2019 年春期高中二年级期终质量评估数学试题（文）
第Ⅰ卷 选择题（共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1.复数 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
把复数的分子分母同时乘以 1-i, ，
．故选 A.
考点：复数的除法运算．
【详解】
2.在集合{a，b，c，d}上定义两种运算 和 如下：
那么 d
A. a B. b C. c D. d
【答案】A
【解析】
23
1
i
i
− = +
3 4i− − 3 4i− + 3 4i− 3 4i+
3
1
i
i
−
+
(3 )(1 ) 1 2(1 )(1 )
i i ii i
− −= = −+ −
( )2
23 1 2 3 41
i i ii
− = − = − − +
⊕ ⊗
⊗ ( )a c⊕ =
d ⊗ ( )a c⊕ = d c a⊗ =3.相关变量 的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中
所有数据，得到线性回归方程 ，相关系数为 ；方案二：剔除点 ，根据剩
下数据得到线性回归直线方程： ，相关系数为 .则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相关系数的意义：其绝对值越接近 ，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义
作判断.
【详解】由散点图得负相关，所以 ，因为剔除点 后，剩下点数据更具有线性
相关性， 更接近 ，所以 .选 D.
【点睛】本题考查线性回归分析，重点考查散点图、相关系数，突显了数据分析、直观想象
的考查.属基础题.
4.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数 、 、 中至多有一个是偶数”的正确假设为
（ ）
A. 自然数 、 、 中至少有一个是偶数 B. 自然数 、 、 中至少有两个是偶
数
C. 自然数 、 、 都是奇数 D. 自然数 、 、 都是偶数
【答案】B
,x y
1 1y b x a= + 1r (10,21)
2 2y b x a= + 2r
1 20 1r r< < <
2 10 1r r< < <
1 21 0r r− < < <
2 11 0r r− < < <
1
1 2, 0r r < ( )10,21
r 1 2 11 0r r− < < <
a b c
a b c a b c
a b c a b c【解析】
【分析】
对结论进行否定可得出正确选项.
【详解】“自然数 、 、 中至多有一个是偶数”其意思为“三个自然数 、 、 中全是
奇数或一个偶数两个奇数”，其否定为“三个自然数 、 、 中两个偶数一个奇数或全是偶
数”，
即“自然数 、 、 中至少有两个是偶数”，故选：B.
【点睛】本题考查反证法的基本概念的理解，考查命题的否定，同时要熟悉“至多 个 ”
与“至少 个 ”互为否定，考查对概念的理解，属于中等题.
5.在复平面内，复数 （ 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数的除法和复数的乘方运算将复数 表示为一般形式，可得出其共轭复数，从而得出复
数 对应的点所在的象限.
【 详 解 】 ，
.
因此，复数 的共轭复数对应的点位于第四象限，故选：D.
【点睛】本题考查复数的除法与乘方运算，考查共轭复数以及复数的对应的点，解题的关键
就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式进行求解，考查计算能力，属于基础题.
6.观察下列各式：a+b=1.a2+b2=3，a3+b3=4 ，a4+b4=7,a5+b5=11,…，则 a10+b10=（ ）
A. 28 B. 76 C. 123 D. 199
【答案】C
【解析】
详解】由题观察可发现，【
a b c a b c
a b c
a b c
n
1n +
20192
1
iz ii
= −+ i
z
z
( )
( )( ) ( )201 4 504 39 32 1 1 1 12 21 11
i i iiz i i i ii i i ii i
× +−= − = − − = + + = ++= −+ −
1 2z i∴ = −
z，
，
，
即
故选 C.
考点：观察和归纳推理能力.
7.若点 的直角坐标为 ，则它的极坐标可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设点 的极坐标为 ，计算出 和 的值，结合点 所在的象限求出
的值，可得出点 的极坐标.
【 详 解 】 设 点 的 极 坐 标 为 ， 则 ，
.
由于点 位于第四象限，所以， ，因此，点 的极坐标可以是 ，故选：A.
【点睛】本题考查点的直角坐标化极坐标，要熟悉点的直角坐标与极坐标互化公式，同时还
要结合点所在的象限得出极角的值，考查运算求解能力，属于中等题.
