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高三数学试题（二）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题
卡上。写在本试卷上无效。
3．本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。
一、单项选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．设 ，则在复平面内 对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．曲线 在点 处的切线过点 ，则
A．4 B．3 C．2 D．1
3．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）
2019 年 10 月 1 日 12 35000
2019 年 10 月 15 日 48 35600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．
在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为
A．6 升 B．8 升 C．10 升 D．12 升
4．已知 ，则 的大小关系为
A． B． C． D．
5．已知向量 的最小值为
A．12 B． C．15 D．
1 i
3 iz
−= + z
ln( 1)y ax= + 0 0（ ，） 4 8（ ，） a =
2
3 3
3
2
1 1, , log3 2a b c π = = = , ,a b c
a b c> > a c b> > c a b> > c b a> >
( ) ( )( ) 2 1, 1 , 2 1,3 0, 0 , / / ,m a n b a b m n a b
= − = − > > + 若 则
8 4 3+ 10 2 3+6．若
A． B． C．3 D．
7．已知二面角 为 ，点 ,点 ,异面直线 与 所成的角为 ，
.若 A 到 的距离为 ,则 到 的距离为
A． B． C． D．3
8．现有 4 种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公
共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有
A．24 种 B．30 种 C．36 种 D．48 种
二、多项选择题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求的.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分.
9．空气质量指数 AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，
其对应关系如下表：
下图是某市 12 月 1 日～20 日 AQJ 指数变化趋势
下列叙述正确的是
A．这 20 天中 AQI 指数值的中位数略高于 100
B．这 20 天中的中度污染及以上的天数占
C．该市 12 月的前半个月的空气质量越来越好
D．总体来说，该市 12 月上旬的空气质量比中旬的空气质量好
( ) ( )sin cos 1 ,tan 2 tan 21 cos2 4
α α α β β αα = − = − =− ，则
4
3
4
3
− 3−
lα β− − 60 A α∈ B β∈ AB l 60
=4AB β 3 B α
2 3 3 6
1
410 ． 已 知 函 数 的 定 义 域 为 ， 值 域 为
，则 的值可能是
A． B． C． D．
11.下列有关说法正确的是
A． 的展开式中含 项的二项式系数为 20；
B．事件 为必然事件，则事件 A、B 是互为对立事件；
C．设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 与 的
值分别为 ;
D．甲、乙、丙、丁 4 个人到 4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 =“4 个人
去的景点各不相同”，事件 “甲独自去一个景点”，则 .
12．已知函数 ， 是函数 的极值点,以下几个结论中正确的是
A． B． C． D．
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.
13．已知集合 ，且 则 .
14．甲、乙两队进行排球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，
决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主客主”．设甲队
主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队
以 3∶1 获胜的概率是_______ __．
15．已知双曲线 C 过点 且渐近线方程是 则双曲线 C 的方程为 ，
又若点 F 为双曲线 C 的右焦点，M 是双曲线 C 的左支上一点，则 周
( ) 1sin sin 3 4f x x x
π = ⋅ + −
[ ]( ),m n m n<
1 1,2 4
− n m−
5
12
π 7
12
π 3
4
π 11
12
π
51 22 x y −
2 3x y
A B
ξ ( ),7N µ ( ) ( )2 4P Pξ ξ< = > µ Dξ
3, 7Dµ ξ= =
A
B = ( ) 2| 9P A B =
2( ) lnf x x x x= + 0x ( )f x
0
1x e
> 0
10 x e
< < 0 0( ) 2 0f x x+ < 0 0( ) 2 0f x x+ >
2{ , ,2}, {2, ,2 }A a b B b a= = ,A B A B=I U a =
)( 23， ,3
3 xy ±=
)( ,4,0N FMN∆长的最小值为 .
16．如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PB⊥底
面 ABCD ，O 为 对 角 线 AC 与 BD 的 交 点 ， 若 PB=1 ，
，则三棱锥 P－AOB 的外接球的体
积是___________.
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10 分）
已知△ABC 的内角 A，B， C 的对边分别为 a，b，c，在
① (a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC;
② b =asinB;
③ cos2A-3cos(B+C)=1；这三个条件中任选一个完成下列内容：
（1）求 A 的大小；
（2）若△ABC 的面积 S= ，b=5，求 sinBsinC 值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
18．（12 分）
在各项均不相等的等差数列 中， ，且 ， ， 成等比数列，数列
的前 n 项和 ．
（1）求数列 、 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 n 项和 ．
3APB BAD
π∠ = ∠ =
sin 2
B C+
5 3
{ }na 1 1a = 1a 2a 5a { }nb
12 2n
nS += −
{ }na { }nb
22 logna
n nc b= + { }nc nT19.（12 分）
如图（1）五边形 中， ,将
沿 折到 的位置，得到四棱锥 ，如图（2），点 为线段
的中点，且 平面 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若直线 与 所成角的正切值为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
20.（12 分）
已知一条曲线 C 在 轴右边，C 上任一点到点 的距离减去它到 轴距离的差
都是 1.
