2020 届模拟 06
理科数学
测试范围：学科内综合．共 150 分，考试时间 120 分钟
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．）
1．已知集合 , ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．已知实数 满足 （其中 为虚数单位），则复数 的共轭复
数为 （ ）
A． B． C． D．
3．已知命题 , ，则命题 的真假以及命题 的否定分别为
（ ）
A．真， ，
B．真， ，
C．假， ，
D．假， ，
4 ． 已 知 向 量 ， ， 若 ， 且 ， 则 实 数 的 值 为
（ ）
A．2 B．4 C． 或 2 D． 或 4
5．运行如下程序框图，若输出的 的值为 6，则判断框中可以填 （ ）
{ }3 81 3xA x= > { }2 12 11 0B x x x= ∈ − +
:p¬ 0, 2x
π ∀ ∈ 2 3sin 0x x− ≥
:p¬
0 0, 2x
π ∃ ∈ 0 02 3sin 0x x− >
:p¬
0 0, 2x
π ∃ ∈ 0 02 3sin 0x x− ≥
( )2,m= −a ( )1,n=b ( )− //a b b 2=b m
2− 4−
kA． B． C． D．
6． （ ）
A． B． C． D．
7．已知函数 ，则下列说法正确的是 （ ）
A．函数 的图象关于 对称
B．函数 的图象关于 对称
C．函数 的图象关于 中心对称
D．函数 的图象关于 中心对称
8．将函数 的图象向右平移 个单位后，得到的函数图象关于
对称，则当 取到最小值时，函数 的单调增区间为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知实数 满足 ，若 ，且 恒成立，则实数 的取值不可
能为 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
30S < 62S < 62S≤ 128S <
( ) tan75 1cos240 sin30 sin 60 sin120 1 tan75
° −° ° − − ° ° + =+ °
1 3
2 3
+ 1 3
2 3
− 1 3
2 3
− + 1 3
2 3
− −
( ) 3 21ln 3 33
xf x x x xx
−= + + ++
( )f x 1x = −
( )f x 1y = −
( )f x ( )1,0−
( )f x ( )1, 1− −
( ) ( )sin 03f x x
πω ω = − > 4
π
2x
π=
ω ( )f x
( )3 3,20 10 4 10k k k
π ππ π − ∈ + + Z ( )3 11 3,4 10 20 10k k k
π ππ π ∈ + + Z
( )3 3,20 5 4 5k k k
π ππ π − ∈ + + Z ( )3 11 3,4 5 20 5k k k
π ππ π ∈ + + Z
,x y
3
4
3 125 5
1 0
xy
x y
x
+
+
−
≥
≤
≥
3z mx y= − − 0z≥ m10．已知某几何体的三视图如下所示，若网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体的最短棱
长为 （ ）
A．1 B． C． D．2
11．已知椭圆 的离心率为 ，且 是椭圆 上相异的两点，若点
满足 ，则 的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 的定义域为 ，若对任意的 ，
恒成立，则实数 的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在题中的横线上．）
13．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人.在他 1261 年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如
图所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自 11 世纪中叶（约公元
1050 年）贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”.故此，杨辉三角又被称为“贾
宪三角”.杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：
基于上述规律，可以推测，当 时，从左往右第 22 个数为 .
14．多项式 的展开式中，含 项的系数为 .
15．已知四棱锥 中，底面四边形 为等腰梯形，且 ， ，
2 3
2 2
2: 19
x yC b
+ = 2 2
3
,M N C ( )2,0P
PM PN⊥ PM MN⋅
125, 2
− −
15, 2
− −
[ ]25, 1− − [ ]5, 1− −
( ) 2
1 2ln xf x x
−= 1(0, ]e 1 2,x x 1(0, ]e
∈
( ) ( ) ( )1 2 1 2
2 2
1 2 1 2
f x f x m x x
x x x x
− +>− m
( ,3]−∞ ( ,4]−∞ ( ,5]−∞ ( ,6]−∞
23n =
8
2 1 2
2
x
x
+ −
7x
P ABCD− ABCD AB CD// 1
2AB CD=， ，若平面 平面 ，则四棱锥 外
接球的表面积为 .
第 15 题图 第 16 题图
16．如第 16 题图所示，四边形 被线段 切割成两个三角形分别为 和
，若 , , ，
则四边形 面积的最大值为 .
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（12 分）已知正项数列 的前 n 项和为 ，若数列 是公差为 的等差数列，
且 是 的等差中项.
（1）证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
（2）若 是数列 的前 n 项和，若 恒成立，求实数 的取值范围.
