3.旋转—三角形
1.如图，在 中， ， ， ， 是 中点，等腰直角三角板 的直角顶
点落在点 上，使三角板绕点 旋转．
（1）如图 1，当三角板两边分别交边 、 于 、 时，线段 与 、 有怎样的关系
（2）在（1）中，设 ，四边形 的面积为 ，求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值
范围．
（3）在旋转过程中，当三角板一边 经过点 时，另一边 交 延长线于点 ，连接 与 延长
线交于点 （如图 2），求 的长．
解析：（1）
理由如下：
延长 到 ，使 ，连接 、 （如图 1-1）
∵ ，∴
∵ 是 中点，∴
∵ ，∴
∴ ，
ABC 90C∠ = ° 30A∠ = ° 2BC = D AB DMN
D D
AC BC F E EF AF BE
AF x= CEDF y y x x
DM C DN CB E AE CD
G DG
2 2 2EF AF BE= +
ED G DG DE= AG FG
FD GN⊥ EF FG=
D AB AD BD=
ADG BDE∠ = ∠ ADG BDE ≌
AG BE= GAD B∠ = ∠∴ ，∴
∴在 中，
∴
（2）[来源:Z,xx,k.Com]
作 于 ， 于 （如图 1-2）
在 中， ， ，∴
∴
在 中，
由（1）知 ，∴
∵ ， ，∴ ， ，
∴
∵ ，∴ ，
∴
∴ ，∴
∴
AG BC 90GAF C∠ = ∠ = °
Rt AGF
2 2 2FG AF AG= +
2 2 2EF AF BE= +
FG AB⊥ G EH AB⊥ H
ABC 90C∠ = ° 30A∠ = ° 60B∠ = °
3
2EH BE=
Rt CFE
2 2 2EF CF CE= +
2 2 2EF AF BE= + 2 2 2 2CF CE AF BE+ = +
30A∠ = ° 2BC = 4AB = 2 3AC = 2AD BD= =
2CE BE= −
AF x= 1
2FG x= 2 3CF x= −
2 2 2 2(2 3 ) (2 )x BE x BE− + − = +
4 3BE x= − 32 3 2EH x= −
1 1 1 1 32 2 3 2 2 (2 3 )2 2 2 2 2ABC ADF BDEy S S S x x= − − = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −
即
当点 与点 重合时，
∴ ，∴
当点 与点 重合时，
∴ ，∴
∴ 的取值范围是
（3）
过点 作 （如图 2）
∵ ， ，∴ ，
∴ ， ，
∵ ,
∴· ，∴ ,
∴ .
y x=
E C 2BE BC= =
4 3 2x− = 2 3
3x =
E B 0BE =
4 3 0x− = 4 3
3x =
x 2 3 4 3
3 3x≤ ≤
A AH MG⊥
30CAD∠ = ° AD CD= 30ACD∠ = ° 60DCE∠ = °
1 32AH AC= = 3 2 3DE CD= = 2 4CE CD= =
ACE ACG ECGS S S= +
1 1 12 3 4 3 2 32 2 2CG CG⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ 8
3CG =
8 223 3DG CG CD= − = − =3.如图，在 中， ， ，点 在 上，且 ．将
绕点 顺时针旋转得到 ，且 落在 的延长线上，连接 交 的延长线于点 ，
（1）求证：
（2）求 的长．
解析：（1）证明：∵ ，∴
∵ ，∴ ,
∵ ，∴ ,
∴
又 ，∴
（2）
解：
∵ ， ，∴
∵ ， ，∴ ,
Rt ABC 90ACB∠ = ° 1cos 3BAC∠ = O AB 6CA CO= = ABC
A AB C′ ′ C′ CO BB′ CO D
COA BOD ∽
BD
BAC B AC∠ = ∠ ′ ′ CAC B AB∠ ′ = ∠ ′ ′
AC AC= ′ 1 (180 CAC )2ACC AC C ′∠ ′ = ∠ ′ = ° − ∠
AB AB= ′ 1 (180 )2ABB AB B BAB′∠ ′ = ∠ ′ = ° − ∠
ACC ABB∠ ′ = ∠ ′
COA BOD∠ = ∠ COA BOD ∽
CA CO= COA BOD ∽ BD BO=
1cos 3BAC∠ = 6CA CO= = 18BA =过 作 于 ，则 ， ,
∴ .
