中考数学二轮复习专题练习：几何最值问题

几何最值问题 1.如图，点 的正方体左侧面的中心，点 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为 ，一 只蚂蚁从点 沿其表面爬到点 的最短路程是（ ） A． B． C． D． 答案：C 解析：将正方体展开，连接 ，根据两点之间，线段最短，可知 就是最短路径；过 点 做 垂直于正方形的边长，垂足是点 ，根据正方形的性质和勾股定理知： 2.如图，正方体盒子的棱长为 ， 的中点为 ，一只蚂蚁从 点沿正方体的表面爬 到 点，蚂蚁爬行的最短距离是( ) A B A B 2 A B 3 2 2+ 10 4 AB AB A AM M 2 2 2 21 3 10AB AM BM= + = + = 2 BC M M 1DA． B． C． D． 答案：C 解析：将正方体展开如图所示，连接 ，根据两点之间，线段最短，知 就是最短 路径；在 中， ，故： 3.如图， 是高为 的圆柱底面圆上一点，一只蜗牛从 点出发，沿 角绕圆柱侧 面爬行，当他爬到顶上时，他沿圆柱侧面爬行的最短距离是（ ） 17 3 13 2 5+ 1D M 1D M 1Rt D DM∆ 13, 2DM DD= = 1 1 13D M DM DD= + = A 10 cm A 30°A． B． C． D． 答案：B 解析：将圆柱延点 处展开如下图，根据两点之间，线段最短，可知 是要求的最短路 径，根据 角直角三角形的性质得： 4.已知如图，直角梯形 中， ， ， ， ，点 在 上移动，则当 取最小值时， 中边 上 的高为 ． 10cm 20cm 30cm 40cm A AB 30° 20AB cm= ABCD AD BC AB BC⊥ 2AD = 5BC DC= = P BC PA PD+ APD∆ APA． B． C． D． 答案：D 解析：过点 作 于点 ，作点 关于点 的对称点 ，连接 交 于点 ； ∵ ， ∴四边形 是矩形 ∴ ∴在 中， ∴由勾股定理知： D CPB A 8 10 2 17 8 1717 D DM BC⊥ M A B 'A 'A D BC P AD BC AB BC⊥ ABMD 2,AD BM AB DM= = = Rt CDM∆ 3, 5CM CD= = 2 2 4AB DM CD CM= = − =在 中， ， ∴由勾股定理得： ∵ ∴ ∴ ∵ 故 在 中， ∴ 5.如图，在 中， ， ， ，经过点 且与边 相切的 动圆与 分别相交于点 ，则线段 长度的最小值是（ ） A． B． E F A B C 'Rt AA D∆ '2, 8AD AA= = ' 2 '2 2 17A D AD AA= + = 'A B DM= 'A BP DMP∆ ∆≌ 'A P DP= 'A P AP= 17AP = APD∆ 1 1 2 2AP DN AD DM=  8 1717 AD DMDN AP = = ABC∆ 15AB = 12AC = 9BC = C AB CB CA、 E F、 EF 12 5 36 5C． D． 答案：B 解析： 取 的中点 ,取圆与直线 的切点为 ，连接 ∵ ， ， ∴ 由勾股定理知， 是直角三角形[ 在 中， 是 的中点， ∴ 又∵ ∴ ∴当点 三点共线且 垂直于 时， 最小 ∴ 15 2 8 EF O AB M OC OM、 15AB = 12AC = 9BC = 2 2 2BC AC AB+ = ABC∆ EFC∆ O EF 1 2OC EF= OC OM= EF OC OM= + C O M、 、 CM AB EF 36 5 AC BCEF CM AB = = =6.如图所示，正方形 的面积为 ， 是等边三角形，点 在正方形 内，在对角线 上有一点 ，使 的和最小，则这个最小值为（ ） A． B． C． D． 答案：A 解析： ∵四边形 是正方形 ∴点 关于直线 的对称点是点 ∴ 根据两点之间，线段最短，当 三点共线时 最小，等于 ∵ 是等边三角形 ∴ ABCD 12 ABE△ E ABCD AC P PD PE+ 2 3 2 6 3 6 ABCD D AC B PD PE PB PE+ = + B P E、 、 PD PE+ BE ABE∆ 2 3BE AB= =7.如图 ， 在锐角 中， ， 的平分线交 于点 分别是 和 上的动点，则 的最小值是___________． 