几何问题--翻折问题(专题练习)
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几何问题--翻折问题(专题练习)

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时间:2020-12-23

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资料简介
7.翻折问题 1.在 中, , , 为 延长线上一点, 为 内部一点,且 . (1)若 ,如图 1,直接写出 间的数量关系:___________; (2)若 ,如图 2,求证: ; (3)在(2)的条件下,如图 3,将线段 沿 翻折,翻折后的点 落在点 处,且 ,连接 ,交 的延长线于 ,若 ,求 的长. 解析:(1) 提示:作 于 , 交 延长线于 ∵ , ∴ ABC AB AC= 60BAC∠ °< D BC E ACD∠ 90ABE ECD∠ ∠ °+ = 60ABE∠ °= AC BE、 45ABE∠ °= 2BE AC= BA BE A M MC BC⊥ EM BC N 2CN= AN AC BE= AF BC⊥ F BG CE⊥ EC G AB AC= 1 2BF FC BC= =∵ ∴ , ∴ ∴ ∴ ∴ , ∴ ∴ (2)作 于 , 交 延长线于 [来源:学,科,网] ∵ , ∴ ∵ ∴ , ∴ 90 60ABE ECD ABE∠ ∠ ° ∠ °+ = , = 30ECD∠ °= 30BCG∠ °= 160 2CBG BG BC∠ °= , = ABF EBG BF BG∠ ∠= , = Rt ABF Rt EBG ≌ AB BE= AC BE= AF BC⊥ F BG CE⊥ EC G AB AC= 1 2BF FC BC= = 90 45ABE ECD ABE∠ ∠ ° ∠ °+ = , = 45ECD∠ °= 45BCG∠ °=∴ , ∴ , ∴ ∴ , ∴ ∴ (3)作 于 , 于 则 , 由题意, ∴ , ∴ ∴ ∵ , ∴ 45CBG∠ °= 2 2 2BG BC BF= = ABF EBG∠ ∠= Rt ABF Rt EBG ∽ 2BE BG AB BD = = 2BE AB= 2BE AC= AF BC⊥ F MH BE⊥ H 90ABF BAF∠ ∠ °+ = 1 2BF FC BC= = 45MBE ABE AB BM∠ ∠ °= = , = 90ABM∠ °= 90ABF MBC∠ ∠ °+ = BAF MBC∠ ∠= MC BC⊥ 90BCM AFB∠ ∠ °= =∴ , ∴ ∴ 由(2)知, , ∴ ∵ , ∴ , ∴ , ∴ ∴ , ∴ ∴ , ∴ ∴ 2.如图,在 中, ,翻折 ,使点 落在斜边 上某一点 处, 折痕为 (点 分别在边 上) (1)若 与 相似. ①当 时,求 的长; ②当 时,求 的长; (2)当点 是 的中点时, 与 相似吗?请说明理由. ABF BMC ≌ 2AF BC BF BF MC= = , = 2BC MC= 2BE AB= 2BE BM= 45MBH∠ °= 45BMH∠ °= 2 2 1 2BH MH BM BE= = = BH EH MH= = 45MEH EMH∠ ∠ °= = 90BME∠ °= Rt BMC Rt MNC ∽ 2 4MC CN= = 4 6 8FC FN AF= , = , = 2 2 2 26 8 10AN FN AF+ = + == Rt ABC 90C∠ = ° C∠ C AB D EF E F、 AC BC、 CEF ABC 2AC BC= = AD 3 4AC BC= =, AD D AB CEF ABC解析:(1)若 与 相似. ①当 时, 为等腰直角三角形,如答图 1 所示. 此时 为 边中点, . ②当 时,有两种情况: (I)若 ,如答图 2 所示. ∵ , ∴ . 由折叠性质可知, , ∴ ,即此时 为 边上的高. 在 中, , CEF ABC 2AC BC= = ABC D AB 2 22AD AC= = 3 4AC BC= =, 3 4CE CF =: : CE CF AC BC=: : EF BC∥ CD EF⊥ CD AB⊥ CD AB Rt ABC 3 4AC BC= =,∴ , ∴ . ; (II)若 ,如答图 3 所示. ∵ , ∴ . 由折叠性质可知, , 又∵ , ∴ , ∴ . 同理可得: , ∴此时 . 综上所述,当 时, 的长为 或 . (2)当点 是 的中点时, 与 相似.理由如下: 如答图 3 所示,连接 ,与 交于点 . 5AB = 3cos 5 ACA AB = = 3• cos 3 1.85AD AC A= = × = 3 4CF CE =: : CEF CAB ∽ CEF B∠ = ∠ 90CEF ECD∠ + ∠ = ° 90A B∠ + ∠ = ° A ECD∠ = ∠ AD CD= B FCD CD BD∠ = ∠ =, 1 1 5 2.52 2AD AB= = × = 3 4AC BC= =, AD 1.8 2.5 D AB CEF ABC CD EF Q∵ 是 的中线, ∴ , ∴ . 由折叠性质可知, , ∴ , ∵ , ∴ , 又∵ , ∴ . 3.在矩形 中, ,点 分别在边 上,且 .