（1）求曲线 C 的方程；
（2）过点 F 且斜率为 的直线 与 C 交于 A,B 两点， ,求直线 的方程.
ABCDE , / / , 2 ,ED EA AB CD CD AB= = 150EDC ∠ =
EAD∆ AD PAD∆ P ABCD− M PC
BM ⊥ PCD
PAD ⊥ ABCD
PC AB 1
2 BM PDB
y )0,1(F y
k l 8=AB l21.（12 分）
某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买 2 台机器的客户，推出两种超过质保
期后两年内的延保维修优惠方案：
方案一：交纳延保金 7000 元，在延保的两年内可免费维修 2 次，超过 2 次每次收取
维修费 2000 元；
方案二：交纳延保金 10000 元，在延保的两年内可免费维修 4 次，超过 4 次每次收
取维修费 1000 元.
某医院准备一次性购买 2 台这种机器。现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，
为此搜集并整理了 50 台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：
维修次数 0 1 2 3
台数 5 10 20 15
以这 50 台机器维修次数的频率代替 1 台机器维修次数发生的概率.记 X 表示这 2 台
机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数.
(1)求 X 的分布列；
(2)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？
22.（12 分）
设 ，函数 ．
（1）若 f(x)无零点，求实数 a 的取值范围；
（2）当 时，关于 x 的方程 在 上恰有两个不相等的
实数根，求实数 b 的取值范围.；
（3）求证:当 时 .
1a = ( ) 22x f x x b− = + 1 22
，
2,n n N ∗≥ ∈ 2 2 2
1 1 11+ 1+ ...... 12 3 en
+ =−+− xxyx
( ).042 >= xxy
l ( )1−= xky ( ) ( ).,,, 2211 yxByxA
( )
,
4
1
2
=
−=
xy
xky ( ) .042 2222 =++− kxkxk
,42,01616 2
2
21
2
k
k
+=+>+=∆ 故
( ) ( ) .44211 2
2
2121 k
kxxxxBFAFAB
+=++=+++=+=
.11,844
2
2
=−==+
kkk
k 或解得
l .11 −=+−= xyxy 或
X
( ) 1 1 10 10 10 100P X = = × = ( ) 1 1 11 210 5 25P X = = × × =
( ) 1 1 2 1 32 25 5 5 10 25P X = = × + × × =
( ) 1 3 1 2 113 2 210 10 5 5 50P X = = × × + × × = ( ) 2 2 3 1 74 25 5 10 5 25P X = = × + × × =
( ) 2 3 65 25 10 25P X = = × × = ( ) 3 3 96 10 10 100P X = = × =
X
X
P 1
100
1
25
3
25
11
50
7
25
6
25
9
100
1Y
1Y
17
100
11
50
7
25
6
25
9
100(元).
……………………8 分
选择延保方案二，所需费用 元的分布列为：
10000 11000 12000
P
(元). ……………………11 分
∵ ，
∴该医院选择延保方案二较合算. ……………………12 分
22.（12 分）解：（1）①若 时，则 ， 是区间 上的减
函数，
∵
而 ，则 ，即
∴ ，函数 在区间 有唯一零点；………………2 分
②若 ，在区间 无零点；………………………………3 分
③若 ，令 ，得 ，
在区间 上， ，函数 是增函数；
在区间 ，
故在区间
则 ，解得 ，
故所求实数 的取值范围是 . …………………………………………5 分
(2)由题意， 时 为 ,
0
1
(1) ( ) 0af f e⋅ < ( )f x ( )0,+∞
0, ( )a f x x= = − ( )0,+∞
0>a ( ) 0f x′ = x a=
(0, )a ( ) 0f x′ > ( )f x
( , )a +∞ 上， ( ) 0f x′ < ）是减函数；函数 xf (
上，),0( +∞ 的最大值为)(xf ( ) ln ,f a a a a= − 无零点，由于 )(xf
( ) ln 0f a a a a= − < 0 a e< <
a [ )0,e
1
17 11 7 6 97000 9000 11000 13000 15000 10720100 50 25 25 100EY = × + × + × + × + × =
2Y
2Y
67
100
6
25
9
100
2
67 6 910000 11000 12000 10420100 25 100EY = × + × + × =
1 2EY EY>
1a = ( ) 22x f x x b− = + 22x lnx x x b− + = +∴ ,
设
则
…………………6 分
当 变化时， 的变化情况如下表:
1 2
0 - 0 +
↘ ↗
∵方程 在 上恰有两个不相等的实数根，
∴ ，∴
∴ 即 ……………………………………9 分
（3）由（1）可知当 时， 即 ，
∴当 时， ，
令 时，
2 3 0x x lnx b− + + =
( ) ( )2 3 0g x x x lnx b x= − + + >
( ) ( )( )2 2 1 11 2 3 1' 2 3 x xx xg x x x x x
− −− += − + = =
1 ,22x ∈
( ) ( )' ,g x g x
x 1
2
1 12
， ( )1 2，
'( )g x
( )g x 5 ln 24b − − 2b − 2 ln 2b − +
( ) 22f x x x b+ = +
1 ,22
1 02
(1) 0
(2) 0
g
g
g
≥
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