8.下列说法：①对于独立性检验， 的值越大，说明两事件相关程度越大；②以模型
去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 ，将其变换后得到线性方程 ，
,
3 4 7,4 7 11,7 11 18+ = + = + =
11 18 29,18 29 47+ = + =
29 47 76,47 76 123+ = + =
10 10 123a b+ =
P ( )1, 3−
52, 3
π
42, 3
π
72, 6
π
112, 6
π
P ( ) ( ), 0 2ρ θ θ π≤ < ρ tanθ P θ
P
P ( ) ( ), 0 2ρ θ θ π≤ < ( )221 3 2ρ = + − =
3tan 31
θ −= = −
P 5
3
πθ = P
52, 3
π
2χ kxy ce=
lnz y= 0.3 4z x= +则 ， 的值分别是 和 ；③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直
线方程 中， ， ， ，则 ；④通过回归直线 及回归系
数 ，可以精确反映变量的取值和变化趋势，其中正确的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据独立性检验、非线性回归方程以及回归直线方程相关知识进行判断.
【详解】对于命题①，根据独立性检验的性质知，两个分类变量 越大，说明两个分类变量
相关程度越大，命题①正确；
对于命题②，由 ，两边取自然对数，可得 ，
令 ，得 ， ，所以 ，则 ，命题②正确；
对于命题③，回归直线方程 中， ，命题③正确；
对于命题④，通过回归直线 及回归系数 ，可估计和预测变量的取值和变化趋势，
命题④错误.故选：C.
【点睛】本题考查了回归直线方程、非线性回归方程变换以及独立性检验相关知识，考查推
理能力，属于中等题.
9.已知具有线性相关关系的变量 、 ，设其样本点为 ，回归直线方
程为 ，若 ，（ 为原点），则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
计算出样本中心点 的坐标，将该点坐标代入回归直线方程可求出实数 的值.
c k 4e 0.3
y a bx= + 2b = 1x = 3y = 1a = y bx a= +
b
1 2 3 4
2χ
kxy ce= ln lny c kx= +
lnz y= lnz kx c= + 0.3 4z x= +
ln 4
0.3
c
k
=
=
4
0.3
c e
k
=
=
y a bx= + 3 2 1 1a y bx= − = − × =
y bx a= + b
x y ( )( ), 1,2, ,8i i iA x y i = ⋅⋅⋅
1
2y x a= + ( )1 2 8 6,2OA OA OA+ +⋅⋅⋅+ = O a =
1
4
1
4
− 1
8
1
8
−
( ),x y a【 详 解 】 由 题 意 可 得 ， ， 将 点 的 坐 标 代 入 回 归 直 线 方 程 得
，
解得 ，故选：D.
【点睛】本题考查利用回归直线方程求参数的值，解题时要熟悉“回归直线过样本中心点
”这一结论的应用，考查运算求解能力，属于基础题.
10.在直角坐标系 中，曲线 的方程为 ，以坐标原点 为极点， 轴正半轴
为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ，射线 的极坐标方程为
.设射线 与曲线 、直线 分别交于 、 两点，则 的最大值为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：先由曲线 的直角坐标方程得到其极坐标方程为 ，设 、 两点
坐标为 ， ，将射线 的极坐标方程为 分别代入曲线 和直线 的极坐
标方程，得到关于 的三角函数，利用三角函数性质可得结果.
详解：∵曲线 的方程为 ，即 ，
∴曲线 的极坐标方程为
设 、 两点坐标为 ， ，
联立 ，得 ，同理得 ，
6 3
8 4x = = 2 1
8 4y = = ( ),x y
1 3 1
2 4 4a× + =
1
8a = −
( ),x y
xOy C
2 2
16 2
x y+ = O x
l cos( ) 36
πρ θ + = M
( 0)θ α ρ= ≥ m C l A B 2 2
1 1
OA OB
+
3
4
2
5
2
3
1
3
C ( )2 21+2sin 6ρ θ = A B
( )1,ρ θ ( )2 ,ρ θ M θ α= C l
α
C
2 2
16 2
x y+ = 2 23 6x y+ =
C ( )2 21+2sin 6ρ θ =
A B ( )1,ρ θ ( )2 ,ρ θ
( )2 21+2sin 6ρ θ
θ α
=
=
2
2
1
1 1 2sin
6
θ
ρ
+=
2
2
2
cos1 6
3
πθ
ρ
+ =根据极坐标的几何意义可得
，即可得其最大值为 ，故选 C.