点 为 边上的一个动点,连接 ,把 沿直线 翻折得到 . (1)如图 1,当 时, ①填空: ___________度; ②若 ,求 的度数,并求此时 的最小值; ( 2 ) 如 图 3 , , 连 接 , 交 边 于 点 , 且 , 为垂足,求 的值. CD Rt ABC CD DB AB= = DCB B∠ = ∠ 90CQF DQF∠ = ∠ = ° 90DCB CFE∠ + ∠ = ° 90B A∠ + ∠ = ° CFE A∠ = ∠ C C∠ = ∠ CEF CBA ∽ ABCD AB aAD = G H, AB DC, HA HG= E AB HE AHE HE FHE DH DA= HGA∠ = EF HG∥ AHE∠ a 60 2AEH EG BG∠ °= , = FG DC P FG AB⊥ G a解析:(1)① ②分两种情况: 第一种情况(如图 1) , ∴ 由折叠可知: 又∵ , ∴ ∴ 即 , ∴ 45° 45HAG HGA∠ ∠ °= = 180 45 45 90AHG∠ ° ° ° °= - - = 45HAE F AHE FHE∠ ∠ ° ∠ ∠= = , = EF HG∥ 45FHG F∠ ∠ °= = 90 45 45AHF AHG FHG∠ ∠ ∠ ° ° °= - = - = 45AHE FHE∠ ∠ °+ = 22.5AHE∠ °=此时,当 与 重合时, 的值最小,最小值是 第二种情况(如图 2) ∵ , ∴ 即 由折叠可知: , ∴ ∵ , ∴ ∴ 此时,当 与 重合时, 的值最小 设 ,则 在 中, , ∴ ∵ ∴ B G a 2 EF HG∥ 45HGA FEA∠ ∠ °= = 45AEH FEH∠ ∠ °+ = AEH FEH∠ ∠= 22.5AEH FEH∠ ∠ °= = EF HG∥ 22.5GHE FEH∠ ∠ °= = 90 22.5 112.5AHE∠ ° ° °= + = B E a DH DA x= = 2AH GH x= = Rt AHG 90AHG∠ °= 2 2AG AH x= = AEH FEH GHE FEH∠ ∠ ∠ ∠= , = , AEH GHE∠ ∠=∴ , ∴ (2)过点 作 交 于 , 则 在矩形 中, ∴ ∴四边形 为矩形, ∴ 设 ,则 由折叠可知: ∴ 在 中, 2GH GE x= = 2 2AB AE x x= = + 2 2 2 2AB x xa AD x += = = + H HQ AB Q 90AQH GQH∠ ∠ °= = ABCD 90D DAQ∠ ∠ °= = 90D DAQ AQH∠ ∠ ∠ °= = = DAQH AD HQ= AD x GB y= , = 2HQ x EG y= , = 60AEH FEH∠ ∠ °= = 180 60 60 60FEG∠ ° ° ° °= - - = Rt EFG ·cos60 4EG EF EF y°= , =在 中, ∴ ∵ , ∴ ∴ 由折叠可知: ∴ , ∴ ∴ ∴ . 4.如图, 为等边三角形, 为 内一点,且 ,把 沿 翻折,点 落在点 处,连接 . (1)求证: ; (2)连接 ,若 ,求 的长. Rt HQE 3 tan60 3 HOEQ x=°= 3 23QG QE EG x y+= + = HA HG HQ AB⊥= , 3 23AQ GQ x y+= = 2 3 23AE AQ QE x y+= + = AE EF= 2 3 2 43 x y y+ = 3 3y x= 3 72 2 2 33 3AB AQ GB x y y x  + + =    = + = 7 33 ABa AD == ABC D ABC 120ADB∠ °= ADB BD A E CE BD CE AD+ = CD 8 7AD CD= , = CE解析:(1)将 绕点 逆时针旋转 得 ,连接 、 则 是等边三角形, ∴ ∵ ,∴ ∴ 三点在同一直线上 ∵ ,∴ 由题意, ∴ , ∴ 是等边三角 形 ∴ ∴ 三点在同一直线上 ABD A 60° ACF DF CF EF、 ADF 60AD DF ADF AFD∠ ∠ °= , = = 120ADB∠ °= 180ADB ADF∠ ∠ °+ = B D F、 、 120AFC ADB∠ ∠ °= = 60DFC∠ °= 60EDF ADF DE AD∠ ∠ °= = , = DE DF= DEF 60EF DE AD DFE∠ °= = , = E C F、 、∴ (2)过 作 于 ∵ 是等边三角形,∴ 设 ,则 , , 在 中, 解得 ∴ 的长为 或 5.已知矩形 的一条边 ,将矩形 折叠,使顶点 落在 边上的 点处. (1)如图 1,已知折痕与边 交于点 ,连结 . ①求证: ; ②若 与 的面积比为 ,求边 的长; (2)若图 1 中的点 恰好是 边的中点,求 的度数; (3)如图 2,在(1)的条件下,擦去折痕 、线段 ,连结 .动点 在线段 上(点 与点 不重合),动点 在线段 的延长线上,且 ,连结 交 于点 ,作 于点 .试问当点 在移动过程中,线段 的长 度是否发生变化?