2 | | | | 2[( ) ( ) ] 8a b a b a b a b a b a b a b a b+ + − = + + − + + − + + − =
| | | | | | 2 2c a b a b+ + − a b⊥ c a b+
2 2【点睛】本题考察平面向量的最值问题，需要用到转化思想、基本不等式等，综合性很强，
属于中档题．
17.已知函数 有四个零点，则实数 的取值范围是
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可知 是偶函数，根据对称性问题转化为直线 与曲线 有
两个交点.
【详解】因为 是偶函数，根据对称性， 在 上有两个不同的实
根 ， 即 在 上 有 两 个 不 同 的 实 根 ， 等 价 转 化 为 直 线 与 曲 线
有 两 个 交 点 ， 而 ， 则 当 时 ，
，当 时， ，所以函数 在 上是减函数，在 上是增函
数，于是 ，故
故答案为：
【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用 方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结
合求解．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的最大值，并求 取最大值时 的取值集合；
的
( ) 4 2
4 2
3 , 0,
3 , 0,
x x ax xf x
x x ax x
− − >= − +
( )f x 4 23 0x x ax− − = ( )0, ∞+
3 3a x x= − ( )0, ∞+ y a=
( )3 3 0y x x x= − > ( )( )2' 3 3 3 1 1y x x x= − = + − 0 1x< <
' 0y < 1x > ' 0y > 3 3y x x= − ( )0,1 ( )1,+∞
min 1 02, 0x xy y y= =
= = − = ( )2,0 .a∈ −
( )2,0−
2( ) sin cos 3cos3 3 3
x x xf x = +
( )f x ( )f x x（Ⅱ）若 且 ，求 ．
【答案】（Ⅰ） ， （Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数 的解析式，再根据正弦函数的最值，求出 取最大
值时 的取值集合．（Ⅱ）根据 且 ，求得 ，再利用
两角差的余弦公式求出 ．
【详解】（Ⅰ）
∴ ，由 ，得
（Ⅱ）由 得，得
若 ，则 ，
所以 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的最值，两角和差的三角公式的应用，属于
中档题．
19.如图，四核锥 中， ， 是以 为底的等腰直角
三角形， ， 为 中点，且 ．
3 3 2 3( )2 4f α += (0, )α π∈ cosα
3( ) 1 2f x = + x∈ | 3 ,4x x k k z
ππ = + ∈
3 3 7
8
−
( )f x ( )f x
x 3 3 2 3( )2 4f a
+= (0, )α π∈ 3sin( )3 4
πα + =
cosα
1 2 3 2( ) sin (1 cos )2 3 2 3
x xf x = + + =
1 2 3 2 3 2 3sin cos sin( )2 3 2 3 2 3 3 2
x x x π+ + = + +
3( ) 1 2f x = + 2 23 3 2
x k
π ππ+ = + x∈ | 3 ,4x x k k z
ππ = + ∈
3 3 3 2 3( ) sin( )2 3 2 4f
πα α += + + = 3sin( )3 4
πα + =
0 2
πα< ≤ 3sin( ) sin3 3 2
π πα + < =
( , )3 2
π πα π+ ∈
3 3 7cos cos( ) cos( )cos sin( )sin3 3 3 3 3 3 8
π π π π π πα α α α −= + − = + + + =
P ABCD− 90ABC BCD °∠ = ∠ = PAD∆ AD
2 2 4AB BC CD= = = E BC 11PE =（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ） 过 作 垂线，垂足为 ，由 得， ．又 ，
可得 平面 ，即可证明．（Ⅱ）易得 到平面 距离等于 到平面 距
离．过 作 垂线，垂足为 ，在 中，过 作 垂线，垂足为 ，可证得：
平面 ．求得： ，从而 ，即可求解.
