2020 届模拟 06
文科数学
测试范围：学科内综合．共 150 分，考试时间 120 分钟
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．）
1．已知集合 , ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．已知实数 满足 （其中 为虚数单位），则复数 的共轭复
数为 （ ）
A． B． C． D．
3．已知命题 , ，则命题 的真假以及命题 的否定分别为
（ ）
A．真， ，
B．真， ，
C．假， ，
D．假， ，
4 ． 已 知 向 量 ， ， 若 ， 且 ， 则 实 数 的 值 为
（ ）
A．2 B．4 C． 或 2 D． 或 4
5．运行如下程序框图，若输出的 的值为 6，则判断框中可以填 （ ）
{ }3 81 3xA x= > { }2 12 11 0B x x x= ∈ − +
:p¬ 0, 2x
π ∀ ∈ 2 3sin 0x x− ≥
:p¬
0 0, 2x
π ∃ ∈ 0 02 3sin 0x x− >
:p¬
0 0, 2x
π ∃ ∈ 0 02 3sin 0x x− ≥
( )2,m= −a ( )1,n=b ( )− //a b b 2=b m
2− 4−
kA． B． C． D．
6． （ ）
A． B． C． D．
7．已知函数 ，则下列说法正确的是 （ ）
A．函数 的图象关于 对称
B．函数 的图象关于 对称
C．函数 的图象关于 中心对称
D．函数 的图象关于 中心对称
8．将函数 的图象向右平移 个单位后，得到的函数图象关于
对称，则当 取到最小值时，函数 的单调增区间为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知实数 满足 ，若 ，且 恒成立，则实数 的取值不可
能为 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
30S < 62S < 62S≤ 128S <
( ) tan75 1cos240 sin30 sin 60 sin120 1 tan75
° −° ° − − ° ° + =+ °
1 3
2 3
+ 1 3
2 3
− 1 3
2 3
− + 1 3
2 3
− −
( ) 3 21ln 3 33
xf x x x xx
−= + + ++
( )f x 1x = −
( )f x 1y = −
( )f x ( )1,0−
( )f x ( )1, 1− −
( ) ( )sin 03f x x
πω ω = − > 4
π
2x
π=
ω ( )f x
( )3 3,20 10 4 10k k k
π ππ π − ∈ + + Z ( )3 11 3,4 10 20 10k k k
π ππ π ∈ + + Z
( )3 3,20 5 4 5k k k
π ππ π − ∈ + + Z ( )3 11 3,4 5 20 5k k k
π ππ π ∈ + + Z
,x y
3
4
3 125 5
1 0
xy
x y
x
+
+
−
≥
≤
≥
3z mx y= − − 0z≥ m10．已知某几何体的三视图如下所示，若网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体的最短棱
长为 （ ）
A．1 B． C． D．2
11．已知椭圆 的离心率为 ，且 是椭圆 上相异的两点，若点
满足 ，则 的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
12 ． 已 知 关 于 的 不 等 式 在 上 恒 成 立 ， 则 的 最 小 值 为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在题中的横线上．）
13．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人.在他 1261 年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如
图所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自 11 世纪中叶（约公元
1050 年）贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”.故此，杨辉三角又被称为“贾
宪三角”.杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：
基于上述规律，可以推测，当 时，从左往右第 22 个数为 .
14．已知双曲线 的右焦点到渐近线的距离为 3.现有如下条件：①双
曲线 的离心率为 ； ②双曲线 与椭圆 共焦点； ③双曲线右支上的
一点 到 的距离之差是虚轴长的 倍.
请从上述 3 个条件中任选一个，得到双曲线 的方程为 .
2 3
2 2
2: 19
x yC b
+ = 2 2
3
,M N C ( )2,0P
PM PN⊥ PM MN⋅
125, 2
− −
15, 2
− −
[ ]25, 1− − [ ]5, 1− −
x 21 2 lnx x mx+ ≤ [ )1,+∞ m
23n =
( )2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
− = > >
C 5
4 C
2 2
: 136 11
x yC′ + =
P 1 2,F F 4
3
C（注：以上三个条件得到的双曲线 的方程一致）
15．已知四棱锥 中，底面四边形 为等腰梯形，且 ， ，
， ，若平面 平面 ，则四棱锥 外
接球的表面积为 .
第 15 题图 第 16 题图
16．如图所示，四边形 被线段 切割成两个三角形分别为 和 ，若
， ， ，则四边形 面积的最大值
为 .
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（12 分）已知正项数列 的前 n 项和为 ，若数列 是公差为 的等差数列，
且 是 的等差中项.
（1）证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
（2）若 是数列 的前 n 项和，若 恒成立，求实数 的取值范围.
18．（12 分）某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、
C
P ABCD− ABCD AB CD// 1
2AB CD=
PA PB AD= = 4 3PA AD CD+ = = PAB ⊥ ABCD P ABCD−
MNQP NP MNP△ QNP△
MN MP⊥ 2 sin 24MPN
π ∠ + = 2 2QN QP= = MNQP
{ }na nS 1
3
log na
1−
2 2a + 1 3,a a
{ }na { }na
nT 1
na
nT M< M“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类
比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象
棋”，乙同学从四种比赛中任选两种参与.
（1）求甲参加围棋比赛的概率；
（2）求甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率.