若变化,说明理由;若不变,求出线段 的长度. BD CE CF CE EF AD+ = + = = C CG DE⊥ G DEF 60DEF∠ °= CE x= 1 2GE x= 3 2CG x= 18 2DG x= - Rt CDG 22 21 38 72 2x x   − + =      1 23 5x x= , = CE 3 5 ABCD 8AD= ABCD B CD P BC O AP OP OA、 、 OCP PDA ∽ OCP PDA 1:4 AB P CD OAB∠ AO OP BP M AP M P A、 N AB BN PM= MN PB F ME BP⊥ E M N、 EF EF解析: (1)①∵四边形 是矩形,∴ ∴ ∵ 是由 沿 折叠, ∴ ∴ ∵ , ∴ ②∵ , 的面积比为 ∴ , ∴ ∵ , ∴ 设 ,则 在 中, ABCD 90C D∠ ∠ °= = 90APD DAP∠ ∠ °+ = AOP ABO AO 90APO B∠ ∠ °= = 90APD CPO∠ ∠ °+ = DAP CPO∠ ∠= OCP PDA ∽ OCP PDA ∽ OCP PDA 与 1:4 2 1 4 OCP PDA S CP S AD  = =   △ △ 1 2 CP AD = 8AD= 4CP= AB x= 4DP x= - Rt PDA 2 2 2AP AD DP= +∴ ,∴ 即边 的长为 (2)∵折叠后 与 重合, ∴ , ∵ , ∴ ∵ 是 的中点, ∴ ∵ , ∴ 又 , ∴ (3)线段 的长度不变 作 交 于点 ∵ , ∴ ∴ ∴ , 2 2 2(8 )4x x= + - 10x= AB 10 AOB AOP AP AB= OAB OAP∠ ∠= AB CD= AP CD= P CD 1 2DP AP= 90D∠ °= 30PAD∠ °= OAB OAP∠ ∠= 30OAB∠ °= EF MH BN∥ PB H AP AB= APB ABP∠ ∠= MHP ABP MHF NBF∠ ∠ ∠ ∠= , = MHP APB∠ ∠=∴ ∵ , ∴ ∵ , ∴ ∴ ∵ , ∴ 由(1)得: ∴ ∴ , ∴ , ∴ 6.如图 1,在平行四边形 中,点 是 边的中点,连接 并延长,交 的 延长线于点 ,且 .连接 . (1)求证:四边形 是矩形; (2)在图 1 中,若点 是 上一点,沿 折叠 ,使点 恰好落在线段 上的点 处(如图 2), ,求 的长. MP MH= MP BN= BN MH= NFB MFH∠ ∠= NBF MHF ≌ FH FB= EF EH FH= + 1 2EF EP FB PB= + = 10 8AB AD= , = , 6DP= 4PC= 4 5PB= 2 5EF= ABCD E BC AE DC F 2AEC ABE∠ ∠= BF AC、 ABFC M BF AM ABM B DF B′ 13 12AB AC= , = MF解析:(1)∵四边形 是平行四边形, ∴ ∴ ∵ 是 的中点,∴ ∴ ,∴ ∴四边形 是平行四边形 ∴ ∵ ∴ , ∴ , ∴ ∴四边形 是矩形 (2) ∵四边形 是矩形, ABCD AB DF∥ ABE FCE BAE CFE∠ ∠ ∠ ∠= , = E BC BE CE= AEB FEC ≌ AB FC= ABFC 2 2AF AE BC BE= , = 2AEC ABE AEC ABE BAE∠ ∠ ∠ ∠ ∠= , = + ABE BAE∠ ∠= AE BE= AF BC= ABFC ABFC 13 12AB AC= , =∴ ∵ 是由 折叠得到的 ∴ 在 中, ∴ 设 ,则 在 中, 即 ,解得 ∴ . 7.在直角梯形 中, , , 点 在 射线 上,将 沿 翻折,点 落到点 处,射线 与射线 交于点 . (1)如图 1,当点 在 边上时,求证: . (2)如图 2,当点 在 边的延长线上时,线段 的数量关系是: _______________; (3)在(2)的条件下,过 点作 ,垂足为点 ,设直线 与直线 交于点 ,若 求 的长. 13 12 90CF AB BF AC ACF MFB∠ ∠ ′ °= = , = = , = = AB M′ ABM 13AB AB B M BM′ ′= = , = Rt AB C′ 2 2 2 213 12 5AB AB C C′ − = −′ == 13 5 8B F CF B C′ ′= - = - = MF x= 12B M BM x′ = = - Rt B MF′ 2 2 2B F MF B M′ ′+ = 2 2 2(8 12 )x x+ = - 10 3x= 10 3MF= ABCD 90AD BC B∠ °∥ , = 60C∠ °= AD CD= , E BC ABE AE B F EF CD M M CD 3 3FM DM AB- = E BC FM DM AB、 、 A AG CM⊥ G BG AM N 6 1AD FM= , =, GN解析:(1)过 作 ,交 的延长线于 ,连接 ∵ , ∴ ∵ , ∴ ∴ , ∴ ∵ , ∴ 又 ∴ , ∴ A AG CD⊥ CD G AM AC、 AD BC∥ ACB DAC∠ ∠= AD CD= ACD DAC∠ ∠= ACB ACD∠ ∠= AB AG= AB AF= AF AG= 90AM AM AFM G∠ ∠ °= , = = AMF AMG ≌ FM GM=∴ ∵ , ∴ ∴ (2) 提示:过 作 于 ,连接 同(1)可证: ∵ , ∴ (3)连接 ,作 于 , 于 FM DM DG- = 60ADG BCD∠ ∠ °= = 3 3 3 3DG AG AB== 3 3FM DM AB- = 3 3DM FM AB− = A AG CM⊥ G AM AC、 AB AG AF FM GM= = , = DM GM DG- = 3 3 3 3DG AG AB== 3 3DM FM AB− = AC MH BC⊥ H DK BC⊥ K∵ ∴ , ∵ , ∴ ∴ , , 设 ,则 ∵ , 解得 , ∴ ∵ , ∴ ∵ , 6 1 60AD FM BCD∠ °= , =, = 6 3CD KC= , = , 3 3AB DK= = 9BC= 3 3DM FM AB− = 3 3 3 1 43DM × + == 10 5CM HC= , = 5 3MH= 4BH= BE x= 1 4FE x ME x HE x− −= , = , = 2 2 2MH HE ME+ = 2 2 2(5 3) 4( ) ( 1 )x x+ - = - 15x= 15 6BE CE= , = 60BCG∠ °= 120ECG∠ °= 30 120ACB ACD BAG∠ ∠ ° ∠ °= = , = AMF AMG ≌∴ ∴ 又 , ∴ ∵ , ∴ ∴ , ∴ ∵ , ∴ 8.