点睛：本题考查两线段的倒数的平方和的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程的互化等基
础知识，考查运算求解能力，充分理解极坐标中 的几何意义以及联立两曲线的极坐标方程
得到交点的极坐标是解题的关键，是中档题．
11.执行如图的程序框图，如果输入 ，那么输出的 （ ）
A.
B.
C.
D.
2
2
2 2 2 2
1 2
cos1 1 1 1 1 2sin 6
6 3OA OB
πθθ
ρ ρ
+ + + = + = +
1+1 cos2 1 cos 2 3 sin 23 6
6 6
π πθ θ θ − + + + − + =
2
3
ρ
10N = S =
1 1 11 2 3 10
+ + + +
1 1 11 1 2 1 2 3 1 2 3 10
+ + + +× × × × × × ×
1 1 11 2 3 11
+ + + +
1 1 11 1 2 1 2 3 1 2 3 11
+ + + +× × × × × × × 【答案】B
【解析】
分析：由题意结合流程图运行程序即可确定程序的输出结果.
详解：结合所给的流程图运行程序如下：
首先初始化数据： ，
第一次循环： ， , ，此时不满足 ；
第二次循环： ， , ，此时不满足 ；
第三次循环： ， , ，此时不满足
；
一直循环下去，
第十次循环： ，
, ，此时满足 ，跳出循环.
则输出的 .
本题选择 B 选项.
点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路
(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．
(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．
(3)按照题目的要求完成解答并验证．
12.某中学为提升学生的数学学习能力，进行了主题分别为“运算”、“推理”、“想象”、“建
模”四场竞赛.规定：每场竞赛前三名得分分别为 、 、 （ ，且 、 、
），选手的最终得分为各场得分之和.最终甲、乙、丙三人包揽了每场竞赛的前三名，
在四场竞赛中，已知甲最终得分为 分，乙最终得分为 分，丙最终得分为 分，且乙在“运
算”这场竞赛中获得了第一名，那么“运算”这场竞赛的第三名是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 甲和丙都
有可能
【答案】C
10, 1, 0, 1N k S T= = = =
1TT k
= = 1S S T= + = 1 2k k= + = k N>
1
1 2
TT k
= = ×
11 1 2S S T= + = + × 1 3k k= + = k N>
1
1 2 3
TT k
= = × ×
1 11 1 2 1 2 3S S T= + = + +× × × 1 4k k= + =
k N>
1
1 2 3 10
TT k
= = × × × ×
S S T= + = 11 1 2
+ ×
1
1 2 3
+ × × + +
1
1 2 3 10× × × ×
1 11k k= + = k N>
1 1 11 1 2 1 2 3 1 2 3 10S = + + + +× × × × × × ×
a b c a b c> > a b
c N ∗∈
15 7 10【解析】
【分析】
总 分 为 ， 得 出 ， 只 有 两 种 可 能 或
，再分类讨论，能得出结果.
【详解】总分为 ，可得 ，
只有两种可能 或 .
若 、 、 的值分别为 、 、 ，若乙在“运算”中得到第一名，得 分，即使他在剩下
的三场比赛中全得到第三名，得分总数为 ，不合乎题意.
、 、 的值分别为 、 、 ，乙的得分组成只能是“运算”、“推理”、“想象”、“建
模”分别得分 、 、 、 分，即乙在“运算”中得到第一名，其余三项均为第三名.
由于甲得分为 分，其得分组成只能是“运算”、“推理”、“想象”、“建模”分别得分 、
、 、 分，在“运算”比赛中，甲、乙、丙三人得分分别是 、 、 分.
因此，获得“运算”这场竞赛的第三名只能是丙，故选：C.
【点睛】本题考查“运算”这场竞赛的第三名获奖学生的判断，考查简单的合情推理等基本
性质，考查运算求解能力与推理能力，属于难题.
第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.一次数学考试后，甲，乙，丙，丁四位同学一起去问数学考试成绩，数学老师对他们说：
甲乙两位同学考试分数之和与丙丁两位同学考试分数之和相等；乙同学考试分数介于丙丁两
位同学考试分数之间；丙同学考试分数不是最高的；丁同学考试分数不是最低的.由此可以判
断分数最高的同学是__________．
【答案】丁
【解析】
分析：由甲乙两位同学考试分数之和与丙丁两位同学考试分数之和相等，将四人分数从大到
小排列可得甲，乙在两端或丙，丁在两端，再结合乙同学考试分数介于丙丁两位同学考试分
数之间可得丙丁在两端，最后根据丙同学考试分数不是最高的可得最高分的同学为丁.
