7.翻折问题
1.在 中, , , 为 延长线上一点, 为
内部一点,且 .
(1)若 ,如图 1,直接写出 间的数量关系:___________;
(2)若 ,如图 2,求证: ;
(3)在(2)的条件下,如图 3,将线段 沿 翻折,翻折后的点 落在点 处,且
,连接 ,交 的延长线于 ,若 ,求 的长.
解析:(1)
提示:作 于 , 交 延长线于
∵ ,
∴
ABC AB AC= 60BAC∠ °< D BC E ACD∠
90ABE ECD∠ ∠ °+ =
60ABE∠ °= AC BE、
45ABE∠ °= 2BE AC=
BA BE A M
MC BC⊥ EM BC N 2CN= AN
AC BE=
AF BC⊥ F BG CE⊥ EC G
AB AC=
1
2BF FC BC= =∵
∴ ,
∴
∴
∴
∴ ,
∴
∴
(2)作 于 , 交 延长线于
[来源:学,科,网]
∵ ,
∴
∵
∴ ,
∴
90 60ABE ECD ABE∠ ∠ ° ∠ °+ = , =
30ECD∠ °=
30BCG∠ °=
160 2CBG BG BC∠ °= , =
ABF EBG BF BG∠ ∠= , =
Rt ABF Rt EBG ≌
AB BE=
AC BE=
AF BC⊥ F BG CE⊥ EC G
AB AC=
1
2BF FC BC= =
90 45ABE ECD ABE∠ ∠ ° ∠ °+ = , =
45ECD∠ °=
45BCG∠ °=∴ ,
∴ ,
∴
∴ ,
∴
∴
(3)作 于 , 于
则 ,
由题意,
∴ ,
∴
∴
∵ ,
∴
45CBG∠ °= 2
2 2BG BC BF= =
ABF EBG∠ ∠=
Rt ABF Rt EBG ∽
2BE BG
AB BD
= =
2BE AB=
2BE AC=
AF BC⊥ F MH BE⊥ H
90ABF BAF∠ ∠ °+ = 1
2BF FC BC= =
45MBE ABE AB BM∠ ∠ °= = , =
90ABM∠ °=
90ABF MBC∠ ∠ °+ =
BAF MBC∠ ∠=
MC BC⊥
90BCM AFB∠ ∠ °= =∴ ,
∴
∴
由(2)知, ,
∴
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴
∴ ,
∴
∴ ,
∴
∴
2.如图,在 中, ,翻折 ,使点 落在斜边 上某一点 处,
折痕为 (点 分别在边 上)
(1)若 与 相似.
①当 时,求 的长;
②当 时,求 的长;
(2)当点 是 的中点时, 与 相似吗?请说明理由.
ABF BMC ≌
2AF BC BF BF MC= = , =
2BC MC=
2BE AB=
2BE BM=
45MBH∠ °=
45BMH∠ °= 2
2
1
2BH MH BM BE= = =
BH EH MH= =
45MEH EMH∠ ∠ °= =
90BME∠ °=
Rt BMC Rt MNC ∽
2 4MC CN= =
4 6 8FC FN AF= , = , =
2 2 2 26 8 10AN FN AF+ = + ==
Rt ABC 90C∠ = ° C∠ C AB D
EF E F、 AC BC、
CEF ABC
2AC BC= = AD
3 4AC BC= =, AD
D AB CEF ABC解析:(1)若 与 相似.
①当 时, 为等腰直角三角形,如答图 1 所示.
此时 为 边中点, .
②当 时,有两种情况:
(I)若 ,如答图 2 所示.
∵ ,
∴ .
由折叠性质可知, ,
∴ ,即此时 为 边上的高.
在 中, ,
CEF ABC
2AC BC= = ABC
D AB 2 22AD AC= =
3 4AC BC= =,
3 4CE CF =: :
CE CF AC BC=: :
EF BC∥
CD EF⊥
CD AB⊥ CD AB
Rt ABC 3 4AC BC= =,∴ ,
∴ .
;
(II)若 ,如答图 3 所示.
∵ ,
∴ .
由折叠性质可知, ,
又∵ ,
∴ ,
∴ .
同理可得: ,
∴此时 .
综上所述,当 时, 的长为 或 .
(2)当点 是 的中点时, 与 相似.理由如下:
如答图 3 所示,连接 ,与 交于点 .
5AB =
3cos 5
ACA AB
= =
3• cos 3 1.85AD AC A= = × =
3 4CF CE =: :
CEF CAB ∽
CEF B∠ = ∠
90CEF ECD∠ + ∠ = °
90A B∠ + ∠ = °
A ECD∠ = ∠
AD CD=
B FCD CD BD∠ = ∠ =,
1 1 5 2.52 2AD AB= = × =
3 4AC BC= =, AD 1.8 2.5
D AB CEF ABC
CD EF Q∵ 是 的中线,
∴ ,
∴ .
由折叠性质可知, ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
又∵ ,
∴ .
3.在矩形 中, ,点 分别在边 上,且 .点
为 边上的一个动点,连接 ,把 沿直线 翻折得到 .
(1)如图 1,当 时,
①填空: ___________度;
②若 ,求 的度数,并求此时 的最小值;
( 2 ) 如 图 3 , , 连 接 , 交 边 于 点 , 且
, 为垂足,求 的值.
