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高三数学试题（一）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题
卡上。写在本试卷上无效。
3．本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。
一、单项选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，集合 B＝{x|2x-2＞0}，则集合 子集个
数是
A．2 B．4 C．8 D．16
2．己知 z 为复数，i 为虚数单位，若复数 为纯虚数，则
A．2 B． C．1 D．
3. 设 是正实数， ,则
A. 是 的充分条件但不是必要条件
B. 是 的必要条件但不是充分条件
C. 是 的充要条件
D. 既不是 的充分条件，也不是 必要条件
4. 中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形的较短的直
角边为勾，另一直角边为股、斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数，现从
1 -15 这 15 个数中随机抽取 3 个整数，则这三个数为勾股数的概率为
{ }2| 0 log 16A x N x= ∈ < < A B
z i
z i
−
+ z =
2
2
2
: ,p a b : 2q a b ab+ >
p q
p q
p q
p q qA.
B.
C.
D.
5. 已知 是两个相互垂直的单位向量，且 ， ，则
A. B. C. D.
6. 在 的展开式中，含 项的系数为
A． B． C． D．
7. 双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则双曲线
的离心率为
A． B． C． D．
8. 已知奇函数 的定义域为 ，其导函数为 ，当 时，有
成立，则关于 的不等式 的解集
为
A． B.
C． D.
二、多项选择题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求的.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分.
9．某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2019 年 1 月至 2019 年
11 月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.
910
1
910
3
455
3
455
4
ba, 2=⋅ac 1=⋅bc =+ cb
6 7 22 32 +
6)11( +−
xx 5x
6− 6 24− 24
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 2 3 0x y+ + =
5 3 5
2
2
( )f x ( , )2 2
π π− '( )f x 0 2x
π< <
'( )cos ( )sin 0f x x f x x+ < x ( ) 2 ( ) cos4f x f x
π< ⋅
,4 2
π π
, ,2 4 4 2
π π π π − −
,0 0,4 4
π π − ,0 ,4 4 2
π π π − 根据折线图，下列结论错误的是
A．月跑步平均里程的中位数为 6 月份对应的里程数
B．月跑步平均里程逐月增加
C．月跑步平均里程高峰期大致在 8、9 月
D．1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月，波动性更小，变化比较平稳
10. 将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，则
A. 在 上的最小值为 B. 在 上的最小值为
C. 在 上的最大值为 D. 在 上的最大值 1
11.实数 满足 ，则下列关于 的判断正确的是
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
12. 如图，在正方体 中，点 是线段 上的动点，
则下列说法正确的是
A．当点 移动至 中点时，直线 与平面 所成角最大且
为
B．无论点 在 上怎么移动，都有
( ) sin 2f x x=
6
π
( )g x
( )g x 0, 2
π
3
2
− ( )g x 0, 2
π
1−
( )g x 0, 2
π
3
2 ( )g x 0, 2
π
,x y 2 2 2 0x y x+ + = 1
y
x −
1
y
x − 3 1
y
x − 3−
1
y
x − 3
3 1
y
x − 3
3
−
1 1 1 1ABCD A B C D− F 1BC
F 1BC 1A F 1BDC
60°
F 1BC 1 1A F B D⊥C．当点 移动至 中点时，才有 与 相交于一点，记为点 ，且
D．无论点 在 上怎么移动，异面直线 与 所成角都不可能是
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.
13．已知 ，则 =________.
14．已知定义在 上的奇函数 满足 ，且 时， ，则
_______.
15．已知点 在抛物线 上，则 ____________；点 到抛
物线 的焦点的距离是____________.
16．若三棱锥 的 个顶点在半径为 的球面上， 平面 ，
是边长为 的正三角形，则点 到平面 的距离为____________.
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10 分）
在① ② ③ 这三个条件中任选
一个，补充在下面的问题中，若问题中的 存在，求出 的值；若 不存在，说明理由.
已知数列 为等比数列， 数列 的首项 其前 项和为
， ，是否存在 ，使得对任意 恒成立？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
18．（12 分）
在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
F 1BC 1A F 1B D E 1 3A E
EF
=
F 1BC 1A F CD 30°
3cos( )2 5
π θ+ = cos2θ
R ( )f x ( +4)= ( )f x f x (0,2)x∈ 2( )= 1f x x +
(7)=f
(1,2)M 2: 2 ( 0)C y px p= > p = M
C
P ABC− 4 2 PA ⊥ ABC ABC△
3 A PBC
,12 −= nn bs ),2(4 1 ≥=− − nbb nn )2(21 ≥+= − nbb nn
k k k
}{ na ,,3
2
2131 aaaa == }{ nb ,11 =b n
ns *Nk ∈ kknn babaNn ≤∈ ,*
ABC△ A B C a b c 2 23(sin sin )B C+ =.
（1）求 的值；
（2）若 ，且 的面积 ，求 的值.