详解：将四人分数从大到小排列，
∵甲乙两位同学考试分数之和与丙丁两位同学考试分数之和相等，
( )4 15 7 10 32a b c+ + = + + = 8a b c+ + = 5 2 1> >
4 3 1> >
( )4 15 7 10 32a b c+ + = + + = 8a b c+ + =
5 2 1> > 4 3 1> >
a b c 5 2 1 5
5 1 1 1 8 7+ + + = >
a∴ b c 4 3 1
4 1 1 1
15 3
4 4 4 3 4 1∴甲，乙在两端或丙，丁在两端，即甲乙最大或最小、丙丁最大或最小
又∵乙同学考试分数介于丙丁两位同学考试分数之间，∴丙丁最大或最小
又∵丙同学考试分数不是最高的，丁同学考试分数不是最低的
∴分数最高的同学是丁，故答案为丁.
点睛：本题考查简单的合理推理，考查推理论证能力等基础知识，解答此题的关键是逐条进
行分析，排除，是基础题.
14.设 ，且 ， ，则 的值是__________．
【答案】4＋3i
【解析】
分析：由题意可得 ，再结合 ，即可得到答案
详解： ， ，
又 ，
点睛：本题主要考查的是复数的加减法以及共轭复数，掌握复数的运算法则以及共轭复数的
概念是解题的关键。
15.直线 被圆 （ 为参数）截得的弦长为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据圆 的参数方程得出圆 的圆心坐标和半径，计算出圆心到直线 的距离，再利用勾股定
理计算出直线 截圆 所得的弦长.
【详解】由参数方程可知，圆 圆心坐标为 ，半径长为 ，的
( )f z z= 1 1 5z i= + 2 3 2z i= − +
1 2( )f z z−
1 2 4 3z z i− = + ( )f z z=
1 1 5z i= + 2 3 2z i= − +
1 2 4 3z z i∴ − = +
1 2 4 3z z i∴ − = −
( )f z z=
( )1 2 4 3f z z i∴ − = +
: 3 0l x y+ + = 1 4cos: 2 4sin
xC y
θ
θ
= − +
= +
θ
4 2
C C l
l C
C ( )1,2− 4圆心到直线 的距离为 ，
因此，直线 截圆 所得弦长为 ，故答案为： .
【点睛】本题考查直线截圆所得弦长的计算，考查了点到直线的距离公式以及勾股定理的应
用，考查计算能力，属于中等题.
16.如图 1，线段 的长度为 ，在线段 上取两个点 ，使得 ，以
为一边在线段 的上方做一个正六边形，然后去掉线段 ，得到图 2 中的图形；对图
2 中的最上方的线段 作相同的操作，得到图 3 中的图形；依此类推，我们就得到了以下一
系列图形：
记第 个图形（图 1 为第 1 个图形）中的所有线段长的和为 ，现给出有关数列 的四个
命题：
①数列 是等比赞列；
②数列 是递增数列；
③存在最小的正数 ，使得对任意的正整数 ，都有 ；
④存在最大的正数 ，使得对任意的正整数 ，都有 .
其中真命题的序号是__________． (请写出所有真命题的序号）.
【答案】②④
【解析】
分析：求出数列 是的前四项，可得到①错，②对；利用等比数列求和公式求出 ，利用
不等式恒成立可判断③错，④对.
详解：由图可知，
l 2 2
1 2 3 2 2
1 1
d
− + += =
+
l C ( )222 4 2 2 4 2− = 4 2
AB a AB ,C D 1
4AC DB AB= =
CD AB CD
EF
n nS { }nS
{ }nS
{ }nS
a n 2018nS >
a n 2018nS <
{ }nS nS
1 2, 2 ,S a S a a= = +，
不是等比数列，①错误；
是递增数列，②正确；
，
对于③， ，要使 恒成立，
只需 ， 无最小值，③错误；
对于④， ，要使 恒成立，
只需 ，即 的最大值为 ，④正确，
真命题是②④，故答案为②④.
点睛：本题考查等比数列的求和公式，不等式恒成立问题以及归纳推理的应用，属于难题.
