吉林梅河口市五中2020届高三数学（文）下学期模拟试卷（Word版附答案）

2  高三下学期模拟考试 数学（文科） 1、已知集合 A = {1, 2, 3}, B = {x (x + 1) (x − 2 ) ≤ 0 } ，则 A ∩ B 等于( ) A. {1} B. {1, 2} C. {0,1, 2, 3} D. {−1, 0,1, 2, 3} 2、已知复数 z 在复平面内对应点是 (1, −2) ， i 为虚数单位，则 z + 2 = ( ) z − 1 A. −1 − i B. 1+ i 3C. 1 − i 2 D. 1 + 3 i 2 3、命题" ∀x ∈ R, x 3 − x 2 + 1 ≤ 0 "的否定是( ) 4、已知向量 a = (4, −1), b = (−5, 2) ，且 (a + b) / /(ma − b) ，则实数 m = （ ） A. 1 B. -1 C. 7 5 D. − 7 5 5、已知 a = 21.2 ， b =  1    −0.8 ， c = 2 log5 2 ，则 a, b, c 的大小关系为( ) A. c < b < a B. c < a < b C. b < a < c D. b < c < a6、数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹 日自倍，松竹何日而长等.如图，是源于其思想的一个程序框图.若输入的 a, b 分别为 8, 2 ， 则输出的 n = ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 7、在△ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，若 A = 30°, b2 = 2ac ，则 b sin B = c （ ） A. 1 B. 2 C. 1 2 D. 3 2 8、在区间[− π , π ] 上随机取一个数 x ，则 sin 2x 的值介于 0 到3 之间的概率为 4 4 2 （ ） A. 3 4 D. 1 3 B. 2 3 C. 1 2 9、已知直线 y = kx(k ≠ 0) 与双曲线 x 2 y 2 − = 1(a > 0, b > 0) 交于 A, B 两点，以 AB 为直 a2 b2 径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F ，若△ABF 的面积为 4a 2 ，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 5 10、设函数 f ( x) 的定义域 D ，如果存在正实数 m ，使得对任意 x ∈ D ，都有  S 4 f ( x + m) > f ( x) ，则称 f ( x) 为 D 上的“ m 型增函数”，已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的 奇函数，且当 x > 0 时， f ( x) = x − a − a （ a ∈ R ）．若 f ( x) 为 R 上的“20 型增函数”， 则实数 a 的取值范围是（ ） A． a > 0 B． a < 5 C． a < 10 D． a < 20 11、已知过球面上三点 A, B, C 的截面到球心距离等于球半径的一半，且 AC = BC = 6, AB = 4 ，则球面面积为( ) A. 42π B. 48π C. 54π D. 60π 12、已知直线 l : y = −2 x − m(m > 0) 与圆 C : x 2 + y 2 − 2x − 2 y − 23 = 0 ，直线 l 与圆 C 相 交于不同两点 M , N .若| MN |≤ 2 | CM + CN | ，则 m 的取值范围是（ ） A. [ 5, 5) B. [2, 5 5 − 3) C. (5, 5 5 ) D. ( 3, 2) 13、设曲线 y = ax2 在点 (1, a) 处的切线与直线 x + 2 y − 6 = 0 垂直，则 a = .  x − 2 y ≤ 0 14、已知 x, y 满足约束条件 2 x + y − 4 ≤ 0 ，则 z = x + y 的最小值为 ．  