高一数学第 1 页 共 4 页
2019-2020 学年度第一学期期末学业水平检测
高一数学试题
本试卷 4 页，22 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座号填写在试题卷和答题卡
上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置；
2．作答选择题时：选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案
信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上；非
选择题必须用黑色字迹的专用签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位
置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按
以上要求作答无效；
3．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡上交．
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是正确的。
1．已知扇形的圆心角为30 ，半径为 6 ，则该扇形的弧长为（ ）
A． B．
2
C．
3
D．
4
2．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速 v（单
位：m/s ）可以表示为 3
1 log2 100
Qv ，其中Q 表示鱼的耗氧量的单位数．当一条鲑
鱼的游速为 3
2 m/s 时，则它的耗氧量的单位数为（ ）
A．900 B．1600 C． 2700 D．8100
3．函数 1( ) lg( 2)
3 2
f x x
x
的定义域是（ ）
A． 3( 2, ]2
B． 3( 2, )2
C． ( 2, ) D． 3( , )2
4．角 的终边上一点 )3,1( ，则 )2cos( （ ）
A．
2
3 B．
2
3 C．
2
1 D．
2
1
5．已知 ),0( ，则“
6
”的必要不充分条件是（ ）
A．
2
3cos B．
2
1sin C．
3
3tan D．
2
3sin 高一数学第 2 页 共 4 页
6．函数 ( ) lgf x x 与 ( ) cosg x x 的图象的交点个数为（ ）
A．1 B． 2 C．3 D．不确定
7．函数 2( ) cos sin ( R)f x x x x 的最大值为（ ）
A． 1 B．
4
3 C．1 D．
4
5
8．已知函数 ( )f x 是定义在 R 上的奇函数， ( ) ( 4)f x f x ，且 (1) 1f ，则
(2019) (2020)f f （ ）
A． 1 B． 0 C．1 D． 2
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分。
9．下列函数是偶函数的是（ ）
A． ( ) tanf x x B． ( ) sinf x x
C． ( ) cosf x x D． ( ) lg | |f x x
10．已知 0.1
0.93 , log 3, sin(cos1)a b c ，则下述正确的是（ ）
A． ba B． ca C． cb D． 0b
11．函数
2
2
, ( ,0)
( ) ln , (0,1)
4 3, 1,
x x
f x x x
x x x
，函数 ( ) ( )g x f x m 恰有 2 个零点，则实
数 m 可以是（ ）
A． 1 B． 0 C．1 D． 2
12．已知 0 2
，且 tan ， tan 是方程 022 kxx 的两不等实根，则下
列结论正确的是（ ）
A． tan tan k B． tan( ) k
C． 2 2k D． tan 4k
三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．若 tan 2 ，则 3cos sin
cos sin
．
14．已知幂函数 ( )f x 的图象过点 (2, 2) ，则 (4)f 的值为 ．高一数学第 3 页 共 4 页
15．求值：sin 220 (tan10 3) ．
16．已知函数 1
2
( ) logf x x a ， 2( ) 2g x x x ，若 1
1[ ,2]4x ， 2 [ 1,2]x ，使
得 1 2( ) ( )f x g x ，则实数 a 的取值范围是 ．
四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10 分）
已知集合 { | 2 , 1 2}xA y y x ，集合 { R| 1 ln 2}B x x ，
集合 2{ R | 6 0}C x x x ．
（1）求 CB ；
（2）设全集 RU ，求 U( )C A C ；
（3）若
2
1lg2705.0lg 3
2
7ln ea ，证明： BAa ．
18．（12 分）
已 知 函 数 ( ) 1 log af x x 0a（ 且 ）1a 的 图 象 恒 过 点 A ， 点 A 在 直 线
)0( mnnmxy 上．
（1）求 1 1
m n
的最小值；
（2）若 2a ，当 [2,4]x 时， 求 2[ ( )] 2 ( ) 3y f x f x 的值域．
19．（12 分）
已知函数 2( ) 3sin 2 2 2cosf x x x ．
（1）求函数 ( )f x 的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数 ( )f x 在[0, ]2
上的最小值．高一数学第 4 页 共 4 页
20．（12 分）
函数 ( ) sin( )f x A x ( 0,0 16,0 )2A 在 R 上的最大值为 2 ，
(0) 1f ．
（1）若点 ( , 2)8
在 ( )f x 的图象上，求函数 ( )f x 图象的对称中心；
（2）将函数 ( )y f x 的图象向右平移
4
个单位，再将所得的图象纵坐标不变，横坐标
缩小到原来的 1
2 ，得函数 ( )y g x 的图象，若 ( )y g x 在[0, ]8
上为增函数，求
的最大值．
21．（12 分）
如图，长方形 ABCD 中， 3,2 BCAB ，点 , ,E F G 分别在线段 DABCAB ,, （含端
点）上， E 为 AB 中点， EGEF ，设 AEG ．
（1）求角 的取值范围；
（2）求出 EFG 周长l 关于角 的函数解析式 )(f ，并求 EFG 周长l 的取值范围．
22．（12 分）
设 函 数 ( )f x 的 定 义 域 为 I ， 对 于 区 间 D I ， 若 1 2 1 2, ( )x x D x x 满 足
1 2( ) ( ) 1f x f x ，则称区间 D 为函数 ( )f x 的V 区间．