4.已知：在 的边 、 上分别取点 、 ，连接 使 ．将 绕点 按逆时针方
向旋转得到 ，连接 、 ．
（1）如图 1，若 ， ，问： 与 都有哪些关系．
（2）在图 1 中，连接 、 ，分别取 、 、 、 的中点 、 、 、 ，顺次连接
、 、 、 得到四边形 ．请判断四边形 的形状．
（3）①如图 2，若改变（1） 中的大小，使 ，其他条件不变，重复（2）中操作，请你
直接判断四边形 的形状．
②如图 3，若改变（1）中 、 的大小关系，使 ，其他条件不变，重复（2）中操作，请你直接判
断四边形 的形状．
解析：
（1）证明：
C CE AB⊥ E 1 23EA CA= = 2 4OA EA= =
18 4 14BD BO BA OA= = − = − =
PAB PA PB C D CD CD AB PCD P
PC D APC APB′ ′ ∠ ′ ∠ （ ＜ ） AC′ BD′
90APB∠ = ° PA PB= AC′ BD′
AD′ BC′ AB AD′ C D′ ′ BC′ E F G H
E F G H EFGH EFGH
APB∠ 0 90APB° ∠ °＜ ＜
EFGH
PA PB PA PB＜
EFGH延长 交 于点 ，交 于点
∵ ，∴
∵ ，∴ ，
∴ ，∴
由旋转可知： ， ，
∴
∵ ，
∴ ，∴
∴ ， 即
∵在 中，
在 中，
又
∴ ，∴
（2）正方形
证明：由（1）可知：
∵ 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点
∴ 、 、 、 分别是 、 、 、 的中位线
∴ ， ， ，
∴ ，∴四边形 是菱形
∵ ， ， ，∴
AC′ BD′ M PB N
PA PB= PAB PBA∠ = ∠
CD AB∥ PCD PAB∠ = ∠ PDC PBA∠ = ∠
PCD PDC∠ = ∠ PC PD=
PC PC′ = PD PD′ = C PD BPA∠ ′ ′ = ∠
PC PD′ = ′
APC APB C PD∠ ′ = ∠ − ∠ ′ BPD C PD C PD∠ ′ = ∠ ′ ′ − ∠ ′
APC BPD∠ ′ = ∠ ′ PAC PBD′ ′ ≌
AC BD′ = ′ PAC PBD∠ ′ = ∠ ′ PAN MBN∠ = ∠
PAN 180PAN ANP APN∠ + ∠ + ∠ = °
BMN 180MBN MNB BMN∠ + ∠ + ∠ = °
ANP MNB∠ = ∠
90BMN APN∠ = ∠ = ° AC BD′ ⊥ ′
AC BD′ = ′
E F G H AB AD′ C D′ ′ BC′
EF FG GH HE ABD′ AC D′ ′ BC D′ ′ ABC′
1
2EF BD′= 1
2FG AC′= 1
2GH BD′= 1
2HE AC′=
EF FG GH HE= = = EFGH
EF BD′ HE AC′ AC BD′ ⊥ ′ EF HE⊥∴四边形 是正方形
（3）
①四边形 是菱形．
，
．
，
，
，
．
将 绕点 按逆时针方向旋转得到 ，
．
．
．
在 和 中，
，
，
．
点 分别是 的中点，
， ，
，
EFGH
EFGH
PA PB=
PAB PBA∴∠ = ∠
CD AB
PCD PAB PBA PDC∴∠ = ∠ ∠ = ∠，
PCD PDC∴∠ = ∠
PC PD∴ =
PCD P PC D′ ′
APB C PD PC PC PD PD∴∠ = ∠ ′ ′ ′ = ′ =， ，
APB C PB C PD C PB PC PD∴∠ ∠ ′ = ∠ ′ ′ ∠ ′ ′ = ′﹣ ﹣ ，
APC BPD∴∠ ′ = ∠ ′
AC P′ BD P′
C BPD
PA PB
AP
PC PD
′ = ∠ ′
′ =
=
∠
′
AC P BD P SAS∴ ′ ′ ≌ （ ）
AC BD∴ ′ = ′
E F G H、 、 、 AB AD C D BC′ ′ ′ ′、 、 、
1
2EF GH BD∴ = = ′ 1
2GF EH AC= = ′
AC BD′ = ′ ，
四边形 是菱形；
②四边形 是矩形．
如图 3，延长 交 于点 ，