x ≥ 1 15、已知正数 x, y 满足 3x + 4 y = xy ，则 x + 3 y 的最小值为 . 16、△ ABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知 a = b cos C + c sin B ，且 b = 2 ， 则△ ABC 面积的最大值是 . 17、已知等差数列{an } 的前 n 项和为 Sn ，且 S2 = 8，a3 + a8 = 2a5 + 2 ． (1)求 an ； (2)设数列{ 1 } 的前 n 项和为 T ，求证 T < 3 .n n n 18、如图，在三棱柱 ABC − A1 B1C1 ，侧棱垂直于底面， AB ⊥ BC, E, F 分别是 A1C1 , BC 的中点.2 (1).求证：平面 ABE ⊥ 平面 B1 BCC1 ； (2).求证： C1 F / / 平面 ABE . 19、如图，在四棱锥 P − ABCD 中， PD ⊥ 平面 ABCD ， AB / /CD, AB ⊥ BC, AB = BC = 4, CD = 2CE = 2 . （1）证明：平面 PAD ⊥ 平面 PDE ； （2）若△PAB 的面积为 2 21 ，求三棱锥 P − ADE 的体积. 20、在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C : x y 2 + = 1 的左顶点为 A，右焦点为 F，P， 4 3 Q 为椭圆 C 上两点，圆 O : x2 + y2 = r 2 (r > 0) . （1）若 PF ⊥ x 轴，且满足直线 AP 与圆 O 相切，求圆 O 的方程； （2）若圆 O 的半径为 2，点 P，Q 满足 k 值. 21、设函数 f ( x ) = ln x − 1 ax 2 − bx . 2 OP ⋅ kOQ = − 3 ，求直线 PQ 被圆 O 截得弦长的最大 4 （1）若 x = 1 是 f ( x ) 的极大值点，求 a 的取值范围； （2）当 a = 0 , b = − 1 时，方程 x2 = 2mf ( x) （其中 m > 0 ）有唯一实数解，求 m 的值. 22、选修 4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系3  x = 中取相同的长度单位．已知直线 l 的参数方程为  3 − t ( t 为参数)，曲线 C 的极坐标  π 方程为 ρ= 4 sin θ+  .   y = 1 + 3t (1)求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程； (2)若直线 l 与曲线 C 交于 M , N 两点，求△MON 的面积． 23、已知函数 f (x) = x − 3 − 2 x . (1)求不等式 f ( x) ≤ 2 的解集； (2)若 f ( x) 的最大值为 m，正数 a, b, c 满足 a + b + c = m ，求证： a2 + b2 + c2 ≥ 3 .2  5 5 1 答案及解析： 答案：B 解析：∵集合 A = {1, 2, 3}, B = {x (x + 1) (x − 2 ) ≤ 0}= {x −1 ≤ x ≤ 2 } ， ∴ A ∩ B = {1, 2} .故选 B. 2 答案及解析： 答案：D 解析： z + 2 = 3 − 2i = 1 + 3 i ，故选 D. z − 1 −2i 2 3 答案及解析： 答案：C 解 析 ： 由 全 称 命 题 的 否 定 是 特 称 命 题 可 得 命 题 ∀x ∈ R,x3 − x 2 + 1 ≤ 0 的 否 定 是 “ 3 2∃x0 ∈ R,x0 − x0 + 1 > 0 ”，故选 C. 4 答案及解析： 答案：B 解析：易知 a + b = (−1,1), ma − b = m(4, −1) − (−5, 2) = (4m + 5, −m − 2) ，因为 (a + b) / /(ma − b) ，所以 (−1) × (−m − 2) − 1× (4m + 5) = 0 ，解得： m = −1， 故选 B. 5 答案及解析： 答案：A 解析：∵ a = 21.2 > 2 ， b =  1    −0.8 = 20.8 < 21 = 2 ， c = log 4 < log 5 = 1 ， ∴ c < b < a .