山东青岛市黄岛区2019-2020高二数学上学期期中试题（Word版含答案）

高二数学第 1 页 共 4 页 2019-2020 学年度第一学期期中学业水平检测 高二数学 2019.11 本试卷 4 页，23 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟． 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线 : 3 2 0l x y   的倾斜角为（ ） A．30 B． 60 C．120 D．150 2．双曲线 2 2 12 x y  的虚轴长等于（ ） A． 2 B．1 C． 2 D． 2 2 3．已知直线 1 : 2 2 0l x ay   与直线 2 :l ( 1) 3 2 0a x y    平行，则 a （ ） A．3 B． 2 C． 2 或3 D．5 4．观察数列1 ln 2,sin3,4,ln5,sin 6,7,ln8,sin9， ，则该数列的第 20 项等于（ ） A． 2020 B． 20 C．sin 20 D． ln 20 5．若点 P 在椭圆 2 2 : 14 3 x yC   上， 21, FF 分别为椭圆C 的左右焦点，且  9021PFF ， 则 21PFF 的面积为（ ） A． 3 B．3 C． 4 D．1 6．已知正项等比数列{ }na 的前 n 项和为 nS ， *Nn ， 2 34, 9S a  ，则 2 4 1 3 a a a a   （ ） A． 1 3 B． 3 4 C．3 D． 2 7．已知圆 2 2 1 : 4C x y  与圆 2 2 2 : 6 8 24 0C x y x y     ，则两圆的位置关系为（ ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内切高二数学第 2 页 共 4 页 8．人造地球卫星的运行轨道是以地心为焦点的椭圆．设地球的半径为 R ，卫星近地点、 远地点离地面的距离分别为 1 2,r r ，则卫星轨道的离心率等于（ ） A． 21 12 2 rrR rr   B． 21 12 2 rrR rr   C． 1 12 22 rR rr   D． 2 12 22 rR rr   9 ． 已 知 直 线 : 1 0l x ay   与 圆 2 2:( 1) ( 1) 4C x y    相 交 于 ,A B 两 点 ， 若 | | 2 3AB  ，则实数 a  （ ） A． 3 4  B． 5 4 C．1 D． 1 10．若等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ， *Nn ， 12 130, 0S S  ，则 nS 的最大值为（ ） A． 5S B． 6S C． 7S D． 12S 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得 4 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分。 11．若直线过点 (1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为（ ） A． 1 0x y   B． 03  yx C． 02  yx D． 01 yx 12．已知椭圆C 的中心在原点，焦点 1 2,F F 在 y 轴上，且短轴长为 2 ，离心率为 6 3 ，过 焦点 1F 作 y 轴的垂线，交椭圆C 于 ,P Q 两点，则下列说法正确的是（ ） A．椭圆方程为 2 2 13 y x  B．椭圆方程为 2 2 13 x y  C． 2 3 3PQ  D． 2PF Q 的周长为 4 3 13．已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点为 F ，直线 l 斜率为 3 ，且经过点 F ，直 线l 与抛物线C 交于点 ,A B 两点（点 A 在第一象限），与抛物线的准线交于点 D ， 若| | 4AF  ，则以下结论正确的是（ ） A． 2p  B． F 为 AD 中点 C．| | 2 | |BD BF D．| | 2BF 高二数学第 3 页 共 4 页 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分。 14．若抛物线的准线方程为 2y  ，则该抛物线的标准方程是 ． 15．已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的一条渐近线与直线 : 2 2020 0l x y   垂直，则双曲线C 的离心率 e  ． 16．已知等差数列{ }na 的首项为1，公差不为零，若 2 3 6, ,a a a 成等比数列，则数列{ }na 的 前8 项的和为 ． 17．已知圆 2 2( 2) 1x y   上一动点 A ，定点 (6,1)B ，x 轴上一点W ，则| | | |AW BW 的最小值等于 ． 四、解答题：共 82 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18．（12 分） 已知等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ， 3 2 6a S  ， *Nn ． （1）求数列{ }na 的通项公式； （2）若 2 ( 1)( 1)n n n b a a    ，数列{ }nb 的前 n 项和为 nT ，证明： 1nT  ． 19．（14 分） 在平面直角坐标系中，圆C 的圆心在直线 0x y  上，且圆C 经过点 (2,0)P 和点 ( 1, 3)Q  ． （1）求圆C 的标准方程； （2）求经过点 (2 1)M ， 且与圆C 恰有1个公共点的直线的方程． 20．（14 分） 已知 O 为坐标原点，点 ( 2,0)G  和点 (2,0)H ，动点 P 满足：| | | | 2PG PH  ． （1）求动点 P 的轨迹曲线W 的方程并说明W 是何种曲线； （2） 若抛物线 2: 2 ( 0)Z y px p  的焦点 F 恰为曲线W 的顶点，过点 F 的直线l 与 抛物线 Z 交于 M ， N 两点，| | 8MN  ，求直线l 的方程．高二数学第 4 页 共 4 页 21．（14 分） 已知 O 为坐标原点，定点 (1,0)F ，定直线 : 4l x  ，动点 P 到直线l 的距离为 d ，且 满足： 1 2 PF d  ． （1）求动点 P 的轨迹曲线W 的方程； （2）若直线 :m y x t  与曲线W 交于 A ， B 两点，求 AOB 面积的最大值． 22．（14 分） 已知数列{ }na 的前 n 项和为 nS ， 1 2a  ， 1 3 2n nS S   ， *Nn ． （1）证明：数列{ 1}nS  为等比数列； （2）已知曲线 :nC 2 2(19 ) 1nx a y   ，若 nC 为椭圆，求 n 的值； （3）若 3 3( ) log ( )2 2 n n n a ab   ，求数列{ }nb 的前 n 项和 nT ． 23．