将 绕点 按逆时针方向旋转得到 ，
．
，．
．
，
，
．
，
．
，
，
，
．
点 分别是 的中点，
，
四边形 是平行四边形． ，
，
，
平行四边形 是矩形．
EF FG GH HE∴ = = =
∴ EFGH
EFGH
AC′ BD′ M
PCD P PC D′ ′
APB C PD PC PC PD PD∴∠ = ∠ ′ ′ ′ = ′ =， ，
APB C PB C PD C PB∴∠ − ∠ ′ = ∠ ′ ′ − ∠ ′
APC BPD∴∠ ′ = ∠ ′
CD AB
PC PD
PA PB
∴ =
PC PD
PA PB
′ ′∴ =
AC P BD P∴ ′ ′ ∽
PAC PBD∴∠ ′ = ∠ ′
90APB∠ = °
90PAC BAC ABP∴∠ ′ + ∠ ′ + ∠ = °
90BAC ABP PBD∴∠ ′ + ∠ + ∠ ′ = °
90MAB ABM∴∠ + ∠ = °
E F G H、 、 、 AB AD C D BC′ ′ ′ ′、 、 、
1 1
2 2EF GH BD GF EH AC EF BD EH AM∴ = = ′ = = ′ ′， ， ，
∴ EFGH AEF ABM BEH BAM∠ = ∠ ∠ = ∠，
90AEF BEH∴∠ + ∠ = °
90FEH∴∠ = °
∴ EFGH5.两个等腰直角三角形 、 如图①摆放（点 在 上），连接 ，取 的中点 ，连接 、 ，
则有 ， ．
（1）将 绕点 逆时针旋转，使 点落在 上（如图②），上述结论是否仍成立？
（2）如图③，当 绕点 逆时针旋转 时，连接 ，若 ,求 的值．
解析：（1）上述结论仍然成立
证法一：
连接 ，延长 交 于点
∵ 、 均为等腰直角 三角形
∴ ，∴
∵ 为 中点，∴
又∵ ， ，∴
∴
同理，
∴ ，
∴
ABC ADE E AB BD BD P PC PE
PC PE= PC PE⊥
ADE A E AC
ADE A 30° DC DC AB
AC
AE
AP PE AD M
ABC ADE
45BAC DAE∠ = ∠ = ° 90DAB∠ = °
P BD PA PB PD= =
AC BC= PC PC= APC BPC ≌
1 452ACP BCP ACB∠ = ∠ = ∠ = °
APE DPE ≌
APE DPE∠ = ∠ PAE PDE∠ = ∠
APE PAE DPE PDE∠ + ∠ = ∠ + ∠即
∴ ，∴
∴ 为等腰直角三角形，∴ ，
证法二：
延长 交 于 ，易知 为 中点
∵ 是 的中点，∴ ，
∴
分别延长 、 交于点 ，易知 为 中点
可证得 ， ，
∴ ，即
∵ 、 均为等腰直角三角形
∴ ，∴
（2）
过点 作 于
1 452AEM DE DM AE∠ ∠= == ∠ °
45CEP AEM∠ = ∠ = ° 90CPE∠ = °
CPE PC PE= PC PE⊥
DE AB F E DF
P DB EP FB
1
2EP FB=
45CEP CAB∠ = ∠ = °
AD BC G C BG
PC DG
1
2PC DG= 45PCE CAD∠ = ∠ = °
90CPE∠ = ° CP PE⊥
ADF AGB
FB DG= PC PE=
D DH AC⊥ H∵ ， ，∴
在 中，
设 ，则 ， ，
∴
∴
6.已知 中， ， , ，将 绕点 旋转得到 ．
（1）如图 1，当点 落在线段 上时，求 的值；
（2）如图 2，当点 落在直线 上时，求 的长．
解析：（1）
∵ ， ， ，∴ ,
DC AB 45DCH CAB∴∠ = ∠ = ° DH CH=
Rt ADH 30DAH∠ = °
DH k= 2AD k= 2AE k= 3AH k=
3 ( 3 1)AC AH CH k k k= + = + = +
( )3 1 6 2
22
kAC
AE k
+ += =
ABC 90ACB∠ = ° 2AC = 1BC = ABC C A B C′ ′
B A B′ ′ sin A CA∠ ′
A A B′ ′ AB′
90ACB∠ = ° 2AC = 1BC = 5AB =作 于 ， 于 ,
则 ，得 ， ，
.