CD Rt ABC
CD DB AB= =
DCB B∠ = ∠
90CQF DQF∠ = ∠ = °
90DCB CFE∠ + ∠ = °
90B A∠ + ∠ = °
CFE A∠ = ∠
C C∠ = ∠
CEF CBA ∽
ABCD AB aAD
= G H, AB DC, HA HG= E
AB HE AHE HE FHE
DH DA=
HGA∠ =
EF HG∥ AHE∠ a
60 2AEH EG BG∠ °= , = FG DC P
FG AB⊥ G a解析:(1)①
②分两种情况:
第一种情况(如图 1)
,
∴
由折叠可知:
又∵ ,
∴
∴
即 ,
∴
45°
45HAG HGA∠ ∠ °= =
180 45 45 90AHG∠ ° ° ° °= - - =
45HAE F AHE FHE∠ ∠ ° ∠ ∠= = , =
EF HG∥
45FHG F∠ ∠ °= =
90 45 45AHF AHG FHG∠ ∠ ∠ ° ° °= - = - =
45AHE FHE∠ ∠ °+ =
22.5AHE∠ °=此时,当 与 重合时, 的值最小,最小值是
第二种情况(如图 2)
∵ ,
∴
即
由折叠可知: ,
∴
∵ ,
∴
∴
此时,当 与 重合时, 的值最小
设 ,则
在 中, ,
∴
∵
∴
B G a 2
EF HG∥
45HGA FEA∠ ∠ °= =
45AEH FEH∠ ∠ °+ =
AEH FEH∠ ∠=
22.5AEH FEH∠ ∠ °= =
EF HG∥
22.5GHE FEH∠ ∠ °= =
90 22.5 112.5AHE∠ ° ° °= + =
B E a
DH DA x= = 2AH GH x= =
Rt AHG 90AHG∠ °=
2 2AG AH x= =
AEH FEH GHE FEH∠ ∠ ∠ ∠= , = ,
AEH GHE∠ ∠=∴ ,
∴
(2)过点 作 交 于 ,
则
在矩形 中,
∴
∴四边形 为矩形,
∴
设 ,则
由折叠可知:
∴
在 中,
2GH GE x= =
2 2AB AE x x= = +
2 2 2 2AB x xa AD x
+= = = +
H HQ AB Q
90AQH GQH∠ ∠ °= =
ABCD 90D DAQ∠ ∠ °= =
90D DAQ AQH∠ ∠ ∠ °= = =
DAQH
AD HQ=
AD x GB y= , = 2HQ x EG y= , =
60AEH FEH∠ ∠ °= =
180 60 60 60FEG∠ ° ° ° °= - - =
Rt EFG ·cos60 4EG EF EF y°= , =在 中,
∴
∵ ,
∴
∴
由折叠可知:
∴ ,
∴
∴
∴ .
4.如图, 为等边三角形, 为 内一点,且 ,把 沿
翻折,点 落在点 处,连接 .
(1)求证: ;
(2)连接 ,若 ,求 的长.
Rt HQE
3
tan60 3
HOEQ x=°=
3 23QG QE EG x y+= + =
HA HG HQ AB⊥= ,
3 23AQ GQ x y+= =
2 3 23AE AQ QE x y+= + =
AE EF=
2 3 2 43 x y y+ =
3
3y x=
3 72 2 2 33 3AB AQ GB x y y x
+ + =
= + =
7 33
ABa AD
==
ABC D ABC 120ADB∠ °= ADB
BD A E CE
BD CE AD+ =
CD 8 7AD CD= , = CE解析:(1)将 绕点 逆时针旋转 得 ,连接 、
则 是等边三角形,
∴
∵ ,∴
∴ 三点在同一直线上
∵ ,∴
由题意,
∴ ,
∴ 是等边三角 形
∴
∴ 三点在同一直线上
ABD A 60° ACF DF CF EF、
ADF
60AD DF ADF AFD∠ ∠ °= , = =
120ADB∠ °= 180ADB ADF∠ ∠ °+ =
B D F、 、
120AFC ADB∠ ∠ °= = 60DFC∠ °=
60EDF ADF DE AD∠ ∠ °= = , =
DE DF=
DEF
60EF DE AD DFE∠ °= = , =
E C F、 、∴
(2)过 作 于
∵ 是等边三角形,∴
设 ,则 , ,
在 中,
解得
∴ 的长为 或
5.已知矩形 的一条边 ,将矩形 折叠,使顶点 落在 边上的
点处.
(1)如图 1,已知折痕与边 交于点 ,连结 .
①求证: ;
②若 与 的面积比为 ,求边 的长;
(2)若图 1 中的点 恰好是 边的中点,求 的度数;
(3)如图 2,在(1)的条件下,擦去折痕 、线段 ,连结 .动点 在线段
上(点 与点 不重合),动点 在线段 的延长线上,且 ,连结
交 于点 ,作 于点 .试问当点 在移动过程中,线段 的长
度是否发生变化?若变化,说明理由;若不变,求出线段 的长度.
