4.四边形的旋转
1.正方形 的顶点 在直线 上，点 是对角线 、 的交点，过点 作 于点 ，
过点 作 于点 ．
（1）如图 1，当 、 两点均在直线 上方时，求： ；
（2）当正方形 绕点 顺时针旋转至图 2、图 3 的位置时，线段 、 、 之间又有怎样的数量关
系？
解析：（1）
证明：如图 1，过点 作 于
则四边形 是矩形，∴ ，
∵四边形 是正方形，∴ ，
∴
∵ ，∴
∴
又∵ ，∴
∴ ， ，∴
∴
ABCD A MN O AC BD O OE MN⊥ E
B BF MN⊥ F
O B MN 2AF BF OE＋ ＝
ABCD A AF BF OE
B BG OE⊥ G
BGEF BF GE= EF GB=
ABCD OA OB⊥ OA OB=
90AOE BOG∠ + ∠ = °
BG OE⊥ 90OBG BOG∠ + ∠ = °
AOE OBG∠ = ∠
90AEO OGB∠ = ∠ = ° AOE OBG ≌
AE OG= OE BG= OE EF=
2AF BF AE EF GE OG OE GE OE+ = + + = + + =∴
（2）
图 2 结论：
图 3 结论：
对于图 2 证明：
过点 作 交 延长线于
则四边形 是矩形，∴ ，
∵四边形 是正方形，∴ ，
∴
∵ ，∴
∴
又∵ ，∴
∴ ， ，∴
∴
∴
若选图 3，其证明方法同上
2AF BF OE+ =
2AF BF OE− =
2BF AF OE− =
B BG OE⊥ OE G
EGBF BF GE= EF GB=
ABCD OA OB⊥ OA OB=
90AOE BOG∠ + ∠ = °
BG OE⊥ 90OBG BOG∠ + ∠ = °
AOE OBG∠ = ∠
90AEO OGB∠ = ∠ = ° AOE OBG ≌
AE OG= OE BG= OE EF=
2AF BF AE EF GE OG OE GE OE− = + − = + − =
2AF BF OE− =2.如图 1，若四边形 和 都是正方形，显然图中有 ， ．
（1）当正方形 绕 旋转到如图 2 的位置时， 是否成立？如果成立请说明理由，如果不成立，
请说明理由.
（2）当正方形 绕 旋转到如图 3 的位置时，延长 交 于 ，交 于 ．
①求证： ；
②当 ， 时，求 的长．
解析：
ABCD GFED AG CE= AG CE⊥
GFED D AG CE=
GFED D CE AG H AD M
AG CH⊥
4AD = 2DG = CH（1） 成立．
证明：∵四边形 、四边形 是正方形，
∴ ， ，
．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
（2）①类似（1）可得 ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
即 ．
②连接 ，交 于 ，连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
AG CE=
ABCD DEFG
GD DE= AD DC=
90GDE ADC∠ = ∠ = °
90GDA ADE EDC∠ = ° − ∠ = ∠
AGD CED ≌
AG CE=
AGD CED ≌
GAD DCE∠ = ∠
HMA DMC∠ = ∠
90AHM ADC∠ = ∠ = °
AG CH⊥
GE AD P CG
GFED
2 sin45 1GP PD= = × ° =∴ ， ．
∵ ， ，∴ ，
∴以 为底边的 的高为 ，（延长 画高）
∴
∴ ．
3.如图 1，正方形 与正方形 的边 、 在一条直线上，正方形 以点
为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为 ，在旋转过程中，两个正方形只有点 重合，其它顶点均不重合，连接
、 ．
（1）当正方形 旋转至图 2 所示的位置时，求证： ；
（2）当点 在直线 上时，连接 ，求 的度数；
（3）如图 3，如果 ， ， ，求点 到 的距离．
