福建省福清市2020届高三数学（文）3月线上教学检测试题（Word版附答案）

福清市 2020 届高三年“线上教学”质量检测 文科数学试卷 （满分：150 分　　考试时间：120 分钟） 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（必考题和选考题两部分）． 第Ⅰ卷（选择题共 60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． (1) 已知集合 ， ，则 （A） （B） （C） （D） (2) 已知复数 z 满足 ，其中 i 为虚数单位，则在复平面内 对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 (3) 已知圆 ，直线 ．若圆 C 上恰有三个点到直线的距离为 1，则 r 的值为 （A）2 （B）3 （C）4 （D）6 (4) 执行如图所示的程序框图，则输出的 S 是 （A） （B） （C）1 （D）3 (5) 甲、乙、丙、丁、戊五人乘坐高铁出差，他们正好坐在同一排的 A、B、C、D、F 五个座 位．已知： (1)若甲或者乙中的一人坐在 C 座，则丙坐在 B 座； (2)若戊坐在 C 座，则丁坐在 F 座． 如果丁坐在 B 座，那么可以确定的是： （A）甲坐在 A 座 （B）乙坐在 D 座 （C）丙坐在 C 座 （D）戊坐在 F 座 (6) 如图，如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是 某几何体的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该几何体的 表面积是 （A） （B） （C） （D） (7) 下列图象中，函数 ， 图象的是 { }2 6 0A x x x= − − ≤ ( ){ }ln 1B x y x= = − A B = { }1 2x x< ≤ { }1 2x x≤ ≤ { }1 3x x< ≤ { }1 3x x≤ ≤ ( )1 1 3z i i+ = − z ( ) ( )2 2 2: 1 0C x y r r+ + = > :3 4 2 0l x y+ − = 3− 1− 2 2 5+ 4 2 5+ 2 3 5+ 4 3 5+ ( ) ( )sinx xf x e e x−= − [ ],x π π∈ − 俯视图 侧视图正视图 （第 4 题图） （第 6 题图）（A） （B） （C） （D） (8) 已知 ， ， ，则 （A） （B） （C） （D） (9) 将函数 的图象横坐标变成原来的 （纵坐标不变），并向左平移 个单 位，所得函数记为 ．若 ， ，且 ，则 （A） （B） （C） （D） (10) 已知正方体 的棱长为 2， 平面 ．平面 截此正方体所得的截面 有以下四个结论： ①截面形状可能是正三角形 ②截面的形状可能是正方形 ③截面形状可能是正五边形 ④截面面积最大值为 则正确结论的编号是 （A）①④ （B）①③ （C）②③ （D）②④ (11) 若函数 有两个零点，则 k 的取值范围是 （A） （B） （C） （D） (12) 已知抛物线 的焦点为 F，与双曲线 的一条渐近 线交于 P（异于原点）．抛物线的准线与另一条渐近线交于 Q．若 ，则双曲线 的渐近线方程为 （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷（非选择题共 70 分） 本卷包括必考题和选考题两部分．第 13 题 第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做 答．第 22 题 第 24 题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． y xπ -π O y xπ -π O y xπ-π O y xπ-π O 0, 2x π ∈   0, 2y π ∈   cos sin 1 cos2 cos sin sin 2 x x y x x y + −=− 4y x π− = 2 4y x π− = 2y x π− = 2 2y x π− = ( ) sin 3f x x π = −   1 2 3 π ( )g x 1 2, 0, 2x x π ∈   1 2x x≠ ( ) ( )1 2g x g x= ( )1 2g x x+ = 1 2 − 3 2 − 0 3 2 1 1 1 1ABCD A B C D− 1AC ⊥ α α 3 3 ( ) 1 xf x k x = − − ( )0,+∞ ( ) ( )0,1 1,+∞ ( )0,1 ( )1,+∞ ( )2 2 0y px p= > ( )2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b − = > > PQ PF= y x= ± 2y x= ± 3y x= ± 2y x= ±  ~(13) 已知 ， ，则 与 的夹角为 (14) 已知实数 满足约束条件 则 的最小值为 (15) 《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今 有勾八步，股十五步．文勾中容圆径几何？”其意思是：“已知直角三角形两直角边长分别 为 8 步和 15 步，问其内切圆的直径是多少？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆 内的概率是 (16) 设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， ， ， 则△ABC 面积的最大值是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) （本小题满分 12 分） 据历年大学生就业统计资料显示：某大学理工学院学生的就业去向涉及公务员、教师、 金融、公司和自主创业等五大行业.2020 届该学院有数学与应用数学、计算机科学与技术 和金融工程等三个本科专业， 毕业生人数分别是 70 人，140 人和 210 人.现采用分层抽 样的方法，从该学院毕业生中抽取 18 人调查学生的就业意向． （Ⅰ）应从该学院三个专业的毕业生中分别抽取多少人？ （Ⅱ）国家鼓励大学生自主创业， 在抽取的 18 人中，就业意向恰有三个行业的学生有 5 人.为方便统计，将恰有三个行业就业意向的这 5 名学生分别记为 A，B，C，D，E，统计 如下表: A B C D E 公务员 ○ ○ × ○ × 教师 ○ × ○ × ○ 金融 ○ ○ ○ × ○ 公司 × × ○ ○ ○ 自主创业 × ○ × ○ × 其中“○”表示有该行业就业意向，“×”表示无该行业就业意向． 现从 A，B，C，D，E 这 5 人中随机抽取 2 人接受采访.