（14 分） 已知 O 为坐标原点，椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     上顶点为 A ，右顶点为 B ，离心率 2 2e  ，圆 2 2 2: 3O x y  与直线 AB 相切． （1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2 ） 若 , ,D E F 为 椭 圆 C 上 的 三 个 动 点 ， 直 线 , ,EF DE DF 的 斜 率 分 别 为 1 2 1 2, , ( 0)k k k kk k  ． （ⅰ）若 EF 的中点为 1(1, )2W ，求直线 EF 的方程； （ⅱ）若 1 2 1 2k k   ，证明：直线 EF 过定点．高二数学答案第 1 页 共 4 页（数学是有生命的，题目是有经典的） 2019-2020 学年度第一学期期中学业水平检测 高二数学参考答案 一、单项选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。 1  10：A C B D B C D AA B 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分。 11．ABC； 12．ACD； 13．ABC； 三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分。 14． 2 8x y  ； 15． 5 ； 16． 48 ； 17． 3 5 1 ； 四、解答题：共 82 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18．（12 分）解：（1）设等差数列{ }na 的公差为 d ， 因为 3 2 6a S  ，所以 1 1 12 6a d a a d     ，············································· 2 分 所以 1 2a d  ···························································································· 4 分 所以数列{ }na 的通项公式为： 2 ( 1) 2 2na n n     *( N )n ····························6 分 （2）由（1）知： 2 2 1 1 ( 1)( 1) (2 1)(2 1) 2 1 2 1n n n b a a n n n n          ··············9 分 所以 112 1112 1 12 1...5 1 3 1 3 11  nnnTn ································ 12 分 19．（14 分）解: （1）直线 PQ 的斜率 1 3 3k   ， PQ 中点坐标为 1 3( )2 2 ， ， 所以 PQ 中垂线方程为 3 13( )2 2y x   ，即 3y x ···································· 4 分 由 3 y x y x   得，圆心 (0,0)C ，所以 | | 2r CP  所以圆C 的标准方程为： 2 2 4x y  ·······························································6 分 （2）当该直线斜率不存在，即直线方程为 2x  时，成立···································· 8 分 当该直线斜率存在时，设其方程为： 1 ( 2)y k x   ，即 2 1 0kx y k    ··········10 分 因为该直线与圆C 恰有1个公共点， 所以圆心到直线距离 2 1 2 2 1 kd k    ，得 3 4k   ············································ 12 分 所以切线方程为 2x  或3 4 10 0x y   ························································ 14 分高二数学答案第 2 页 共 4 页（数学是有生命的，题目是有经典的） 20．（14 分）解：（1）根据双曲线的定义： 点 P 的轨迹是以 ( 2,0)G  ， (2,0)H 为焦点的双曲线的右支··································1 分 且 2 2 ,PG PH a   所以 2 2 21, 2, , 3a c b c a b     ·······························4 分 所以动点 P 的轨迹方程为： 2 2 1( 1)3 yx x   ··················································· 6 分 （2）因为曲线W 的顶点为 (1,0)F ，所以抛物线 Z 的方程为： 2 4y x ·················· 7 分 设直线 )1(:  xkyl ····················································································8 分 由抛物线的定义知： 1 2 1 2| | 1,| | 1,| | 2 8MF x NF x MN x x        所以 1 2 6x x  ·························································································· 10 分 将 ( 1)y k x  代入 2 4y x 得： 2 2 22( 2) 0k x k x k    ，······························ 11 分 所以 2 1 2 2 2( 2) 6kx x k    ，解得 1k   ·······················································13 分 所以直线l 的方程为： 1y x  或 1y x   ···················································· 14 分 21．（14 分）解：（1）设点 ),( yxP ，由题知： 2 1 4 )1( 22   x yx ，····················· 2 分 所以 222 )4(4)1(4  xyx ········································································ 3 分 整理得点 P 的轨迹方程为： 134 22  yx ··························································· 4 分 （2）将 y x t  带入 2 2 14 3 x y  得： 2 27 8 4 12 0x tx t    ·····························5 分 所以 2 1 2 1 2 8 4 12, , ,7 7 t tx x x x     ································································ 6 分 2 2 264 28(4 12) 48(7 ) 0t t t       得 20 7t  ········································· 7 分 2 2 1 2 48(7 ) 4 6| | 2 | | 2 77 7 tAB x x t     ·········································9 分 点O 到直线 m 的距离 | | 2 td  ······································································· 10 分高二数学答案第 3 页 共 4 页（数学是有生命的，题目是有经典的） 2 2 21 | | 4 6 7 2 3 (7 )2 7 72AOB t tS t t       ············································12 分 2 2 22 3 7( ) 37 2 t t   ，当且仅当 2 27t t  即 2 7 2t  时等号成立满足 0  AOB 面积最大值为 3 ··············································································14 分 22．（14 分）解：（1）因为 031),1(31 11  SSS nn ，······························3 分 所以 31 11   n n S S ，即数列 1nS 是首项为3 且公比为3 的等比数列·······················4 分 （2）由（1）知： nn nS 3331 1   ，因此 13  n nS ·····································5 分 当 1n 时， 211  Sa ；当 2n 时， 1 1 32    n nnn SSa ；························· 7 分 12 3 ( )n na n N     若曲线 nC 表示椭圆则 019  na 且 119  na ，得 1n  或 2n  ··························9 分 （3）由题知： 1 3 3)2 3(log)2(  nnn naa ······················································· 11 分 所以 1 2 11 1 2 3 3 3 3 n nH n          1 2 3 13 1 3 2 3 3 3 ( 1) 3 3n n nH n n            ·····················12 分 所以 0 1 2 3 12 3 3 3 3 3 3n n nH n         ············································ 13 分 所以 n n n nH 331 )31(12   ，所以 4 1 4 3)12(  n n nH ······························ 14 分 23．（14 分）解:（1）由题意，直线 AB 的方程为： 1x y a b   ，即为 0bx ay ab   因为圆O 与直线 AB 相切，所以 2 2 | | 2 3 ab b a   ， 2 2 2 2 2 3 a b b a  ①······················2 分 设椭圆的半焦距为 c ，因为 2 2 2b c a  ， 2 2 ce a   ， 所以 2 2 2 1 2 a b a   ② ····················································································3 分 由①②得： 2 22, 1a b  ，所以椭圆C 的标准方程为： 2 2 12 x y  ······················4 分高二数学答案第 4 页 共 4 页（数学是有生命的，题目是有经典的） （2）设 1 1( , )E x y ， 2 2( , )F x y ， 0 0( , )D x y （ⅰ）由题知： 2 2 2 21 2 1 21, 12 2 x xy y    ······························································5 分 两式做差得： 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 20, 02 2 x x x xy y y y       ········································6 分 整理得： 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) 12EF y y x xk x x y y        ··························································7 分 所以此时直线 EF 的方程为： 3 2y x   ··························································· 8 分 （ⅱ）设直线 0 1 0: ( )DE y y k x x   ，设直线 0 2 0: ( )DF y y k x x   将 1 0 0( )y k x x y   代入 2 2 12 x y  得： 02)(2)(4)21( 2 0100101 22 1  xkyykxk ·····································9 分 所以 2 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 02 2 1 1 4 ( ) 2( ) 2,1 2 1 2 k y k x y k xx x x xk k        因此 2 1 0 1 0 1 2 1 4 (2 1) 1 2 k y k xx k     ·········································································10 分 又因为 1 2 1 2k k   ，且同理可得： 2 2 2 0 2 0 1 0 1 0 2 2 2 2 1 4 (2 1) 4 (1 2 ) 1 2 1 2 k y k x k y k xx k k        ······11 分 可得 1 2 0x x  ··························································································· 12 分 设直线 EF 的方程为： y kx t  ，将 y kx t  代入 2 2 12 x y  得： 0224)21( 222  tkt 得 1 2 2 4 01 2 ktx x k    ，所以 0t ··································································13 分 所以直线 EF 过定点 )0,0(O ·········································································· 14 分