【详解】(Ⅰ) 过 作 垂线，垂足为 ，由 得， ．
又 ，∴ 平面 ，
∴平面 平面 ；
（Ⅱ）∵ ，∴ 到平面 距离等于 到平面 距离．
过 作 垂线，垂足为 ，在 中，过 作 垂线，垂足为 ，
可证得： 平面 ．
求得： ，从而 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
PAD ⊥ ABCD
PE PAB
66
33
P AD F 2 2 2PE PF FE= + 90PFE∠ = ° PF AD⊥
PF ⊥ ABCD E PAB F PAB
F AB G PFG∆ F PG Q FQ ⊥
PAB 6
3FQ = 66sin 33
FQ
PE
θ = =
P AD F 2 2 2PE PF FE= + 90PFE∠ = °
PF AD⊥ PF ⊥ ABCD
PAD ⊥ ABCD
/ /EF AB E PAB F PAB
F AB G PFG∆ F PG Q
FQ ⊥ PAB
6
3FQ = 66sin 33
FQ
PE
θ = =
PE PAB 66
33【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的求解、是中档题．
20.己知数列 中， ，其前 项和 满足： ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）令 ，数列 的前 项和为 ，证明：对于任意的 ，都有
．
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由 ，可得 ，即数列 时以 1 为首项公比为 2 的
等比数列，即可求解．（Ⅱ） ，当 时，
，当 时， ，即有 ．
【详解】（Ⅰ）由 ，于是，
当 时, ，
即 ，
，∵ ，数列 为等比数列，
∴ ，即 ．
{ }na 1 2a = n nS 2 3n nS a n= + −
{ }na
( 1)
1
n
n n
b a a
= − { }nb n nT *n N∈
5
6nT <
12 1n
na −= +
2 3n nS a n= + − 11 2( 1)n na a −− = − { 1}na −
1 1 1 1 1
1 1 1 1 ( 2)( 1) 2 (2 1) 2 2 4n n n n n n
n n
b na a − − − − −= = < =− + 2n
2 1
1
1 1 1 1 1 1 1 54
12 4 4 4 2 2 3 61 4
n nT −< + + +…+ < + = + =
−
1n = 1
1 5
2 6T = < 5
6nT <
2 3n nS a n= + −
2n ≥ 1 12 2 1n n n n na S S a a− −= − = − +
12 1n na a −= −
11 2( 1)n na a −− = − 1 1 1a − = { 1}na −
11 2n
na −− = 12 1n
na −= +（Ⅱ） ，
∴当 时， ，
当 时， 显然成立，
综上，对于任意的 ，都有 ．
【点睛】本题考查了数列的递推式，等比数列的求和、放缩法，属于中档题．
21.己知抛物线 的顶点在原点，焦点为 ．
（Ⅰ）求抛物线 的方程；
（Ⅱ） 是抛物线 上一点，过点 的直线交 于另一点 ，满足 与 在点 处的切线
垂直，求 面积的最小值，并求此时点 的坐标。
【 答 案 】（Ⅰ ） （ Ⅱ ） 面 积 的 最 小 值 为 ， 此 时 点 坐 标 为
．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设抛物线 的方程是 ，根据焦点为 的坐标求得 ，进而可得抛物线的方
程．
（Ⅱ）设 ，进而可得抛物线 在点 处的切线方程和直线 的方程，代入抛物线方
1 1 1 1 1
1 1 1 1 ( 2)( 1) 2 (2 1) 2 2 4n n n n n n
n n
b na a − − − − −= = < = ≥− + ⋅
2n ≥ 2 1
1
1 1 1 1 1 1 1 54
12 4 4 4 2 2 3 61 4
n nT −< + + +⋅⋅⋅+ < + = + =
−
1n = 1
1 5
2 6T = <
*n N∈ 5
6nT <
C (0,1)F
C
P C P C Q PQ C P
PFQ∆ P
2 4x y= PFQ∆ 32 3
9
P
2 3 1( , )3 3
±
C 2x ay= F a
2(2 , )P t t C P PQ程根据韦达定理可求得 ，从而 ，又点 到直线
的距离 ，可得 ．利用导数求解．
【详解】（Ⅰ）设抛物线 的方程是 ，则 ， ，
故所求抛物线 的方程为 ．
（Ⅱ）设 ，由抛物线方程为 ，得 ，则 ，
∴直线 方程为： ，
联立方程 ，得 ，
由 ，得 ，
从而 ，
又点 到直线 的距离 ，
∴ ．
令 ，则 ，
则 ，
∴ 在 上递减，在 上递增，∴ ，
面积的最小值为 ，此时点 坐标为 ．
【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程以及抛物线与直线的关系，考查了函数思想，属于
Qx 2
2
1 4| | 1 | | 1 | 4 |PQ P QPQ k x x tt t
= + − = + + F PQ
2
2
| 1|
11
td
t
+=
+
2 21 ( 1)| | 22 | |PFQ