归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中
推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)
数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与
序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包
括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知复数 ，且 为纯虚数．
（1）求复数 ；
（2）若 ，求复数 的模 ．
【答案】（1）
（2）
3 4
12 , 2 ,...2S a a a S a a a a= + + = + + +
{ }nS∴
{ }nS
31 12 ...2 2
n
nS a a a a a
− = + + + + +
112 1 2
11 2
n
a
a
− − = +
−
114 1 2
n
a a
− = + −
1nS S a≥ = 2018nS >
2018a > a
5nS a
( 2, 2)A − − l
22 2
22 2
x t
y t
= − +
= − +
t
C
C l 1M 2M 1AM 1 2M M 2AM
a
2
2
2 1x ya
+ = C x分析：（Ⅰ）利用平方关系消去参数 ，结合 的范围即可得曲线 表示焦点在 上的椭圆；
（Ⅱ）将将直线 的参数方程代入椭圆方程，
详解：（Ⅰ）曲线 的普通方程为 ，
，
曲线 表示焦点在 上的椭圆.
（Ⅱ）将直线 的参数方程 （ 为参数）代入椭圆方程，设 对应的参
数分别为 、 ，根据直线中参数的几何意义，由题意得 ，再结合韦达定理
即可得结果.
整理得 ，
即 ，
，
设 对应的参数分别为 、 ，
那么 ，
由 的几何意义知 ， ， ，
于是 ， ， ，
若 , ， 成等比数列，则有 ，
即 ，解得 ，
所以 的值为 .
点睛：本题考查了参数方程转化为普通方程（关键是平方消参）、一元二次方程的根与系数的
关系、直线与椭圆相交问题、参数方程的应用、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能
θ a C x
l
C
2
2
2 1x ya
+ =
1a >
∴ C x
l
22 2
22 2
x t
y t
= − +
= − +
t 1 2,M M
1t 2t 2
1 2 1 2| |t t t t− =
( )2
2 2 21 2 2 1 4 3 02
a t a t a
+ − + + + =
( ) ( )2 2 2 21 4 2 1 8 6 0a t a t a+ − + + + =
( )2 28 1 0a a∆ = + >
1 2,M M 1t 2t
1 2
2
1 2 2
4 2
8 6
1
t t
at t a
+ = += +
t 1 1AM t= 2 2AM t= 1 2 1 2M M t t= −
1 0t > 2 0t > ( ) 2
22
1 2 1 2 1 2 2
8| | 4 1
at t t t t t a
− = + − = +
1AM 1 2M M 2AM 2
1 2 1 2| |t t t t− =
2 2
2 2
8 8 6
1 1
a a
a a
+=+ + 2a =
a 2力，属于中档题.
19.
等差数列 的前 项和为 ．
（Ⅰ）求数列 的通项 与前 项和 ；
（Ⅱ）设 ，求证：数列 中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）见解析.
【解析】
【详解】（Ⅰ）由已知得 ， ，
故 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ．
假设数列 中存在三项 （ 互不相等）成等比数列，则 ．
即 ．
，
．
与 矛盾．
所以数列 中任意不同的三项都不可能成等比数列．
20.一则“清华大学要求从 2017 级学生开始，游泳达到一定标准才能毕业”的消息在体育界
和教育界引起了巨大反响.其实，已有不少高校将游泳列为必修内容.
某中学拟在高一-下学期开设游泳选修课，为了了解高--学生喜欢游泳是否与性别有关，该学
校对 100 名高一新生进行了问卷调查，得到如下 列联表:
{ }na n 1 31 2 9 3 2nS a S= + = +， ，
{ }na na n nS
( )n
n
Sb nn
∗= ∈N { }nb
2 1 2 ( 2)n na n S n n= − + = +，
1
1
2 1{
3 3 9 3 2
a
a d
= +
+ = +
，
2d∴ =
2 1 2 ( 2)n na n S n n= − + = +，
2n
n
Sb nn
= = +
{ }nb p q rb b b， ， p q r， ， 2
q p rb b b=
2( 2) ( 2)( 2)q p r+ = + +
2( ) (2 ) 2 0q pr q p r∴ − + − − =
p q r ∗∈N ， ，
2 0{
2 0
q pr
q p r
− =∴
− − =
，
，
2
2( ) 02
p r pr p r p r
+ ∴ = − = ∴ = ， ，
p r≠
{ }nb
2 2×喜欢游泳 不喜欢游泳 合计
男生 40
女生 30
合计
已知在这 100 人中随机抽取 1 人，抽到喜欢游泳的学生的概率为 .