答案：4 解析：过点 作 于点 ∵ 是 的角平分线 ∴点 关于 的对称点 正好落在 上，连接 ∴ 根据点到直线的距离，垂线段最短，知 的最小值就是 ∴ ABC△ 454 2 BACAB ∠ == °， BAC∠ BC D M N， 、 AD AB BM MN+ B BG AC⊥ G AD BAC∠ N AD 'N AC 'MN 'BM MN BM MN+ = + BM MN+ BG 2 2 4 2 42 2BG AB= = × =8.已知边长为 的正三角形 ，两顶点 分别在平面直角坐标系的 轴、 轴的 正半轴上滑动，点 在第一象限，连结 ，则 的长的最大值是 ． A． B． C． D． 答案：C 解析： 取 的中点 ，连接 、 在 中， ， a ABC A B、 x y C OC OC 1( 3 )2 a+ 3 1 2 a − 3 1 2 a + 2a AB P OP PC Rt AOB∆ 1 1 2 2OP AB a= = 3 3 2 2PC AC a= =根据三角形三边性质， ∴当 （此时点 三点共线）时， 最大 ∴ 9． 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点 在 轴的正半轴上，顶点 的坐标 为（ ），点 的坐标为（ ），点 为斜边 上的一动 点，则 的 最小值为（ ）． A． B． C． D． 答案：B 解析：如图，作 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，连接 ，过 作 于 ，则此时 的值最小． OC OP PC< + OC OP PC= + O P C、 、 OC 3 1 2OC a += Rt OAB∆ A x B 3 3， C 1 02 ， P OB PA PC＋ 13 2 31 2 3 19 2 + 2 7 A OB D CD OB P AP D DN OA⊥ N PA PC＋∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ， ． 由勾股定理得： ． 由三角形面积公 式得： ， 即 ∴ ．∴ ． ∵ ， ， ∴ ，∵ ，∴ ． ∵ ，∴ ，∴ ． 由勾股定理得： ． DP PA= PA PC PD PC CD= =＋ ＋ (3 3)B ， 3AB = 3OA = 60B∠ = ° 2 3OB = 1 1 2 2OA AB OB AM× × = × × 1 13 3 2 32 2 AM× × = × × 3 2AM = 32 32AD = × = 90AMB∠ = ° 60B∠ = ° 30BAM∠ = ° 90BAO∠ = ° 60OAM∠ = ° DN OA⊥ 30NDA∠ = ° 1 3 2 2AN AD= × = 2 23 3 33 ( )2 2DN = − =∵ ，∴ ． 在 中，由勾股定理得： ． 即 的最小值是 ． 所以应选 B． 10.已知菱形 的两条对角线分别为 和 ， 、 分别是边 、 的中点， 是对角线 上一点，则 的最小值=______． 答案：5 解析： 作 关于 的对称点 ，连接 ，交 于 ，连接 ，此时 的值 最小，连接 ， ∵四边形 是菱形， ∴ 1( 0)2C ， 1 33 12 2CN = − − = Rt DNCV 2 23 3 31( ) 12 2DC = + = PA PC＋ 31 2 ABCD 6 8 M N BC CD P BD PM PN+ M BD Q NQ BD P MP MP NP+ AC ABCD AC BD QBP MBP⊥ ∠ = ∠， ，即 在 上， ∵ ， ∴ ， ∵ 为 中点， ∴ 为 中点， ∵ 为 中点，四边形 是菱形， ∴ ， ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ， ∵四边形 是菱形， ∴ ， ， 在 中，由勾股定理得： ， 即 ， ∴ ， 故答案为： ． 11.（1）观察发现 Q AB MQ BD⊥ AC MQ∥ M BC Q AB N CD ABCD BQ CD∥ BQ CN= BQNC NQ BC= ABCD 3CO AC= = 4BO BD= = Rt BOCV 5BC = 5NQ = 5MP NP QP NP QN+ = + = = 5如图（1）：若点 、 在直线 同侧，在直线 上找一点 ，使 的值最 小，做法如下：作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，与直线 的交点就是所求的 点 ，线段 的长度即为 的最小值． 