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福清市 2020 届高三年“线上教学”质量检测
数 学 （ 理 科 ） 试 卷
（完卷时间 120 分钟；满分 150 分）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3
至 5 页．满分 150 分.
第 Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1.已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
2.已知复数 满足 ，且 ，则
A．3 B． C． D．
3.已知两个力 ， 作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保
持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力 ，则
A． B． C． D．
4.已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则
A. B. C. D.
5.如图 1 为某省 2019 年 1~4 月快递业务量统计图，图 2 是该省 2019 年 1~4 月快递业务收入统
计图，下列对统计图理解错误的是
A．2019 年 1~4 月的业务量，3 月最高，2 月最低，差值接近 2000 万件
B．2019 年 1~4 月的业务量同比增长率超过 50%，在 3 月最高
C．从两图来看 2019 年 1~4 月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致
D．从 1~4 月来看，该省在 2019 年快递业务收入同比增长率逐月增长
6.已知 ，则曲线 在点 处的切线方程为
A． B．
C． D．
{ }5U x x= < { }3 27xA x= A =U
{ }3x x { }5x x < { }3 5x x< < { }0 3 5x x x< > F ( ),0c F E
1 2,l l 1 2,l l E ,A B OAFB O
bc E
3 2
2
16π 32π
3 8π 4π
0.5
3sin tan 8 0, ,2
α α α π ⋅ + = ∈ π tanα =
5 4 2, ,6 5 5入下一关，且通过每关相互独立．某选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为
_________.
15.已知等差数列 的前 n 项和为 ，且 ， .数列 的首项为 3，且
，则 ________.
16.过点 的直线 与抛物线 ： 交于 两点（ 在 之间）， 是 的焦
点，点 满足 ，则 与 的面积之和的最小值是______.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第
17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作
答．
（一）必考题：共 60 分．
17.（本小题满分 12 分）
已知 的内角 的对边分别为 ，设 ，且
.
（1）求 A 及 a；
（2）若 ，求 边上的高.
18. (本小题满分 12 分)
如图，四边形 是梯形，四边形 是矩形，且平面 平面 ，
， ， 是 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
19. (本小题满分 12 分)
2019 年 9 月 24 日国家统计局在庆祝中
华人民共和国成立 70 周年活动新闻中
心举办新闻发布会指出，1952 年～
2018 年，我国 GDP 查 679.1 亿元跃升
至 90.03 万亿元，实际增长 174 倍；人均
GDP 从 119 元提高到 6.46 万元，实际
增长 70 倍.全国各族人民，砥砺奋进，
顽强拼搏，实现了经济社会的跨越式发
展.如图是全国 2010 年至 2018 年 GDP
总量 （万亿元）的折线图.
注：年份代码 1～9 分别对应年份 2010～2018.
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 与年份代码 的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立 关于 的回归方程（系数精确到 0.01），并预测 2021 年全国 GDP 的总量.
{ }na nS 1 3 10a a+ = 9 72S = { }nb
1 3n nb b + = − 210 020a b =
( )1,0M − l C 2 4y x= ,A B A ,M B F C
N 6NF AF= ABF△ AMN△
ABC△ , ,A B C , ,a b c ( )7 cos cosa B b A ac+ =
sin 2 sinA A=
2b c− = BC
ABCD CDEF ABCD ⊥ CDEF
90BAD CDA∠ = ∠ = ° 1 22AB AD DE CD= = = = M AE
AC ∥ MDF
DMF ABCD
y
y t
y t附注：
参考数据： .
参考公式：相关系数 ；
回归方程 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 ，
.
20. (本小题满分 12 分)
已知椭圆 过点 ，且离心率为 .
（1）求 的方程；
（2）已知直线 不经过点 ，且斜率为 ，若 与 交于两个不同点 ，且直线 的
倾斜角分别为 ，试判断 是否为定值，若是，求出该定值；否则，请说明理由．
21. (本小题满分 12 分)
已知函数 ，证明：
（1） 在区间 存在唯一极大值点；
（2） 有且仅有 2 个零点.
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第
一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22.（本小题满分 10 分）选修 ：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参数)，在以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的方程为 .
（1）求 的直角坐标方程；
（2）设 与 交于点 ，点 的坐标为 ，求 .