解析：（1）∵正方形 与正方形
∴ ， ，
∴ ，∴
∴
3AP = 10AG =
EG AD⊥ CD AD⊥ EG CD
CD CDG 1PD = CD
AGD ACD ACG CGDACDGS S S S S+ = = +
四边形
4 1 4 4 10 4 1CH× × += ×+
8 10
5CH =
ABCD AEFG AB AE AB AE（ ＜ ） AEFG A
α A
BE DG
AEFG BE DG=
C BE FC FCD∠
45α = ° 2AB = 4 2AE = G BE
ABCD AEFG
AB AD= AE AG= 90BAD EAG∠ = ∠ = °
BAE DAG∠ = ∠ ABE ADG ≌
BE DG=（2）
当点 在线段 上时，作 于
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴
∴ ，∴
∴
当点 在 的延长线上时，作 于
∵ ， [来源:Z.Com]
∴ ，∴ ，
∴
∴ ，∴
∴
（3）
连接 、 ，
C BE FH BE⊥ H
AE EF= 90AEB EFH FEH∠ = ∠ = ° − ∠
Rt ABE Rt EHF ≌ AB EH= BE FH=
CH CE EH CE AB CE BC BE= + = + = + =
CH FH= 45FCE∠ = °
45FCD∠ = °
C EB FH BE⊥ H
AE EF= 90AEB EFH FEH∠ = ∠ = ° − ∠
Rt ABE Rt EHF ≌ AB EH= BE FH=
CH CE EH CE AB CE BC BE= − = − = − =
CH FH= 45FCE∠ = °
135FCD∠ = °
GB GE∵
∴点 在线段 上，∴
∴ ，∴
作 于 ，则
在 中，
∴
延长 交 于
由 ，得
∴
∴ ，∴
4.如图 1 所示，将一个边长为 2 的正方形 和一个长为 2、宽为 1 的长方形 拼在一起，构成一个大
的长方形 ．现将小长方形 绕点 顺时针旋转至 ，旋转角为 ．
（1）当点 恰好落在 边上时，求旋转角 的值；
（2）如图 2， 为 中点，且 ，求证： ；
（3）小长方形 绕点 顺时针旋转一周的过程中， 与 能否全等？若能，直接写出旋转角
的值；若不能，说明理由．
45DAG α∠ = = °
C AE 45BAE AEG∠ = ∠ = °
AB GE
1 4 2 4 2 162BGE AGES S= = × × =
BO AC⊥ O 2 22OA OB AB= = =
Rt BOE 4 2 2 3 2OE AE OA= − = − =
2 2 2 5BE OB OE= + =
GD BE H
ABE ADG ≌ AGD AEB∠ = ∠
90GHE GAE∠ = ∠ = °
1
2BGE BE GHS = ⋅
2 2 16 16 5
52 5
BGESGH BE
×= = =
ABCD CEFD
ABEF CEFD C CE F D′ ′ ′ α
D′ EF α
G BC 0 90α° °＜ ＜ GD E D′ = ′
CEFD C DCD′ CBD′
α解析：
（1）∵ ，∴
∴
∴
（2）∵ 为 中点，∴
∴ [来源:学#科#网 Z#X#X#K]
∴
又∵ ，∴
∴
（3）能．
或 .
解：∵四边形 为正方形，
DC EF DCD CD E α∠ ′ = ∠ ′ =
1sin 2
CE CE
CD CD
α = = =′
30α = °
G BC 1GC CE CE= ′ = =
90D CG DCG DCD α∠ ′ = ∠ + ∠ ′ = ° +
90DCE D CE DCD α∠ ′ = ∠ ′ ′ + ∠ ′ = ° +
D CG DCE∠ ′ = ∠ ′
CD CD′ = GCD E CD′ ′ ≌
GD E D′ = ′
135α = ° 315α = °
ABCD∴ ，
∵
∴ 与 为等腰相等的两等腰三角形.
当 与 为钝角三角形时，则旋转角 .
当 与 为锐角三角形时， ，则旋转角
，即旋转角 的值为 或 时， 与 全等.
