文科数学
考试时间：120 分 满分：150 分
一、 选择题：（本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合 062 −+= xxRxA , B x R x= − ,则 ( )
A. AB= B. A B R = C. ACB R D. BA
2. 1zi=+, 则 5
+1
i
z
= （ ）
A.2 B.-2 C. i-1+2 D. i1-2
3．已知向量 ( 3,1 )a = ， ( 3 , 3)b =− ，则向量 a 在向量 b 方向上的投影为 ( )
A． 3− B． 3 C． 1− D．1
4. 已知 1sin ( )53
+=，则 3c o s(2 ) 5
− = ( )
A. 7
9− B. 7
9 C. 22
9−
D. 22
9
5. 从武汉某医院得新型冠状肺炎的男性病人中随机抽取 100
人，测量他们康复出院后的体重，将他们的体重(单位：kg)
数据绘制成频率分布直方图(如图)，由直方图可知( )
A．体重在[50,60)有 35 人
B．估计体重的众数为 50 或 60
C．a＝0.03 D．从这 100 人中随机抽取一人，体重在[60,80)的概率为1
3
6．函数 5() 22xx
xfx −= +
的图象大致是 ( )
A． B．
C． D．
7.已知实数 ,xy满足
20
20
80
x
y
xy
−
−
+ −
，则 222x y x++ 的最大值为( )
A．52 B．39 C． 92
2 D． 81
2
8．一个空间几何体的三视图如图所示，则该
几何体外接球的体积为（ ）
A. 11
4
B. 6
C. 11 D.
11 11
6
9.已知直线 2 2 0( 0, 0)ax by a b− − = 平分圆 22( 1 ) ( 3 ) 4xy− + + = ，则 12
3ab+ 的最小
值为（ ）
A．2 B．4
C. 22 D． 42
10.已知函数 （ ， ， ）的部
分图象如图所示，若方程 +1 在 上有两个不相等的
实数根，则 m 的取值范围是（ ）
A．( 3, 3 1− − − B． )3, 3 1− − −
C． ( 3, 3 1)− − + D．( 2 , 3 1 −−
11．已知抛物线 x2＝2y 上一动点 P 到 x 轴的距离为 d1，到直线 l：x＋y＋3＝0 的距离为
d2，则 d1＋d2 的最小值是( )
A. 7 2 2
4
− B. 72
4 C. 7 2 2
4
+ D. 7 2 2
2
−
12．已知
1 1, 1 0( 1)()
,0 1
xfxfx
xx
− − +=
，若方程 f（x）-2tx=3t 有唯一解，则实数 t 的取值
范围是 ( )
A．
1 ,5
+ B． 1 ,5
+
C. 10,5
+
D． 10,5
+
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13．若曲线 () xxf x ae e−=+在点(0 ， (0))f 处的切线与直线30xy−=平行，则 a =
14. 在直三棱柱 1 1 1ABC A B C− 中，已知 AB BC⊥ ， 1AB BC==， 1 2CC = ，E 是 1CC 的中点，
则异面直线 AE 与 1BC 所成角的余弦值为
( ) s i n ( )f x A x =+ 0A 0 ||2
()f x m = [ ,0]2
−
俯视图
正视图 侧视图
1 1
1
1 15.双曲线 C：
2
2 14
yx −=的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若
|PO|＝|OF|，则△PFO 的面积为
16．设数列 na 的通项公式为 3n
na = ，且
)1)(1( 1 ++=
+nn
n
n aa
ab ，数列 nb 的前 n 项和
为 nT ，则 nT =
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17—21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题，考试根据需要作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（本题满分 12 分）在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ，b ， c ，满足:
2sin sin cos 2cosB C B A + = ，且sin 1B .
（1）求角 C 的大小；
（2）若 23+ + =0tan tan tan
a b c
A B C
， 1a = ，求三角形 ABC 的面积.
18．（本题满分 12 分）如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C−
中，侧面 11A A B B 为菱形，且 1 60A AB=，
AC BC= ，点 DE、 分别为 1AB AC、 的中点.
（1）求证:平面 1ACD ⊥ 平面 ABC ；
（2）求证： //DE 平面 11BCC B .
19．（本题满分 12 分）公交管理部门某时间段统计了开往甲、乙两地的公交车人数，统计
数据的茎叶图如图所示，
（1）根据所给茎叶图利用平均值和方差的知识分析这一时间段去往甲，乙两地人流量的稳定性；
（2）现要从开往甲、乙两地的公交车中各随机抽取一辆，若人数之和大于 20 人，则被称
为“甲、乙两地的人流量大”，求“甲、乙两地人流量大”的概率.
20．（本题满分 12 分）已知椭圆 ( )
22
22: 1 0xyC a bab+ = 过点 ( )2,1Q ，且离心率
2
2e = .
（1）求椭圆 C 的方程;
（2）过点 ( )0 ,1P 作直线 l 交 C 于 A ， B 两点，若 t a nAQBS A Q B= ，求直线 l 的方程.