tS PQ d t∆
+= =
C 2x ay= 14
a = 4a =
C 2 4x y=
2(2 , )P t t
2
4
xy =
2
xy′ = 1
PQk t
= −
PQ 2 1( 2 )y t x tt
− = − −
2
2
1( 2 )
4
y t x tt
x y
− = − −
=
2 24 4 8 0x x tt
+ − − =
4
p Qx x t
+ = − 4 2Qx tt
= − −
2
2
1 41 1 4PQ P QPQ k x x tt t
= + − = + +
F PQ
2
2
1
11
t
d
t
+
=
+
2 21 ( 1)22PFQ
tS PQ d t∆
+= ⋅ =
, 0t x x= > 2 2
3( 1) 1( ) 2xf x x xx x
+= = + +
4 2 2 2
2
2 2 2
1 3 2 1 (3 1)( 1)( ) 3 2 x x x xf x x x x x
+ − − += + − =′ =
( )f x 3(0, )3
3( , )3
+∞ min
3 16 3( ) ( )3 9f x f= =
PFQ∆ 32 3
9
P 2 3 1( , )3 3
±中档题．
22.已知函数 ， ， ．
（Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）设 是 的导函数，函数 ，求 在
时的最小值．
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求函数的导数，当 时，利用点斜式可求曲线 在点 ， （1） 处的切
线方程；（Ⅱ）分别讨论 ，利用数形结合法，求函数 的单调性
可得函数的最值．
【详解】（Ⅰ）当 时， ， ，
∴ ，又
∴曲线 在点 处的切线方程为： ．
（Ⅱ） ， ，
由 得：
， ， ，
得当 ， ．
时， ， 在 单调递增，∴ ；
2( ) ( )f x x x a= − x∈R 2 2a− ≤ ≤
1a = ( )y f x= (1, (1))f
( )f x′ ( )f x ( ), ( ) ( )( ) ( ), ( ) ( )
f x f x f xg x f x f x f x
≥= <
′ ′
′ ( )g x [ ]2,2x∈ −
1y x= −
2
min
, 2 6 2 15( ) 3
8 4 ,6 2 15 2
a ag x
a a
− − ≤ ≤ −=
− − − < ≤
1a = ( )y f x= (1 f )
a ( ), ( ) ( )( ) ( ), ( ) ( )
f x f x f xg x f x f x f x
= <
′
′
′
1a = 2( ) ( 1)f x x x= − 2( ) 3 2f x x x=′ −
(1) 1f ′ = (1) 0f =
(1, (1))f (1, (1))f 1y x= −
3 2( )f x x ax= − 2( ) 3 2f x x ax′ = −
2( ) ( ) ( ( 3) 2 ) 0f x f x x x a x a− + +′= ⇒ =
2
1
3 2 9
2
a a ax
+ − − +=
2
2
3 2 9
2
a a ax
+ + − += 3 0x =
2 2a− ≤ ≤ 2
2
3 2 9 22
a a ax
+ + − += >
0a = 3( )g x x= ( )g x [ ]2 2− , min( ) ( 2) 8g x g= − = −②当 时，可得 ， ，
∴ 单调递增， 单调递减， 单调递增，
；
③当 时，可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 在 单调递增， 单调递减， 单调递增， 单调递减，
单调递增，
∴
在
2 0a− ≤ < 12 03
aa x− ≤ < < <
1
1
( ), [ 2, ]
( ) ( ), ( ,0)
( ), [0,2]
f x x x
g x f x x x
f x x
∈ −
= ∈
∈
′
( )g x [ ]12, x− 1, 3
ax
,23
a
{ {
2
2
min
, 2 6 2 15( ) min ( 2), ( ) min 8 4 , 33 3 8 4 ,6 2 15 0
a aa ag x f f a
a a
− − ≤ ≤ − = − = − − − = − −
′
− < = = −极小 极小
1
1
( ), [ 2,0]
( ) ( ), (0, )
( ), [ ,2]
f x x
g x f x x x
f x x x
∈ −
= ∈
∈
′
( )g x [ ]2,0− 0, 3
a
1,3
a x
1
2, 3x a
2 ,23 a
{ { { 2
min
2( ) min ( 2), ( ), ( ) min ( 2), ( ) min 8 4 ,3 3 3 3
a a ag x f f f a f f a
= − = − = − − −
′
′
，
综上， ．
【点睛】本题考查了导数的综合应用问题，函数曲线的切线，函数的最值，属于难题．
8 4a= − −
2
min
, 2 6 2 15( ) 3
8 4 ,6 2 15 2
a ag x
a a
− − ≤ ≤ −=
− − − < ≤
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