设 M 为事件“抽取的 2 人中至少 有一人有自主创业意向”，求事件M 发生的概率． (18) （本小题满分 12 分） 已知数列 的前 n 项和为 ，满足 （Ⅰ）求 ； a a b= −   ( ) ( )a b a b+ ⊥ −    a b ,x y 3 0, 2 4 0, 2 0, x y x y x y + − ≥  + − ≥  − ≤ 2x y+ 3b = ( )2 cos 3cosa c B C− = { }na nS 2 2n na S− = na（Ⅱ）若数列 满足 ，求 的前 n 项和 ． (19) （本小题满分 12 分） 在 三 棱 柱 中 ， 已 知 侧 面 ， ， ， ，E 为 中点， （Ⅰ）求证： （Ⅱ）求 C 到平面 的距离． (20) （本小题满分 12 分） 已知椭圆 的右焦点为 F，离心率 ，过原点的直线（不与坐 标轴重合）与 C 交于 P，Q 两点，且 （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）过 P 作 x 轴于 E，连接 QE 并延长交椭圆于 M，求证：以 QM 为直径的圆过 点 P． { }nb ( )* 1 4 n n n n ab n NS S + = ∈ { }nb nT 1 1 1ABC A B C− AB ⊥ 1 1BB C C 2BC = 1 2AB BB= = 1 4BCC π∠ = 1BB 1AC BC⊥ 1AC E ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 2 2e = 4PF QF+ = PE ⊥ B1 A1 C1 C B A E(21) （本小题满分 12 分） 已知函数 的最大值是 0， （Ⅰ）求 m 的值； （Ⅱ）若 ，求 的最小值． 请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做， 则按所做第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 (22) （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参数)，在以坐标原点为极 点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的方程为 . （Ⅰ）求 的直角坐标方程； （Ⅱ）设 与 交于点 ，点 的坐标为 ，求 . (23) （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 （Ⅰ）当 时,求不等式 的解集； （Ⅱ）当 时,不等式 恒成立,求实数 的取值范围. 福清市 2020 届高三年“线上教学”质量检测 文科数学参考答案及评分细则 评分说明： ( ) 2lnf x x mx= + ( )m R∈ ( ) 21 2f x x ax be ≤ − + + b a xOy l 23 2 21 2 x t y t  = −  = + t x C 4cos 6sinρ θ θ= + C C l M N， A ( )3,1 AM AN+ ( ) 2 1 1 ,f x x ax= − − + 2a = ( ) 1f x > ( )1,2x∈ ( ) 1f x x> − a1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半； 如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 60 分． （1）C （2）A （3）A （4）B （5）C （6）B （7）D （8）A （9）D （10）A （11）C （12）D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 20 分． （13） （14）4 （15） （16） 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17) 本小题主要考查分层抽样、古典概型等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、 应用意识，考查统计与概率思想．满分 12 分． (Ⅰ) 由已知，数学与应用数学、 计算机科学与技术和金融工程三个专业的毕业生人数 之比为 1:2:3,由于采取分层抽样的方法抽取 18 人,因此应从数学与应用数学、计算机科学 与技术和金融工程三个专业分别抽取 3 人 6 人 9 人，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 （Ⅱ）从这 5 个人中随机抽取 2 人的所有结果有： ，共 10 种 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 由统计表可知，事件 M 包含的结果有： ， 共 7 种∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 所以事件 M 发生的概率为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 (18) 本小题考查等比数列的通项公式、前 项和公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能 力，考查函数与方程思想、分类与整合思想等．满分 12 分． (Ⅰ)当 时， ，故 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分 由 ……① 得 ②∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分 ①-②得， ，即 3 π 3 20 π 3 3 4 { } { } { } { } { } { }, , , , , , , , , , , ,A B A C A D A E B C B D { } { } { } { }, , , , , , ,B E C D C E D E { } { } { } { } { } { } { }, , , , , , , , , , , ,A B B C B D B E A D C D D E， ( ) 7 10P M = n 1n = 1 12 2a S− = 1 2a = 2 2n na S− = ( )1 12 2 2n na S n− −− = ≥ ( )1 12 2 0n n n na a S S− −− − − = 12 2 0n n na a a−− − =整理得 故 是以 为首项，2 为公比的等比数列，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 所以 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 故 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 (19) 本小题主要考查几何体的体积及直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基 础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归 与转化思想等．