19.（12 分）
已知△ABC 的各边长为 3，点 D，E 分别是 AB，BC 上的点，且满足CE
EA＝1
2，D 为 AB
的三等分点（靠近点 A），(如图(1))，将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置，使二面角 A1
－DE－B 的平面角为 90°，连接 A1B，A1C(如图(2))．
(1)求证：A1D⊥平面 BCED；
(2)在线段 BC 上是否存在点 P，使直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角为 60°？若存在，
求出 PB 的长；若不存在，请说明理由．
20.（12 分）
“过元宵节，吃元宵”是我国过元宵节的一大习俗.2019 年过元宵节前夕，北方一城
市某质检部门随机抽取了 100 包某种品牌的元宵，检测其某项质量指标值，所得频率分
布直方图如下：
24 2 sin sin 3sinB C A+
tan A
3 2 sin
sin
c B
a A
= ABC△ 2 2ABCS =△ c(1)求所抽取的 100 包元宵该项质量指标值的样本平均数x(同一组中的数据用该组区
间的中点值作代表)；
(2)①由直方图可以认为，元宵的该项质量指标值 Z 服从正态分布 N(μ，σ2)，利用该
正态分布，求 Z 落在(14.55,38.45]内的概率；
②将频率视为概率，若某人从某超市购买了 4 包这种品牌的速冻水饺，记这 4 包速
冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为 X，求 X 的分布列和均值．
附：计算得所抽查的这 100 包速冻水饺的质量指标值的标准差为 σ＝ 142.75≈11.95；
若 ξ～N(μ，σ2)，则 P(μ－σ 7(1 )2
， 3
2e =
C
1
2 l C ,A B P
(2 1)， PA PB α β， πα β+ =
( ) ( )ln mf x m x x m Rx
= − + ∈
( )f x(2)若 有两个极值点 ，不等式 恒成立，求实数 的取
值范围.
高三数学试题（一）参考答案
一、单项选择题: 本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1-5：BCDDA 6-8: BCA
二、多项选择题: 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求的.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分.
9. ABC 10. AD 11.CD 12.BD
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 14. 15. 2 , 2 （本题第一空 2 分，第二空 3 分.） 16.
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 解：设等比数列 的公比为 ,因为 ，所以
故 ……….........…………3 分
( )f x 1 2,x x
( ) ( )1 2
2 2
1 2
f x f x ax x
+ >> ( )0,x∈ +∞
2 40, 2
m m mx
+ −∴ ∈
当 ( ) ( ) ( )0, 0,g x f x f x′< >
( ) ( ) ( )2 4 , 0, 0,2
m m mx g x f x f x
+ − ′∈ +∞ > 0∆ > ( )g x x与 ( )1 2 1 2,x x x x<
1 2 1 2 1 20, 0, 0, 0x x m x x m x x+ = > = > ∴ > > ( )0,x∈ +∞
2 40, 2
m m mx
− −∴ ∈
( )f x
2 24 4,2 2
m m m m m mx
− − + −∈
( )f x
2 4 ,2
m m mx
+ −∈ +∞
( )f x
0 4m≤ ≤ ( ) ( )0f x + ∞在 ，当 单调递减；
时， 单调递减.
当 时， 时， 单调递减，
时， 时， 单调递减.……6 分
（2）由（1）知： 有两个极值点 为方程
的两根， ………7 分
.
所以
上恒成立. ……………………………………9 分
令 ……………………………10 分
令 ……………………………11 分
上单调递减，且 上
恒成立，即 上为减函数，
( )2 40 0, 2
m m mm x f x
+ −< ∈
时， 时
2 4 ,2
m m mx
+ −∈ +∞
( )f x
4m >
2 40, 2
m m mx
− −∈
( )f x
2 24 4,2 2
m m m m m mx
− − + −∈
( )0 + ∞在 ， ( )f x
( )4m f x> 时 1 2 1 2, ,x x x x，且 2 0x mx m− + =
1 2 1 2, .x x m x x m+ = + =
( ) ( )1 2 1 1 2 2
1 2
ln lnm mf x f x m x x m x xx x
+ = − + + − +
( ) ( )1 2
1 2 1 2
1 2
ln ln lnm x xm x x x x m m m m m mx x
+= − + + = − + =
( )22 2 2
1 2 1 2 1 22 2x x x x x x m m+ = + − = −
( ) ( )1 2
2 2 2
1 2
ln ln
2 2
f x f x m m m
x x m m m
+ = =+ − −
( )ln 4,2
ma mm
∴ > ∈ +∞− 在
( ) ( ) ( ) ( )2
21 lnln 4 ,2 2
mm mh m m h mm m
− −
′= > =− −则
( ) ( ) 2 2
2 2 1 21 ln , 0mm m mm m m m
φ φ −= − − = − = <
( ) ( )4mφ∴ + ∞在 ， ( ) ( ) ( )14 =1 2ln2 0 0 42 mφ φ− − < < +∞，所以 在 ，
( ) ( ) ( )2 ln 0 0 4m m h mm
′1− − < < + ∞，所以h ，所以 在 ，所以
. ………………………………………………………12 分
( ) ( )4 ln 2h m h< =
( )4 ln 2, ln 2a h a∴ ≥ = ∴ ≥
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