∴
（2）
作 于 ,
BD B C⊥ ′ D CE BB⊥ ′ E
CB E A B C′ ′ ′ ∽ 5
5B E′ = 2 55CE = sinBD CBBC B= ⋅ ∠ ′
∴ 1 1 1sin2 2 2BB CS B C BD B C BC BCB BB CE′ ′ ′ ′ ′= ⋅ = ⋅ ⋅ ∠ = ⋅
2 2
2 25 5 45 5sin sin 1 5
BB CEA CA BCB B C
×′⋅∠ ′ = ∠ ′ = = =′
CF A B⊥ ′ ′ F
1 1
2 2A B CS A C B C A B CF′ ′ ′= ′ ⋅ ′ = ′ ⋅
2 5
5CF∴ =
1tan 2
B C CF
AA C A F
′′ = = =∠ ′ ′
4 5 12 5 2A F CF AA∴ ′ = = = ′
8 5
5AA∴ ′ =
7.如图 1， 、 都是等腰直角三角形，点 在线段 上， ，连接 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）将 绕点 逆时针旋转，使 （如图 2）．
①求：线段 与 的数量关系.
②求： ．
解析：
（1）
延长 交 于
设 ， ，则 ，
在 中，
∵ ，∴
∴
AB AA A B′ ′ ′ ′= −
8 5 35 55 5AB′∴ = − =
ABC ADE E AC 90ABC D∠ = ∠ = ° BE
5
2BE DE= AD
AB
ADE A AE EC=
BD CD
2______ABCEDS BD=五边形
DE BC F
AD DE a= = AB BC b= = BF a= EF b a= −
Rt BEF ( )22 2a b a BE+ − =
5
2BE DE= 2 2 25 5
4 4BE DE a= =
( )22 25
4a b a a+ − =整理得：
即
解得： （舍去）或
∴
（2）
①过 作 交 延长线于 、 、 延长线交于 ，连接 ,
则 是等腰直角三角形
显然 ,
又∵ ，∴
∴ ,
∵ ， ， ,
∴ ，∴ ,
∴ ，∴
∴ ，∴
2 23 8 4 0a ab b− + =
23( ) 8( ) 4 0a a
b b
− + =
2a
b
= 2
3
a
b
=
2
3
AD
AB
=
E EF AE⊥ AD F BD CF G BE
AEF AD DF=
45FAC EAB EAC∠ = ∠ = ° + ∠
2
2
AF AE AE
AC ABAB
= = ACF ABE ∽
ACF ABE∠ = ∠
AB BC= AE EC= BE BE=
ABE CBE ≌ 1 452ABE CB CE AB∠ ∠= == ∠ °
45ACF∠ = ° 90BCF∠ = °
AB CG BAD GFD∠ = ∠又∵ ， [
∴ ，∴
又
∴
②
将 绕点 顺时针旋转至 ，延长 、 交于 ，连接 、
则 ， ，
∵ ，∴
∴ ，∴
∴
∵ ，∴
∴四边形 是平行四边形
∴
8.如图，矩形 中， ，将一块直角三角板的直角顶点 放在两对角线 ， 的交点处，
以点 为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别与边 ， 所在的直线相交，交点分别为 ，
．
（1）当 ， 时，如图 1，则 的值为________；
ADB FDG∠ = ∠ AD DF=
ADB FDG ≌ BD DG=
90BCF∠ = °
1
2CD BG BD= =
ABD B CBF DA FB G DF EF
DE AD CF= = 1 2∠ = ∠ 3 4∠ = ∠
3 5 90ABC∠ + ∠ = ∠ = ° 4 5 90DBF∠ = ∠ + ∠ = °
1 90G∠ + ∠ = ° 2 90G∠ + ∠ = °
CF AD⊥
DE AD⊥ DE CF
CDEF
21
2ABD BCD DEC BCF BCD CDF BDFABCEDS S S S S S S S BD= =+ + = + + =
五边形
ABCD 30ACB∠ = ° P AC BD
P AB BC E
F
PE AB⊥ PF BC⊥ PE
PF（2）现将三角板绕点 逆时针旋转 角，如图 2，求 的值；
（3）在（2）的基础上继续旋转，当 ，且使 时，如图 3， 的值是否变化？
证明你的结论．
解析：
（1）
（2）
过点 作 ， ，垂足分别为 ，
∵在矩形 中，则 ，∴
又∵ ，∴
∴ ，
由题意可知，
∴ ，∴
又∵点 在矩形 对角线交点上
P 0 60α α° °（ ＜ ＜ ） PE