BD CE CF CE EF AD+ = + = =
C CG DE⊥ G
DEF 60DEF∠ °=
CE x= 1
2GE x= 3
2CG x= 18 2DG x= -
Rt CDG
22
21 38 72 2x x
− + =
1 23 5x x= , =
CE 3 5
ABCD 8AD= ABCD B CD P
BC O AP OP OA、 、
OCP PDA ∽
OCP PDA 1:4 AB
P CD OAB∠
AO OP BP M AP
M P A、 N AB BN PM= MN
PB F ME BP⊥ E M N、 EF
EF解析:
(1)①∵四边形 是矩形,∴
∴
∵ 是由 沿 折叠,
∴
∴
∵ ,
∴
②∵ , 的面积比为
∴ ,
∴
∵ ,
∴
设 ,则
在 中,
ABCD 90C D∠ ∠ °= =
90APD DAP∠ ∠ °+ =
AOP ABO AO
90APO B∠ ∠ °= =
90APD CPO∠ ∠ °+ =
DAP CPO∠ ∠=
OCP PDA ∽
OCP PDA ∽ OCP PDA 与 1:4
2 1
4
OCP
PDA
S CP
S AD
= =
△
△
1
2
CP
AD
=
8AD=
4CP=
AB x= 4DP x= -
Rt PDA
2 2 2AP AD DP= +∴ ,∴
即边 的长为
(2)∵折叠后 与 重合,
∴ ,
∵ ,
∴
∵ 是 的中点,
∴
∵ ,
∴
又 ,
∴
(3)线段 的长度不变
作 交 于点
∵ ,
∴
∴
∴ ,
2 2 2(8 )4x x= + - 10x=
AB 10
AOB AOP
AP AB= OAB OAP∠ ∠=
AB CD=
AP CD=
P CD
1
2DP AP=
90D∠ °=
30PAD∠ °=
OAB OAP∠ ∠=
30OAB∠ °=
EF
MH BN∥ PB H
AP AB=
APB ABP∠ ∠=
MHP ABP MHF NBF∠ ∠ ∠ ∠= , =
MHP APB∠ ∠=∴
∵ ,
∴
∵ ,
∴
∴
∵ ,
∴
由(1)得:
∴
∴ ,
∴ ,
∴
6.如图 1,在平行四边形 中,点 是 边的中点,连接 并延长,交 的
延长线于点 ,且 .连接 .
(1)求证:四边形 是矩形;
(2)在图 1 中,若点 是 上一点,沿 折叠 ,使点 恰好落在线段
上的点 处(如图 2), ,求 的长.
MP MH=
MP BN=
BN MH=
NFB MFH∠ ∠=
NBF MHF ≌
FH FB=
EF EH FH= +
1
2EF EP FB PB= + =
10 8AB AD= , = ,
6DP=
4PC=
4 5PB=
2 5EF=
ABCD E BC AE DC
F 2AEC ABE∠ ∠= BF AC、
ABFC
M BF AM ABM B DF
B′ 13 12AB AC= , = MF解析:(1)∵四边形 是平行四边形,
∴
∴
∵ 是 的中点,∴
∴ ,∴
∴四边形 是平行四边形
∴
∵
∴ ,
∴ ,
∴
∴四边形 是矩形
(2)
∵四边形 是矩形,
ABCD
AB DF∥
ABE FCE BAE CFE∠ ∠ ∠ ∠= , =
E BC BE CE=
AEB FEC ≌ AB FC=
ABFC
2 2AF AE BC BE= , =
2AEC ABE AEC ABE BAE∠ ∠ ∠ ∠ ∠= , = +
ABE BAE∠ ∠=
AE BE=
AF BC=
ABFC
ABFC 13 12AB AC= , =∴
∵ 是由 折叠得到的
∴
在 中,
∴
设 ,则
在 中,
即 ,解得
∴ .
7.在直角梯形 中, , , 点 在
射线 上,将 沿 翻折,点 落到点 处,射线 与射线 交于点
.
(1)如图 1,当点 在 边上时,求证: .
(2)如图 2,当点 在 边的延长线上时,线段 的数量关系是:
_______________;
(3)在(2)的条件下,过 点作 ,垂足为点 ,设直线 与直线
交于点 ,若 求 的长.
13 12 90CF AB BF AC ACF MFB∠ ∠ ′ °= = , = = , = =
AB M′ ABM
13AB AB B M BM′ ′= = , =
Rt AB C′ 2 2 2 213 12 5AB AB C C′ − = −′ ==
13 5 8B F CF B C′ ′= - = - =
MF x= 12B M BM x′ = = -
Rt B MF′
2 2 2B F MF B M′ ′+ =
2 2 2(8 12 )x x+ = - 10
3x=
10
3MF=
ABCD 90AD BC B∠ °∥ , = 60C∠ °= AD CD= , E
BC ABE AE B F EF CD
M
M CD 3
3FM DM AB- =
E BC FM DM AB、 、
A AG CM⊥ G BG AM
N 6 1AD FM= , =, GN解析:(1)过 作 ,交 的延长线于 ,连接
∵ ,
∴
∵ ,
∴
∴ ,
∴
∵ ,
∴
又
∴ ,
∴
A AG CD⊥ CD G AM AC、
AD BC∥
ACB DAC∠ ∠=
AD CD=
ACD DAC∠ ∠=
ACB ACD∠ ∠=
AB AG=
AB AF=
AF AG=
90AM AM AFM G∠ ∠ °= , = =
AMF AMG ≌
FM GM=∴
∵ ,
∴
∴
(2)
提示:过 作 于 ,连接
同(1)可证:
∵ ,
∴
(3)连接 ,作 于 , 于
FM DM DG- =
60ADG BCD∠ ∠ °= =
3 3
3 3DG AG AB==
3
3FM DM AB- =
3
3DM FM AB− =
A AG CM⊥ G AM AC、
AB AG AF FM GM= = , =
DM GM DG- = 3 3
3 3DG AG AB==
3
3DM FM AB− =
AC MH BC⊥ H DK BC⊥ K∵
∴ ,
∵ ,
∴
∴ , ,
设 ,则
∵ ,
解得 ,
∴
∵ ,
∴
∵ ,
6 1 60AD FM BCD∠ °= , =, =
6 3CD KC= , = , 3 3AB DK= = 9BC=
3
3DM FM AB− =
3 3 3 1 43DM × + ==
10 5CM HC= , = 5 3MH= 4BH=
BE x= 1 4FE x ME x HE x− −= , = , =
2 2 2MH HE ME+ =
2 2 2(5 3) 4( ) ( 1 )x x+ - = -
15x=
15 6BE CE= , =
60BCG∠ °=
120ECG∠ °=
30 120ACB ACD BAG∠ ∠ ° ∠ °= = , =
AMF AMG ≌∴
∴
又 ,
∴
∵ ,
∴
∴ ,
∴
∵ ,
∴
8.如图 1,等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形 的顶点 重合,将此三角板绕
点 旋转,使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边 于点 ,连结
.