如图（2）：在等边三角形 中， ，点 是 的中点， 是高，在 上找一点 使 的值最小，做法如下： 作点 关于 的对称点，恰好与点 重合，连接 交 于一点，则这点就是所 求的点 故 的最小值是多少？ （2）实践运用 如图（3）：已知 的直径 为 ， 的度数为 ，点 是 的中点，在直 径 上作出点 ，使 的值最小，则 的值最小，则 的 最小值是多少？ （3）拓展延伸 如图（4）：点 是四边形 内一点， ， ，分别在边 、 上作出点 ，点 ，求 周长的最小值． 解析：（1）观察发现 A B m m P AP BP+ B m B′ AB′ m P AB′ AP BP+ ABC 2AB = E AB AD AD P， BP PE+ B AD C CE AD P， BP PE+ Oe CD 2 ) AC 60° B ) AC CD P BP AP+ BP AP+ BP AP+ P ABCD 60ABC∠ = ° 2BP = AB BC M N PMN∆如图（2）， 的长为 的最小值， ∵在等边三角形 中， ，点 是 的中点 ∴ ， ， ∴ ； 故答案为 ； （2）实践运用 如图（3），过 点作弦 ，连结 交 于 点，连结 、 、 、 ， ∵ ， ∴ 平分 ，即点 与点 关于 对称， ∵ 的度数为 ，点 是 的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， CE BP PE+ ABC 2AB = E AB CE AB⊥ 30 1BCE BCA BE∠ = ∠ = ° =， 3 3CE BE= = 3 B BE CD⊥ AE CD P OB OE OA PB BE CD⊥ CD BE E B CD ) AC 60° B ) AC 30 60BOC AOC∠ = ° ∠ = °， 30EOC∠ = ° 60 30 90AOE∠ = ° + ° = ° 1OA OE= = 2 2AE OA= =∵ 的长就是 的最小值．[来源:学§科§网 Z§X§X§K] 故答案为 ； （3）拓展延伸，如图（4）． 12.如图，在边长为 的正方形 中， 是 边上的一点，且 ，点 为对 角线 上的动点，则 周长的最小值为________． 答案：6 解析：连接 ， ， ∵四边形 是正方形， ∴点 与点 关于直线 对称， AE BP AP+ 2 4 ABCD E AB 3AE = Q AC BEQ△ BD DE ABCD B D AC∴ 的长即为 的最小值， ∵ , ∴ 周长的最小值 ． 故答案为： ． 13.去冬今春，济宁市遭遇了 年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建 一座水泵站，分别向河的同一侧张村 和李村 送水.经实地勘查后，工程人员设计图纸时， 以河道上的大桥 为坐标原点，以河道所在的直线为 轴建立直角坐标系（如图）.两 村的坐标分别为 . (1)若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥 多远的地方可使所用输水管道最 短？ (2)水泵站建在距离大桥 多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？ 答案： （1）作点 关于 轴的对成点 ，连接 ，则点 为 . DE BQ QE+ 2 2 2 24 3 5DE BQ QE AD AE= + = + = + = BEQ△ 5 1 6DE BE= + = + = 6 200 A B O 2 3 (2 3) (12 7)A B，， ， O O B x E AE E 12, 7（ - ）设直线 的函数关系式为 ，则 ，解得 . ∴当 时， . 所以，水泵站建在距离大桥 千米的地方，可使所用输水管道最短. （2）作线段 的垂直平分线 ，交 于点 ，交 轴于点 ，设点 的坐标 为 . 在 中， 在 中， ∵ ， ∴ ，解得 . 