PF
60 90α° °＜ ＜ : 1 : 2AP PC = PE
PF
PE FC=
1 3tan30
PE FC
PF PF
∴ = = =°
P PH AB⊥ PG BC⊥ H G
ABCD 90ABC∠ = ° PH BC
30ACB∠ = ° 30APH PCG∠ = ∠ = °
3·cos30 2PH AP AP= ° = 1·sin30 2PG PC PC= ° =
HPE GPF α∠ = ∠ =
Rt PHE Rt PGF ∽
3
32
1
2
APPE PH AP
PF PG PCPC
= = =
P ABCD∴ ，∴
（3）变化
证明：
过点 作 ， ，垂足分别为 ，
根据（2），同理可证
∵ ，∴
9.如图 1， 和 均为等腰直角三角形， ，点 为 的中点．过点 与
平行的直线交射线 于点 ．
（1）当 ， ， 三点在同一直线上时，求： 与 之间的数量关系；
（2）将 绕点 旋转，当 ， ， 三点在同一直线上时（如图 2），求证： 为等腰直角三角形；
（3）将 绕点 旋转到图 3 的位置时，（2）中的结论是否仍然成立？
解析：（1）
AP PC= 3PE
PF
=
P PH AB⊥ PG BC⊥ H G
3PE AP
PF PC
=
: 1: 2AP PC = 3
2
PE
PF
=
BAD BCE 90BAD BCE∠ = ∠ = ° M DE E
AD AM N
A B C AM MN
BCE B A B E ACN
BCE B∵ ，∴
∵点 为 的中点，∴
又∵ ，∴
∴
（2）
∵ 和 均为等腰直角三角形
∴ ， ，
∵ ，∴
∵ ，∴
∴
∵ ， ， 三点在同一直线上
∴
∴
∵ （已证），∴
∵ ，∴
∴
EN AD MAD MNE∠ = ∠
M DE DM EM=
AMD NME∠ = ∠ ADM NEM ≌
AM MN=
BAD BCE
AB AD= BC EC= 45CBE CEB∠ = ∠ = °
AD NE 180DAE NEA∠ + ∠ = °
90DAE∠ = ° 90NEA∠ = °
135NEC∠ = °
A B E
180 135ABC CBE∠ = ° − ∠ = °
ABC NEC∠ = ∠
ADM NEM ≌ AD EN=
AD AB= AB NE=
ABC NEC ≌∴ ，
∴
∴ 为等腰直角三角形
（3）成立
∵ ，∴
∵ ，∴
∴
∴ [来源:学。科。网 Z。X。X。K]
又∵ （已证），
∴
∴ ，
∴
∴ 为等腰直角三角形
10.在四边形 中，对角线 、 相交于点 ，设锐角 ，将 按逆时针方向旋转得
到 （0°＜旋转角＜90°）连接 、 ， 与 相交于点 ．
（1）当四边形 为矩形时，如图 1．求证： ．
（2）当四边形 为平行四边形时，设 ，如图 2．
①猜想此时 与 有何关系；
②探究 与 的数量关系以及 与 的大小关系．
AC NC= ACB NCE∠ = ∠
90ACN BCE∠ = ∠ = °
ACN
45ABD CBE∠ = ∠ = ° 270ABC DBE∠ = ° − ∠
AD EN MEN MDA∠ = ∠
45NEC MEN DEB∠ = ∠ + ∠ + °
45 45 45MDA DEB BDE DEB= ∠ + ∠ + ° = ∠ + ° + ∠ + °
90BDE DEB= ∠ + ∠ + °
180 90 270DBE DBE= ° − ∠ + ° = ° − ∠
ABC NEC∠ = ∠
AB NE= BC EC=
ABC NEC ≌
AC NC= ACB NCE∠ = ∠
90ACN BCE∠ = ∠ = °
ACN
ABCD AC BD O AOB α∠ = DOC
D OC′ ′ AC′ BD′ AC′ BD′ M
ABCD AOC BOD′ ′ ≌
ABCD AC kBD=
AOC′ BOD′
AC′ BD′ AMB∠ α解析：
（1）
证明：在矩形 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ 由 旋转得到，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴
（2）
ABCD
AC BD= 1
2OA OC AC= = 1
2OB OD BD= =
OA OC OB OD= = =
D OC′ ′ DOC
OD OD= ′ OC OC= ′ D OD C OC∠ ′ = ∠ ′
OB OD OA OC= ′ = = ′
180 180D OD C OC° − ∠ ′ = ° − ∠ ′