(1)猜想 三条线段之间的数量关系,并证明你的猜想;
(2)在图 1 中,过点 作 于点 ,请直接写出 和 的数量关系;
(3)如图 2,将 沿斜边 翻折得到 , 分别是
边上的点, ,连接 ,过点 作 于点 .试猜想
与 之间的数量关系,并证明你的猜想.
MAF MAG∠ ∠=
1
2MAE GAC EAC MAG BAF EAC∠ ∠ ∠ ∠ ∠ − ∠= - + =
60BAE EAC BAC∠ ∠ ∠ °= - = =
60GAC∠ °=
GAN CAE∠ ∠=
120AB AG BAG∠ °= , =
30ABG∠ °=
150AGN ACE∠ ° ∠= =
AGN ACE ∽
1
2AG AC=
1
2 3GN CE= =
ABCD A
A BC DC、 E F、
EF
BE EF DF、 、
A AM EF⊥ M AM AB
Rt ABC AC Rt ADC E F、 BC CD、
1
2EAF BAD∠ ∠= EF A AM EF⊥ M
AM AB答 案:见解析
解析:(1)猜想:
证明:延长 到 ,使 ,连接
∵四边形 是正方形
∴
∴ ,
∴
∴
∴
∵
∴
∴
BE DF EF+ =
CB G BG DF= AG
ABCD
90AB AD ABC D∠ ∠ °= , = =
90ABG∠ °=
ABG D∠ ∠=
ABG ADF ≌
AG AF GAB FAD∠ ∠= , =
45 90 45 45EAF FAD BAE BAD EAF∠ ° ∠ ∠ ∠ ∠ ° ° °= , + = - = - =
45GAE GAB BAE∠ ∠ ∠ °= + =
GAE EAF∠ ∠=又∵
∴
∴
即
(2)
(3)猜想:
证明:延长 到 ,使 ,连接
∵ 沿斜边 翻折得到
∴
∴ ,
∴
∴
∴
∵ ,
∴
[
∴
AG AF AE AE= , = ,
AEG AEF ≌
EG EF=
BE DF EF+ =
AM AB=
AM AB=
CB G BG DF= AG
Rt ABC AC Rt ADC
90AB AD ABC D∠ ∠ °= , = =
90ABG∠ °=
ABG D∠ ∠=
ABG ADF ≌
AG AF GAB FAD∠ ∠= , =
1
2EAF BAD∠ ∠=
1
2FAD BAE BAD∠ ∠ ∠+ =
1
2GAE GAB BAE FAD BAE BAD∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠= + = + =∴
又∵ ,
∴
∴ ,
∴
∴
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]
9.(1)如图 1,将矩形纸片 沿对角线 折叠,使点 落在点 处, 交
于点 .
求证: ;
(2)若矩形纸片 中, ,将矩形 沿过 点的直线折叠,
使点 落在点 处,折痕交线段 (不含端点)于点 ,线段 交直线
于点 .图 2 是该矩形折叠后的一种情况.请探究并解决以下问题:
①当 为直角三角形时,求 的长;
②当 时,求 的取值范围.
GAE EAF∠ ∠=
AG AF AE AE= , =
AEG AEF ≌
EG EF= AEG AEFS S
=
1 1· ·2 2EG AB EF AM=
AM AB=
ABCD BD C E BE AD
F
BF DF=
ABCD 4 10AB BC= , = ABCD B
C D, E G, AD H BE AD
F
BEH DH
1 10DH≤ < tan BEH∠解析:(1)
由题意,
∵ ,
∴
∴ ,
∴
(2)①
∵ 不与端点 重合
∴
∴当 为直角三角形时,只能
连接
∵
∴
∴
1 2∠ ∠=
AD BC∥
1 3∠ ∠=
2 3∠ ∠=
BF DF=
H A D,
90 90BEH EBH∠ ° ∠ °< , <
BEH 90BHE∠ °=
CH
BC BE CBH EBH BH BH∠ ∠= , = , =
BCH BEH ≌
90BHC BHE∠ ∠ °= =∴ ,
∴
即 ,解得 或
∴当 为直角三角形时, 的长为 或
②
∵ ,
∴
∴
∵ ,
∴
10.已知矩形 的一条边 ,将矩形 折叠,使得顶点 落在 边上
的 点处.
DHC ABH ∽
DH AB
DC AH
=
4
4 10
DH
DH
= − 2DH= 8DH=
BEH DH 2 8
BE HG∥
BEH EHG∠ ∠=
4tan tan EGBEH EHG GH GH
∠ ∠ == =
1 10DH≤ <
tan 4BEH∠ ≤0. 4<
ABCD 8AD = ABCD B CD
P
(1)如图 1,已知折痕与边 交于点 ,连结 .