(1).请将上述列联表 补充完整，并判断是否可以在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下
认为喜欢游泳与性别有关.
(2)已知在被调查的学生中有 6 名来自高一(1) 班，其中 4 名喜欢游泳，现从这 6 名学生中随
机抽取 2 人，求恰有 1 人喜欢游泳的概率.
附：
0.10 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）可以（2）
【解析】
分析：（1）根据题意计算喜欢游泳的学生人数，求出女生、男生多少人，完善列联表，再计
算观测值 ，对照临界值表即可得出结论；
（2）设“恰有一人喜欢游泳”为事件 A，设 4 名喜欢游泳的学生为 ，不喜欢游泳
的学生为 ，通过列举法即可得到答案.
详解：（1）解：根据条件可知喜欢游泳的人数为 人
完成 列联表：
3
5
2 2×
2
2 ( )= ( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−
+ + + +
2
0( )P K k≥
0k
( ) 8
15P A =
2K
1 2 3 4, , ,a a a a
1 2,b b
3100 605
× =
2 2×喜欢游泳 不喜欢游泳 合计
男生 40 10 50
女生 20 30 50
合计 60 40 100
根据表中数据，计算
可以在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为喜欢游泳与性别有关.
（2）解：设“恰有一人喜欢游泳”为事件 A，设 4 名喜欢游泳的学生为 ，
不喜欢游泳的学生为 ，基本事件总数有 15 种：
其中恰有一人喜欢游泳的基本事件有 8 种：
所以
点睛：本题考查了独立性检验与运算求解能力，同时考查通过列举法求概率的应用，属于中
档题.
21.选修 4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线 的方程为 .以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为
极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）写出曲线 的参数方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）设点 在曲线 上，点 在曲线 上，求 的最大值.
【 答 案 】（ 1 ） 的 参 数 方 程 为 ( 为 参 数 ) ， 的 直 角 坐 标 方 程 为
( )2
2 100 40 30 20 10 16.667 10.82860 40 50 50K
× − ×= ≈ >× × ×
1 2 3 4, , ,a a a a
1 2,b b
1 2 1 3 1 4 1 1 1 2 2 3 2 4 2 1 2 2 3 4 3 1 3 2 4 1 4 2 1 2, , , , , , , , , , , , , ,a a a a a a a b a b a a a a a b a b a a a b a b a b a b b b
1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2 4 1 4 2, , , , , , ,a b a b a b a b a b a b a b a b
( ) 8
15P A =
1C
2
2 19
x y+ = x
2C 2 8 15 0sinρ ρ θ− + =
1C 2C
P 1C Q 2C PQ
1C 3cos
sin
x
y
ϕ
ϕ
=
=
ϕ
2C；（2） ．
【解析】
试题分析：
(Ⅰ)利用极坐标与直角坐标、参数方程与直角坐标方程的转化关系可得曲线 的参数方程
为 （ 为参数）， 的直角坐标方程为 .
(Ⅱ)曲线 是以 为圆心， 为半径的圆.设出点的的坐标，结合题意得到三角
函数式： .结合二次型复合函数的性质可得
.
试题解析：
（Ⅰ）曲线 的参数方程为 （ 为参数），
的直角坐标方程为 ，即 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线 是以 为圆心， 为半径的圆.
设 ，
则
.
当 时， 取得最大值 .
又因为 ，当且仅当 三点共线，且 在线段 上时，
等号成立.
所以 .
22.二手车经销商小王对其所经营 型号二手汽车的使用年数 与销售价格 （单位：万元的
( )22 4 1x y+ − = 3 3 1+
1C
3 ,x cos
y sin
ϕ
ϕ
=
=
ϕ
2C ( )22 4 1x y+ − =
2C 2C ( )0,4 1
2
2
18 272PC sinϕ = − + +
3 3 1maxPQ = +
1C 3 ,x cos
y sin
ϕ
ϕ
=
=
ϕ
2C 2 2 8 15 0x y y+ − + = ( )22 4 1x y+ − =
2C 2C ( )0,4 1
( )3 ,P cos sinϕ ϕ
2PC ( ) ( )2 23 4cos sinϕ ϕ= + −
( ) ( )2 29 1 8 16sin sin sinϕ ϕ ϕ= − + − +
218 272sinϕ = − + +
1
2sinϕ = − 2PC 27 3 3=
2 1PQ PC≤ + 2, ,P Q C 2C PQ
3 3 1maxPQ = +
A x y/辆）进行整理，得到如下数据：
使用年数
售价
下面是 关于 的折线图：
（1）由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合 与 的关系，请用相关系数加以说明；
（2）求 关于 的回归方程并预测某辆 型号二手车当使用年数为 年时售价约为多少？
（ 、 小数点后保留两位有效数字）
（3）基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于 元，请根据（2）求出的回归方程
预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年？
参考数据：
， ， ，
， ，
， ， .