18．（12 分）某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、
“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类
PA PB AD= = 4 3PA AD CD+ = = PAB ⊥ ABCD P ABCD−
MNQP NP MNP△
QNP△ MN MP⊥ 2 sin 24MPN
π ∠ + = 2 2QN QP= =
MNQP
{ }na nS 1
3
log na
1−
2 2a + 1 3,a a
{ }na { }na
nT 1
na
nT M< M比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象
棋”，乙、丙两位同学从四种比赛中任选两种参与.
（1）求甲、乙同时参加围棋比赛的概率；
（2）记甲、乙、丙三人中选择“中国象棋”比赛的人数为 ，求 的分布列及期望.ξ ξ19．（12 分）如图，三棱锥 中， ， ， 分别为
的中点， ；连接 ，平面 平面 .
（1）证明： ；
（2）求二面角 的余弦值.
1
−E EBC 90EBC∠ = ° 1 2 4AE EB BC= = = ,A D
,EB EC 1E A AD⊥ 1 1 1 1, , ,EE E B E C E D 1AE D ⊥ ABCD
1EE BC⊥
1C BE D− −20．（12 分）已知椭圆 的离心率为 ，点 是椭圆 上
的点.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知斜率存在又不经过原点的直线 与圆 相切，且与椭圆 交于
两点.探究：在椭圆 上是否存在点 ，使得 ，若存在，请求出实数
( )2 2
2 2: 1 0y xC a ba b
+ = > > 1
2
2 6 2,3 3P
−
C
C
l 2 2: 2 0x y yΩ + + = C
,M N C Q OM ON mOQ+ = 的取值范围，若不存在，请说明理由.m21．（12 分）已知函数 .
（1）若函数 的图象在点 处的切线的斜率为 ，求函数 在 上的最
小值；
（2）若关于 的方程 在 上有两个解，求实数 的取值范围.
( ) emxf x x=
( )f x ( )( )1, 1f 2e ( )f x [ ]2,2−
x ( ) 1f x x
= ( )0,+∞ m请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清
题号．
22．（10 分）选修 4—4 坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中曲线 的参数方程为 （ 为参数），以 为极点，
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .
（1）求曲线 的普通方程以及直线 的直角坐标方程；
（2）将曲线 向左平移2个单位，再将曲线 上的所有点的横坐标缩短为原来的 ，得到
xOy C 2 2cos
2sin
x
y
θ
θ
= +
=
θ O
x l cos 10 04
πρ θ + + =
C l
C C 1
2曲线 ，求曲线 上的点到直线 的距离的最小值.
23．（10 分）选修 4—5 不等式选讲
已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
1C 1C l
( )f x x m= −
2m = ( )
23
f x
x
>−
( ) 1 1 22f x x+ + ≥ m2020 届模拟 06 理科数学答案与解析
1 ． 【 答 案 】 C 【 解 析 】 依 题 意 ， 集 合 ，
，
故 ，故选 C.
2 ． 【 答 案 】 A 【 解 析 】 依 题 意 ， ， 故 ， 故
，故复数 的共轭复数为 ，故选 A.
3．【答案】B【解析】不妨取 ，此时 ，故命题 为真；特称命题的否定为
全称命题，故 ， ，故选 B.
4．【答案】253【解析】当 时，共有 24 个数，从左往右第 22 个数即为这一行的倒数第 3 个数，观
察可知，其规律为 1,31,61,101,151,211,281,361,451,551,661,781,911,1051，
1201,1361,1531,1711,1901,2101,2311,253，故所求数字为 253.
5．【答案】B【解析】运行该程序，第一次， ；第二次， ；第三次， ；
第四次， ；第五次； ；第六次， ；观察可知，判断框中可以填
“ ”，故选 B.
6．【答案】A【解析】依题意，
；
；故原式的值为 ，故选 A.
7．【答案】D【解析】依题意， ，将函数 的图象向右平移一个单位，再向
上平移一个单位后，得到函数 的图象，这是一个奇函数，图象关于 中心对称，故函数
的对称中心为 ，故选 D.
8．【 答 案 】 C 【 解 析 】 依 题 意 ， 将 函 数 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 后 ， 得 到
的图象，此时 ，
解得 ，故 ，故 的最小值为
故 ；令 ，解得
，即 ，故选 C.