5.如图 1，△ 为等腰直角三角形， , 是 边上的一个动点（点 与 、 不重合），以
为一边在等腰直角三角形外作正方形 连接 、 .
（1）①猜想图 1 中线段 、 的数量关系及所在直线的位置关系,直接写出结论；
②将图 1 中的正方形 绕着点 按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度 ，得到如图 2、图 3 的情形.
图 2 中 交 于点 ，交 于点 ，请你判断①中得到的结论是否仍然成立.
（2）将原题中的等腰直角三角形 改为直角三角形 ， ,正方形 改为矩形 ，
如图 4，且 ， ， ， ， 交 于点 ，交 于点 ，连接 、
，求 的值.
CB= CD
CD = CD′ ′
BCD′ DCD′
BCD′ DCD′
360 90 1352
α ° − °= = °
BCD′ DCD′
1 452BCD DCD BCD′ ′∠ = ∠ = ∠ = °
90360 3152
α °= ° − = ° α 315° 135° DCD′ CBD′
ABC 90ACB∠ = F AC F A C
CF ,CDEF BF AD
BF AD
,CDEF C α
BF AC H AD O
ABC ABC 90ACB∠ = CDEF CDEF
4AC = 3BC = CD = 4
3 1CF = BF AC H AD O BD
AF 2 2BD AF+解析：
（1）①
证明：∵ 为等腰直角三角形， ，
∴
∵四边形 为正方形.
∴ ，
∴
∴
延长 交 于点
∵ ，
∴
∴
② 仍然成立.
,BF AD BF AD= ⊥
ABC 90ACB∠ = °
AC BC=
CDEF
90ACD ACB∠ = ∠ = ° CF CD=
(SAS)ACF DBC ≌
BF AD=
BF AD G
DAC CBF∠ = ∠ AFG BFC∠ = ∠
90AGF BCF∠ = ∠ = °
BF AD⊥
,BF AD BF AD= ⊥证明：∵ 是等腰直角三角形,
∴
∵四边形 是正方形
∴
∴
即
∴
∴
又∵ ,
∴ ,∴
∴
（2）证明：
连接
∵四边形 是矩形
∴
又∵
∴
∴
即
ABC 90ACB∠ =
AC BC=
CDEF
, 90CD CF FCD= ∠ =
ACB ACF∠ + ∠ FCD ACF= ∠ + ∠
BCF∠ ACD= ∠
BCF ACD ≌ ( )SAS
,BF AD CBF CAD= ∠ = ∠
BHC AHO∠ = ∠ 90CBH BHC∠ + ∠ =
90CAD AHO∠ + ∠ = 90AOH∠ =
BF AD⊥
DF
CDEF
90FCD∠ =
90ACB∠ =
ACB FCD∠ = ∠
ACB ACF∠ + ∠ FCD ACF= ∠ + ∠
BCF∠ ACD= ∠∵ , , ,
∴
∴
∴
又∵ ,
∴ ∴
∴
∴
∴ ,
,
∴
∵在 Rt△ 中, , ,
∴
∵在 中, , ,
∴
∴ =
6.如图①，在菱形 和菱形 中， ，点 、 、 在同一条直线上，
是线段 的中点，连结 、 ．
4AC = 3BC = CD = 4
3 1CF =
3
4
BC CF
AC CD
= =
BCF ACD ∽
CBF CAD∠ = ∠
BHC AHO∠ = ∠ 90CBH BHC∠ + ∠ =
90CAD AHO∠ + ∠ = 90AOH∠ =
BF AD⊥
90BOD AOB∠ = ∠ =
2 2 2BD OB OD= + 2 2 2AF OA OF= +
2 2 2AB OA OB= + 2 2 2DF OF OD= +
2 2 2 2 2 2BD AF OB OD OA OF+ = + + + 2 2AB DF= +