21．（本题满分 12 分）已知函数 2( ) ( 1 ) xf x x e a x=++．
（1）若 ( )fx在区间 ( 1,0)− 上有一个零点，求 a 的范围；
（2）设 2
2
ea ，若 1221, ( )x x x x 是 ()fx的两个零点，求证： 122xx−．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做
的第一题计分。
22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为
1
1
2
1
mx m
my m
− = +
= +
（ m 为参数）．以坐标原点 O
为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 2sin= ．
（1）求曲线 1C 的普通方程；
（2）若 1C 与 x 轴交于点 P ，与 2C 交于 A ， B 两点，点 M 在 2C 上运动，若
2PM PA PB= ，求点 M 的极坐标.
23. 已知函数 ( ) 1f x x=−.
（1）解不等式 ( ) ( )46f x f x+ + ；
（2）若 1a ， 1b ， 0a ，求证： ( ) bf ab a f a
文科数学参考答案和评分参考
一、 B C C A A D A D B A A D
二、13. 4 14. 15
5 15. 5 16． 1
1 1 1()2 4 3 + 1 n +−
17．（ 1）由 ( )2sin sin cos 2cos 0B C B B C + + + = ， 得 2c o s c o s c o sB C B−=，…4 分
因为sin 1B ，则 cos 0B ，故 1cos 2C =− ， ( )0,C .则 2
3C = . …6 分
（2）∵ 23+ =0tan tan tan
a b c
A B C+ ，∴由正弦定理得 sin sin 2 3 sin+0tan tan tan
A B C
A B C+=，
∴ cos cos 2 3 cos 0A B C+ + = ， 8 分
cos cos( ) - 3 03AA+ − = 31cos sin sin(A ) 12 2 3AA + = + = ，
3 2 6AA + = =， ，所以
6B = ， 1ab==， 10 分
∴ 1 1 2 3sin sin2 2 3 4S ab C = = = ． 12 分
18.解；（1）因为 A C B C= ，且点 D 为 AB 的中点，所以 CD AB⊥ .
因为侧面 11A A B B 为菱形，所以 1AA AB= ，又 1 60A AB = ，所以 1A AB 为等边三角
形，点 D 为 AB 的中点，所以 1A D AB⊥ ，且 1A D CD D= ， 1AD 、 CD 平面 1ACD
所以 AB ⊥ 平面 1ACD ，又 AB 平面 ABC ，所以平面 1ACD ⊥ 平面 ABC . 6 分
（2）连接 1CA、 1CB，因为 1 1 1ABC A B C− 是三棱柱，所以 11//AA CC ， 11AA CC= ，
所以四边形 11AA C C 是平行四边形，点 E 为 1AC 的中点，故 11A C AC E= ，
所以点 E 为 1AC 的中点，又点 D 为 AB 的中点，所以在 1ABC 中，有 1//DE BC
因为 DE 平面 11BCC B ， 1BC 平面 11BCC B ，所以 //DE 平面 11BCC B . 12 分
19.解：（1）根据题意可知： ( )1 7 8 10 12 13 105x = + + + + =甲 ，
( )1 9 8 10 11 12 105x = + + + + =乙 ， 2 分 而 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 1 7 10 8 10 10 10 12 10 13 10 5.25s = − + − + − + − + − =甲 ，
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 1 8 10 9 10 10 10 11 10 12 10 25s = − + − + − + − + − =乙 ， 4 分
∵ xx=甲 乙 ， 22ss甲 乙 ，
∴去甲、乙两地的人数相当，当天去往乙地的人流量更稳定一些. 6 分
（2）设随机抽取的去往甲、乙两地的公交车人数分别为 x ， y ，则所有 ( ),xy 为：
( )7 ,8 ， ( )7,9 ， ( )7 ,1 0 ， ( )7 ,1 1 ， ( )7,12 ， ( )8,8 ， ( )8,9 ， ( )8,1 0 ， ( )8,1 1 ，
( )8,12 ， ( )1 0 ,8 ，( )10,9 ，( )10,10 ，( )10,11 ，( )10,12 ，( )12,8 ，( )12,9 ，
( )1 2 ,1 0 ， ( )1 2 ,1 1 ， ( )1 2 ,1 2 ， ( )1 3,8 ， ( )1 3,9 ， ( )1 3 ,1 0 ， ( )1 3 ,1 1 ， ( )1 3 ,1 2 ，共 25
个， 10 分
而 20xy+ 的基本事件有 ( )1 0 ,1 1 ， ( )1 0 ,1 2 ， ( )12 ,9 ， ( )1 2 ,1 0 ， ( )1 2 ,1 1 ，
( )1 2 ,1 2 ， ( )1 3 ,8 ， ( )1 3 ,9 ， ( )1 3 ,1 0 ， ( )1 3 ,1 1 ， ( )1 3 ,1 2 ，