参考公式：回归直线方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
， .
x 2 3 4 5 6 7
y 20 12 8 6.4 4.4 3
lnz y= 3.00 2.48 2.08 1.86 1.48 1.10
z x
z x
y x A 9
b a
7118
6
1
187.4i i
i
x y
=
=∑ 6
1
47.64i i
i
x z
=
=∑ 6
2
1
139i
i
x
=
=∑
( )6 2
1
4.18i
i
x x
=
− ≈∑ ( )6 2
1
13.96i
i
y y
=
− =∑
( )6 2
1
1.53i
i
z z
=
− =∑ ln1.46 0.38≈ ln 0.7118 0.34≈ −
y bx a= +
( )( )
( )
1 1
2 22
1 1
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nxy
b
x x x nx
= =
= =
− − −
= =
− −
∑ ∑
∑ ∑ a y bx= −， 、 为样本平均值.
【答案】（1） ；（2） 万元；（3） 年.
【解析】
【分析】
（1）根据题中所给公式，计算出 关于 的相关系数，利用相关系数的绝对值来说明 关于
线性相关性的强弱；
（2）利用最小二乘法公式计算出 关于 的回归方程 ，再由 可得
出 关于 的回归方程为 ，再将 代入回归方程得出 的值，可得出结果；
（3）令 ，得出 ，解出 的取值范围，可得出
二手车时车辆的使用年数不得超过的年数.
【详解】（1）由题意，计算 ，
，
且 ， ， ，
所以 ，
所以 与 的相关系数大约为 ，说明 与 的线性相关程度很高；
（2）利用最小二乘估计公式计算
，
所以 ，
所以 关于 的线性回归方程是 ，
( )( )
( ) ( )
1
2 2
1 1
n
i i
i
n n
i i
i i
x x y y
r
x x y y
=
= =
− −
=
− −
∑
∑ ∑ x y
0.99− 1.48 11
z x z x
z x 0.36 3.62z x= − + lnz y=
y x 0.36 3.62xy e− += 9x = y
0.7118y ≥ 0.36 3.62 ln0.7118 0.340.7118xe e e− + −≥ = = x
( )1 2 3 4 5 6 7 4.56x = × + + + + + =
( )1 3 2.48 2.08 1.86 1.48 1.10 26z = × + + + + + =
6
1
47.64i i
i
x z
=
=∑ ( )6 2
1
4.18i
i
x x
=
− ≈∑ ( )6 2
1
1.53i
i
z z
=
− =∑
( )( )
( ) ( )
1
2 2
1 1
47.64 6 4.5 2 6.36 0.994.18 1.53 6.3954
n
i i
i
n n
i i
i i
x x z z
r
x x z z
=
= =
− ×− −
=
− −
×= = − ≈ −×
∑
∑ ∑
z x 0.99− z x
1
222
1
47.64 6 4.5 2 6.36 0.36139 6 4.5 17.5
n
i i
i
n
i
i
x z nxz
b
x nx
=
=
− − × ×= = = − ≈ −− ×−
∑
∑
2 0.36 4.5 3.62a z bx= − = + × =
z x 0.36 3.62z x= − +又 ，所以 关于 的回归方程是 .
令 ，解得 ，即预测某辆 型号二手车当使用年数为 年时售价约
万元；
（3）当 时， ，
所以 ，解得 ，因此预测在收购该型号二手车时车辆 使用年数
不得超过 年．
【点睛】本题考查相关系数的计算、非线性回归方程的求解以及回归方程的应用，解题时要
理解最小二乘法公式及其应用，考查计算能力，属于中等题.
的
lnz y= y x 0.36 3.62xy e− +=
9x = 0.36 9 3.62 1.46y e− × += ≈ A 9
1.46
0.7118y ≥ 0.36 3.62 ln0.7118 0.340.7118xe e e− + −≥ = =
0.36 3.62 0.34x− + ≥ − 11x ≤
11
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