所以，水泵站建在距离大桥 千米的地方，可使它到张村、李村的距离相等. AE y kx b= + 2k b=3 12k b=7 −  − k=1 b=5    0BC = 2 3 5= 5 AB GF AB F 2 3 G G (2 3 0)， Rt AGDV 2 2 2 2 2(2 33 2)AG AD DG= =+ + − Rt BCGV 2 2 2 2 27 (12 2 3)BG BC GC= = −＋ ＋ AG BG= 2 2 2 23 2 7(2 3 ) ( 2 )1 3= −−＋ ＋ 2 9x = 914.如图，已知直线 ，且 与 之间的距离为 ，点 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ， ．试在直线 上找一点 ，在直线 上找一点 ， 满足 且 的长度和最短，则此时 （ ） A． B． C． D． 答案：B 解析：作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 与点 ，过点 作 直线 ，连接 ， ∵ 到直线 的距离为 ， 与 之间的距离为 ， ∴ ， a b∥ a b 4 A a 2 B b 3 2 30AB = a M b N MN a⊥ AM MN NB+ + AM NB+ = 6 8 10 12 A a A′ A B′ b N N NM ⊥ a AM A a 2 a b 4 4AA MN′ = =∴四边形 是平行四边形， ∴ ， 过点 作 ，交 于点 ， 易得 ， ， ， 在 中， ， 在 中， ． 故选 B． [来源:学.科.网 Z.X.X.K] 15.下列图案给出了折叠一个直角边长为 2 的等腰直角三角形纸片（图 1）的全过程：首先对 折，如图 2，折痕 交 于点 ；打开后，过点 任意折叠，使折痕 交 于 点 ，如图 3；打开后，如图 4；再沿 折叠，如图 5；打开后，折痕如图 6．则折痕 和 长度的和的最小值是（ ） 答案： 解析： AA NM′ AM NB A N NB A B+ = ′ + = ′ B BE AA⊥ ′ AA′ E 2 4 3 9AE = + + = 2 30AB = 2 3 5A E′ = + = Rt AEBV 2 2 39BE AB AE= − = Rt A EB′△ 2 2 8A B A E BE′′ = + = CD AB D D DE BC E AE DE AE 10作点 关于点 的对称点 ，连接 ∴ [ ∴ 根据两点之间线段最短，可知 的最小值就是 过点 作 于点 在 中， ∴ 16.如图，正方形 中， ， 是 上的一点，且 ， 是 上的一动点，求 的最小值与最大值是（ ）． 解析： 找点 关于 的对称点， N M D CB A A C 'A ' ,A E AD 'AE A E= 'AE DE A E DE+ = + AE DE+ 'A D D DF AC⊥ F 'Rt A DF '1, 3DF A F= = ' ' 2 2 10A D A F DF= + = ABCD 8AB = M DC 2DM = N AC DN MN+ D AC由正方形的性质可知， 就是点 关于 的对称点， 连接 、 ，由 可知， 当且仅当 、 、 三点共线时， 的值最小，该最小值为 ． 当点 在 上移动时，有三个特殊的位置我们要考察： 与 的交点，即 取最小值时； 当点 位于点 时， ； 当点 位于点 时， ．故 的最大 值为 ． 17.如图，在等腰 中， ， 的 上一点，满足 ，在斜 边 上求作一点 使得 长度之和最小是_______. 解析： N M D CB A E P C B A B D AC BN BM DN MN BN MN BM+ = + ≥ B N M DN MN+ 2 26 8 10+ = N AC BM AC DN MN+ N A 8 2 17DN MN AD AM+ = + = + N C 8 6 14DN MN CD CM+ = + = + = DN MN+ 8 2 17+ Rt ABC∆ 3CA CB= = E BC 2BE = AB P PC PE+连接 ，易知 ∴在 中， 18.如图， ，角内有点 ， ，在角的两边找两点 、 (均不同 于 点)，使得 的周长最小，则最小值是______. 