高三数学第 1 页 共 4 页
2019-2020 学年度第一学期期中学业水平检测
高三数学 2019.11
本试卷 4 页,23 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟.
第Ⅰ卷
一、单项选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项
中,只有一项是符合题目要求的。
1 . 已 知 全 集 为 R , 集 合 2{ R| 2 0}A x x x , 集 合 { | ln 1 0}B x x , 则
R( )C A B ( )A.[0,2] B. (0,2] C.[0, ]e D. (0, ]e
2.若点 4 4(sin ,cos )3 3M 在角 的终边上,则 cos2 ( )
A. 2
1 B. 2
1 C. 2
3 D. 2
3
3.已知平面向量 (2,1), ( 3 ,3)AB AC t
,若 //AB AC
,则| |BC
( )
A. 2 5 B. 20 C. 5 D. 2
4.已知函数
3),1(
3,)3
1(4)(
xxf
xxf
x
,则 )log1( 4
3f ( )
A.144 B. 3
1 C. 9
1 D. 36
1
5.若先将函数 )32sin(2 xy 的图象向左平移
6
个单位,再保持图象上所有点的纵坐
标不变横坐标伸长为原来的 2 倍,得到函数 )(xgy 的图象,则 )3( g ( )
A.1 B. 3 C. 3 D. 2
6.函数 3
2
)2(
)44lg()(
x
xxxf 的部分图象大致为( )
A B C D
y
O
x2
y
O x2
y
O x2
y
O
x2高三数学第 2 页 共 4 页
7.已知
3
1)3cos( ,则 )26
7sin(
( )
A.
3
1 B.
3
1 C.
9
7 D.
9
7
8.设 , 为两个平面,则 的充要条件是( )
A. 内有一条直线与 垂直 B. 内有一条直线与 内两条直线垂直
C. 与 均与同一平面垂直 D. 与 均与同一直线垂直
9.若函数 )0(coscoscos2sin2sin)( 2 xxxf 的一个极大值点为
6
,
则 ( )
A. 0 B.
6
C.
4
D.
3
10 . 英 国 数 学 家 泰 勒 发 现 了 如 下 公 式 :
2 4 6
cos 1 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6
x x xx .则下列数值更接近 4.0cos 的
是( )
A. 0.91 B. 0.92 C. 0.93 D. 0.94
二、多项选择题:本大题共 3 小题,每小题 4 分,共 12 分。在每小题给出的四个选项中,
有多项符合题目要求。全部选对的得 4 分,选对但不全的得 2 分,有选错的得 0 分。
11.下列结论正确的是( )
A.若 2 2a b ,则 1 1
a b
B.若 0x ,则 4 4x x
C.若 0a b ,则 lg lga b D.若 0ab , 1a b 则 1 1 4a b
12.在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中,下列直线或平面与平面 1ACD 平行的有( )
A.直线 1A B B.直线 1BB C.平面 1 1A DC D.平面 1 1A BC
13.若函数 ( ) 1xf x e 与 ( )g x ax 的图象恰有一个公共点,则实数 a 可能取值为( )
A. 2 B.1 C. 0 D. 1
第Ⅱ卷
三、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分。
14.声强级 IL (单位:dB)由公式 1210lg( )10I
IL 给出,其中 I 为声强(单位: 2W/m ).
(1)平时常人交谈时的声强约为 610 2W/m ,则其声强级为 dB;
(2)一般正常人听觉能忍受的最高声强为 21W/m ,能听到的最低声强为 12 210 W/m ,
则正常人听觉的声强级范围为 dB.高三数学第 3 页 共 4 页
15.已知等差数列{ }na 满足: 2 3 5 5a a a , *Nn ,则数列{sin( )}2
na 的前 2019
项和等于 .
16 . 在 ABC 中 , 内 角 , ,A B C 所 对 的 边 分 别 为 , ,a b c , 若
2 2 2sin sin sin sin sinA B C A B , ABC 的面积 3S ,则 c 的取值范围
为 .