如图 1,等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形 的顶点 重合,将此三角板绕 点 旋转,使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边 于点 ,连结 . (1)猜想 三条线段之间的数量关系,并证明你的猜想; (2)在图 1 中,过点 作 于点 ,请直接写出 和 的数量关系; (3)如图 2,将 沿斜边 翻折得到 , 分别是 边上的点, ,连接 ,过点 作 于点 .试猜想 与 之间的数量关系,并证明你的猜想. MAF MAG∠ ∠= 1 2MAE GAC EAC MAG BAF EAC∠ ∠ ∠ ∠ ∠ − ∠= - + = 60BAE EAC BAC∠ ∠ ∠ °= - = = 60GAC∠ °= GAN CAE∠ ∠= 120AB AG BAG∠ °= , = 30ABG∠ °= 150AGN ACE∠ ° ∠= = AGN ACE ∽ 1 2AG AC= 1 2 3GN CE= = ABCD A A BC DC、 E F、 EF BE EF DF、 、 A AM EF⊥ M AM AB Rt ABC AC Rt ADC E F、 BC CD、 1 2EAF BAD∠ ∠= EF A AM EF⊥ M AM AB答 案:见解析 解析:(1)猜想: 证明:延长 到 ,使 ,连接 ∵四边形 是正方形 ∴ ∴ , ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ BE DF EF+ = CB G BG DF= AG ABCD 90AB AD ABC D∠ ∠ °= , = = 90ABG∠ °= ABG D∠ ∠= ABG ADF ≌ AG AF GAB FAD∠ ∠= , = 45 90 45 45EAF FAD BAE BAD EAF∠ ° ∠ ∠ ∠ ∠ ° ° °= , + = - = - = 45GAE GAB BAE∠ ∠ ∠ °= + = GAE EAF∠ ∠=又∵ ∴ ∴ 即 (2) (3)猜想: 证明:延长 到 ,使 ,连接 ∵ 沿斜边 翻折得到 ∴ ∴ , ∴ ∴ ∴ ∵ , ∴ [ ∴ AG AF AE AE= , = , AEG AEF ≌ EG EF= BE DF EF+ = AM AB= AM AB= CB G BG DF= AG Rt ABC AC Rt ADC 90AB AD ABC D∠ ∠ °= , = = 90ABG∠ °= ABG D∠ ∠= ABG ADF ≌ AG AF GAB FAD∠ ∠= , = 1 2EAF BAD∠ ∠= 1 2FAD BAE BAD∠ ∠ ∠+ = 1 2GAE GAB BAE FAD BAE BAD∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠= + = + =∴ 又∵ , ∴ ∴ , ∴ ∴ [来源:学+科+网 Z+X+X+K] 9.(1)如图 1,将矩形纸片 沿对角线 折叠,使点 落在点 处, 交 于点 . 求证: ; (2)若矩形纸片 中, ,将矩形 沿过 点的直线折叠, 使点 落在点 处,折痕交线段 (不含端点)于点 ,线段 交直线 于点 .图 2 是该矩形折叠后的一种情况.请探究并解决以下问题: ①当 为直角三角形时,求 的长; ②当 时,求 的取值范围. GAE EAF∠ ∠= AG AF AE AE= , = AEG AEF ≌ EG EF= AEG AEFS S  = 1 1· ·2 2EG AB EF AM= AM AB= ABCD BD C E BE AD F BF DF= ABCD 4 10AB BC= , = ABCD B C D, E G, AD H BE AD F BEH DH 1 10DH≤ < tan BEH∠解析:(1) 由题意, ∵ , ∴ ∴ , ∴ (2)① ∵ 不与端点 重合 ∴ ∴当 为直角三角形时,只能 连接 ∵ ∴ ∴ 1 2∠ ∠= AD BC∥ 1 3∠ ∠= 2 3∠ ∠= BF DF= H A D, 90 90BEH EBH∠ ° ∠ °< , < BEH 90BHE∠ °= CH BC BE CBH EBH BH BH∠ ∠= , = , = BCH BEH ≌ 90BHC BHE∠ ∠ °= =∴ , ∴ 即 ,解得 或 ∴当 为直角三角形时, 的长为 或 ② ∵ , ∴ ∴ ∵ , ∴ 10.已知矩形 的一条边 ,将矩形 折叠,使得顶点 落在 边上 的 点处. DHC ABH ∽ DH AB DC AH = 4 4 10 DH DH = − 2DH= 8DH= BEH DH 2 8 BE HG∥ BEH EHG∠ ∠= 4tan tan EGBEH EHG GH GH ∠ ∠ == = 1 10DH≤ < tan 4BEH∠ ≤0. 4< ABCD 8AD = ABCD B CD P (1)如图 1,已知折痕与边 交于点 ,连结 . ①图中 ___ ②若 与 的面积比为 ,求边 的长为_____; (2)若图 1 中的点 恰好是 边的中点,求 的度数为_____度; (3)如图 2,在(1)的条件下,擦去折痕 、线段 ,连结 .