答案：2 解析： 分别做点 关于直线 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 ，此时 的周长最小 ∵ E' E P C B A P O B A R Q P'' P' P O B A 'BE ' 2BE BE= = 'Rt BCE∆ ' 2 '2 13CE BC BE= + = 45AOB∠ = ° P 2OP = Q R O PQR∆ P ,OA OB ' '',P P ' ''P P ,OA OB ,Q R ,PQ PR PQR∆ ' '', 45OP OP AOB= ∠ = °∴ 是等腰直角三角形 ∵ ∴ ∴ 的周长最小为 19.如图，菱形 的两条对角线分别长 6 和 8，点 、 分别是变 、 的中 点，在对角线 求作一点 使得 的值最小，最小值是______. 答案：5 解析： 作点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，根据两点之间线段最短，点 即为所求的点 ∵ 分别是菱形边的中点 ∴点 是 的中点 ∴ NM D C B A P N' NM D C B A P ' ''OP P∆ 2OP = ' '' 2P P = PQR∆ 2 ABCD M N AB BC AC P PM PN+ N AC 'N 'MN AC P P ,M N 'N CD ' 5MN AD= =20.如图，设正 的边长为 2， 是 边上的中点， 是 边上的任意一点， 的最大值和最小值分别记为 和 ．求 的值． A． B． C． D． 答案：B 解析： 作点 关于 的对称点 ，连接 、 ． 由点 、 关于 对称可知， ． M P CB A M' M P CB A ABC∆ M AB P BC PA PM+ s t 2 2s t− 4 4 3 5 3+ 7 4 3+ M BC 'M 'AM 'PM M 'M BC 'PM PM=故 当且仅当 、 、 共线时，等号成立，故 ． 另外两个临界位置在点 和点 处． 当点 位于点 处时， ； 当点 位于点 处时， ． 故 ， ． 本题也可作点 关于 的对称点 ，连接 、 ． 21.如图，一副三角板拼在一起， 为 的中点， ．将 沿 对折于 ， 为 上一动点，则 的最小值为 ． 答案： 解析：[来源:学+科+网 Z+X+X+K] ' 'PA PM PA PM AM+ = + ≥ A P 'M 2 2( ') 7t AM= = B C P C 2 3PA PM AC CM+ = + = + P B 3PA PM AB BM+ = + = 2 2(2 3) 7 4 3s = + = + 2 2 4 3s t− = A BC 'A 'A M 'PA O AD AB a= ABO BO A BO′ M BC A M′ 6 2 4 a −根据点到直线的距离垂线段最小可知，当 ， 最小 连接 ，过点 作 于点 易知四边形 是正方形，所以设 ∵ ∴ ， ∴在 中， ， ∴由勾股定理知： 解之得： 22.如图，在直角坐标系中，点 、 的坐标分别为 和 ，点 是 轴上 的一个动点，且 、 、 三点不在同一条直线上，当 的周长最小时，点 的坐标是（ ） 'AM BC⊥ 'AM 'A D 'A 'AN CD⊥ N 'MCNA 'AM MC x= = AB a= 3BD a= 6 2BC a= 'Rt A BM∆ 6 2BM a x= − 'A B a= 2 2 26( )2 a x x a− + = 6 2 4x a −= A B 1 4（，） 3 0（ ，） C y A B C ABCV C答案： 解析：作 点关于 轴对称点 点，连接 ，交 轴于点 ， 此时 的周长最小， ∵点 、 的坐标分别为 和 ， ∴ 点坐标为： ， ，则 ， 即 ，∵ ，∴ ， ∴点 的坐标是 ，此时 的周长最小． 23.如图，在 中， ， ， ，点 、 分别在 轴、 轴上，当点 在 轴上运动时，点 随之在 轴上运动，在运动过程中，点 到原点的最 大距离是( ) 0 3（ ，） B y B′ AB′ y C′ ABCV A B 1 4（，） 3 0（ ，） B′ 3 0（－ ，） 4AE = 4BE = ' 4B E AE= = C O AE′ ∥ 3B O C O′ = ′ = C′ 0 3（ ，） ABCV ABC∆ 90C∠ = ° 4AC = 2BC = A C x y A x C y B解析： 取 边的中点 ，连接 根据三角形三边关系， ∴当点 三点共线时， 有最大值 此时， AC P ,OP BP OB BP OP< + , ,O P B OB 2 2 2OB OP BP= + = +