17 . 已 知 三 棱 锥 P ABC 的 三 条 侧 棱 , ,PA PB PC 两 两 互 相 垂 直 , 且
2PA PB PC ,则三棱锥 P ABC 的外接球与内切球的半径比为 .
四、解答题:共 82 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
18.(12 分)
在 ABC 中, ,E F 分别为线段 ,BC AC 上的点, //EF AB , 3AB , 2EF ,
2 3AE ,
3BAC .
(1)求 EAC ;
(2)求 BC 的长度.
19.(14 分)
如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为梯形, //AB CD ,AB BC , 2AB ,
1PA PD CD BC ,面 PAD 面 ABCD , E 为 AD 的中点.
(1)求证: PA BD ;
(2)在线段 AB 上是否存在一点G ,使得 //BC 面 PEG ?若存在,请证明你的结论;
若不存在,请说明理由;
20.(14 分)
已知数列{ }na 满足: 1 10a , 2
1n na a , lgn nb a , 2logn nc b , *Nn .
(1)证明:数列{ }nb 为等比数列;
(2)证明:数列{ }nc 为等差数列;
(3)若数列 1{ }2 nb 的前 n 项和为 nS ,数列{ }nc 的前 n 项和为 nT ,数列 1{ }
nT n 的前 n
项和为 nW ,证明: n nW S .
C
A
D
E
P
B高三数学第 4 页 共 4 页
21.(14 分)
图1是由菱形 ABCD ,平行四边形 ABEF 和矩形 EFGH 组成的一个平面图形,其中
2AB , 1BE EH ,
3ABC ,
4ABE ,将其沿 ,AB EF 折起使得CD 与
HG 重合,如图 2 .
(1)证明:图 2 中的平面 BCE 平面 ABEF ;
(2)求图 2 中点 F 到平面 BCE 的距离;
(3)求图 2 中二面角 CABE 的余弦值.
22.(14 分)
已知函数 ( ) ln 1( R)f x a x x a .
(1)求函数 ( )f x 的极值;
(2)若 ( ) 0f x ,求 a 的值.
23.(14 分)
已知自变量为 x 的函数 1
1( ) (ln ln ) 12
x
n n n
ef x n x n e 的极大值点为 nx P ,
*Nn , 2.718e 为自然对数的底数.
(1)若 1n ,证明: 1( )f x 有且仅有 2 个零点;
(2)若 1 2 3, , , , nx x x x 为任意正实数,证明:
1
( ) 4
n
i i i
i
f x P
.
A
B
( )C H
( )D G
E
F
图1
B
C
D
E
F
H
G
A
图 2高三数学答案第 1 页 共 4 页(数学是有生命的,题目是有经典的)
2019-2020 学年度第一学期期中学业水平检测
高三数学参考答案
一、单项选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。
1 10:C B A C C A D A D B
二、多项选择题:本大题共 3 小题,每小题 4 分,共 12 分。
11. BCD; 12. AD; 13. BCD;
三、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分。
14. (1) 60 ;(2) 120,0 ; 15. 0 ; 16. 2c ; 17. 3( 3 1)
2
;
四、解答题:共 82 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
18.(12 分) 解:(1)在 ABC 中: ABEF// ,所以
3
2AFE ························ 2 分
在 AFE 中由正弦定理知:
2
1sinsinsin
EAFEAF
EF
AFE
AE ··················5 分
又因为
3
2AFE 为钝角,所以
6
EAF ·················································· 6 分
(2)因为
3
2AFE ,
6
EAF ,所以
6
AEF , 2 EFAF ·············8 分
又因为 ABEF// , 3AB , 2EF ,所以 2
AF
CF ,即 6AC ··························9 分
在 ABC 中由余弦定理知:
2 2 2 2 cos 27BC AB AC AB AC BAC ······································ 11 分
3 3BC ····························································································· 12 分
19.解:(1)取 AB 中点 F ,连接 DF ,
/ /DC AB 且 1
2DC AB
/ /DC BF 且 DC BF
所以四边形 BCDF 为平行四边形 ,
又 AB BC , 1BC CD
所以四边形 BCDF 为正方形···········································································2 分
在 RtΔAFD 中,因为 1DF AF ,所以 2AD
在 RtΔBCD 中,因为 1BC CD ,所以 2BD
因为 2AB ,所以 2 2 2AD BD AB , BD AD ···········································4 分
因为 BD 面 ABCD ,面 PAD 面 ABCD AD ,面 PAD 面 ABCD
所以 BD 面 PAD ·······················································································6 分