满分 12 分． (Ⅰ)∵AB⊥侧面 ，∴ ……①∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分 ∵ ， ， ，∴ ∵ ，∴ ……②∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分 由①②及 ，故 平面 ABC ∵ 平面 ABC，∴ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 （Ⅱ）设 C 到平面 的距离为 d 由 得， ……（*）∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 ∵E 为 中点，∴ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 又 ，所以 ， ∵AB⊥侧面 ，∴ 又 ，故 平面 又 平面 ，所以 ( )12 2n na a n−= ≥ { }na 2 12 2 2n n na −= × = ( ) 12 1 2 2 21 2 n n nS + − = = −− ( )( ) ( )( ) 11 2 1 4 2 2 1 1 2 1 2 12 2 2 2 2 1 2 1 n n n n nn n n nb ++ + + ×= = = −− −− − − − 1 2 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n n n nT b b b +      = + + + = − + − + + −     − − − − − −       1 11 2 1n+= − − 1 1BB C C 1AB BC⊥ 2BC = 1 2CC = 1 4BCC π∠ = 2 2 1 1 1 12 cos 2BC BC CC BC CC BCC= + − ⋅ ⋅ ∠ = 2 2 2 1 1BC BC CC+ = 1BC BC⊥ AB BC B= 1BC ⊥ AC ⊂ 1BC AC⊥ 1AC E 1 1C AC E A CC EV V− −= 1 1 1 1 3 3AC E CC ES d S AB∆ ∆⋅ = ⋅ 1BB 1 1 1 1 1 2 2 12 2CC E BCC BS S∆ = = × × =  1 1 1 2BC B C= = 1 1C E BB⊥ 1 1 1 12C E BB= = 1 1BB C C 1AB C E⊥ 1AB BB B= 1C E ⊥ 1 1ABB A AE ⊂ 1 1ABB A 1C E AE⊥∵ ，∴ 故 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分 由（*）得 ，故 ，即 C 到平面 的距离为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 (20) 本小题主要考查坐标法、椭圆的定义及标准方程、直线与椭圆的位置关系、圆的性质等 基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、 化归与转化思想等．满分 12 分． (Ⅰ) 设 为椭圆的左焦点，由对称性可知， 故顶点为 的四边形是平行四边形， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 故 ， 又 ，故 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 故所求椭圆方程为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 （Ⅱ）设过原点（不与坐标轴重合）的直线方程为 ， 则 故 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 与椭圆方程 联立得， 又直线 QE 与椭圆 C 交于 Q，M 两点，所以 ，即 故 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 所以 ， 所以 故 ，即 故以 QM 为直径的圆过点 P．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 (21) 本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、 抽象概括能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合 2, 1,AB BE AB BE= = ⊥ 5AE = 1 1 1 5 2 2C EAS AE C E∆ = ⋅ = 5 22 d = 4 5 5d = 1AC E 4 5 5 F′ ,OP OQ OF OF′= = , , ,P F Q F′ 2 4a PF PF QF PF′= + = + = 2a = 2 2 ce a = = 2, 2c b= = 2 2 14 2 x y+ = ( )0y kx k= ≠ ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1, , , , ,0P x kx Q x kx E x− − 1 1 1 0 1 2QE kxk kx x − −= =− − ( )1: 2QE kl y x x= − 2 2 14 2 x y+ = ( )2 2 2 2 2 1 12 2 8 0k x k x x k x+ − + − = 2 1 2 2 2P M k xx x k + = + 2 1 12 2 2M k xx xk = ++ ( ) 3 1 1 22 2M M k xky x x k = − = + ( )1 12 , 2PQ x kx= − − 2 1 1 2 2 2 2,2 2 k x kxPM k k  −=  + +   2 2 2 1 1 2 2 4 4 02 2 k x kxPQ PM k k ⋅ = − + =+ +   PQ PM⊥  90MPQ∠ = °思想等．