{ } 9
2 93 81 3 3 3 2
x xA x x x x
= > = > = >
{ } { } { }2 12 11 0 1 11 2,3,4,5,6,7,8,9,10B x x x x x= ∈ − + < ∈ < −
1 2
2 2
1 2
( ) ( )
1 1
f x f x m
x x
− >
− 2
1( ) ( )g f xx
=
( ) lng x x x x= + 2[e , )x∈ +∞ ( ) 2 lng x x′ = + 2[e , )x∈ +∞ ( ) 2 ln 4g x x′ = + ≥
1 2
2 2
1 2
( ) ( ) 41 1
f x f x
x x
− >
−
m ( ,4]−∞
23n =
8
2 1 2
2
x
x
+ −
7x 2x
1
2 x
2− ( )2
24 2
8 4
1 2 4202C C ⋅ ⋅ ⋅ − =
52π ABCD，故 ；因为 , ，
，
故 ；取 CD 的中点 E，则 E 是等腰梯形
外接圆圆心；F 是 外心，作 平面 ， 平面 ，则 O 是四棱锥 的外接球
的球心，且 ；设四棱锥 的外接球半径 ，则 ，所以四棱
锥 外接球的表面积是 .
16 ．【答案】 【解析】因为 ，故 ，
故 ，故 是等腰直角三角形；在 中， ，
由余弦定理， ； ；
又 ， ；
易知当 时，四边形 的面积有最大值，最大值为 ．
17．【解析】（1）依题意， ，故 ，故 ；
故数列 是公比为 3 的等比数列，因为 ，故 ，
解得 ；故数列 的通项公式为 ；（6 分）
（2）依题意， ，故数列 是以 1 为首项， 为公比的等比数列，
故
故 ，即实数 的取值范围为 .（12 分）
18．【解析】（1）依题意，甲、乙同时参加围棋比赛的概率 ；（4 分）
（2）依题意， 的可能取值为 1,2,3；乙或丙选择“中国象棋”比赛的概率为 ；
， ， ，故 的分布列为
1 2 3
AB CD// AD BC= PA PB= 1
2AB CD=
, 4 3PA PB AD PA AD CD= = + = = =2 3PA PB AB AD BC= = = =
3ADC
π∠ = ABCD
PAB△ OE ⊥ ABCD OF ⊥ PAB P ABCD−
3, 2OF GE PF= = = P ABCD− R 2 2 2 13R PF OF= + =
P ABCD− 52π
5 24
+ 2 sin 24MPN
π ∠ + = 4 2MPN
π π∠ + =
4MPN
π∠ = MNP△ QNP△ 2, 1QN QP= =
2 5 4cosNP Q= − 2 21 1 os42 c4
5
MNPS MN NP Q= −= =△
1 sin2 sinQNPS NQ P QQ Q= ⋅ ⋅ =△
5 5cos sin 2 sin( )4 4 4MNQPS Q Q Q
π= − + = + −
4Q
3π
= MNQP 5 24
+
1 1 1
3 3
log log 1n na a+ − = − 1
1
3
log 1n
n
a
a
+ = − 1 3n
n
a
a
+ =
{ }na ( )2 1 32 2a a a+ = + ( )1 1 12 3 2 9a a a+ = +
1 1a = { }na 13n
na −=
1
1 1
3n
na −= 1
na
1
3
1 2 3
1 1 1 1
n
n
T a a a a
= + + + + 1
111 1 3 1 33=1 113 3 2 3 21 3
n
n n−
− + + + = = − =
⋅
m
∴ 1C BE D− − 3
3
2
2
11 2
c be a a
= = − =
2
2
3
4
b
a
=
2 6 2,3 3P
− 2 2
4 8 19 3a b
+ =
2 24, 3a b= = C
2 2
14 3
y x+ =
C Q OM ON mOQ+ =
: ( )( 0, 0)l y k x t k t= + ≠ ≠ 2 2: 2 0x y yΩ + + = ( )22 1 1x y+ + =
: ( )( 0)l y k x t t= + ≠ 2 2: ( 1) 1x yΩ + + =
2
| 1| 1
1
kt
k
+ =
+
2 2 22 =0k t kt k+ − 1t = ± k
0k ≠ 1, 0t t≠ ± ≠
2
2
1
tk t
= − : ( )( 0)l y k x t t= + ≠ C
2 2
14 3
y x+ = 2 2 2 2 2(4 3 ) 6 3 12 0k x k tx k t+ + + − =
l C 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y
2
1 2 2
6
4 3
k tx x k
+ = − +
2 2
1 2 2
3 12
4 3
k tx x k
−⋅ = − +
1 2 1 2 1 2 2
8( ) ( ) ( ) 2 4 3
kty y k x t k x t k x x kt k
+ = + + + = + + = +.
因为 ，故 ，
即 的坐标为 .