因为 PA 面 PAD
所以 PA BD ·····························································································7 分
C
BFA
D
E
P
G高三数学答案第 2 页 共 4 页(数学是有生命的,题目是有经典的)
(2)线段 AB 上存在一点G ,满足 1
4AG AB
即G 为 AF 中点时, BC ∥面 PEG ·································································9 分
证明如下:连结 EG , E 为 AD 的中点, G 为 AF 中点, / /GE DF
又 / /DF BC ,所以 / /GE BC ,································································ 12 分
GE 面 PEG , BC 面 PEG , BC ∥面 PEG ·······································14 分
20.(14 分)解:(1)因为
2
1 1lg lg 2lg 2lg lg lg
n n n n
n n n n
b a a a
b a a a
····························· 2 分
又因为 1 1lg 1b a ,··················································································· 3 分
所以 nb 是首项为1公比 2 的等比数列······························································ 4 分
(2)由(1)得: 12lg n
nn ab ·································································· 5 分
所以 1)(lglog2 nac nn ··········································································· 6 分
所以 1)1(1 nncc nn ········································································· 7 分
所以 nc 是公差为1的等差数列······································································· 8 分
(3)由(2)知: n
nb 2
1
2
1 , n
n
nS 2
11
2
11
)2
11(2
1
·····································10 分
因为
2
)1( nnTn ,所以 )1
11(2)1(
21
nnnnnTn
·································· 12 分
所以
1
22)1
11...3
1
2
1
2
1
1
1(2
nnnWn ········································13 分
所以 nnn SnnW
2
1111
2111
22 ············································ 14 分
21.(14 分)
解:(1)由题知,在 BEC 中: 2 2 2BC EC BE
所以 BECE ·····························1 分
又在矩形 EFGH 中: EFCE ····· 2 分
且 EBEEF ·························· 3 分
所以 CE 平面 ABEF ··················4 分
又因为 CE 平面 BCE ·················5 分
所以平面 BEC 平面 ABEF ··········6 分
(2)由(1)知:CE AE ,又在菱形 ABCD 中: = 2AC ,
所以在直角三角形 AEC 中: 2 2 2= 1, 1AE AC CE AE
所以在 AEB 中, 2 2 2= ,AB AE BE AE BE ············································ 7 分
A
B
( )C H
( )D G
E
F
x
z
y高三数学答案第 3 页 共 4 页(数学是有生命的,题目是有经典的)
又因为平面 BCE 平面 ABEF ,且平面 BCE 平面 BEABEF ······················· 8 分
所以 AE 平面 BCE ····················································································9 分
又因为 //AF 平面 BCE ,所以点 F 到平面 BCE 的距离为 1AE ·······················10 分
(3)以 E 为坐标原点,分别以 EAECEB 、、 为 zyx 、、 轴建立空间直角坐标系 E xyz
所以 )1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,0( ACBE ······················································ 11 分
由(1)知平面 ABE 的法向量为 (0,1,0)m EC
,··········································· 12 分
设平面 ABC 的法向量 ( , , )n x y z
,因为 ( 1,0,1)BA
, ( 1,1,0)BC
由
0
0
n BA
n BC
,得
0
0
yx
zx
,所以 (1,1,1)n
·············································13 分