ABC 90ACB∠ = 4AC = 3BC =
2 2 2 2 23 4 25AB AC BC= + = + =
Rt FCD 90FCD∠ = ° CD = 4
3 1CF =
2 2 2 2 24 25( ) 13 9DF CD CF= + = + =
2 2BD AF+ 2 2 2525 9AB DF= + = + 250
9
ABCD BEFG 60ABC BEF∠ = ∠ = ° A B E P
DF PG PC（1）求证： ， ；
（2）将图①中的菱形 绕点 顺时针旋转，使菱形 的对角线 恰好与菱形 的边 在
同一条直线上，其他条件不变（如图②），（1）中的结论是否还成立；如果成立，请说明理由，如果不成立请说明
理由。
（3）若图①中 ，将菱 形 绕点 顺时针旋转任意角度，其他条件
不变（如图③），判断 与 的位置关系和数量关系．
解析：（1）
证明：如图①，延长 交 于点
∵ ，∴
又 ， ，∴
∴ ，
∵菱形 ，菱形 ，∴ ，
∴ ，∴ ，即
PG PC⊥ 3PG PC=
BEFG B BEFG BF ABCD AB
0 180ABC BEF α α∠ = ∠ = °（ ＜ ＜ ） BEFG B
PG PC
GP DC H
DC GF PDH PFG∠ = ∠
DPH FPG∠ = ∠ DP FP= DPH FPG ≌
PH PG= DH FG=
ABCD BEFG CD BC= GB FG=
CH CG= PC HG⊥ PG PC⊥∵ ， ，∴
∴
（2）
证明：如图②，延长 交 于点 ，连结 、
∵ ，∴
又 ， ，∴
∴ ，
又 ，∴
在 和 中
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，又
∴ 是等边三角形，∴
∴
CH CG= PH PG= 1 602GCP HCP DCB∠ = ∠ = ∠ = °
3PG PC=
CP AB H CG HG
DC AF CDP HFP∠ = ∠
DP FP= CPD HPF∠ = ∠ CPD HPF ≌
CD HF= CP HP=
BC CD= HF BC=
CBG HFG
BC HF= 60CBG HFG∠ = ∠ = ° BG FG=
CBG HFG ≌ CG HG= CGB HGF∠ = ∠
PG PC⊥
CGB CGH HGB∠ = ∠ + ∠ HGF FGB HGB∠ = ∠ + ∠
60CGH FGB∠ = ∠ = ° CG HG=
CGH 60PCG∠ = °
3PG PC=（3） ，
如图③，延长 至 ，使 ，连结 交 于点 ，连结 、
则
∴ ，
∴
∴
又
∴ ，又
∴
∴ ，
∴
，∴
∴
7.如图，四边形 和四边形 均为正方形，连接 与 相交于点 ．
PG PC⊥ tan 2
PC
PG
α=
CP M PM PC= MF BE N CG MG
CPD MPF ≌
MF CD BC= = CDP MFP∠ = ∠
MF CD AB
180ABN BNF BNF MFG∠ = ∠ ∠ + ∠ = °，
180ABN CBG∠ + ∠ = °
CBG MFG∠ = ∠ BG FG=
CBG MFG ≌
CG MG= CGB MGF∠ = ∠
PG PC⊥
CGM BGF BEF α∠ = ∠ = ∠ =
2CGP
α∠ =
tan 2
PC
PG
α=
ABCD AEFG BG DE H（1）试猜想 的度数，并说明理由；
（2）将正方形 绕点 逆时针旋转 ，设 的面积为 ， 的面积为
，判断 与 的大小关系；并给予证明；
（3）若 ， ，设 的面积为 ，将正方形 绕点 逆时针旋转一周，求 的取值
范围．