BOD AOC∠ ′ = ∠ ′
BOD AOC′ ′ ≌①猜想： ．
证明：在平行四边形 中， ， ，
∵ 由 旋转得到，
∴ ， ， ，
∴ ，
，
∴
∴
②结论： ，
证明：∵ ，
∴ ，即
设 与 相交于点 ，∵ ，∴ ，
在 与 中，又∵ ，
∴ ，
即
11.如图所示，在 中， ， ， ．半径为 的 与射线 相切，
切点为 ，且 ．将 顺时针旋转 后得到 ，点 、 的对应点分别是点 、
．
（1）画出旋转后的 ；
（2）求出 的直角边 被 截得的弦 的长度；
BOD AOC′ ′ ∽
ABCD OB OD= OA OC=
D OC′ ′ DOC
OD OD= ′ OC OC= ′ D OD C OC∠ ′ = ∠ ′
: :OB OA OD OC= ′ ′
180 180D OD C OC° − ∠ ′ = ° − ∠ ′
BOD AOC∠ ′ = ∠ ′
BOD AOC′ ′ ∽
AC kBD′ = ′ AMB α∠ =
BOD AOC′ ′ ∽
AC OA AC kBD OB BD
′ = = =′ AC kBD′ = ′
BD′ AC N BOD AOC′ ′ ∽ OBD OAC′ ′∠ = ∠
ANM BNO ANM BNO∠ = ∠
180 180OAC ANM OBD BNO° − ∠ ′ − ∠ = ° − ∠ ′ − ∠
AMB AOB α∠ = ∠ =
Rt ABC 90C∠ = ° 60BAC∠ = ° 8AB = 3 M BA
N 3AN = Rt ABC 120° Rt ADE B C D
E
Rt ADE
Rt ADE DE M PQ（3）判断 的斜边 所在的直线与 的位置关系．
解析：
（1）
如图
（2）
连接 、 ，过 作 于
在 中，∵ ，
∴ ，∴
∵ ，∴ ，∴
在 中， .
故弦 的长度为 .
（3） 与 相切
60°
M
E
D
C
B A
Rt ADE AD M
MP MN M MF DE⊥ F
Rt ABC 60BAC∠ = ° 8AB =
4AC = 4AC =
3AN = 1NE AE AN= − = 1MF =
Rt MFP 2 2 2PF PM MF= =－
PQ 2 2
AD M证明：
过点 作 于 ，连接 ， ，则 且
在 中， ，∴
∵ ，∴
∴ ，∴
（由 或解 求得 ，从而得 亦可）
∴ 与 相切
12.如图1， 和 是两张全等的三角形纸片， ， ， ，
点 与 边的中点 重合，且点 、 、 、 在同一条直线上．如图 2，将 绕点 顺时针旋转，
旋转过程中边 、 分别交边 于点 、 ，设旋转角 ．
（1）当 ________ 时， ；
（2）当线段 、 、 之间满足 关系时，求 的大小；
（3）若 ， ， ，求 与 的函数关系式．
解析：（1）连接 OA
M MH AD⊥ H MA MN MN AE⊥ 3MN =
Rt AMN
3tan 3
MNMAN AN
∠ = = 30MAN∠ = °
60DAE BAC∠ = ∠ = ° 30MAD∠ = °
MAN MAD∠ = ∠ MH MN=
MHA MNA ≌ Rt AMH 3MH = MH MN=
AD M
ABC DEF 90A D∠ = ∠ = ° 30B E∠ = ∠ = ° BC EF=
F BC O E B F C DEF O
DF EF AB G H BOH α∠ =
α = ° AG BH=
AG GH BH 2 2 2AG GH BH+ = α
4BC EF= = BH x= AG y= y x为 的中点，
在 和 中
且
（2）
作点 关于 的对称点 ，连接 、 、 、
则 ， ，
∵ 是 斜边 的中点，∴
∴ ，∴
∵ ，∴
O BC 1
2OA BC BO∴ = =
30 , 30B BAO∠ = ° ∴∠ = °
BHO AGO
BH AG
B BAO
BO OA
=
∠ = ∠
=
BHO AGO∴ ≌ GOAα∴∠ = ∠
180 120AOB B BAO∠ = ° − ∠ − ∠ = ° 60EOD∠ = °
120 60 60GOAα∴∠ + ∠ = ° − ° = °
2 60α∴ ∠ = ° 30α∠ = °
A OD K KG KH KO AO
KO AO= KG AG= KOG AOG∠ = ∠
O Rt ABC BC BO AO KO= =
30BAO B∠ = ∠ = ° 120AOB∠ = °
60EOD∠ = ° 60KOG KOH∠ = ° − ∠,
∴ ,
又 ， ，∴ ,
∴ ,
∵ ，∴ ,
∴ ，∴ ，∴ ,
∴ ，∴ ,
∴ ，即 ,
（3）