( ) ( )9 92 2
11 1 1
9 9
582.01, 64.668, 3254.80, 345.900i i
i i
i i i
i i
t ty y yy t y
== ==
= ≈ = − − ≈∑ ∑∑ ∑
( )( )
( ) ( )
1
2 2
1 1
n
i i
i
n n
i i
i i
t t y y
r
t t y y
=
= =
− −
=
− −
∑
∑ ∑
y a bt= +
( )( )
( )
1
2
1
n
i i
i
n
i
i
t t y y
b
t t
=
=
− −
=
−
∑
∑
a y bt= −
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > ( )2,1P 3
2
C
l P 1
2 l C ,A B ,PA PB
,α β α β+
( ) ln 2sinf x x x x= − +
( )f x ( )0,π
( )f x
4 4−
xOy l
23 2
21 2
x t
y t
= −
= +
t x
C 4cos 6sinρ θ θ= +
C
C l M N， A ( )3,1 AM AN+23.（本小题满分 10 分）选修 ：不等式选讲
已知函数
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）当 时，不等式 成立，求实数 的取值范围.
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理科数学参考答案及评分细则
评分说明：
1．本解答给出了解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内
容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内
容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；
如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 60 分．
1. C 2. C 3. A 4. B 5. D 6.D
7.A 8. A 9. B 10.C 11.B 12.A
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 14. 15. 16. 8
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．
17.【命题意图】本题主要考查解三角形、正弦定理和余弦定理等基础知识，意在考查逻辑推
理、数学运算、直观想象的数学核心素养．满分 12 分．
【解析】（1）因为 ，根据正弦定理得，
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
又因为 ，
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
4 5−
( ) 2 1 1 ,f x x ax= − − +
2a = ( ) 1f x >
( )1,2x∈ ( ) 1f x x> − a
2 2− 4
15 13−
( )7 cos cosa B b A ac+ =
7sin cos sin cos sin ,7A B B A a C+ =
7sin sin ,7C a C∴ = sin 0,C ≠
7.a∴ =
sin 2 sin , 2sin cos sin ,A A A A A= ∴ =因为 所以 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
（2）由（1）知，
由余弦定理得
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
因为 ，所以 所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
设 BC 边上的高为 .
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
即 BC 边上的高为 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
18.【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，二面角等基础知识，意
在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养．满分 12 分．
【解析】（1）连结 ，交 于 ，连结 ，如图所示，
因为四边形 是矩形，所以 是 的中点，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分
由于 是 的中点，
所以 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
由于 平面 ， 平面 ，
所以 平面 . ………………………………………4 分
（2）因为平面 平面 ，
平面 平面 ， ，
所以 平面 ，
可知 两两垂直，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
以点 为原点，分别以 的方向为 轴、 轴、 轴
的正方向，建立空间直角坐标系 .
因为 ，则 ， ， ，
，设平面 的法向量为 ，
则 所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
取 ，则 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
依题意，得平面 的一个法向量为 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
故平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
19.【命题意图】本题主要考查线性回归、相关系数等基础知识，意在考查数学建模、数学抽
sin 0,A ≠ 1cos 2A =
(0, ), .3A A
π∈ π ∴ =
7, .3a A
π= =
2 2 2 2 cos ,a b c bc A= + −
2 2 27 , 7 ( ) ,b c bc b c bc∴ = + − ∴ = − +
2b c− = 7 4 ,bc= + 3.bc =
h
1 1 3 3 3sin 3 .2 2 2 4ABCS bc A∴ = = × × =△
1 1 3 37 ,2 2 4ABCS ah h= ∴ × = △ ， 3 21.14h∴ =
3 21
14
CE DF N MN
CDEF N CE
M AE
//MN AC
MN ⊂ MDF AC ⊄ MDF
//AC MDF
ABCD ⊥ CDEF
ABCD CDEF CD= DE CD⊥
DE ⊥ ABCD
, ,AD CD DE
D , ,DA DC DE x y z
O xyz−
2AB = (1,0,1)M (0,4,2)F (1,0,1)DM =
(0,4,2)DF = MDF 1 ( , , )n x y z=
1
1
0,
0,
n DM
n DF
⋅ = ⋅ =
0,
4 2 0,
x z
y z
+ =
+ =
1y =
1 (2,1, 2)n = −
ABCD 2 (0,0,1)n =
1 2
1 2
1 2
2 2cos , 34 1 4 1
n nn n
n n
⋅ −∴ < >= = = −
+ + ×
MDF ABCD 2
3象、数学运算、数据分析的数学核心素养．满分 12 分．
【解析】（1）由折线图中的数据和附注中参考数据得
， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分
，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
所以 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
因为 与 的相关系数近似为 0.997，说明 与 的线性相关程度相当高，
从而可以用线性回归模型拟合 与 的关系. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
（2）由已知及（1）得 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
所以 关于 的回归方程为 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
将 2021 年对应的年份代码 代入回归方程，
得 ，
所以预测 2021 年全国 GDP 总量约为 104.94 万亿元. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
20.【命题意图】本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查的数
学核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算．满分 12 分.