故选 A. 6 答案及解析：答案：D 解析：输入的 a, b 分别为 8, 2, n = 1 第一次执行循环体后 a = 12, b = 4, 不满足退出循环的条件， 第二次执行循环体后 n = 2, a = 18, b = 8, 不满足退出循环的条件， 第三次执行循环体后 n = 3, a = 27, b = 16, 不满足退出循环的条件， 第四次执行循环体后 n = 4, a = 81 , b = 32 ，不满足退出循环的条件， 2 第五次执行循环体后 n = 5, a = 243 , b = 64 ，满足退出循环的条件， 4 故输出的 n = 5 ，故选 D. 7 答案及解析： 答案：A 解析：因为 b2 = 2ac ，由正弦定理，得 sin 2 B = 2 sin A sin C = 2 sin 30 sin C = sin C ，所 b sin B以 c sin 2 B= = 1， sin C 故选 A. 8 答案及解析： 答案：D π π π 3解析：所有的基本事件构成的区间长度为 − (− ) = ，由 0 ≤ sin 2 x ≤ ，解得： 4 4 2 2 0 ≤ 2 x ≤ π ，则 0 ≤ x ≤ π ，所以由几何概型的概率公式得 sin 2x 的值介于 0 到 3 之间的 3 6 2 π − 06 1概率为 P = π = 3 ， 2 故选:D. 9 答案及解析： 答案：D解析：由题意可得图像如图所示： 为双曲线的左焦点 2 ∵AB 为圆的直径 ∴∠AFB = 90° 根据双曲线、圆的对称性可知：四边形 AFBF ' 为矩形 ∴S = 1 S = S△ABF 2 AFBF ' △FBF ' 又 b 2 2 2 2S△FBF ' = = b tan 45° = 4a ，可得： c = 5a ∴e2 = 5 ⇒ e = 5 .故选 D. 10 答案及解析： 答案：B 解析：若 a ≤ 0 ：当 x > 0 时， f ( x) =| x − a | −a =| x |= x ， 又∵ f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，∴ f ( x) = x ，符合题意； − x, 0 < x < a若 a > 0 ：当 x > 0 时， f ( x) =| x − a | −a =  ，  x − 2a, x ≥ a 又∵ f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，根据题意可知 f ( x + 20) > f ( x) 对于任意 x ∈ R 恒成 立，∴问题等价于将 f ( x) 的图象向左平移 20 个单位后得到的新的函数 f ( x + 20) 图象恒在 f ( x) 图象上方，可知 4a < 20 ，即 0 < a < 5 ，综上实数 a 的取值范围是 (−∞, 5) ，故选 B. 11 答案及解析： 答案：C解析：如图，设球的半径为 R, O′ 是△ ABC 的外心，外接圆半径为 r, 则 OO′ ⊥ 面 ABC .在 1 2 2Rt△ACD 中， cosA = ，则 sinA = . 3 在△ABC 中，由正弦定理得 6 sin A 3 = 2r, r = 9 4 2 ，△ABC 外接圆的半径 r = 9 2 = 3 R ⇒ R2 = 27 ，S= 4πR2 = 54π .故选:C. 4 2 2 12 答案及解析： 答案：B 解析：圆 C 方程可化为： ( x −1)2 + ( y −1)2 = 25 ⇒ C (1,1) ，圆 C 半径 r = 5 | MN |≤ 2 | CM + CN |=| MN |2 ≤ 4 | CM + CN |2 即| MN |2 ≤ 4 | CM |2 +4 | CN |2 +8CM ⋅ CN ∴| MN |2 ≤ 100 + 100 + 8 | CM | ⋅ | CN | cos ∠MCN  2 ⇒| MN |2 ≤ 100 + 100 + 200 × 25 + 25− | MN | 50 ⇒| MN |≤ 4 5 设圆心 C 到直线 y = −2 x − m 的距离为 d 则 2 r 2 − d 2 = 2 25 − (| 3 + m |)2 ≤ 4 5 ⇒ m ≥ 2 5 又直线 y = −2 x − m 与圆 C 相交，可得 d < r | 3 + m |即 5 < 5 ⇒ m < 5 5 − 3 综上所述： m ∈[2, 5 5 − 3) 故选 B. 13 答案及解析： 答案：1 解析： y ' = 2ax ，所以切线的斜率 k = 2a ，  又切线与直线 x + 2 y − 6 = 0 垂直得 2a ×  − 1  = −1 ，解得 a = 1. 