满分 12 分． (Ⅰ)由已知得 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分 当 时， ， 在 上单调递增，不存在最大值，不符合题意舍去； ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 当 时， 解得 当 时， ，当 时， 故 在 上单调递增， 上单调递减∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 故 解得 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 （Ⅱ）由已知条件得 ……（*） 设 ，（*）等价于证明 则 ①当 时，则 ， 在 上单调递增， 当 时， 故 不符合题意； ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 ②当 时，当 时， ，当 时， 故 在 上单调递增， 上单调递减 故 有最大值 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 所以 等价于 ，因此 设 ，则 当 时， ，当 时， 故 在 上单调递减，在 上单调递增 故 在 处取得最小值，即 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分 故当 ， 时， 成立， ( ) ( )21 2 12 0mxf x mx xx x +′ = + = > 0m ≥ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0,+∞ 0m < ( ) 0f x′ = 1 2x m = − 10 2x m < < − ( ) 0f x′ > 1 2x m > − ( ) 0f x′ < ( )f x 10, 2m  −    1 ,2m  − +∞    ( ) 2 max 1 1 1ln 02 2 2f x f mm m m    = − = − + − =          1 2m e = − ln x ax b≤ + ( ) lng x x ax b= − − ( ) 0g x ≤ ( ) 1g x ax ′ = − 0a < ( ) 0g x′ > ( )g x ( )0,+∞ max 1, bx a  > −   ( ) ln 0g x x ax b ax b= − − > − − > 0a < 0a > 10 x a < < ( ) 0g x′ > 1x a > ( ) 0g x′ < ( )g x 10, a      1 ,a  +∞   ( )g x 1 1 1ln ln 1g a b a ba a a    = − ⋅ − = − − −       ( ) 21 2f x x ax be ≤ − + + ln 1b a≥ − − ln 1b a a a − −≥ ( ) ln 1ah a a += − ( )h a′ = 2 ln a a 0 1a< < ( ) 0h a′ < 1a > ( ) 0h a′ > ( )h a ( )0,1 ( )1,+∞ ( )h a 1a = ( ) ( )1 1h a h≤ = − 1b a ≥ − 1a = 1b = − ( ) 21 2f x x ax be ≤ − + +综上 的最小值为 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 (22) 本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合 思想、化归与转化思想、函数与方程思想等．满分 10 分． (Ⅰ)曲线 的方程 ， ∴ ， ∴ ， 即 的直角坐标方程为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 （Ⅱ）设点 对应的参数分别为 . 把直线 ( 为参数)代入 得， ， 整理得， . ， ， ，∴ 为异号，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 又∵点 在直线 上， ∴ . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 (23) 本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力, 考查化归 与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分 10 分． (Ⅰ)当 时, ， 当 时,不等式 成立； 当 时， ， ； 当 时, 不成立， 综上，不等式 的解集为 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 （Ⅱ）当 时， 化为 , ， ， 在 单调递减，故 ； 在 单调递增，故 ， 所以 ， 所以 的取值范围是 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 b a 1− C 4cos 6sinρ θ θ= + 2 4 cos 6 sinρ ρ θ ρ θ= + 2 2 4 6x y x y+ = + C ( ) ( )2 22 3 13x y− + − = M N， 1 2t t， 23 2 21 2 x t y t  = −  = + t C 2 2 2 21 2 132 2t t    − + − + =          2 3 2 8 0t t− − = ( )2 3 2 32 50 0∆ = − + = > 1 2 3 2t t+ = 1 2 8t t = − 1 2t t， ( )3,1A l ( )2 1 2 1 2 1 2 1 24 50 5 2AM AN t t t t t t t t+ = + = − = + − = = 2a = ( ) 2 1 2 1 1f x x x= − − + > 1 2x − ( ) ( )1 2 2 1 2 1f x x x= − + + = > 1 1 2 2x− < < ( ) ( ) ( )1 2 2 1 4 1f x x x x= − − + = − > 1 1 2 4x∴− < < − 1 2x ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1f x x x= − − + = − > ( ) 1f x > 1 4x x  < −    ( )1,2x∈ ( ) 1f x x> − 2 1 1 1x ax x− − + > − 3 2 1x ax∴ − > + 2 3 1 3 2,x ax x∴ − < + < − 1 33 3ax x ∴ − < < − 1 3y x = − ( )1,2 5 22 y− < < − 33y x = − ( )1,2 30 2y< < 2 0a−   a [ ]2,0−