【解析】(1)由题意得 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
解得 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
所以 的方程为 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
(2)设直线 ， ，
由 ，得 ，
由 ，解得 或 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
则 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
依题意，易知 与 的斜率存在，所以 ，
设直线 与 的斜率分别为 ，则 ， ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
1 2 3 4 5 6 7 8 9 59t
+ + + + + + + += =
( )9
2
1
60i
i
t t
=
− =∑
( )( )9 9 9
1 1 1
i i i i i
i i i
t t y y t y t y
= = =
− − = −∑ ∑ ∑ 3254.80 5 582.01 344.75= − × =
344.75 0.997345.90r = ≈
y t y t
y t
( )( )
( )
9
1
9
2
1
ˆ
i i
i
i
i
t t y y
b
t t
=
=
− −
=
−
∑
∑
344.75 5.74660
= ≈
64.668 5.74ˆ 6 5 3ˆ 5.94a y bt= − ≈ − × =
y t 35.94 5.75y t= +
12t =
35.94 5.75 12 104.94y = + × =
2 2
2
2
4 1 1
31 2
a b
c be a a
+ =
= = − =
2 28, 2a b= =
C
2 2
18 2
x y+ =
( )1: 02l y x m m= + ≠ ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y
2 2
1
2
18 2
y x m
x y
= +
+ =
2 22 2 4 0x mx m+ + − =
2 24 8 16 0
0
m m
m
∆ = − + >
≠
2 0m− < < 0 2m< <
2
1 2 1 22 , 2 4x x m x x m+ = − = −
PA PB ,2 2
α βπ π≠ ≠
PA PB 1 2,k k 1tan kα = 2tan kβ =欲证 ，只需证 ，即证 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
故 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
又 ，
所以
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
所以 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
21.【命题意图】本题主要考查函数和导数及其应用、三角函数等基础知识，意在考查直观想
象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养．满分 12 分.
【解析】(1)设 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分
当 时， ，
所以 在 上单调递减， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
又因为 ， ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
所以 在 上有唯一的零点 ，
即函数 在 上存在唯一零点．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
当 时， ， 在 上单调递增;
当 时， ， 在 上单调递减;
所以 在 上存在唯一的极大值点 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
(2)①由(1)知： 在 上存在唯一的极大值点
所以 ，
又因为 ，
所以 在 上恰有一个零点．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
又因为 ，
所以 在 上也恰有一个零点．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
②当 时， ， ，
α β+ = π ( )tan tan tanα π β β= − = − 1 2 0k k+ =
1 2
1 2
1 2
1 1, ,2 2
y yk kx x
− −= =− −
( )( ) ( )( )
( )( )
1 2 2 11 2
1
1 2
2 1 2
1 2 1 21 1
2 2 2 2
y x y xy y
x x x xk k
− − + − −− −+ =−= − − −+
1 1
1 ,2y x m= + 2 2
1
2y x m= +
( )( ) ( )( )1 2 2 11 2 1 2y x y x− − + − −
( ) ( )1 2 2 1
1 11 2 1 22 2x m x x m x = + − − + + − −
( )( ) ( )1 2 1 2 1 22 4 1x x m x x m x x= ⋅ + − + − − ⋅
( )( ) ( )22 4 2 2 4 1m m m m= − + − − − −
0,=
1 2 0,k k∴ + = α β+ = π
( ) ( ) 1 1 2cosg x f x xx
′= = − +
( )0,x∈ π ( ) 2
12sin 0g x x x
′ = − − <
( )g x ( )0,π
3 31 1 03g
π = − + = > π π
2 1 02g
π = − ( )f x ( )0,α
( ),x α∈ π ( ) 0f x′ < ( )f x ( ),α π
( )f x ( )0,π .3 2
α απ π < − >
2 2 2 2
1 1 1 12 2sin 2 2 0e e e ef = − − + < − − +
( ) 1f x > 1
4x x
< −
( )1,2x∈ ( ) 1f x x> − 2 1 1 1x ax x− − + > −
3 2 1x ax∴ − > +
2 3 1 3 2,x ax x∴ − < + < − 1 33 3ax x
∴ − < < −
1 3y x
= − ( )1,2 5 22 y− < < −
33y x
= − ( )1,2 30 2y< <
2 0a−
a [ ]2,0−
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