于是“甲、乙两地人流量大”的概率 11
25 . 12 分
20．解：（1）因为 ( )2 ,1Q 在椭圆 C 上,所以 22
411ab+=,
由
22
2
2
1
2
abe a
−==,得 226, 3ab==,所以椭圆 C 的方程为
22
163
xy+= 4 分
（2）由 tanAQBS AQB= 得： 1 sin tan2 QA QB AQB AQB = ,即
cos 2QA QB AQB = ,可得 2QA OB=, 6 分
①当 l 垂直 x 轴时, ( ) ( )2, 3 1 2, 3 1 4 1 3 2QA OB = − − − − − = + − = ,此时满足题意,所
以此时直线l 的方程为 0x = ; 7 分
②当 l 不垂直 x 轴时,设 ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y ,直线 l 的方程为 1y kx=+,
由
22
163
1
xy
y kx
+=
=+
消去 y 得( )221 2 4 4 0k x kx+ + − = ,
所以 1 2 1 222
44,1 2 1 2
kx x x xkk
−−+ = =++, 8 分 代入 2Q A O B=可得：( ) ( )1 1 2 22, 1 2, 1 2x y x y− − − − = ,
代入 1 1 2 21, 1y kx y kx= + = + ,得( )( ) 2
1 2 1 22 2 2x x k x x− − + = ,
代入化简得： ( )2
22
418 201 2 1 2
k k
kk
−+
+ + =++
, 解得 1
4k = ,
经检验满足题意,则直线 l 的方程为 4 4 0xy− + = . 11 分
综上所述直线 l 的方程为 0x = 或 4 4 0xy− + = . 12 分
21．解：因为 ( ) ( 1 ()e )2xf x x a = + + ，
①若 0a ，则 e 2 0x a+， 10x + ， ( ) 0fx 成立， ()fx在区间 ( 1,0)− 单调递增，
(0) 0fa=， 1( 1 ) 0 ef − = − ， (0) ( 1) 0ff − ，
所以 ()fx在区间 ( 1,0)− 有一个零点 3 分
②若 0a = ，则 ( ) 0fx ， ()fx在 ( 1,0)− 内单调递增，
所以 ( ) (0) 0f x f a = = ，所以 ()fx在区间 ( 1,0)− 无零点； 4 分
③若 0a ，则 e0xx ， 2( 1) 0ax+，则 ( ) 0fx ，
故 ()fx在区间 ( 1,0)− 上无零点。 5 分
综上所述， 0a ． 6 分
（2）由（1）可知， 2
2
ea 时， ()fx在 ( , 1)− − 单调递减，在( 1, )− + 单调递增，
且 ()fx在区间 ( 1,0)− 存在一个零点； 8 分
又 2
2( 2) 0efa− = − + ， ( 2) ( 1) 0ff− − ，
所以 ()fx在区间 ( 2, 1)−−也存在一个零点， 10 分
从而 2120xx− ，所以 122xx−，不等式得证． 12 分
22.解：（1）∵
1
1
2
1
mx m
my m
− = +
= +
（ m 为参数），∴ 1 2 1 2 11 1 1
m m m mxy m m m
− − ++ = + = =+ + +
， 又∵ ( )1212111 1 1
mmx m m m
− + +−= = = − + −+ + +
，
∴ 曲线 1C 的普通方程为 ( )1 0 1x y x+ − = − ； 5 分
（2）因为 2s i n= ，∴ 2 2 sin = ，又∵ co sx = ， s i ny = ，
∴ 222x y y+= ，即 ( ) 22 11xy+ − = ；
曲线 1C 的参数方程为
21,2
2
2
xt
yt
=−
=
，代入 2C 有 2 2 2 1 0tt− + = ，
依据参数的几何意义知 2 =1P M P A P B= ，
设 ( )00,M 则在 OPM 中，有 2
0 0 01=1 4sin 4sin cos +− ，
所以 0 0 = 或 0 = 4
，所以 ( )0 ,0M 或 2, 4M
. 10 分
23.解：（1） ( ) ( )
2 2, 3
4 1 3 4, 3 1
2 2, 1
xx
f x f x x x x
xx
− − −
+ + = − + + = −
+
.
当 3x − 时，由 2 2 6x− − ，解得 4x − ，此时 4x − ；
当 31x− 时， ( ) 6fx 不成立；
当 1x 时，由 2 2 6x +，解得 2x ，此时 2x .
综上所述，不等式的解集为( ), 4 2,− − + ； 5 分
（2）要证 ( ) a
bf ab a f
，即证 1ab a b− − ，
因为 1a ， 1b ，所以， 2 1a ， 2 1b ，
( ) ( )2 2 2 2 2 22 2221 2 1 2 1ab a b a b ab a ab b a b a b − − − = − + − − + = − + −
( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 21 1 1 1 0a b b a b= − − − = − − .
所以， 1ab a b− − .故所证不等式成立. 10 分
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