动点 在线段 上(点 与点 不重合),动点 在线段 的延长线上,且 ,连结 交 于点 ,作 于点 .试问当点 在移动过程中,线段 的长 度是否发生变化?若变化,说明理由;若不变,求出线段 的长度. 解析:(1)如图 1, ①∵四边形 是矩形, . 由折叠可得: . . . . . ② 与 的面积比为 , BC O AP OP OA、 、 COP∠ = ∠ OCP PDA 1 4: AB P CD OAB∠ AO OP BP M AP M P A、 N AB BN PM= MN PB F ME BP⊥ E M N、 EF EF ABCD 90AD BC DC AB DAB B C D∴ = = ∠ = ∠ = ∠ = ∠ = °, , AP AB PO BO PAO BAO APO B= = ∠ = ∠ ∠ = ∠, , . 90APO∴∠ = ° 90APD CPO POC∴∠ = ° − ∠ = ∠ D C APD POC∠ = ∠ ∠ = ∠ , OCP PDA∴ ∽ OCP PDA 1 4:. . 设 ,则 . 在 中, , . 解得: . .[来源:Z&xx&k.Com] 边 的长为 . (2)如图 1, 是 边的中点, . , . , . . 1 1 4 2 OC OP CP PD PA DA ∴ = = = = 2 2 2PD OC PA OP DA CP∴ = = =, , 8 4 8AD CP BC= ∴ = = , , OP x= 8OB x CO x= = −, Rt PCO 90 4 8C CP OP x CO x∠ = ° = = = − , , , 2 2 28 4x x∴ = − +( ) 5x = 2 10AB AP OP∴ = = = ∴ AB 10 P CD 1 2DP DC∴ = DC AB AB AP= = , 1 2DP AP∴ = 90D∠ = ° 1 2 DPsin DAP AP ∴ ∠ = = 30DAP∴∠ = °, . 的度数为 . (3)作 ,交 于点 ,如图 2. , . . . , , . , . , . 90 30DAB PAO BAO DAP∠ = ° ∠ = ∠ ∠ = ° , , 30OAB∴∠ = ° OAB∴∠ 30° MQ AN∥ PB Q AP AB MQ AN= , ∥ APB ABP ABP MQP∴∠ = ∠ ∠ = ∠, APB MQP∴∠ = ∠ MP MQ∴ = MP MQ= ME PQ⊥ 1 2PE EQ PQ∴ = = BN PM MP MQ= = , BN QM∴ = MQ AN ∥ QMF BNF∴∠ = ∠在 和 中, . . . . . 由(1)中的结论可得: . . . ∴在(1)的条件下,当点 在移动过程中,线段 的长度不变,长度为 . 11.问题解决 如图(1),将正方形纸片 折叠,使点 落在 边上一点 (不与点 , 重合),压平后得到折痕 . 当 时,求 的值为_____. MFQ NFB QMF BNF QFM BFN QM BN ∠ = ∠ ∠ = ∠ =    MFQ NFB∴ ≌ QF BF∴ = 1 2QF QB∴ = 1 1 1 2 2 2EF EQ QF PQ QB PB∴ = + = + = 4 8 90PC BC C= = ∠ = °, , 2 28 4 4 5PB∴ = + = 1 2 52EF PB∴ = = M N、 EF 2 5 ABCD B CD E C D MN 1 2 CE CD = AM BN类比归纳 在图(1)中,若 则 的值等于______;(注:若答案不是整数,请化 为小数);若 则 的值等于______;若 ( 为整数),则 的值 等于____.(用含 的式子表示) 联系拓广 如图(2),将矩形纸片 折叠,使点 落在 边上一点 (不与点 重合), 压平后得到折痕 设 则 的值等于______.(用含 的式子表示) 1 3 CE CD = AM BN 1 4 CE CD = AM BN 1CE CD n = n AM BN n ABCD B CD E C D、 MN 1 1( 1), ,AB CEmBC m CD n = > = AM BN ,m n 方法指导: 为了求得 的值,可先求 、 的长,不妨设: =2AM BN BN AM AB解析:方法一:如图(1-1),连接 由题设,得四边形 和四边形 关于直线 对称. ∴ 垂直平分 .∴ ∵四边形 是正方形, ∴ ∵ 设 ,则 在 中, . ∴ 解得 ,即 BM EM BE、 、 ABNM FENM MN MN BE ,BM EM BN EN= = ABCD 90 , 2A D C AB BC CD DA∠ = ∠ = ∠ = ° = = = = 1 , 12 CE CE DECD = ∴ = = BN x= ,NE x= 2NC x= − Rt CNE 2 2 2NE CN CE= + 2 2 2(2 ) 1x x= − + 5 4x = 5 4BN =在 和在 中, , , 设 则 ∴ 解得 即 方法二:同方法一, 如图(1-2),过点 做 交 于点 ,连接     ∵ ∴四边形 是平行四边形. Rt ABM Rt DEM 2 2 2AM AB BM+ = 2 2 2DM DE EM+ = 2 2 2 2AM AB DM DE∴ + = + AM y= 2DM y= − 2 2 2 22 (2 y) 1y + = − + 1 4y = 1 4AM = 1 5 AM BN ∴ = 5 4BN = N / /NG CD AD G BE AD BC∥ GDCN∴ 同理,四边形 也是平行四边形.