又因为 在椭圆上，所以 ，
得 ，把 代入得 ；
因为 ，所以 ， ，于是 或 ，
综上所述 .（12 分）
21．【解析】（1）依题意， ，故 ，
解得 ，故 ；令 ，故 ；
因为 , , ，
故函数 在 上的最小值为 ；（4 分）
（2）依题意， ；
问题转化为 在 有两个解；
令 , ．
①当 时, , 在 上单调递增．
由零点存在性定理， 在 至多一个零点，与题设发生矛盾．
②当 时，令 ，则 ．
+ 0 -
单调递增 极大值 单调递减
因为 ，当 （或 ），
要使 在 内有两个零点，则 即可，得 ，
又因为 ，所以 ；综上，实数 的取值范围为 ．（12 分）
22．【解析】（1）曲线： ；直线: ；（4分）
2
1 2 1 2 2 2
6 8( , ) ( , )4 3 4 3
k t ktOM ON x x y y k k
+ = + + = − + +
OM ON mOQ+ = 2
2 2
6 8( , )(4 3 ) (4 3 )
k t ktOQ m k m k
= − + +
Q
2
2 2
6 8( , )(4 3 ) (4 3 )
k t ktQ m k m k
− + +
Q
22 2
22
68
(4 3 )(4 3 ) 14 3
k tkt
m km k
− ++ + =
2 2
2
2
4
4 3
k tm k
= + 2
2
1
tk t
= −
2 2
422
4 2
2
2 2 4
24( ) 4 41
2 1 114 3( ) 11
t t ttm t t t
t t t
−= = =+ ++ + +−
2
1 0t
>
4 2
1 1 1 1t t
+ + > 20 4m< < 2 0m− < < 0 2m< <
( )( 2,0) 0,2m∈ −
( )' e emx mxf x mx= + ( ) ( )' 1 e e 1 e 2em m mf m m= + = + =
1m = ( ) ( )' e e 1 ex x xf x x x= + = + ( )' 0f x = 1x = −
( ) 22 2ef −− = − ( ) 11 ef −− = − ( )2 0f >
( )f x [ ]2,2− ( ) 11 ef −− = −
( ) 21 1 e 1e 0 0
mx
mx xf x xx x x
−= ⇔ − = ⇔ =
2 e 1 0mxx − = ( )0,+∞
( ) 2 e 1mxx xϕ = − ( ) ( )2 e 2 e e 2mx mx mxx mx x x mxϕ′ = + = +
0m≥ ( ) ( )e 2 0mxx x mxϕ′ = + > ∴ ( )y xϕ= ( )0,+∞
( )y xϕ= ( )0,+∞
0m < ( )e 2 0mxx mx + = 2x m
= −
x 20, m
−
2
m
− 2 ,m
− +∞
( )xϕ
( )xϕ′
( )0 1ϕ = − ( ), 1x xϕ→ +∞ → − ( )1 e 1 0mϕ = − <
∴ ( ) 2 e 1mxx xϕ = − ( )0,+∞ 2 0m
ϕ − >
2
2
4
em <
0m < 2 0e m− < < m 2 ,0e
−
( )2 2: 2 4C x y− + = : 2 5 0l x y− + =（2）依题意，曲线 ；又曲线 的参数方程为 为参数)，
设曲线 上任一点 ，
则 (其中 )，
所以点 到直线 的距离的最小值为 .（10分）
23．【解析】（1）显然 ；故 ，
故不等式 的解集为 ；（5 分）
（2）依题意，当 ， ，
故 ，解得 ；
当 时， ，
故 ，解得 ；
综上所述，实数 的值为 .（10 分）
2
2
1 : 14
yC x + = 1C cos (2sin
x
y
θ θθ
=
=
1C ( )cos ,2sinP θ θ
( )cos 2sin 2 5 2 5 5sin 10
22 2P ld
θ θ θ ϕ
→
− + − +
= = ≥ 1tan 2
ϕ = −
P l 10
2
3x > ( ) ( ) ( ) ( )2 2 3 2 2 3 43
f x f x x x x xx
> ⇒ > − ⇒ − > − ⇒ −
( )3,4
2m −≥ ( )
3 1 ,2
1 11 1 , 22 2
3 1, 22
x m x m
f x x x m x m
x m x
+ −
+ + = − + + −
− + − −
≥
≤ ≤
≤
( )
min
1 1 1 22 2
mf x x
+ + = +
≥ 2m≥
2m −≤ ( )
3 1 , 22
1 11 1 , 22 2
3 1,2
x m x
f x x x m m x
x m x m
+ − > −
+ + = − − < −
− + −
≤
≤
( )
min
1 1 1 22 2
mf x x
+ + = − −
≥ 6m −≤
m ( , 6] [2, )−∞ − +∞
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