①图中 ___
②若 与 的面积比为 ,求边 的长为_____;
(2)若图 1 中的点 恰好是 边的中点,求 的度数为_____度;
(3)如图 2,在(1)的条件下,擦去折痕 、线段 ,连结 .动点 在线段
上(点 与点 不重合),动点 在线段 的延长线上,且 ,连结
交 于点 ,作 于点 .试问当点 在移动过程中,线段 的长
度是否发生变化?若变化,说明理由;若不变,求出线段 的长度.
解析:(1)如图 1,
①∵四边形 是矩形,
.
由折叠可得: .
.
.
.
.
② 与 的面积比为 ,
BC O AP OP OA、 、
COP∠ = ∠
OCP PDA 1 4: AB
P CD OAB∠
AO OP BP M AP
M P A、 N AB BN PM= MN
PB F ME BP⊥ E M N、 EF
EF
ABCD
90AD BC DC AB DAB B C D∴ = = ∠ = ∠ = ∠ = ∠ = °, ,
AP AB PO BO PAO BAO APO B= = ∠ = ∠ ∠ = ∠, , .
90APO∴∠ = °
90APD CPO POC∴∠ = ° − ∠ = ∠
D C APD POC∠ = ∠ ∠ = ∠ ,
OCP PDA∴ ∽
OCP PDA 1 4:.
.
设 ,则 .
在 中,
,
.
解得: .
.[来源:Z&xx&k.Com]
边 的长为 .
(2)如图 1,
是 边的中点,
.
,
.
,
.
.
1 1
4 2
OC OP CP
PD PA DA
∴ = = = =
2 2 2PD OC PA OP DA CP∴ = = =, ,
8 4 8AD CP BC= ∴ = = , ,
OP x= 8OB x CO x= = −,
Rt PCO
90 4 8C CP OP x CO x∠ = ° = = = − , , ,
2 2 28 4x x∴ = − +( )
5x =
2 10AB AP OP∴ = = =
∴ AB 10
P CD
1
2DP DC∴ =
DC AB AB AP= = ,
1
2DP AP∴ =
90D∠ = °
1
2
DPsin DAP AP
∴ ∠ = =
30DAP∴∠ = °,
.
的度数为 .
(3)作 ,交 于点 ,如图 2.
,
.
.
.
, ,
.
,
.
,
.
90 30DAB PAO BAO DAP∠ = ° ∠ = ∠ ∠ = ° , ,
30OAB∴∠ = °
OAB∴∠ 30°
MQ AN∥ PB Q
AP AB MQ AN= , ∥
APB ABP ABP MQP∴∠ = ∠ ∠ = ∠,
APB MQP∴∠ = ∠
MP MQ∴ =
MP MQ= ME PQ⊥
1
2PE EQ PQ∴ = =
BN PM MP MQ= = ,
BN QM∴ =
MQ AN ∥
QMF BNF∴∠ = ∠在 和 中,
.
.
.
.
.
由(1)中的结论可得:
.
.
.
∴在(1)的条件下,当点 在移动过程中,线段 的长度不变,长度为 .
11.问题解决
如图(1),将正方形纸片 折叠,使点 落在 边上一点 (不与点 ,
重合),压平后得到折痕 .
当 时,求 的值为_____.
MFQ NFB
QMF BNF
QFM BFN
QM BN
∠ = ∠
∠ = ∠
=
MFQ NFB∴ ≌
QF BF∴ =
1
2QF QB∴ =
1 1 1
2 2 2EF EQ QF PQ QB PB∴ = + = + =
4 8 90PC BC C= = ∠ = °, ,
2 28 4 4 5PB∴ = + =
1 2 52EF PB∴ = =
M N、 EF 2 5
ABCD B CD E C D
MN
1
2
CE
CD
= AM
BN类比归纳
在图(1)中,若 则 的值等于______;(注:若答案不是整数,请化
为小数);若 则 的值等于______;若 ( 为整数),则 的值
等于____.(用含 的式子表示)
联系拓广
如图(2),将矩形纸片 折叠,使点 落在 边上一点 (不与点 重合),
压平后得到折痕 设 则 的值等于______.(用含
的式子表示)
1
3
CE
CD
= AM
BN
1
4
CE
CD
= AM
BN
1CE
CD n
= n AM
BN
n
ABCD B CD E C D、
MN 1 1( 1), ,AB CEmBC m CD n
= > = AM
BN
,m n
方法指导:
为了求得 的值,可先求 、 的长,不妨设: =2AM
BN BN AM AB解析:方法一:如图(1-1),连接
由题设,得四边形 和四边形 关于直线 对称.
∴ 垂直平分 .∴
∵四边形 是正方形,
∴
∵
设 ,则
在 中, .
∴ 解得 ,即
BM EM BE、 、
ABNM FENM MN
MN BE ,BM EM BN EN= =
ABCD
90 , 2A D C AB BC CD DA∠ = ∠ = ∠ = ° = = = =
1 , 12
CE CE DECD
= ∴ = =
BN x= ,NE x= 2NC x= −
Rt CNE
2 2 2NE CN CE= +
2 2 2(2 ) 1x x= − + 5
4x = 5
4BN =在 和在 中,
,
,
设 则
∴
解得 即
方法二:同方法一,
如图(1-2),过点 做 交 于点 ,连接
∵
∴四边形 是平行四边形.