∴ ∵ 在 与 中 ∴ ∵ ∴ 类比归纳 (或 ); ; 联系拓广 12. 中, , 为 延长线上一点, 为 NG CD BC= = ABNG 5 4AG BN= = , 90MN BE EBC BNM⊥ ∴∠ + ∠ = ° , 90 ,NG BC MNG BNM EBC MNG⊥ ∴∠ + ∠ = ° ∴∠ = ∠ BCE NGM 90 EBC MNG BC NG C NGM ∠ = ∠  = ∠ = ∠ = ° , .BCE NGM EC MG= ≌ 5 1, 1 .4 4AM AG MG AM= − = − = 1.5 AM BN = 2 5 4 10 9 17 ( )2 2 1 1 n n − + 2 2 2 2 2 1 1 n m n n m − + + ABC 60AB AC BAC∠ °= , < D BC E ACD∠内部一点,且 . (1)若 ,如图 1,直接写出 间的数量关系: ______ ; (2)若 ,如图 2,求证: ; (3)在(2) 的条件下,如图 3,将线段 沿 翻折,翻折后的点 落在点 处,且 ,连接 ,交 的延长线于 ,若 ,求 的长为______. 解析: (1) 提示:作 于 交 延长线于 90ABE ECD∠ ∠ °+ = 60ABE∠ °= AC BE、 AC = BE 45ABE∠ °= 2BE AC= BA BE A M MC BC⊥ EM BC N 2CN= AN AC BE= AF BC⊥ F BG CE⊥, EC G 1 2AB AC BF FC BC∴ = , = = 90 60ABE ECD ABE∠ ∠ ° ∠ ° + = , = 30 30ECD BCG∴∠ ° ∴∠ °= , =∴AC=BE (2)作 于 交 延长线于 (3)作 于 于 160 2CBG BG BC∴∠ °= , = ABF EBG BF BG∴∠ ∠= , = Rt RtABF EBG AB BE∴ ∴ ≌ , = AF BC⊥ F BG CE⊥, EC G 1 2AB AC BF FC BC∴ = , = = 90 45ABE ECD ABE∠ ∠ ° ∠ ° + = , = 45 45ECD BCG∴∠ ° ∴∠ °= , = 245 22CBG BG BC BF∴∠ °= , = = Rt RtABF EBG ABF EBG∴∠ ∠ ∴  = , ∽ 2, 2BE BG BE ABAB BD = = ∴ = 2BE AC∴ = AF BC⊥ F MH BE⊥, H则 由题意, 由(2)知, , , 190 2ABF BAF BF FC BC∠ ∠ °+ = , = = 45MBE ABE AB BM∠ ∠ °= = , = 90 90ABM ABF MBC∴∠ ° ∴∠ ∠ °= , + = BAF MBC∴∠ ∠= 90MC BC BCM AFB⊥ ∴∠ ∠ ° , = = 2ABF BMC AF BC BF BF MC∴ ∴ ≌ , = = , = 2BC MC∴ = 2BE AB= 2BE BM∴ = 2 145 45 2 2MBH BMH BH MH BM BE∠ ° ∴∠ ° = , = , = = = 45BH EH MH MEH EMH∴ ∴∠ ∠ °= = , = = 90 Rt RtBME BMC MNC∴∠ ° ∴  = , ∽ 1 2 NC MC MC BC ∴ = = 2 4 8NC MC BC= ∴ = = , , 13.如图 1,四边形 是一张正方形纸片,先将正方形 对折,使 与 重合,折痕为 ,把这个正方形展平,然后沿直线 折叠,使 点落在 上,对应 点为 . (1)求 的度数为______度; (2)如图 2,在图 1 的基础上,连接 ,试判断 与 的大小关系,并 说明理由; (3)如图 3,按以下步骤进行操作: 第一步:先将正方形 对折,使 与 重合,折痕为 ,把这个正方形展平, 然后继续对折 ,使 与 重合,折痕为 ,再把这个正方形展平,设 和 相 交于点 ; 第二步:沿直线 折叠,使 点落在 上,对应点为 ;再沿直线 折叠,使 点落在 上,对应点为 ; 第 三 步 : 设 分 别 与 相 交 于 点 , 连 接 , . 试判断四边形 的形状为______,并证明你的结论. 解析:(1)如图 1,由对折可知, 6 8FN AF∴ = =, 2 2 2 26 8 10AN FN AF∴ = + = + = ABCD ABCD BC AD EF CG B EF B′ CB F∠ ′ AB′ B AE∠ ′ GCB∠ ′ ABCD BC AD EF AB DC MN EF MN O CG B EF B′ AH D EF D′ CG AH, MN P Q, B P PD D Q′ ′ ′, , QB′ B PD Q′ ′[来源:学+科+网 Z+X+X+K] ∵四边形 为正方形, 又由折叠可知, ∴在 中, 解法二:如图 1,连接 . (2) 理由如下: 如图 2,连接 由对折知, 垂直平分 由折叠知, 190 2EFC CF CD∠ °= , = ABCD 1 2CD CB CF CB∴ ∴= , = 1 2CB CB CF CB′ ∴ ′= , = Rt B FC′ 1sin ` 2 CFCB F CB ∠ ′ = = 30CB F∴∠ ′ ′ °= B D' , B AE GCB∠ ′ ∠ ′= B D′ EF CD B C B D∴ ′ ′, = B C BC′ =∵四边形 