（1）证明：区间 (0,2) 是函数 1( ) lg2f x x 的V 区间；
（2）若区间[0, ]( 0)a a 是函数 1( ) ( )2
xf x 的V 区间，求实数 a 的取值范围；
（3）已知函数 sin ln(1 )( ) x
x xf x e
在区间[0, ) 上的图象连续不断，且在[0, ) 上
仅有 2 个零点，证明：区间[ , ) 不是函数 ( )f x 的V 区间．
D
C
A
B
E
F
G高一数学答案第 1 页 共 4 页（春风再美也比不过你的笑）
2019-2020 学年度第一学期期末学业水平检测高一数学参考答案
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
1-8: A C B A B C D A
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
9. CD; 10. AB; 11. ABC; 12. BCD;
三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 1
3 ； 14. 2 ； 15. 1； 16. [0,1] ；
四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（10 分）
解：（1）因为 1 2x ，所以 1 2 42
x ，集合 1[ ,4]2A ······························ 1 分
因为 1 ln 2x ，所以 21 x ee
，集合 21( , ]B ee
，·····································2 分
因为 2 6 0x x ，所以 2x 或 3x ，集合 ( , 2] [3, )C ·················3 分
所以 2[3, ]B C e ······················································································ 4 分
（2）由（1）知： R
1( , ) (4, )2C A ······················································ 5 分
所以 ,4]2,()( R CAC ································································6 分
（3）由题知：
2
ln7 3 1lg0.05 27 lg lg0.05 lg 2 7 92a e
lg0.1 2 1 2 1 ··························································· 9 分
因为 21( , ]A B B ee
所以 BAa ··························································································· 10 分
18.（12 分）
解：（1）因为 log 1 0a ，所以函数 ( )f x 的图象恒过点 (1,1)A ······························ 2 分
因为 (1,1)A 在直线 1mx ny 上，所以 1m n ··············································· 3 分
所以 1 1 1 1( )( ) 2n mm nm n m n m n
因为 0mn ，所以 0, 0n m
m n
所以 2 2 2 4n m n m
m n m n
（当且仅当 2m n 时等号成立）
所以当 1
2m n 时， 1 1
m n
取最小值 4 ·························································· 7 分
（2）当 2a 时， 2( ) 1 logf x x
因为 ( )f x 在[2,4] 上单调递增，所以当 [2,4]x 时， ( ) [2,3]f x ······················ 8 分
令 ( )t f x ，则 2 2 3y t t ， [2,3]t 高一数学答案第 2 页 共 4 页（春风再美也比不过你的笑）
因为 2 22 3 ( 1) 2y t t t 在[2,3]上单调递增
所以当 2t 时， min 3y ；当 3t 时， max 6y
故所求函数的值域为[3,6]············································································ 12 分
19.（12 分）
解：（1）因为 2( ) 3sin 2 2 2cos 3sin 2 cos2 3f x x x x x
2sin(2 ) 36x ··························································· 4 分
所以函数 ( )f x 的最小正周期 2
2T ························································5 分
由 32 2 2 , Z2 6 2k x k k 得： 2 , Z6 3k x k k ············ 7 分
所以 ( )f x 的单调递减区间为 2[ , ], Z6 3k k k ········································8 分
（2）因为 [0, ]2x ，所以 72 [ , ]6 6 6x ··················································· 9 分
所以 1 sin(2 ) 12 6x ·········································································· 11 分
所以 ( ) 2sin(2 ) 3 [2,5]6f x x
所以 min( ) 2f x ·························································································12 分
20.（12 分）
解：因为函数 ( )f x 在 R 上的最大值为 2 ，所以 2A ····································1 分
因为 (0) 1f ，所以 2 sin 1 ， 2sin 2
因为 0 2
，所以
4
所以 ( ) 2 sin( )4f x x ·········································································· 2 分