解析：
（1）猜想： ，理由如下：
∵ ，∴
又 ， ，∴
∴
又 ，∴
∴
（2）
当正方形 绕点 逆时针旋转 时， 和 总保持相等
证明如下：由于 ，因此分三种情况：
BHD∠
ABCD A 0 180BAE° ∠ °（ ＜ ＜ ） ABE 1S ADG
2S 1S 2S
3AB = 2AE = DBE S ABCD A S
90BHD∠ = °
90GAE BAD∠ = ∠ = ° GAB EAD∠ = ∠
AG AE= AB AD= ABG ADE ≌
1 2∠ = ∠
3 4∠ = ∠ 1 3 2 4 90∠ + ∠ = ∠ + ∠ = °
90BHD∠ = °
ABCD A 0 180BAE° ∠ °（ ＜ ＜ ） 1S 2S
0 180BAE° ∠ °＜ ＜①当 时（如图 1）
过点 作 直线 于点 ，
过点 作 直线 于点
∵ ，∴
又 ，
∴ ，∴
又 ，∴
∴
②
当 时（如图 2）
∵ ， ，
∴
∴
③
0 90BAE° ∠ °＜ ＜
B BM ⊥ AE M
D DN ⊥ AG N
90MAN BAD∠ = ∠ = ° MAB NAD∠ = ∠
90AMB AND∠ = ∠ = ° AB AD=
AMB AND ≌ BM DN=
AE AG= 1
2
1· ·2AE BM AG DN=
1 2S S=
90BAE∠ = °
AE AG= 90DAG BAE∠ = ∠ = ° AB AD=
ABE ADG ≌
1 2S S=当 时（如图 3）
和①一样，同理可证
综上所述，在（2）的条件下，总有
（3）
正方形 在绕点 旋转的过程中，它的对称中心 的轨迹是以点 为圆心， 为半径的圆（如图 4）
因为 的边 ，故当 点到 的距离取得最大、最小值时， 取得最大、最小值
当 在直线 上时， 取得最大值
90 180BAE° ∠ °＜ ＜
1 2S S=
1 2S S=
ABCD A O A AO
DBE 3 2BD = E BD S
1O AE S
当 在直线 上时， 取得最小值
故 的取值范围是：
8.如图①，已知 是等腰直角三角形， ，点 是 的中点．作正方形 ，使点 ，
分别在 和 上，连接 ， ．[来源:学§科§网]
（1）试猜想线段 和 的数量关系，请直接写出你得到的结论．
（2）将正方形 绕点 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于 ，小于或等于 ），如图②，通
过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？
（3）若 ，在（2）的旋转过程中，当 为最大值时，求 的值．
解析：
（1） ．
证明：∵ ，
， ，
∴
∴ .
（2）成立．
1
2S =最大
× 3 2 (× 3 2
2
+ 2 ) = 15
2
2O AE S
S =最小
1
2
× 3 2 (× 3 2
2
− 2 ) = 3
2
S 3
2
S≤ ≤ 15
2
ABC 90BAC∠ = ° D BC DEFG A
C DG DE AE BG
BG AE
DEFG D 0° 360°
2BC DE= = AE AF
BG AE=
90BDG EDA∠ = ∠ = °
GD DE= AD BD=
(SAS)EDG ABD ≌
BG AE=如图②，连接 ．
∵ 是等腰直角三角形， ，点 是 的中点．
∴ ，且 ．
∵ ， ．
∴ ，∴ ．
（3）
由（2）知， ，故当 最大时， 也最大．
因为正方形 在绕点 旋转的过程中， 点的轨迹是以点 为圆心， 为半径的圆，故当正方形
旋转到 点位于 的延长线上（即正方形 绕点 逆时针方向旋转 ）时， 最大，如
图③.
