理科数学试卷 第 1 页 共 4 页
理科数学
（时间 120 分钟 满分 150 分）
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1. 已知集合 M＝{1,2,3,4,5}，则集合 P＝{x|x∈M，且 2x∉ M}的子集的个数为( )
A．16 B．8 C．4 D．2
2. 设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中 a 为实数，则 a 等于( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
3. “x＞1”是“ 1
2
log ( 2) 0x＋ ＜ ”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知 tan α＝3，
20 ， ，则 sin 2α＋cos (π－α)的值为( )
A．5＋ 10
10
B．5－ 10
10
C． 6＋ 10
10
D．6－ 10
10
5.函数
2
)2
3sin(
)(
x
x
xf
的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6.如图，直三棱柱 ABC－A1B1C1 的六个顶点都在半径为 1 的半球面上，AB＝AC，
侧面 BCC1B1 是半球底面圆的内接正方形，则侧面 ABB1A1 的面积为( )理科数学试卷 第 2 页 共 4 页
A. 2 B. 2
2 C．2 D．1
7.秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九
章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图
给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 x 的值为 3，每次输入 a 的值均
为 4，输出 s 的值为 484，则输入正整数 n 的值为( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
8.将函数 co 2
πs 0，b>0)的渐近线与抛物线 C2：x2＝2py(p＞0)交于
点 O，A，B.若△OAB 的垂心为 C2 的焦点，则 C1 的离心率为（ ）
A.
4
5 B.
4
9 C. 2 D.
2
3
12. 已 知 函 数 2)1ln()( xxaxf ， 若 在 区 间 （ 0,1 ） 内 任 取 两 个 不 同 实 数 nm、 ， 不 等 式
1)1()1(
nm
nfmf 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. ），（ 6- B. ），（ 15- C. ]6- ，（ D. 15]- ，（
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡相应的位置上）
13.设 x∈R，向量 a ＝(x,1)，b
＝(1，－2)，且 a ⊥b
，则| ba
＝________.理科数学试卷 第 3 页 共 4 页
14.已知(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7 的展开式中 x4 的系数是－35，则 a1＋a2＋…＋a7＝________.
15.某次考试共有 12 个选择题，每个选择题的分值为 5 分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，
A 学生对 12 个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为 X 分，B 学生对 12 个选择
题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为
Y 分，则 D(Y)－D(X)的值为________.
16.△ABC 中角 CBA 、、 的对边分别为 cba 、、 ,△ABC 的面积为 S ，已知 222 23 cba ，则 22 2
2
cb
S
的最大值为________．
三、解答题：本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（一）必做题：60 分.
17. (12 分)已知数列 na 满足 1 2 1 2n na a a a .
（1）若 1 2a ,求数列 na 的通项公式;
（2）若数列 2 4 1 21, , , , , , ,na a b b b 成等差数列,求数列 nb 的前 n 项和为 nS .
18.(12 分，答题纸上自主作图)如图，底面 ABCD 是边长为 2 且 60BDA 的菱形，
，平面ABCDAF ,// AFDE 且 .22 AFDE
（1）求证： ;ACE BDE平面 平面
（2）点G 在线段CE 上，且三棱锥 BGED 的体积是三棱锥
BGCD 的体积的两倍，求二面角 EBFG 的余弦值.
19.(12 分)已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
过点 ( 2,0)A ，其离心率 3
2e .
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）若直线 l 不经过点 A ，且与椭圆 E 相交于 ,B C 两点（ B 、C 不重合），若直线 AB 与直线 AC 的斜
率之积为 3
4 .证明：直线l 过定点，并求出定点坐标.理科数学试卷 第 4 页 共 4 页
20.(12 分)已知函数 2ln 1f x x ax ， 0a .
（1）讨论函数 f x 的单调性；
（2）若函数 f x 在区间( )1,0- 有唯一零点 0x ，证明： 2 1
0 1x ee .
21.(12 分)据长期统计分析，某货物每天的需求量 *r r N 在 17 与 26 之间，日需求量 r（件）的频率 P r
分布如下表所示：
需求量 r 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
频率 P r 0.12 0.18 0.23 0.13 0.10 0.08 0.05 0.04 0.04 0.03
已知其成本为每件 5 元，售价为每件 10 元.若供大于求，则每件需降价处理，处理价每件 2 元.假设每天的
进货量必需固定.
（1）设每天的进货量为 16 , 1,2, ,10n nX X n n ，视日需求量 16 , 1,2, ,10i ir r i i 的频率
为概率 1,2, ,10iP i ，求在每天进货量为 nX 的条件下，日销售量 nZ 的期望值 nE Z （用 iP 表示）；
（2）在（1）的条件下，写出 nE Z 和 1nE Z 的关系式，并判断 nX 为何值时，日利润的均值最大？
(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题．．．．作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修 4-4：极坐标与参数方程]（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中曲线 C 的直角坐标方程为
2 2 2 2 3 0x y x y ，直线l 过点 (0, 3)P ，且倾斜角为
3
.以坐标原点为极点 x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系.
（1）求直线l 的参数方程和曲线 C 的极坐标方程；
（2）设直线l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求| | | |PA PB 的值.
23.[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）已知函数 ( ) 1 1f x x ax .
（1）当 1a 时，求不等式 ( ) 4f x 的解集；
（2）若不等式 ( ) 2f x x 在 (0,1)x 时恒成立，求实数 a 的取值范围.理科数学答案 第 1 页 共 9 页
理科数学试题参考答案和评分参考
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项 B A B D A A C B B C D C
1. B【解析】由题意得 P＝{3,4,5}，∴集合 P 有 8 个子集
2. A【解析】 ∵(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i，∴a－2＝2a＋1，解得 a＝－3
3. B【解析】由 x＞1⇒x＋2＞3⇒ 1
2
log ( 2) 0x＋ ＜ ， 1
2
log ( 2) 0x＋ ＜ ⇒x＋2＞1⇒x＞－1，故“x＞1”是
“ 1
2
log ( 2) 0x＋ ＜ ”成立的充分不必要条件．
4.D【解析】由 tan α＝3，α∈ 0，π
2 ，得 cos α＝ 10
10
，
而 sin 2α＋cos (π－α)＝2sin αcos α－cos α ＝ 2tan α
1＋tan2α
－cos α ＝ 6
1＋9
－ 10
10
＝6－ 10
10
.
5. A【解析】由题意得函数 2
cos πxf x x
的定义域为 ,0 0, ，
∵ 2
cosπxf x f xx
，∴函数 f x 为偶函数，其图象关于轴对称，∴可排除 C，D．
又当 0x 时， (πcos 1)x ， 2 0x ，∴ f x ，所以可排除 B，故选 A．
6.A【解析】由题意知，球心在正方形的中心上，球的半径为 1，则正方形的边长为 2.∵ABC—A1B1C1 为
直三棱柱，∴平面 ABC⊥平面 BCC1B1，∴BC 为截面圆的直径，∴∠BAC＝90°.∵AB＝AC，∴AB＝1.∴侧
面 ABB1A1 的面积为 2×1＝ 2.
7.C【解析】模拟程序的运行，可得 x＝3，k＝0，s＝0，a＝4，
s＝4，k＝1；
不满足条件 k>n，执行循环体，a＝4，s＝16，k＝2；
不满足条件 k>n，执行循环体，a＝4，s＝52，k＝3；
不满足条件 k>n，执行循环体，a＝4，s＝160，k＝4；
不满足条件 k>n，执行循环体，a＝4，s＝484，k＝5.
由题意，此时应该满足条件 k>n，退出循环，输出 s 的值为 484，
可得 4≤n
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