过 作 于 ，过 作 于 ，交 于 ,
则
∵ 是 的中点，∴ ， ,
在 中， ， ，∴ ， ,
∴ ， ,
∵ ，∴ ,
∵ ，∴ ,
∵ ， ,
∴ ，∴ ,
120 60 6( ) 0AOG BOH BOH∠ = ° − ∠ + ° = ° − ∠
KOH BOH∠ = ∠
KO BO= OH OH= KOH BOH ≌
KH BH=
2 2 2AG GH BH+ = 2 2 2KG GH KH+ =
90KGH∠ = ° 90AGK∠ = ° 45KGD AGD∠ = ∠ = °
45BGO∠ = ° 105BOG∠ = °
45BOH∠ = ° 45α = °
O OM AB⊥ M H HN OD⊥ N OM P
OM AC
O BC 1
2AM BM AB= = 1
2OM AC=
Rt ABC 30B∠ = ° 4BC = 2 3AB = 2AC =
3BM = 1OM =
BH x= 3HM x= −
60EOD∠ = ° 3HN ON=
90HNG ONP∠ = ∠ = ° 90GHN PON HGN∠ = ∠ = ° − ∠
HNG ONP ∽ 3HG HN
OP ON
= =∴ ，即 ，∴
∵ ，
∴ ，∴
即 ，∴
∵ ，∴
∴
∵ ，∴
∴
13.如图 9，若 和 为等边三角形， ， 分别 ， 的中点，易证： ，
是等边三角形．
（1）当把 绕 点旋转到图 10 的位置时， 与 的数量关系？
（2）当 绕 点旋转到图 11 的位置时，请证明 是等边三角形？并求出当 时，
与 及 的面积之比.
解析：（1） ．理由如下:
∵ 和 为等边三角形
3HG OP= ( 3 ) 3x MG OP− + = ( )3 33OP x MG= − +
90HMP OMG∠ = ∠ = ° 90MHP MOG HGN∠ = ∠ = ° − ∠
HMP OMG ∽ HM MP
OM MG
=
3
1
x MP
MG
− = ( 3 )MP GM x−=
MP OP OM+ = 3( 3 ) ( 3 ) 13x MG x MG− + − + =
4 3
xMG
x
=
−
1
2AM AG MG AB= + = 3
4 3
xy
x
+ =
−
4 3 4 (0 3)
4 3
xy x
x
−= ≤ ≤
−
ABC ADE M N EB CD CD BE= AMN
ADE A CD BE
ADE A AMN 2AB AD= ADE
ABC AMN
CD BE=
ABC ADE∴ ， ，
∵ ，
，
∴ ， ∴
∴
（2） 是等边三角形．理由如下：
∵ ， ∴ ．
∵ 、 分别是 、 的中点，
∴
∵ ， ， ∴ ．
∴ ， ．
∴
∴ 是等边三角形．
设 ，则 ．
∵ ， ， ∴ ．
∵ 为等边三角形， ∴ ， ，
∴ ， ∴ ．
∴在 中， ， ， ∴ ．
∵ 为 中点，
∴ ，∴ ．
∵ ， ， 为等边三角形，且
∴
解法二： 是等边三角形．理由如下：
3
2DN a= 2 2 2 23 7( )2 2AN DN AD a a a= + = + =
7:16:44
7:4:1)2
7(:)2(: 222 === aaa
AB AC= AE AD= 60BAC EAD∠ = ∠ = °
60BAE BAC EAC EAC∠ = − °∠ ∠ = − ∠
60DAC DAE EAC EAC∠ = − °∠ ∠ = − ∠
BAE DAC∠ = ∠ ABE ACD ≌
CD BE=
AMN
ABE ACD ≌ ABE ACD∠ = ∠
M N BE CD
1 1
2 2BM BE CD CN= = =
AB AC= ABE ACD∠ = ∠ ABM ACN ≌
AM AN= MAB NAC∠ = ∠
60NAM NAC CAM MAB CAM BAC∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ∠ = °
AMN
AD a= 2AB a=
AD AE DE= = AB AC= CE DE=
ADE 120DEC∠ = ° 60ADE∠ = °
30EDC ECD∠ = ∠ = ° 90ADC∠ = °
Rt ADC AD a= 30ACD∠ = ° 3CD a=
N DC
ADE ABC AMN 21 3 3= =2 2 4S ⋅ ⋅ ⋅等边 边长 边长 边长
ADE ABC AMNS S S
∶ ∶
AMN∵ ， 、 分别是 、 的中点，∴ ， ．
∵ ，∴ ，∴ ，
∴
∴ 是等边三角形
设 ，则 ，
易证 ，∴ ，
∴ ∴
∵ ， ， 为等边三角形
∴ .