Rt ABM Rt DEM
2 2 2AM AB BM+ =
2 2 2DM DE EM+ =
2 2 2 2AM AB DM DE∴ + = +
AM y= 2DM y= −
2 2 2 22 (2 y) 1y + = − +
1
4y = 1
4AM =
1
5
AM
BN
∴ =
5
4BN =
N / /NG CD AD G BE
AD BC∥
GDCN∴
同理,四边形 也是平行四边形.∴
∵
在 与 中
∴
∵
∴
类比归纳
(或 ); ;
联系拓广
12. 中, , 为 延长线上一点, 为
NG CD BC= =
ABNG 5
4AG BN= =
, 90MN BE EBC BNM⊥ ∴∠ + ∠ = °
, 90 ,NG BC MNG BNM EBC MNG⊥ ∴∠ + ∠ = ° ∴∠ = ∠
BCE NGM
90
EBC MNG
BC NG
C NGM
∠ = ∠
=
∠ = ∠ = °
, .BCE NGM EC MG= ≌
5 1, 1 .4 4AM AG MG AM= − = − =
1.5
AM
BN
=
2
5
4
10
9
17
( )2
2
1
1
n
n
−
+
2 2
2 2
2 1
1
n m n
n m
− +
+
ABC 60AB AC BAC∠ °= , < D BC E ACD∠内部一点,且 .
(1)若 ,如图 1,直接写出 间的数量关系: ______ ;
(2)若 ,如图 2,求证: ;
(3)在(2) 的条件下,如图 3,将线段 沿 翻折,翻折后的点 落在点 处,且
,连接 ,交 的延长线于 ,若 ,求 的长为______.
解析:
(1)
提示:作 于 交 延长线于
90ABE ECD∠ ∠ °+ =
60ABE∠ °= AC BE、 AC = BE
45ABE∠ °= 2BE AC=
BA BE A M
MC BC⊥ EM BC N 2CN= AN
AC BE=
AF BC⊥ F BG CE⊥, EC G
1
2AB AC BF FC BC∴ = , = =
90 60ABE ECD ABE∠ ∠ ° ∠ ° + = , =
30 30ECD BCG∴∠ ° ∴∠ °= , =∴AC=BE
(2)作 于 交 延长线于
(3)作 于 于
160 2CBG BG BC∴∠ °= , =
ABF EBG BF BG∴∠ ∠= , =
Rt RtABF EBG AB BE∴ ∴ ≌ , =
AF BC⊥ F BG CE⊥, EC G
1
2AB AC BF FC BC∴ = , = =
90 45ABE ECD ABE∠ ∠ ° ∠ ° + = , =
45 45ECD BCG∴∠ ° ∴∠ °= , =
245 22CBG BG BC BF∴∠ °= , = =
Rt RtABF EBG ABF EBG∴∠ ∠ ∴ = , ∽
2, 2BE BG BE ABAB BD
= = ∴ =
2BE AC∴ =
AF BC⊥ F MH BE⊥, H则
由题意,
由(2)知, ,
,
190 2ABF BAF BF FC BC∠ ∠ °+ = , = =
45MBE ABE AB BM∠ ∠ °= = , =
90 90ABM ABF MBC∴∠ ° ∴∠ ∠ °= , + =
BAF MBC∴∠ ∠=
90MC BC BCM AFB⊥ ∴∠ ∠ ° , = =
2ABF BMC AF BC BF BF MC∴ ∴ ≌ , = = , =
2BC MC∴ =
2BE AB=
2BE BM∴ =
2 145 45 2 2MBH BMH BH MH BM BE∠ ° ∴∠ ° = , = , = = =
45BH EH MH MEH EMH∴ ∴∠ ∠ °= = , = =
90 Rt RtBME BMC MNC∴∠ ° ∴ = , ∽
1
2
NC MC
MC BC
∴ = =
2 4 8NC MC BC= ∴ = = , ,
13.如图 1,四边形 是一张正方形纸片,先将正方形 对折,使 与
重合,折痕为 ,把这个正方形展平,然后沿直线 折叠,使 点落在 上,对应
点为 .
(1)求 的度数为______度;
(2)如图 2,在图 1 的基础上,连接 ,试判断 与 的大小关系,并
说明理由;
(3)如图 3,按以下步骤进行操作:
第一步:先将正方形 对折,使 与 重合,折痕为 ,把这个正方形展平,
然后继续对折 ,使 与 重合,折痕为 ,再把这个正方形展平,设 和
相 交于点 ;
第二步:沿直线 折叠,使 点落在 上,对应点为 ;再沿直线 折叠,使
点落在 上,对应点为 ;
第 三 步 : 设 分 别 与 相 交 于 点 , 连 接 ,
.
试判断四边形 的形状为______,并证明你的结论.
解析:(1)如图 1,由对折可知,
6 8FN AF∴ = =,
2 2 2 26 8 10AN FN AF∴ = + = + =
ABCD ABCD BC AD
EF CG B EF
B′
CB F∠ ′
AB′ B AE∠ ′ GCB∠ ′
ABCD BC AD EF
AB DC MN EF MN
O
CG B EF B′ AH D
EF D′
CG AH, MN P Q, B P PD D Q′ ′ ′, ,
QB′
B PD Q′ ′[来源:学+科+网 Z+X+X+K]
∵四边形 为正方形,
又由折叠可知,
∴在 中,
解法二:如图 1,连接 .