为正方形, 为等边三角形 ∵四边形 为正方形 由(1)知 由折叠知, (3)四边形 为正方形 如图 3,连接 由(2)知, 由折叠知, ABCD BC CD∴ = B C CD B D B CD∴ ′ ′ ∴ ′= = , 60CDB∴∠ ′ °= ABCD 90 30CDA DAB B DA∴∠ ∠ ° ∴∠ ′ °= = , = DB DA DAB DB A′ ∴∠ ′ ∠ ′ = , = 1 (180 ) 752DB A B DA∴∠ ′ ° ∠ ′ °= - = 90 75 15B AE DAB DAB∴∠ ′ ∠ ∠ ′ ° ° °= - = - = 30CB F∠ ′ °= / / 30EF BC B CB CB F∴∠ ′ ∠ ′ ° , = = 1 1 30 152 2GCB B CB∠ ′ ∠ ′ × ° °= = = B AE GCB∴∠ ′ ∠ ′= B PD Q′ ′ AB′ B AE GCB∠ ′ ∠ ′= GCB PCN B AE PCN∠ ′ ∠ ∴∠ ′ ∠= , =由对折知, 又∵四边形 是正方形, 同理可得, 由对称性可知, 由两次对折可知, ,∴四边形 为矩形 由对折知, 于点 于点 ∴四边形 为正方形 14. 如 图 , 在 中 , 是 边 上 一 点 , , 是 边上一动点(不与 重合),过点 作 交 于点 . (1)设 ,求 关于 的函数关系式; (2)以 为半径的 与以 为半径的 能否相切?若能,求 的值; 若不能,请说明理由; (3)将 沿直线 翻折,得到 ,连接 ,当 时,求 的长. 1 190 2 2AEB CNP AE AB CN BC∠ ′ ∠ ° == = , = , ABCD AB BC∴ = AE CN AEB CNP∴ ∴ ′ = , ≌ EB NP∴ ′= FD MQ′= EB FD′ ′= EB NP FD MQ∴ ′ ′= = = OE ON OF OM= = = OB OP OD OQ∴ ′ ′= = = B PD Q′ ′ MN EF⊥ O PQ B D∴ ⊥ ′ ′, O B PD Q′ ′ Rt ABC 90 4 5C AC BC D∠ °= , = , = , BC 3CD= P AC A C、 P PE BC∥ AD E AP x DE y= , = y x PE E DB D tan DPE∠ ABD AD AB D′ EC B C′、 ACE BCB∠ ∠ ′= AP解析:(1)在 中, ,∴ ,即 (2)对于 ;对于 ;圆心距 当两圆外切时, , ∴ 解得 Rt ACD 4 3 5AC CD AD∴= , = , = / /PE BC AP AE AC AD = 5 4 5 x y−= 5 5 0 44y x x∴ =- + ( < < ) 3 4EE r EP x , = = 2DD r DB , = = 5 54ED x=- + E Dr r ED+ = 3 52 54 4x x+ =- + 3 5 2 2x PC∴= , = / /PE BC DPE PDC∴∠ ∠ , =当两圆内切时, , 解得 或 (舍去), (3)延长 交 于 ,则 垂直平分 在 中, , , 5tan tan 6 PCDPE PDC CD ∴ ∠ ∠= = = | |E Dr r ED- = 3 5| 2| 54 4x x∴ - =- + 7 2x= 6x= 1 2PC∴ = 1tan tan 6 PCDPE PDC CD ∴ ∠ ∠ == = AD BB′ F AF BB′ Rt BDF 2BD= 4sin sin 5 ACBDF ADC AD ∠ ∠ == = 8 5BF∴ = 16 5BB′=当 时, ,即 , ∴ ,解得 15.如图①,把矩形纸片 沿 同时折叠, 两点恰好落在 边的 点处,已知 . (1)求图①中矩形 的边 的长为______; (2)求图①中四边形 的面积为______; ( 3 ) 如 图 ② , 点 是 直 线 上 的 动 点 , 点 是 直 线 上 的 动 点 , 连 接 ,求 的最小值为______. 答案:24;57.6;24 解析:(1)由题意, , (2)连接 ADC BDF CAD DBF∠ ∠ ∴∠ ∠ = , = ACE BCB∠ ∠ ′= CAE CBB′ ∽ AC BC AE BB ∴ = ′ 4 5 165 5 y =− 645 25y∴ −= 5 645 54 25x− + = − 256 125x= ABCD EF GH、 B C、 AD P 90 8 6FPH PF PH∠ °= , = , = ABCD BC EFHG M EF N GH A M MN ND′ ′、 、 A M MN ND′ ′+ + 8 6BF PF CH PH= = , = = 90FPH∠ ° = 2 2 2 28 6 10FH PF PH∴ + = + == 8 10 6 24BC BF FH HC∴ = + + = + + = BE CG、同理, 作 于 ,则 (3)连接 由题意, 当点 都落在线段 上时, 取得最小值 即等于线段 的长 的最小值为 AD BC PEF BFE∴∠ ∠  , = PFE BFE PEF PFE∠ ∠ ∴∠ ∠ = , = 8PE PF∴ = = 6PG PH= = 8 6 14EG PE PG∴ = + = + = PQ BC⊥ Q 8 6 24 10 5 PF PHPQ FH ⋅ ×= == ( ) ( )1 1 24 288· 14 102 2 5 5EFHGS EG FH PQ∴ + + × =四边形 = = AM DN、 A M MN ND AM MN ND AD′ ′ ≤+ + = + + M N、 AD A M MN ND′ ′+ + AD A M MN ND∴ ′ ′+ + 2416. 