（1）由题知: ( ) 28f ，所以 2 sin( ) 28 4
，sin( ) 18 4
所以 2 , Z8 4 2k k ， 16 2,k k Z
又因为 0 16 ，所以 2 ·······································································4 分
因此 ( ) 2 sin(2 )4f x x
由 2 , Z4x k k 得： , Z2 8
kx k
所以函数 ( )f x 图象的对称中心为： ( ,0), Z2 8
k k ········································6 分高一数学答案第 3 页 共 4 页（春风再美也比不过你的笑）
（2）将函数 ( ) 2 sin( )4f x x 的图象向右平移
4
个单位，
得： 2 sin[ ( ) ]= 2 sin4 4y x x ·····················································8 分
再将 2 siny x 的图象纵坐标不变，横坐标缩小到原来的 1
2 ，
得： ( ) 2 sin 2g x x ···············································································10 分
又因为 ( )g x 在[0, ]8
上为增函数，
所以 ( )g x 的周期 2
2 2T
，解得 20
所以 的最大值为 2 ····················································································12 分
21．（12 分）
解：（1）由题意知，当点G 位于 D 点时，角 取最大值，
此时 tan 3 ，因为 0 2
，所以 max 3
当点 F 位于C 点时， BEF 取最大值，角 取最小值，
此时 = 3BEF ，所以 min 2 3 6
故，所求 的取值集合为[ , ]6 3
······································································4 分
（2）在 RtΔEAG 中， cos AE
EG
， 1AE ，所以 1
cosEG ························· 5 分
在 RtΔEBF 中， cos cos( )2
BEBEF EF
， 1BE ，所以 1
sinEF ········· 6 分
在 RtΔGEF 中，有勾股定理得 2 2 2FG EF EG
2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 sin cos 1
sin cos sin cos sin cos
··························7 分
因为 [ , ]6 3
，所以sin 0,cos 0 ， 1
sin cosFG
所以 1 1 1( ) cos sin sin cosf EG EF FG
所以 1 sin cos( ) sin cosf
， [ , ]6 3
······················································· 8 分
令 sin cost ，则
2 1sin cos 2
t
所以 2
2(1 ) 2
1 1
tl t t
················································································ 10 分
因为 [ , ]6 3
， 5 7[ , ]4 12 12
，所以 6 2sin( ) [ ,1]4 4
所以 3 1sin cos 2 sin( ) [ , 2]4 2t
所以 EFG 周长l 的取值范围为[2( 2 1),2( 3 1)] ······································· 12 分高一数学答案第 4 页 共 4 页（春风再美也比不过你的笑）
22.（12 分）
解：（1）设 1 2 1 2, (0,2)( )x x x x
若 1 2( ) ( ) 1f x f x ，则 1 2
1 1lg lg 12 2x x
所以 1 2 1 2lg lg lg 0x x x x ， 1 2 1x x ，························································2 分
取 1 2
4 5,5 4x x ，满足定义
所以区间 (0,2) 是函数 1( ) lg2f x x 的V 区间················································· 4 分
（2）因为区间[0, ]a 是函数 1( ) ( )2
xf x 的V 区间，
所以 1 2 1 2, [0, ]( )x x a x x 使得 1 21 1( ) ( ) 12 2
x x ···············································5 分
因为 1( ) ( )2
xf x 在[0, ]a 上单调递减
所以 1 21 1 1 1( ) ( ) ,( ) ( )2 2 2 2
x xa a ， 1 2 11 1 1 1( ) ( ) 2( ) ( )2 2 2 2
x x a a
所以 11( ) 12
a ， 1 0a ， 1a
故所求实数 a 的取值范围为 1a ····································································· 8 分
（3）因为
2
1 ln(1 ) ln(1 )2( ) 0, ( ) 02f f ee
，
所以 ( )f x 在 ( , )2
上存在零点
又因为 (0) 0f
所以函数 ( )f x 在[0, ) 上至少存在两个零点···················································· 10 分
因为函数 sin ln(1 )( ) x
x xf x e
在区间[0, ) 上仅有 2 个零点
所以 ( )f x 在[ , ) 上不存在零点
又因为 ( ) 0f ，所以 [ , )x ， ( ) 0f x
所以 1 2 1 2, [ , )( )x x x x ， 1 2( ) ( ) 0f x f x
即因此不存在 1 2 1 2, [ , )( )x x x x 满足 1 2( ) ( ) 1f x f x
所以区间[ , ) 不是函数 ( )f x 的V 区间······················································· 12 分
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