若 ，则 ， ．
在 中， ．
∴ ．
即在正方形 旋转过程中，当 为最大值时， ．
AD
ABC 90BAC∠ = ° D BC
90ADB∠ = ° BD AD=
90BDG ADB ADG ADG ADE∠ = ∠ − ∠ = ° − ∠ = ∠ DG DE=
BDG ADE ≌ BG AE=
BG AE= BG AE
DEFG D G D DG
DEFG G BC DEFG D 270° BG
2BC DE= = 1AD = 2EF =
Rt AEF
2 2 2 2 2 2 2( ) 1 2 2( 3) 1AF AE EF AD DE EF= + = + + = + + =
13AF =
DEFG AE 13AF =9.如图 1，四边形 是正方形， 是 边上的一个动点（点 与 、 不重合），以 为一边在正方
形 外作正方形 ，连接 ， ．我们探究下列图中线段 、线段 的长度关系及所在直
线的位置关系．
（1）猜想图 1 中线段 、线段 的长度关系及所在直线的位置关系；
（2）将图 1 中的正方形 绕着点 按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度 ，得到如图 2、如图 3 情形．请
你通过观察、测量等方法判断（1）中得到的结论是否仍然成立，并选取图 2 证明你的判断．
解析：
（1） ， ；
∵四边形 和四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
延长 交 于点 ，
ABCD G CD G C D CG
ABCD CEFG BG DE BG DE
BG DE
CEFG C α
BG DE= BG DE⊥
ABCD CEFG
BC DC= CG CE= 90BCD ECG∠ = ∠ = °
BCG DCE∠ = ∠
BCG DCE
, , BC DC BCG DCE CG CE= ∠ = ∠ =
BCG DCE SAS ≌ （ ）
BG DE=
BG DE H∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
（2） ， 仍然成立，
在图（2）中证明如下
∵四边形 、四边形 都是正方形
∴ ， ，
∴ ，
∴
∴ ， ，
又∵ ，
∴
∴
∴ ．
10.已知菱形 是 由 绕点 顺时针旋转得到的，这两个菱形的边长都是 ．
BCG DCE ≌
CBG CDE∠ = ∠
90CBG BGC∠ + ∠ = °
90CDE DGH∠ + ∠ = °
90DHG∠ = °
BH DE⊥ BG DE⊥
BG DE= BG DE⊥
ABCD CEFG
BC CD= CG CE= 90BCD ECG∠ = ∠ = °
BCG DCE∠ = ∠
BCG DCE SAS ≌ （ ）
BG DE= CBG CDE∠ = ∠
BHC DHO∠ = ∠ 90CBG BHC∠ + ∠ = °
90CDE DHO∠ + ∠ = °
90DOH∠ = °
BG DE⊥
AEFB ABCD A a（1） 如图 1，连接 ， ，求证：四边形 为矩形；
（2） 如图 2， 连接 ， ， ， ， 分 别 是边 ， 上 的两 个 动 点， 且 满足
．判断 的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当 时，设 的面积为 ，求 的 最小值．
解析：
（1）证明：
如图 1，∵菱形 是由菱形 绕点 顺时针旋转得到的，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ， ．
∴四边形 是平行四边．
∵ ， ，
DE CF CDEF
BD BE BD AD a= = M N BD BE
DM NE a+ = AMN
2a = AMN S S
AEFB ABCD A
AB BC CD AD AE EF BF= = = = = = DAB EAB∠ = ∠ CD AB AB EF
CD EF= CD EF 1 2∠ = ∠
CDEF
AD AE= DAB EAB∠ = ∠∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴平行四边形 是矩形；
（2） 是等边三角形．理由：
证明：如图 2∵菱形 是由菱形 绕点 顺时针旋转得到的，
∴ ， ， ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ． ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
AB ED⊥
1 90∠ = °
2 90∠ = °
CDEF
AMN
AEFB ABCD A
AB BC CD AD AE EF BF= = = = = = DAB EAB∠ = ∠ CD AB AB EF
BD AD=
AD AB BD BE AE= = = =
ABD
60BAE BAD ABE AEB∠ = ∠ = ∠ = ∠ = °