(2) 理由如下:
如图 2,连接
由对折知, 垂直平分
由折叠知,
190 2EFC CF CD∠ °= , =
ABCD 1
2CD CB CF CB∴ ∴= , =
1
2CB CB CF CB′ ∴ ′= , =
Rt B FC′
1sin ` 2
CFCB F CB
∠ ′ = =
30CB F∴∠ ′ ′ °=
B D' ,
B AE GCB∠ ′ ∠ ′=
B D′
EF CD B C B D∴ ′ ′, =
B C BC′ =∵四边形 为正方形,
为等边三角形
∵四边形 为正方形
由(1)知
由折叠知,
(3)四边形 为正方形
如图 3,连接
由(2)知,
由折叠知,
ABCD BC CD∴ =
B C CD B D B CD∴ ′ ′ ∴ ′= = ,
60CDB∴∠ ′ °=
ABCD
90 30CDA DAB B DA∴∠ ∠ ° ∴∠ ′ °= = , =
DB DA DAB DB A′ ∴∠ ′ ∠ ′ = , =
1 (180 ) 752DB A B DA∴∠ ′ ° ∠ ′ °= - =
90 75 15B AE DAB DAB∴∠ ′ ∠ ∠ ′ ° ° °= - = - =
30CB F∠ ′ °=
/ / 30EF BC B CB CB F∴∠ ′ ∠ ′ ° , = =
1 1 30 152 2GCB B CB∠ ′ ∠ ′ × ° °= = =
B AE GCB∴∠ ′ ∠ ′=
B PD Q′ ′
AB′
B AE GCB∠ ′ ∠ ′=
GCB PCN B AE PCN∠ ′ ∠ ∴∠ ′ ∠= , =由对折知,
又∵四边形 是正方形,
同理可得,
由对称性可知,
由两次对折可知,
,∴四边形 为矩形
由对折知, 于点 于点
∴四边形 为正方形
14. 如 图 , 在 中 , 是 边 上 一 点 ,
, 是 边上一动点(不与 重合),过点 作 交 于点
.
(1)设 ,求 关于 的函数关系式;
(2)以 为半径的 与以 为半径的 能否相切?若能,求 的值;
若不能,请说明理由;
(3)将 沿直线 翻折,得到 ,连接 ,当
时,求 的长.
1 190 2 2AEB CNP AE AB CN BC∠ ′ ∠ ° == = , = ,
ABCD AB BC∴ =
AE CN AEB CNP∴ ∴ ′ = , ≌
EB NP∴ ′=
FD MQ′=
EB FD′ ′=
EB NP FD MQ∴ ′ ′= = =
OE ON OF OM= = =
OB OP OD OQ∴ ′ ′= = = B PD Q′ ′
MN EF⊥ O PQ B D∴ ⊥ ′ ′, O
B PD Q′ ′
Rt ABC 90 4 5C AC BC D∠ °= , = , = , BC
3CD= P AC A C、 P PE BC∥ AD
E
AP x DE y= , = y x
PE E DB D tan DPE∠
ABD AD AB D′ EC B C′、 ACE BCB∠ ∠ ′=
AP解析:(1)在 中,
,∴ ,即
(2)对于 ;对于 ;圆心距
当两圆外切时, ,
∴
解得
Rt ACD 4 3 5AC CD AD∴= , = , =
/ /PE BC
AP AE
AC AD
= 5
4 5
x y−=
5 5 0 44y x x∴ =- + ( < < )
3
4EE r EP x , = = 2DD r DB , = = 5 54ED x=- +
E Dr r ED+ =
3 52 54 4x x+ =- +
3 5
2 2x PC∴= , =
/ /PE BC DPE PDC∴∠ ∠ , =当两圆内切时, ,
解得 或 (舍去),
(3)延长 交 于 ,则 垂直平分
在 中, ,
,
5tan tan 6
PCDPE PDC CD
∴ ∠ ∠= = =
| |E Dr r ED- = 3 5| 2| 54 4x x∴ - =- +
7
2x= 6x= 1
2PC∴ =
1tan tan 6
PCDPE PDC CD
∴ ∠ ∠ == =
AD BB′ F AF BB′
Rt BDF 2BD= 4sin sin 5
ACBDF ADC AD
∠ ∠ == =
8
5BF∴ = 16
5BB′=当 时,
,即 ,
∴ ,解得
15.如图①,把矩形纸片 沿 同时折叠, 两点恰好落在 边的
点处,已知 .
(1)求图①中矩形 的边 的长为______;
(2)求图①中四边形 的面积为______;
( 3 ) 如 图 ② , 点 是 直 线 上 的 动 点 , 点 是 直 线 上 的 动 点 , 连 接
,求 的最小值为______.
答案:24;57.6;24
解析:(1)由题意,
,
(2)连接
ADC BDF CAD DBF∠ ∠ ∴∠ ∠ = , =
ACE BCB∠ ∠ ′= CAE CBB′ ∽
AC BC
AE BB
∴ = ′
4 5
165
5
y
=−
645 25y∴ −=
5 645 54 25x− + = − 256
125x=
ABCD EF GH、 B C、 AD
P 90 8 6FPH PF PH∠ °= , = , =
ABCD BC
EFHG
M EF N GH
A M MN ND′ ′、 、 A M MN ND′ ′+ +
8 6BF PF CH PH= = , = =
90FPH∠ ° = 2 2 2 28 6 10FH PF PH∴ + = + ==
8 10 6 24BC BF FH HC∴ = + + = + + =
BE CG、同理,
作 于 ,则
(3)连接
由题意,
当点 都落在线段 上时, 取得最小值
即等于线段 的长
的最小值为
AD BC PEF BFE∴∠ ∠ , =
PFE BFE PEF PFE∠ ∠ ∴∠ ∠ = , =
8PE PF∴ = =
6PG PH= =
8 6 14EG PE PG∴ = + = + =
PQ BC⊥ Q 8 6 24
10 5
PF PHPQ FH
⋅ ×= ==
( ) ( )1 1 24 288· 14 102 2 5 5EFHGS EG FH PQ∴ + + × =四边形 = =
AM DN、
A M MN ND AM MN ND AD′ ′ ≤+ + = + +
M N、 AD A M MN ND′ ′+ +
AD
A M MN ND∴ ′ ′+ + 2416. 如 图 1 , 在 梯 形 中 , ,
为线段 上的一动点,且和 不重合,连接 ,过 作
交 所在直线于 .设 .