2   14 答案及解析： 答案： 3 2  x − 2 y ≤ 0 解析：作出 x，y 满足约束条件 2 x + y − 4 ≤ 0 对应的平面区域如图：  x ≥ 1 由 z = x + y 得 y = −x + z 表示，斜率为-1 纵截距为 z 的一组平行直线， 平移直线 y = −x + z 当直线 y = −x + z 经过点 A 时，直线 y = −x + z 的截距最小，此时 z 最小，  x = 1 1由  ⇒ A(1, ) ，  x − 2 y = 0 2 z = 1 + 1 = 3 ．此时 min 2 2 3故答案为： ． 2 15 答案及解析： 答案：25 解析：由正数 x，y 满足 3x+4y=xy，∴ ． ∴x+3y= =13+ ≥13+2 =25，当且仅当 x=2y=10 时， 取等号． ∴x+3y 的最小值为 25． 故答案为：25． 16 答案及解析： 答案： 2 + 1 2 解析：由 a = b cos C + c sin B 及正弦定理得， sin A = sin B cos C + sin C cos B ，即 sin ( B + C ) = sin B cos C + sin C sin B ， 又 sin ( B + C ) = sin B cos C + sin C sin B ，于是可得 sin B = cos B ， 即 tan B = 1, B = 45° . 在△ ABC 中，由余弦定理得 a2 + c2 = 2ac cos 45° = 2 ，即 a2 + c2 − 2ac = 2 ， 又因为 a2 + c2 ≥ 2ac ， ∴ 2 = a2 + c2 − 2ac ≥ (2 − 2 ) ac ， 由此可得 ac ≤ 2 2 − = 2 + 2 2 ，当且仅当 a = c 时等号成立， △ ABC 面积 S = 1 ac sin B = 2 (2 + 2 ) = 2 +1 ， 2 4 2 故△ ABC 面积 S 最大值为 2 +1 .2 17 答案及解析： 答案：（1）设公差为 d，由题意有  2a1 + d = 8 ， 2a1 + 9d = 2a1 + 8d + 2 解得 a1 = 3, d = 2 ， 所以 an = 2n + 1 . （2）由（1）知， Sn = n (3 + 2n + 1) = n2 + 2n ， 2 则 1 = 1 = 1 ( 1 − 1 ) ， Sn n(n + 2) 2 n n + 2 所以 T = 1 [(1 − 1 ) + ( 1 − 1 ) + (1 − 1 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + ( 1 − 1 ) + ( 1 − 1 )]n 2 3 2 4 3 5 n − 1 n + 1 n n + 2 = 1 (1 + 1 − 1 − 1 ) < 3 . 2 2 n + 1 n + 2 4 18 答案及解析： 答案：(1).在三棱柱 ABC − A1 B1C1 中， BB1 ⊥ 底面 ABC所以 BB1 ⊥ AB 又因为 AB ⊥ BC BC ∩ BB1 = B BC, BB1 ⊂ 平面 B1 BCC1 所以 AB ⊥ 平面 B1 BCC1 又 AB ⊂ 平面 ABE 所以平面 ABE ⊥ 平面 B1 BCC1 (2).