DM NE a+ = DM BM a+ =
DM NE DM BM+ = +
NE BM=
ABM AEN
BM EN
ABD AEB
AB AE
=
∠ = ∠
=
ABM AEN SAS ≌ （ ）∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ 是等边三角形；
（3）解：如图 2，作 于 ．
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∴当 最小时， 最小．
∵ 时， 最小．
∴ ．
AM AN= BAM EAN∠ = ∠
60BAN EAN∠ + ∠ = °
60BAN BAM MAN∠ + ∠ = ∠ = °
AM AN=
AMN
AG MN⊥ G
AMN
60ANM∠ = ° MN AN=
sin60AG AN= ⋅ °
1 1 sin602 2AMNS MN AG MN AN= ⋅ = ⋅ ⋅ °
21 sin602AMNS AN= °⋅
AN S
AN BE⊥ AN
90ANE∠ = °∵ ，
∴ ．
在 中，由勾股定理，得
．
∴ ．
答： 的最小值为 ．
11.如图 1，四边形 、 为两个全等的矩形，且矩形 的对角线交于点 ，点 在 上，
．将矩形 绕点 顺时针旋转 角 ，如图 2， 、 与 分别相
交于 、 ．
（1）则： 与 的大小关系；
（2）若 ，求旋转角 的大小．
解析：
（1）
2AB AE BE a= = = =
1NE =
Rt ANE
3AN =
21 3 3 3( 3)2 2 4AMNS = × × =
最小
S 3 3
4
ABCD EFGH ABCD E A EG
30ACB∠ = ° EFGH E α 0 60α° °（ ＜ ＜ ） GE FE AD
N M
AN DM+ MN
2 2 2MN DM AN+ = α证明：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，
则 ， ， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，[来源:学。科。网]
∴ ，
由三角形的三边关系得， ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ 是直角三角形， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
∴旋转角为 ．
12.如图，已知正方形 ．
ABCD
AE DE=
30ACB∠ = °
180 30 2 120AED∠ = ° °× = °﹣
AEN E 120° DPE MP
EP NE= DP AN= DEP AEN∠ = ∠
120AED∠ = °
60MEN MEP∠ = ∠ = °
MEN MEP
EP NE
MEN MEP
EM EM
=
∠ = ∠
=
MEN MEP SAS ≌ （ ）
MN MP=
DP DM MP+ ＞
AN DM MN+ ＞
2 2 2MN DM AN+ =
DPM 90DMP∠ = °
MEN MEP ≌
45EMN EMP∠ = ∠ = °
MNE 180 45 60 75MNE∠ = ° ° ° = °﹣ ﹣
ANE 75 30 45AEN MNE CAD∠ = ∠ ∠ = ° ° = °﹣ ﹣
45°
ABCD（1）请用直尺和圆规，作出正方形 绕点 逆时针旋转 后得到的正方形 （其中 ， ，
分别是点 ， ， 的像）（要求保留作图痕迹，不必写出作法）；
（2）设 与 相交于 点，求证： ；
（3）若正方形的边长为 ，求两个正方形的重叠部分（四边形 ）的面积．
解析：
（1）如图所示：
（2）连接 ．
∵正方形 由正方形 旋转得到，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）
ABCD A 45° AB C D′ ′ ′ B′ C′
D′ B C D
CD B C′ ′ O OD OB= ′
( 2 1)+ AB OD′
B D′
AB C D′ ′ ′ ABCD
AD AB= ′ 90ADO AB O∠ = ∠ ′ = °
ADB AB D∠ ′ = ∠ ′
ODB OB D∠ ′ = ∠ ′
OD OB= ′连接 ．
∵正方形 ，
∴ ．
由题意知 ，
∴ ，即 在 上，
∴ 是等腰直角三角形．
设 ，则 ．
∵ ，
∴ ，
解得： ．
故 ．
AC
ABCD
45CAB∠ = °
45BAB∠ ′ = °
CAB BAB∠ = ∠ ′ B′ AC
OB C′
OD OB x= ′ = 2OC x=
2 1CD = +
2 2 1x x+ = +
1x =
2 21 1( 2 1) 1 1 22 2ACD B COAB ODS S S ′′ = = + − × = +
四边形 ﹣
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