如 图 1 , 在 梯 形 中 , , 为线段 上的一动点,且和 不重合,连接 ,过 作 交 所在直线于 .设 . (1)求 与 的函数关系式 (2)若点 在线段 上运动时,点 总在线段 上,求 的取值范围 (3)如图 2,若 ,将 沿 翻折至 位置, ,求 长为______. 解析:(1) 在 和 中, , , 与 的函数关系式为 ABCD 90 2 1AB CD B AB CD∠ = ° = =∥ , , , BC m P= , BC B C、 PA P PE PA⊥ CD E BP x CE y= , = y x P BC E CD m 4m= PEC PE PEG 90BAG∠ = ° BP 90 90AB CD B B C∠ = ° ∴∠ = ∠ = °  , , 90APB BAP∴∠ ∠ = °+ 90PE PA APE⊥ ∴∠ = ° , 90APB CPE BAP CPE∴∠ ∠ = ° ∴∠ ∠+ , = ABP PCE 90B C BAP CPE∠ ∠ = ° ∠ ∠= , = ABP PCE∴ ∽ AB BP PC CE ∴ = BC m BP x PC m x∴ − = , = , = 2 x m x y ∴ =− 21 2 2 my x x∴ = − + y∴ x 21 02 2 my x x x m= − + ( < < )(2) ∴当 时, ∵点 总在线段 上, , (3)连接 ,过 作 于 由翻折可知 ∴四边形 为平行四边形 , ∴四边形 为矩形 在 中, , 2 2 21 1 ( )2 2 2 2 8 m m my x x x= − + = − − + 2 mx = 2 8 my =最大 E CD 2 18 m∴ ≤ 2 2m∴ ≤ 0 2 2m∴ ≤< CG P PH AG⊥ H 4CG PE PG PC x⊥ −, = = / /PE PA CG PA⊥ ∴ , 90B BAG∠ = ∠ = ° , AG PC∴ ∥ APCG 4AG PC x∴ −= = 90B BAG AHP∠ = ∠ = ∠ = ° ABPH 2 4 2AH BP x PH AB HG x∴ = = = = ∴ = −, , Rt PHG 2 2 2PH HG PG + = 2 2 22 (4 2 ) (4 )x x∴ + - = -解得 或 17.如图,在平面直角坐标系 中,四边形 为矩形, . (1)如图 1, 是 的中点,将 沿 翻折后得到 , 的延长 线交 于 ,求点 的坐标为_____. ( 2 ) 如 图 2 , 点 分 别 是 线 段 上 的 动 点 , , 如 果 以 三点中的一点为圆心的圆恰好过另外两个点( 三点不在同一条直 线上),求点 的坐标为______. 解析:(1)连接 由题意, 是 的中点, 1 2 22 3x x= , = 2BP∴ = 2 3 xOy OABC 0 6 8 0A C( ,),( ,) D OC AOD AD AED AE BC F F M N、 AB OB、 2ON MB= M N B、 、 M N B、 、 M DF 90AED AOD∴∠ ∠ °= = 90DEF DEF DCF∴∠ ° ∴∠ ∠= , = D OC OD DC∴ = OD DE DE DC∴ = , =又 又 , 是 的中点 , DF DF DEF DCF∴ = , ≌ 90EDF CDF ADF∴∠ ∠ ∴∠ °= , = AOD ADF∴∠ ∠= OAD DAF AOD ADF∠ ∠ ∴ = , ∽ AO AD AD AF ∴ = 2ADAF AO ∴ = 0 6 8 0A C ( ,),( ,),D OC 2 2 26 8 4 4 6 52AO BC AB OC OD AD∴ = = , = = , = , = + = 52 26 6 3AF∴ = = 2 2 10 3BF AF AB= − = 10 86 3 3FC BC BF∴ − − == =(2) 设 ①当点 为圆 心时,则 ②当点 为圆心时,则 过 作 于 则 , 88 3F∴ ( ,) 2 26 8 6 8 10BC OC OB∴ + = = , = , = BM x= B BM BN= 102 10 2 3ON MB x x x∴ − ∴ = , = , = 10 148 3 3AM∴ − == 14 63M∴ ( ,) M MB MN= N NG AB⊥ G BGN BAO ∽, 解得 (舍去), ③当点 为圆心时,则 , GN BG BN AO BA BO ∴ = = 10 2 6 8 10 GN BG x−∴ = = 3 6(10 2 ) 65 5GN x x∴ = − −= 4 8(10 2 ) 85 5BG x x= − −= 8 138 85 5GM x x x= − − = − 2 2 2 13 68 65 5x x x   ∴ = − + −       1 5x= 2 25 9x = 25 478 9 9AM∴ = − = 47 69M∴ ( ,) N MN BN= 1 2BG BM∴ =解得 综上所述, 点坐标为 8 18 5 2x x∴ − = 80 21x = 80 888 21 21AM∴ − == 88 621M∴ ( ,) M 14 47 886 6 63 9 21M( ,),( ,),( ,)

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