证明： AB 取的中点 G，连接 EG, FG 因为 E, F 分别是 A1C1 , BC 的中点 所以 FG / / AC ，且 FG = 1 AC 2 因为 AC / / A1C1 ，且， AC = A1C1 ，所以 FG / / EC1 ，且 FG = EC1 ，所以四边形为 FGEC1 平行 四边形 所以 C1 F / / EC 又因为 EG ⊂ 平面 ABE ， C1 F ⊄ 平面 ABE 所以 C1 F / / 平面 ABE 19 答案及解析： 答案：（1）在直角梯形 ABCD 中， AB = BC = 4 ，CD = 2 ，CE = 1，Ð ABE = Ð ECD \ DE = CE 2 + CD2 = 5 ， AB = BE 2 + AB2 = 5 AD = (AB - CD)2 + BC 2 = 2 5 \ DE 2 + AE 2 = AD2 ， \ AD ^ DE Q PD ^ 平面 ABCD ， DE Ì 平面 ABCD ， \ PD ^ DE ，又 AD I PD = D \ DE ^ 平面 PAD ，又 DE Ì 平面 PDE ， \ 平面 PAD ^ 平面 PDE\ S y  2  （2）设 PD = h ， BD = CD2 + BC 2 = 2 5 ， AD = 2 5 \ PA = PB = h2 + 20 ΔPAB = 1 鬃AB PA2 - ( 1 AB)2 = 2 2 2×h 2 + 16 = 2 21 \ h = 5 又 S△ADE = 1 AD ×DE = 5 2 \ 1 5 5VP- ADE = S△ADE ×h = 3 3 20 答案及解析： x2 答案：（1）因为椭圆 C 的方程为 2 + = 1 ，所以 A (−2, 0) , F (1.0) . 4 3 因为 PF ⊥ x 轴，所以 P 1, ± 3  ，而直线 AP 与圆 O 相切， 2   根据对称性，可取 P 1, 3  ，  则直线 AP 的方程为 y = 1 ( x + 2) ，即 x − 2 y + 2 = 0 . 2 2 4由圆 O 与直线 AP 相切，得 r = ，所以圆 O 的方程为 x2 + y 2 = . 5 5 （2）易知，圆 O 的方程为 x2 + y 2 = 3 . ①当 PQ ⊥ x 轴时， k ⋅ k = −k 2 = − 3 ，所以 k = ± 3 ，OP OQ OP 4 OP 2 此时得直线 PQ 被圆 O 截得的弦长为 2 2 . ②当 PQ 与 x 轴不垂直时，设直线 PQ 的方程为 y = kx + b ，P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) ( x1 x2 ≠ 0) ，2 2 8kb 4b 2 −12 ）式，得 2b2 = 4k 2 3 + 4k 2 代入（* 3 + 4k 2 首先由 k ⋅ k = − 3 ，得 3x x + 4 y y = 0 ，OP OQ 4 1 2 1 2 即 3x1 x2 + 4 (kx1 + b) (kx2 + b) = 0 ，所以 (3 + 4k ) x1 x2 + 4kb ( x1 + x2 ) + 4b = 0 （*）  y = kx + b 联立  x2  y 2 + = 1 ，消去 x，得 (3 + 4k 2 ) x2 + 8kbx + 4b2 − 12 = 0 ，在 ∆ > 0 时  4 3 x1 + x2 = − , x1 x2 = + 3 . 由于圆心 O 到直线 PQ 的距离为 d = b ， k 2 + 1 所以直线 PQ 被圆 O 截得的弦长为 l = 2 4 − d 2 = 8 + 2 k 2 + 1 ，故当 k = 0 时，l 有最大值 为 10 . 综上，因为 10 > 2 2 ，所以直线 PQ 被圆 O 截得的弦长的最大值为 10 . 21 答案及解析： 答案：（1）由题意，函数 f ( x) 的定义域为 (0, +∞) ，则导数为 f '( x) = 1 − ax − b x 由 f (1) = 0 ，得 b = 1 − a ， ∴ f '( x) = 1 − ax + a − 1 = −(ax + 1)( x − 1) x x ①若 a ≥ 0 ，由 f '( x) = 0 ，得 x = 1 . 当 0 < x < 1 时， f '( x) > 0 ，此时 f ( x) 单调递增； 当 x > 1 时， f '( x) < 0 ，此时 f ( x) 单调递减. 