所以 | | 3cos 3| || |
m n
m n
,
即二面角 CABE 的余弦值为 3
3
····························································· 14 分
22.(14 分)解:(1)由题知: )0(1)( xx
axf ·········································· 1 分
当 0a 时, 0)( xf , ( )f x 在 (0, ) 上单调递减,所以 ( )f x 无极值················ 3 分
当 0a 时, 0)( xf 得 ax ·······································································4 分
当 (0, )x a 时, 0)( xf ,所以 ( )f x 在 (0, )a 上单调递增;
当 ( , )x a 时, 0)( xf ,所以 ( )f x 在 ( , )a 上单调递减;
所以 ( )f x 在 x a 时取得极大值 ( ) ln 1f a a a a ····································· 6 分
综上: 0a 时, ( )f x 无极值;
当 0a 时, ( )f x 有极大值 ( ) ln 1f a a a a ,无极小值······················7 分
(2)若 ( ) 0f x 恒成立················································································ 8 分
由(1)知当 0a 时, ( ) 0f x , ( )f x 在 (0, ) 上单调递减,又因为 0)1( f ,
(0,1)x 时 ( ) 0f x ················································································· 9 分
(1, )x 时 ( ) 0f x 所以 0a 时,不存在符合题意的 a 值···························· 10 分
若 0a 时,由(1)知:
若 ( ) 0f x 恒成立,只需 01ln)()( aaaafxf ·································· 11 分高三数学答案第 4 页 共 4 页(数学是有生命的,题目是有经典的)
令 1ln)( aaaag ,则 aag ln)( , 0)( ag 得 1a ·······························12 分
当 )1,0(a 时, 0)( ag ,所以 )(ag 在 )1,0( 上单调递减;
当 ),1( a 时, 0)( ag ,所以 )(ag 在 ),1( 上单调递增;·························· 13 分
且 0)1( g ,因此 1a ················································································14 分
23.(14 分)解:(1)由题知: 1
1( ) ln 2xf x x e ·········································· 1 分
1
1
1( ) ,xf x ex
令 11( ) xg x ex
, 1
2
1( ) 0xg x ex
····························· 3 分
( )f x 在 (0, ) 单调递减,又 1
1
1(1) 0xf ex
······································4 分
1 1(0,1), ( ) 0; (1, ), ( ) 0x f x x f x ······················································· 5 分
故 )(1 xf 在 )1,0( 上单调递增;在 ),1( 上单调递减;所以 1)1()( 11 fxf ;·········· 6 分
又因为 0)( 12
1
2
eeef , 0424444)( 331212
1
22
eeeef e
所以 )(1 xf 在 )1,0( , ),1( 上各恰有零点,即 1( )f x 有且仅有 2 个零点···················8 分
(2)由题知 nx
n ex
nxf )( ··········································································9 分
因此 0)(),,(;0)(),,0(,0)( xfnxxfnxen
nnf nn
nn
n ···················· 10 分
故 )(xfn 在 ),0( n 上单调递增;在 ),( n 上单调递减;
因此 nPn 且 12
1)()( nnn nfxf ······························································· 11 分
1
1( ) 2n n nf x ,所以 1
1 1
( ) ( )2
n n
i i i n
i i
nf x P
·················································12 分
记
n
i
n
n
1
1 )2( 为 nW ,所以 1210 2......2
3
2
2
2
1
nn
nW
nn
n nnW
22
1......2
3
2
2
2
1 2 1321
所以 nn
n nW
22
1......2
1
2
112 12
所以 nn
nn nnW
2
222
2
11
)2
11(1
2
,
所以 1
24 42n n
nW
因此 1
1 1
( ) ( ) 42
n n
i i i n
i i
nf x P
,即
1
( ) 4
n
i i i
i
f x P
······································· 14 分