(1)求 与 的函数关系式
(2)若点 在线段 上运动时,点 总在线段 上,求 的取值范围
(3)如图 2,若 ,将 沿 翻折至 位置, ,求
长为______.
解析:(1)
在 和 中,
,
,
与 的函数关系式为
ABCD 90 2 1AB CD B AB CD∠ = ° = =∥ , , ,
BC m P= , BC B C、 PA P PE PA⊥
CD E BP x CE y= , =
y x
P BC E CD m
4m= PEC PE PEG 90BAG∠ = ° BP
90 90AB CD B B C∠ = ° ∴∠ = ∠ = ° , ,
90APB BAP∴∠ ∠ = °+
90PE PA APE⊥ ∴∠ = ° ,
90APB CPE BAP CPE∴∠ ∠ = ° ∴∠ ∠+ , =
ABP PCE 90B C BAP CPE∠ ∠ = ° ∠ ∠= , =
ABP PCE∴ ∽ AB BP
PC CE
∴ =
BC m BP x PC m x∴ − = , = , =
2 x
m x y
∴ =−
21
2 2
my x x∴ = − +
y∴ x 21 02 2
my x x x m= − + ( < < )(2)
∴当 时,
∵点 总在线段 上,
,
(3)连接 ,过 作 于
由翻折可知
∴四边形 为平行四边形
,
∴四边形 为矩形
在 中,
,
2
2 21 1 ( )2 2 2 2 8
m m my x x x= − + = − − +
2
mx =
2
8
my =最大
E CD
2
18
m∴ ≤
2 2m∴ ≤ 0 2 2m∴ ≤<
CG P PH AG⊥ H
4CG PE PG PC x⊥ −, = =
/ /PE PA CG PA⊥ ∴ ,
90B BAG∠ = ∠ = ° ,
AG PC∴ ∥
APCG
4AG PC x∴ −= =
90B BAG AHP∠ = ∠ = ∠ = °
ABPH
2 4 2AH BP x PH AB HG x∴ = = = = ∴ = −, ,
Rt PHG
2 2 2PH HG PG + =
2 2 22 (4 2 ) (4 )x x∴ + - = -解得
或
17.如图,在平面直角坐标系 中,四边形 为矩形, .
(1)如图 1, 是 的中点,将 沿 翻折后得到 , 的延长
线交 于 ,求点 的坐标为_____.
( 2 ) 如 图 2 , 点 分 别 是 线 段 上 的 动 点 , , 如 果 以
三点中的一点为圆心的圆恰好过另外两个点( 三点不在同一条直
线上),求点 的坐标为______.
解析:(1)连接
由题意,
是 的中点,
1 2
22 3x x= , =
2BP∴ = 2
3
xOy OABC 0 6 8 0A C( ,),( ,)
D OC AOD AD AED AE
BC F F
M N、 AB OB、 2ON MB=
M N B、 、 M N B、 、
M
DF
90AED AOD∴∠ ∠ °= =
90DEF DEF DCF∴∠ ° ∴∠ ∠= , =
D OC OD DC∴ =
OD DE DE DC∴ = , =又
又
,
是 的中点
,
DF DF DEF DCF∴ = , ≌
90EDF CDF ADF∴∠ ∠ ∴∠ °= , =
AOD ADF∴∠ ∠=
OAD DAF AOD ADF∠ ∠ ∴ = , ∽
AO AD
AD AF
∴ =
2ADAF AO
∴ =
0 6 8 0A C ( ,),( ,),D OC
2 2 26 8 4 4 6 52AO BC AB OC OD AD∴ = = , = = , = , = + =
52 26
6 3AF∴ = = 2 2 10
3BF AF AB= − =
10 86 3 3FC BC BF∴ − − == =(2)
设
①当点 为圆 心时,则
②当点 为圆心时,则
过 作 于
则 ,
88 3F∴ ( ,)
2 26 8 6 8 10BC OC OB∴ + = = , = , =
BM x=
B BM BN=
102 10 2 3ON MB x x x∴ − ∴ = , = , =
10 148 3 3AM∴ − ==
14 63M∴ ( ,)
M MB MN=
N NG AB⊥ G
BGN BAO ∽,
解得 (舍去),
③当点 为圆心时,则
,
GN BG BN
AO BA BO
∴ = =
10 2
6 8 10
GN BG x−∴ = =
3 6(10 2 ) 65 5GN x x∴ = − −= 4 8(10 2 ) 85 5BG x x= − −=
8 138 85 5GM x x x= − − = −
2 2
2 13 68 65 5x x x ∴ = − + −
1 5x= 2
25
9x =
25 478 9 9AM∴ = − =
47 69M∴ ( ,)
N MN BN=
1
2BG BM∴ =解得
综上所述, 点坐标为
8 18 5 2x x∴ − =
80
21x =
80 888 21 21AM∴ − ==
88 621M∴ ( ,)
M 14 47 886 6 63 9 21M( ,),( ,),( ,)