14.如图 1， ， ， ． 绕着边 的中点
旋转， ， 分别交线段 于点 ， ．
（1）观察：
①如图 2、图 3，当 或 时， ______ （填“大于”， “小于”或“等于”）；②如图
4，当 时， ______ （填“大于”，“小于”或“等于”）；（2）猜想：如图 1，当
时， _____ ;（填“大于”，“小于”或“等于”）；
（3）如果 ，请直接写出 的度数：____ ；
的值_为______
解析：
aaaAEAB 3)2( 2222 =−=−
3
2EM a= aaaAEEMAM 2
7)2
3( 2222 =+=+=
ABE ACD ≌ M N BE CN AM AN= NC MB=
AB AC= ABM ACN ≌ MAB NAC∠ = ∠
60oNAM NAC CAM MAB CAM BAC∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ∠ =
AMN
AD a= AD AE DE a= = = 2AB BC AC a= = =
BE AC⊥ BE =
ADE ABC AMN
2 2 27 7:(2 ) :( ) 1:4: 4:16:72 4ADE ABC AMN a aS S S a= = =
∶ ∶
Rt ABC Rt EDF ≌ 90ACB F∠ = ∠ = ° 30A E∠ = ∠ = ° EDF AB
D DE DF AC M K
0CDF∠ = ° 60° AM CK+ MK
30CDF∠ = ° AM CK+ MK
0 60CDF° ∠ °＜ ＜ AM CK+ MK
2 2 2MK CK AM+ = CDF∠ °
MK
AM（1）①在 中， 是 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，或 时，
∴ ，
∴在 中， ，即 （等腰三角形底边上的垂线与中线重合），
∵ ，或 ，
∴ ；（2 分）
②由①，得
， ，
又∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴在 中， （两边之和大于第三边）．
（2）
证明：
作点 关于 的对称点 ，
连接 ， ， ，
则 ， ， ，
∵ 是 的中点，∴ ，
Rt ABC D AB
1
2AD BD CD AB= = = 60B BDC∠ = ∠ = °
30A∠ = °
60 30 30ACD∠ = ° − ° = °
60CDE∠ = ° 60CDF∠ = °
90CKD∠ = °
CDA AM K CM K=（ ） （ ） AM K KM C=（ ） （ ）
0CK = 0AM =
AM CK MK+ =
30ACD∠ = ° 60CDB∠ = °
30A∠ = ° 30CDF∠ = ° 60EDF∠ = °
30ADM∠ = °
AM MD= CK KD=
AM CK MD KD+ = +
MKD MD DK MK+ > AM CK MK∴ + ＞
＞
C FD G
GK GM GD
CD GD= GK CK= GDK CDK∠ = ∠
D AB AD CD=∴ ． ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
．
∴ ,
∵ ，
∴
∴
∴ ．
∵ ，∴ ．（1 分）
（3）由（2），得 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵点 关于 的对称点 ，
∴ ， ，
又由（1），得 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
GD AD= 30DAC DCA∠ = ∠ = °
120CDA∠ = °
60EDF∠ = ° 60GDM GDK∠ + ∠ = °
60ADM CDK∠ + ∠ = °
ADM GDM∠ = ∠
DM DM=
AD DG
ADM GDM
DM DM
=
∠ = ∠
=
ADM GDM SAS ≌ （ ）
GM AM=
GM GK MK+ ＞ AM CK MK+ ＞
GM AM= GK CK=
2 2 2MK CK AM+ =
2 2 2MK GK GM+ =
90GKM∠ = °
C FD G
90CKG∠ = ° 1 452FKC CKG∠ = ∠ = °
30A ACD∠ = ∠ = °
FKC CDF ACD∠ = ∠ + ∠
15CDF FKC ACD∠ = ∠ ∠ = °﹣
Rt GKM 60MGK DGK MGD A ACD∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = °
30GMK∠ = °∴ ，
∴
综上可得： 的度数为 ， 的值为 ．
3
2
MK
GM
=
3
2
MK
AM
=
CDF∠ 15° MK
AM
3
2
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