19．（12 分）已知四棱锥 中，底面 是直角梯形， ，且
， ， 为 的交点，点 在平面 内的投影为
点 .
（1） ；
（2）若 ，求三棱锥 的体积.
E ABCD− ABCD 90ABC∠ = °
AD BC// 2 2 2BC AD AB= = = F ,AC BD E ABCD
F
AF ED⊥
AF EF= D ABE−20．（12 分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，上、下顶点分别
为 ，若 ，点 关于直线 的对称点在椭圆 上.
（1）求椭圆 的方程与离心率；
（2）过点 做直线 与椭圆 相交于两个不同的点 ；
若 恒成立，求实数 的取值范围.
21．（12 分）已知函数 .
（1）当 时，求函数 的极值点；
（2）若 时，证明： .
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1 2,F F
,A B 1 2AF = 3( , 1)2
− y x= C
C
( )0,2 l M ,M N
OM ON λ⋅ ( )f x
1p > ( ) ( ) 33e1 2 1
p
p x f x p
−
− − < −请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清
题号．
22．（10 分）选修 4—4 坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中曲线 的参数方程为 （ 为参数），以 为极点，
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .
（1）求曲线 的普通方程以及直线 的直角坐标方程；
（2）将曲线 向左平移2个单位，再将曲线 上的所有点的横坐标缩短为原来的 ，得到
曲线 ，求曲线 上的点到直线 的距离的最小值.
23．（10 分）选修 4—5 不等式选讲
已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
xOy C 2 2cos
2sin
x
y
θ
θ
= +
=
θ O
x l cos 10 04
πρ θ + + =
C l
C C 1
2
1C 1C l
( )f x x m= −
2m = ( )
23
f x
x
>−
( ) 1 1 22f x x+ + ≥ m2020 届模拟 06 文科数学答案与解析
1 ． 【 答 案 】 C 【 解 析 】 依 题 意 ， 集 合 ，
，
故 ，故选 C.
2 ． 【 答 案 】 A 【 解 析 】 依 题 意 ， ， 故 ， 故
，故复数 的共轭复数为 ，故选 A.
3．【答案】B【解析】不妨取 ，此时 ，故命题 为真；特称命题的否定为
全称命题，故 ， ，故选 B.
4.【答案】C【解析】依题意，向量 ；因为 ，故 ，故 ；
又 ，即 或 1，故 或-2，故选 C.
5．【答案】B【解析】运行该程序，第一次， ；第二次， ；第三次， ；
第四次， ；第五次； ；第六次， ；观察可知，判断框中可以填
“ ”，故选 B.
6．【答案】A【解析】依题意，
；
；故原式的值为 ，故选 A.
7．【答案】D【解析】依题意， ，将函数 的图象向右平移一个单位，再
向上平移一个单位后，得到函数 的图象，这是一个奇函数，图象关于 中心对称，故函
数 的对称中心为 ，故选 D.
8．【 答 案 】 C 【 解 析 】 依 题 意 ， 将 函 数 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 后 ， 得 到
的图象，此时 ，
解得 ，故 ，故 的最小值为
故 ；令 ，解得
，即 ，故选 C.
{ } 9
2 93 81 3 3 3 2
x xA x x x x
= > = > = >
{ } { } { }2 12 11 0 1 11 2,3,4,5,6,7,8,9,10B x x x x x= ∈ − + < ∈ < 1 2 1 22 2
16 12,1 4 1 4
kx x x xk k
+ = − =+ +
1 2 1 2OM ON x x y y⋅ = + 2
1 2 1 2 2
17(1 ) 2 ( ) 4 1 1 4k x x k x x k
= + + + + = − + +
131 4OM ON− < ⋅ ∴ ( ) 2 1(2 1) 1 ln (2 1)( 1)2 2
pp p x x x p p − − − + − − ≤
3
1(2 1)( 1)2( ) e p
p p
h p −
− −
=
2
3 3
(2 9 7) ( 1)(2 7)( ) 2e 2ep p
p p p ph p − −
− + − −′ = − = −
( )h p 7(1, )2
7( + )2
∞，
1
2
367 94( ) ( )2 2 ee
h p h
×
= =≤ 2 e 3> ∴ 9 9 332 e
< = ∴ ( ) 3h p < 3e 0p− >
∴ ( ) 2 3(2 1) 1 ln 3e2
ppp p x x x − − − − + ( ) ( ) ( ) ( )2 2 3 2 2 3 43
f x f x x x x xx
> ⇒ > − ⇒ − > − ⇒ −
( )3,4（2）依题意，当 ， ，
故 ，解得 ；
当 时， ，
故 ，解得 ；
综上所述，实数 的值为 .（10 分）
2m −≥ ( )
3 1 ,2
1 11 1 , 22 2
3 1, 22
x m x m
f x x x m x m
x m x
+ −
+ + = − + + −
− + − −
≥
≤ ≤
≤
( )
min
1 1 1 22 2
mf x x
+ + = +
≥ 2m≥
2m −≤ ( )
3 1 , 22
1 11 1 , 22 2
3 1,2
x m x
f x x x m m x
x m x m
+ − > −
+ + = − − < −
− + −
≤
≤
( )
min
1 1 1 22 2
mf x x
+ + = − −
≥ 6m −≤
m ( , 6] [2, )−∞ − +∞
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