所以 x = 1 是 f ( x) 的极大值点 ②若 a < 0 ，由 f '( x) = 0 ，得 x = 1 ，或 x = − 1 . a 因为 x = 1 是 f ( x) 的极大值点，所以 − 1 > 1 ，解得 −1 < a < 0 a 综合①②：a 的取值范围是 a > −1 2 （2）因为方程 2mf ( x) = x 2 有唯一实数解，所以 x2 − 2m ln x − 2mx = 0 有唯一实数解 2 x2 − 2mx − 2m设 g ( x) = x 2 − 2m ln x − 2mx ，则 g '( x) = ， x 令 g '( x) = 0 ，即 x2 − mx − m = 0 . m − 因为 m > 0 ， x > 0 ，所以 x1 = m2 + 4m 2 m +< 0 （舍去）， x2 = m2 + 4m 2 当 x ∈ (0, x2 ) 时， g '( x) < 0 ， g ( x) 在 (0, x2 ) 上单调递减， 当 x ∈ (x2 , +∞) 时， g '( x) > 0 ， g ( x) 在 ( x2 , +∞) 单调递增 当 x = x2 时， g '( x) = 0 ， g ( x) 取最小值 g ( x2 ) g ( x ) = 0  x 2 则 2 ，即 2 − 2m ln x2 − 2mx2 = 0 ， g '( x2 ) = 0  2 x2 − mx2 − m = 0 所以 2m ln x2 + mx2 − m = 0 ，因为 m > 0 ，所以 2 ln x2 + x2 −1 = 0(∗) 设函数 h( x) = 2 ln x + x − 1， 因为当 x > 0 时， h( x) 是增函数，所以 h( x) = 0 至多有一解 m + 因为 h(1) = 0 ，所以方程 (∗) 的解为 x2 = 1 ，即 m2 + 4m 2 = 1 ，解得 m = 1 2 22 答案及解析：  x = 答案：(1)由  3 − t ，消去参数 t 得 3x + y = 4 ，直线 l 的普通方程为 3x + y − 4 = 0 .  y = 1 + 3t  π 由 ρ= 4 sin θ+  = 2 sinθ+ 2 3 cosθ 得， ρ = 2ρsinθ+ 2 3ρcosθ， 3  即 x2 + y 2 = 2 y + 2 3x ， ∴曲线 C 的直角坐标方程是圆： ( x − 3)2 + ( y − 1)2 = 4 . −4 (2)∵原点 O 到直线 l 的距离 d = = 2 . ( 3)2 + 12 直线 l 过圆 C 的圆心 ( 3,1) ，∴ MN = 2r = 4 ，3 所以△MON 的面积 S = 1 MN × d = 4 . 2 解析： 23 答案及解析： 答案：（1）当 x ≤ 0 时， f ( x ) = x − 3 − 2 x = (3 − x ) + 2x = x + 3 ，由 f ( x) ≥ 2 ，得 x + 3 ≥ 2 ， 解得 x ≥ −1 ，此时 −1 ≤ x ≤ 0 ； 当 0 < x < 3 时， f ( x ) = x − 3 − 2 x = (3 − x ) − 2x = 3 − 3x ，由 f ( x) ≥ 2 ，得 3 − 3x ≥ 2 ， 解得 x ≤ 1 ，此时 0 < x ≤ 1 ；3 3 当 x ≥ 3 时， f ( x ) = x − 3 − 2 x = ( x − 3) − 2x = −x − 3 ≤ −6 ，此时不等式 f ( x ) ≥ 2 无解. 综上所述，不等式 f ( x ) ≥ 2 的解集为 −1, 1  ； 3    x + 3, x ≤ 0 （2）由 1 可知 f ( x ) =  − 3x, 0 < x < 3 . − x − 3, x ≥ 3 当 x ≤ 0 时， f ( x ) = x + 3 ≤ 3 ；当 0 < x < 3 时， f ( x ) = 3 − 3x ∈ (−6, 3) ；当 x ≥ 3 时， f ( x ) = −x − 3 ≤ −6 . 所以，函数 y = f ( x) 的最大值为 m = 3 ，则 a + b + c = 3 . 由柯西不等式可得 (1 + 1 + 1)(a2 + b2 + c2 ) ≥ (a + b + c )2 ，即 3(a2 + b2 + c2 ) ≥ 32 ， 即 a2 + b2 + c2 ≥ 3 ，当且仅当 a = b = c = 1 时，等号成立. 因此， a2 + b2 + c2 ≥ 3 .